Các phương pháp xác định nguyên hàm Lê Bá Bảo

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM_CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT: Nguyên hàm a Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K F '  x   f  x  với x  K b Định lí: 1) Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K với số C , hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K 2) Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K nguyên hàm f  x  K có dạng F  x   C , với C số Do F  x   C , C   họ tất nguyên hàm f  x  K Ký hiệu  f  x  dx  F  x   C Tính chất nguyên hàm Tính chất 1:   f  x  dx   f  x   f '  x dx  f  x  C  kf  x  dx  k  f  x  dx với k số khác Tính chất 3:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx Tính chất 2: Chú ý:   f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx; f  x  g  x dx   f  x  dx  g  x  dx Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm hàm số hợp Nguyên hàm hàm số hợp u  u  x  u  ax  b; a   sơ cấp   0dx  C  0du  C  dx  x  C  du  u  C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…  CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] x  dx   1 x C  1 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG   ax  b     1   1  1 1 dx  ax  b   C  a  1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C  e dx  e e x C  ax  b 1 dx  e axb  C a  e du  e u u C u  a du   a  0, a  1  a  0, a  1  a  0, a  1  sin xdx   cos x  C  sin  ax  b  dx    cos xdx  sin x  C  cos  ax  b  dx   cos2 x dx  tan x  C  cos  ax  b  dx   sin2 x dx   cot x  C cot  ax  b  d x   C  sin2  ax  b  a ax C ln a C  u du  ln u  C Aax b ax  b A d x  C  a ln A x  a dx   1   1  x dx  ln x  C x  u du    u cos  ax  b  a sin  ax  b  a a  sin udu   cos u  C C  cos udu  sin u  C C tan  ax  b  au C ln a  cos C u  sin u du  tan u  C du   cot u  C II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phƣơng pháp đổi biến số Định lí 1: Nếu  f u du  F  u  C u  u  x  hàm số có đạo hàm liên tục  f u  x  u '  x  dx  F u  x   C Hệ quả: Nếu u  ax  b  a   ta có  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C Phƣơng pháp nguyên hàm phần Định lí 2: Nếu hai hàm số u  u  x  v  v  x  có đạo hàm liên tục K  u  x  v '  x  dx  u  x  v  x   u '  x  v  x  dx Vì v '  x  dx  dv, u '  x  dx  dv nên đẳng thức viết dạng: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…  udv  uv   vdu CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA: Nhóm kỹ năng: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN Ví dụ 1: Xác định: a)   x  1  2x  1 dx b) x4  3x2  x  dx  x c)  4  x  x dx  x   Lời giải: a) Ta có:   x  1  2x  1 dx    x 2     x   x  1 dx   x3  3x2  dx  x4  x  x  C x  3x  x   2 x 3x b) Ta có:  dx    x  3x    dx    x  ln x  C x x  c) Ta có, với x  :    x 3x 12 x  x dx    x  3x  dx    x x  x x  C 5    Ví dụ 2: Xác định: a)  x 1  b)  e  e x dx x  e2x   e4x dx c)  ex dx Lời giải: a) Ta có:  42 x 1 dx  x 1  C ln 4 x  x 1 x 1 4x    16 x  (để phát triển đáp án vấn đề trắc nghiệm) Nhận xét: ln 4 ln ln ln ln  b) Ta có:  e x  e x c) Ta có:      dx   e x  4e x  e x dx   4e x  4e x  e x dx  4e x  2e x  e3x  C e2x   e4x e3x e5x 3x x 5x x d x  e  e  e d x   e   C  ex    Ví dụ 3: Xác định: a)   sin 4x  3cos 5x  1 dx c)  sin 3xdx b)   sin d)   sin  x  cos2 x dx  2x  cos4 x dx Lời giải: a) Ta có:   sin 4x  3cos 5x  1 dx   cos x 3sin 5x   x  C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] b) Ta có:    sin NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  2x  cos2 x dx   2 1  cos x   1  cos x  dx    3cos x  cos x   dx 3sin x sin x   x  C 2  c) Ta có: sin 3x  sin 3x  2   cos x   2   cos x  cos x  2     1  cos12 x  cos12 x    cos x    cos x   2  3 cos12 x  3x sin x sin12 x Vậy  sin 3xdx     cos x  dx     C   48 4 1  cos x cos x d) Ta có: sin x  cos4 x   sin x     2 4 Vậy   sin  cos x  sin x x  cos4 x dx     dx  x   C   32 4  Ví dụ 4: Xác định: a)  sin 3x cos 2xdx b)  sin 4x sin 2xdx c)  cos 5x cos 2xdx d)  sin 3x cos 2x sin xdx Lời giải: a) Ta có:  sin 3x cos xdx    sin x  sin 5x  dx   cos x  b) Ta có:  sin x sin xdx  3  cos x  cos x  dx  c) Ta có:  cos 5x cos xdx  cos 5x  C 3sin x sin x   C 2 sin 3x sin x cos 3x  cos7 x  dx    C   14 d) Ta có: sin 3x cos 2x sin x   sin x  sin 5x  sin x  sin x sin x  sin x sin 6x   cos 5x  cos7 x    cos x  cos11x   cos x  cos 5x  cos7 x  cos11x Vậy  sin 3x cos 2x sin xdx    cos x  cos 5x  cos7 x  cos11x  dx  sin x  sin 5x sin x sin11x    C 11 Bài tập tự luyện: Xác định nguyên hàm sau: 1)   3x  1  2x  1 dx Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… x4  x2  2x  dx 2)  x2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] 3)  4  x  x dx  x    5)  e x  e  x 7) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  4)  92 x1 dx dx   3sin 2x  cos7 x  1 dx 6) e2x   e4x dx  ex 8)   sin   sin  2 x  cos2 x dx x  cos4 x dx  9)  sin xdx 10) 11)  sin 3x cos xdx 12)  10 sin 2x sin 8xdx 13)  cos 5x cos 3xdx 14)  16 sin x cos 3x sin xdx Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC Nội dung: Để tìm nguyên hàm hàm số P( x ) , P( x), Q( x) đa thức, ta thực Q( x) sau: - Nếu bậc P( x) không nhỏ bậc Q( x) , ta tách phần nguyên ra, tức biểu biễn: P ( x) P ( x) P( x)  M( x)  , M( x) đa thức, phân thức có bậc Q( x) Q( x) Q( x) P1 ( x) nhỏ bậc Q( x) - Nếu bậc tử nhỏ bậc mẩu, ta phân tích mẫu thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai có biệt số âm: Q( x)  ( x  a)m ( x2  px  q)n   p2  4q  - Phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản: P( x)  x  a  x m  px  q A1    x  a n  x  Am A2    m 1 x  a    x  a B1 x  C1  px  q B2 x  C2   x n  px  q  n 1  Bn x  Cn x  px  q  - Đồng hai vế để tìm hệ số A1 , A2 , , Am , B1 , , Bn Cuối việc tìm nguyên hàm phân thức hữu tỉ đưa nguyên hàm đa thức phân thức hữu tỉ đơn giản LUYỆN TẬP: Ví dụ 1: Xác định nguyên hàm sau: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] a) I1   3x  dx x4 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG b) I   x4  4x  dx 2x  Lời giải a) Ta có: I1   b) Biểu diễn: 3x  3( x  4)  13 dx   dx   3dx  13 dx  3x  13ln x   C x4 x4 x4 x4  x  x3 x2 x 47 1      2x  12 24 24 x  Lúc đó: I2    x3 x2 x 31 63  x4  4x  x x x 31x 63 dx        d x      ln x   C  2x  16 16 x  12 16 16 32   Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm sau: a) I1   dx x 4 b) I   dx x  5x  c) I   dx x  3x  Lời giải a) Ta có: I1   3 ( x  2)  ( x  2)  1  x2 dx  3 dx   dx     dx  ln C  ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2)  x2 x2 x2 x 4 b) Tương tự: I2   1 ( x  2)  ( x  3)  1  x3 dx   dx   dx     dx  ln C  ( x  2)( x  3) ( x  2)( x  3) x2 x  5x   x3 x2 c) Phân tích:  x  3x   1  x  1  x   2    1   x     x  1  1  dx Hướng 1: I   dx   dx       1  1  x  3x   x  1  x     x  1  x    2         1  x 1 2x      C  ln C  dx  ln 2x   x  x   x  2 Hướng 2: I   1 (2 x  1)  2( x  1) dx   dx   dx x  3x   x  1 2x  1  x  1 2x  1 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG   x 1    dx  ln x   ln x   C  ln C  2x   x  2x   Nhận xét: Hướng giải tốt gọn gàng Ví dụ 3: Xác định nguyên hàm sau: a) 2x   x2  5x  4dx b) x2  x  x2  5x  6dx c) x3  x  x2  3x  2dx Lời giải 2x  2x  A B    x  5x   x  1 x   x  x  a) Phân tích:  Cách 1: (*)  2x  A( x  4)  B( x  1)  (*)  x  1 x    x  1 x    A  B x   4 A  B 2x    x  1 x    x  1 x   A  B   A  1  x    A  B  x   4 A  B     4 A  B  B  Cách 2: Từ (*) đồng ta có: 2x   A( x  4)  B( x  1) (**) Thay x  vào (**):  3 A  A  1 Thay x  vào (**):  3B  B  Lúc đó: 2x  1    x  5x  x  x  Cách 3: x x 2x  1 dx    dx  3 dx   ln x   3ln x   C x 1 x4  5x     x  1  2x  2x   dx   dx   dx    dx  x   x  1 x     5x   x  1 x    x  1 x     Nhận xét: Cách giải 2, tỏ khoa học tốt cách Ví dụ 4: Xác định nguyên hàm sau: a) I1   x2  x  dx x  3x  x b) I   x2  dx  x  1  x  3 c) I   x2  x  1 dx Lời giải a) Phân tích: x2  x  x2  x  x2  x    x( x  1)( x  2) x  3x  x x x  3x   Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…  CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x2  x  A B C Sử dụng đồng thức:    x( x  1)( x  2) x x  x  x  x2  x  A( x  1)( x  2)  Bx( x  2)  Cx( x  1)  x x( x  1)( x  2) x( x  1)( x  2)   x2  x   A( x  1)( x  2)  Bx( x  2)  Cx( x  1) x (*) Thay x  vào (*), ta được:  A  A  Thay x  vào (*), ta được:  B  B  4 Thay x  vào (*), ta được:   2C  C  Lúc đó: I1   b) Phân tích: x2  x   4  dx      dx  ln x  ln x   3ln x   C x  3x  x  x x 1 x   x2   x  1  x  3   A B C   x  ( x  1) x  x2   x  1  x      x  A( x  1)( x  3)  B( x  3)  C( x  1)2  x  1  x    x  x   A( x  1)( x  3)  B( x  3)  C( x  1)2 x  (*) Thay x  vào (*) ta được:  B  B  Thay x  3 vào (*) ta được: 10  16C  C  Thay x  vào (*) ta được:  3 A  3B  C  A  3B  C     1  dx     dx  ln x    ln x   C Lúc đó: I   2   x 1  x  ( x  1) x    x  1  x     x2  c) Phân tích: x2  x  1  A B C D E     x  ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)5 Sử dụng phương pháp đồng thức Bài tập tƣơng tự: Xác định nguyên hàm sau: 1)  4x2  9dx 2) 2x   x2  5x  4dx 3) 2x3  x  x2  3x  2dx 4) 2x    x   3x  1dx 5) x2  x    x  1 x   x  dx 6)  x  x  dx Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… x2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] x3  x 7)  dx x  6x  10)  8) x3  2x x  1 dx  11)   x2  x  NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 5x3  17 x2  18 x  9)  dx  x  1  x   dx x2  dx 12)  x  1  x  3 Nhóm kỹ năng: x5   x4  8x2  16dx NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN I   f ( x) DẠNG 1: sin x cosx dx , f ( x) : đa thức   du  f / ( x)dx u  f ( x) Phương pháp: Đặt  dv  sinxdx chän: v   sin xdx   Ví dụ 1: Xác định: a)   x  1 sin 2xdx b) x   x cos xdx Lời giải u  x   du  dx  a) Đặt  cos x sin xdx  dv  chän v     Ta có:   x  1 sin 2xdx    x  1 cos 2x    x  1 cos 2x  sin 2x  C cos x dx   2  u  x  x  du   x  1 dx Đặt  Ta có:  cos xdx  dv  chän v  sin x Xét  x     x cos xdx  x2  x sin x    2x  1 sin xdx u  x   du  2dx   2x  1 sin xdx Đặt sin xdx  dv  chän v   cos x   2x  1 sin xdx    2x  1 cos x   cos xdx    2x  1 cos x  sin x  C Vậy   x  x  cos xdx   x  x  sin x   2x  1 cos x  sin x  C ' Ta có: 2 I   f ( x).e x dx , f ( x) : đa thức DẠNG 2: u  f ( x)  du  f / ( x)dx  Phương pháp: Đặt  dv  e x dx chän: v   e x dx   Ví dụ 2: Xác định: a)   x  1 e 2x dx Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… b) x   x e x dx CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Lời giải u  x   du  dx  a) Đặt  x e x Ta có: e d x  d v  chän v    2x   x  1 e dx   u  x  x  du   x   dx b) Đặt  x Ta có: x  e dx  dv  chän v  e Xét  x  x  1 e  2x     x  1 e e2x dx  2 2x  e2x  C  4x e x dx  x2  4x e x    2x   e x dx  u  x   du  2dx x x   chän v e    2x   e dx Đặt e dx  dv x   2x   e dx   2x   e   2e dx   2x   e  2e Vậy   x  4x  e dx   x  4x  e   2x   e  2e  C ' x Ta có: x x x x x I   f ( x) DẠNG 3: x x  C x ln x dx , f ( x) : đa thức log a x   du  dx u  ln x x Phương pháp: Đặt  dv  f ( x)dx chän: v  f ( x)dx   Ví dụ 3: Xác định: a)    2x  1 ln xdx  b)  x ln x2  x dx Lời giải  u  ln x  du  dx a) Đặt  x  x  1 dx  dv  chän v  x  x  Ta có:   2x  1 ln xdx   x     x ln x    x  1 dx  x  x ln x  x2  x C  2x  u  ln x  x  du  x  x dx a) Đặt   xdx  dv  chän v  x    x2 x  x  1 Ta có:  x ln x  x dx  ln x  x   dx 2 x2  x     x2   x2 x2 x 2  ln x  x    x   dx  ln x  x    ln x   C 2  x   2 2   Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…   10 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG A F  x   x B F  x    cot x  C F  x    cot x D F  x   sin x  Câu 19 Nguyên hàm hàm số f  x   A cot x  C   2  1 khoảng  0;   sin x C  B  cot x  C cos x  C sin x D cos x  C sin x Câu 20 Mỗi khẳng định sau hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)? Các cặp hàm số sau nguyên hàm hàm số: Đúng Sai x2  2x  x2  2x  G  x   a) F  x   2x  2x  b) F  x    sin2 x G  x    cos x c) F  x    x   G  x   x2  10x  d) F  x   G  x    tan2 x  cos x Câu 21 Hàm số F  x   ln x nguyên hàm hàm số sau  0;   ? A x B  x C Câu 22 Nguyên hàm F  x  hàm số f  x   A F  x    ln  x  ln x  C F  x   ln  x  ln x   C x A F  x   x2  B F  x    ln  x  ln x  C x D F  x    ln  x  ln x  C x  3x  1  x  1 2 Lúc đó, F  x  B F  x   1   C 3x  x  Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… D  2   hàm số sau đây?  2x x x C x Câu 23 Hàm số F  x  thỏa mãn F '  x   x2 27   C x  3x  CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] C F  x   NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG D F  x   1   C x  3x  1 C  x  3x  Câu 24 Hàm số F  x  biết F '  x   3x2  2x  đồ thị y  F  x  cắt trục tung điểm có tung độ 2017 A F  x   x2  x  2017 B F  x   cos 2x  2016 C F  x   x3  x2  x  2017 D F  x   x3  x2  x  2016 Câu 25 Nguyên hàm hàm số f ( x)  sin 4x 1 A  f ( x)dx   cos 4x  C B  f ( x)dx  cos 4x  C C  f ( x)dx  cos 4x  C D  f (x)dx   cos 4x  C   Câu 26 Nguyên hàm hàm số f ( x)  cos  x   4    A  f ( x)dx  sin  2x    C C  f ( x)dx   sin  2x    C     B  f ( x)dx  sin  2x    C D  f ( x)dx  sin  2x    C   Câu 27 Hàm số F  x   e x nguyên hàm hàm số A f  x   e x B f  x   3x2 e x 3 ex C f  x   3x D f  x   x3 e x  Câu 28 Nguyên hàm hàm số f ( x)   tan x A  f  x  dx  tan  C B  f  x  dx  tan  C C  f  x  dx  tan  C D  f  x  dx  6 tan  C x Câu 29 Biết A x x x  f  v  du  F  v   C Khẳng định sau đúng?  f  4x  3 dx  4F  x    C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… B 28  f  4x  3 dx  F  4x  3  C CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] C NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  f  4x  3 dx  F  4x  3  C Câu 30 Hàm số F  x  , thỏa mãn điều kiện F '  x   x  x  C x2 B F  x   x2  5ln x  C x2  5ln x  C D F  x   x2  5ln x A F  x    C F  x    f  4x  3 dx  4F  4x  3  C D Câu 31 Nguyên hàm hàm số f ( x)    sin  x   6    A  f ( x)dx   cot  x    C C  f ( x)dx  cot  x    C     B  f ( x)dx   cot  x    C D  f ( x)dx  cot  x    C   Câu 32 Biết nguyên hàm hàm số f  x   sin 4x hàm số F  x  thỏa mãn F    Khi F  x  hàm số sau đây? A F  x    C F  x   B F  x    cos x 2 cos x 2 D F  x   cos 4x  cos x 2 Câu 33 Nguyên hàm hàm số f ( x)  sin2 x  cos2 x A  f ( x)dx  sin 2x  C B  f ( x)dx   C  f (x)dx  sin 2x  C D  f ( x)dx  sin x C sin x C Câu 34 Nguyên hàm hàm số f ( x)  2sin x cos 3x A  f ( x)dx  cos x cos x   C B  f ( x)dx   cos x cos x  C C  f ( x)dx  cos x cos x  C D  f ( x)dx   cos x cos x  C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 29 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 35 Nguyên hàm hàm số f ( x)  4sin 2x cos x A  f ( x)dx   C  f ( x)dx  cos 3x  cos x  C cos 3x  cos x  C B  f ( x)dx   D  f ( x)dx  cos 3x  cos x  C cos 3x  cos x  C Câu 36 Nguyên hàm hàm số f ( x)  2sin 3x sin x A  f ( x)dx   C  f ( x)dx  sin x sin x   C sin x sin x   C 2 B  f ( x)dx   D  f ( x)dx  sin x sin x   C sin x sin x   C Câu 37 Nguyên hàm hàm số f ( x)  cos 3x cos 2x A  f ( x)dx   C  f ( x)dx  sin 5x  sin x  C sin 5x  sin x  C sin 5x  sin x  C B  f ( x)dx  D  f ( x)dx   sin 5x  sin x  C Câu 38 Nguyên hàm hàm số f ( x)  sin4 x  cos4 x sin x C 16 B  f ( x)dx   x  sin x C 16 D  f ( x)dx   x  A  f ( x)dx  x  C  f ( x)dx  x  sin x C 16 sin x C 16 Câu 39 Nguyên hàm hàm số f ( x)  sin6 x  cos6 x 3sin x C B  f ( x)dx  x  3sin x C 32 D  f ( x)dx  x  A  f ( x)dx  x  C  f ( x)dx  x  3sin x C 32 3sin x C Câu 40 Nguyên hàm hàm số f ( x)  sin4 x  cos4 x  sin6 x  cos6 x sin x C 16 A  f ( x)dx   C  f ( x)dx  x  sin x C 16 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 30 sin x C 16 sin x C 16 B  f ( x)dx  x  D  f ( x)dx  x  CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG   Câu 41 Giá trị m để hàm số F  x   4mx3  2x2  m2  x  nguyên hàm hàm số f  x   12x2  4x  x A m  1 B m  C m  D m  Câu 42 Nguyên hàm hàm số f ( x)  sin3 x.cos x A C  f ( x)dx  sin x C B  f ( x)dx  sin x C D  f ( x)dx   sin x C  f ( x)dx   sin x C Câu 43 Nguyên hàm hàm số f ( x)  e x  e  x  f  x  dx  e  e  C C  f  x  dx  e  e  C Cho hàm số f  x   xe Giá trị A Câu 44 x x x x x  f  x  dx  e  e  C D  f  x  dx  e  e  C F  x    ax  b  e nguyên hàm hàm x x B x x a, b để x số f  x  A a  1; b  B a  1; b  C a  1; b  1 D a  1; b  1 Câu 45 Nguyên hàm hàm số f ( x)  x.5 x A C x  2 f  x  dx    C   ln  ln  2 f  x  dx    C   ln  ln B x D x  5 f  x  dx    C   ln  ln  2 f  x  dx    C   ln  ln x   Câu 46 Cho hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện f '  x    cos x f    2 Khẳng 2 định sau sai? A f  x   x  sin x   B f  x   2x  sin x   C f       D f      2   Câu 47 Nguyên hàm hàm số f ( x)  e x  e  x B F( x)  2e x  e x ln e x  C A F( x)  2e x  x  C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 31 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] C F( x)  2e x  NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG C ex D F( x)  2e x  x  C  Câu 48 Nguyên hàm hàm số f ( x)  e x  e  x A F( x)   e x  e 2 x  C B F( x)  e x  e 2 x  2x  C C F( x)  e x  e 2 x  2x  C Câu 49 Tính D F( x)  ln x  Câu 50 Tính e x e 2 x   xC 2  2x  dx ta kết A  ln 2x   C C B   2x  1  C D ln 2x   C  C   3x dx ta kết 18 A 3ln  3x  C B C 2 ln  3x  C D ln  3x  C Câu 51 Tính    3x   C 2x  dx ta kết x1 A 2x  ln x   C B 2x  ln x   C C  ln x   C D  2x  1 ln x   C Câu 52 Tính  4x  dx ta kết x 1 A 4x  ln x   C B 4x  ln x   C C 4x  3ln x   C D 4x  ln x   C Câu 53 Tính  4x  dx ta kết 2x A 4x  10 ln  x  C B 4x  10 ln  x  C C 4x  10 ln  x  C D 4x  ln  x  C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 32 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] Câu 54 Biết nguyên hàm hàm số NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG f x  Khi F  x  hàm số sau đây? hàm số F  x  thỏa mãn F    2x  A F  x   ln 2x   ln B F  x   ln 2x   ln C F  x   ln x   ln D F  x   Câu 55 Biết nguyên hàm hàm số f  x   Khi F  x  hàm số sau đây? ln x   ln 2x  hàm số F  x  thỏa mãn F  1  1 x A F  x   2x  5ln  x  B F  x   2x  5ln  x  C F  x   2x  5ln  x  D F  x   2x  5ln  x  Câu 56 Tính A x2   x  dx ta kết x2  x  ln x   C x2  x  ln x   C Câu 57 Tính  dx ta kết x 1 C B x2  x  ln x   C D x2  x  ln x   C A ln  x  1 x  1  C B x1 ln  C x 1 C x 1 ln  C x1 D ln x  ln x   C Câu 58 Tính x dx ta kết  4x  A ln  x  1 x    C B x3 ln  C x 1 C x 1 ln  C x3 D ln x  ln x   C B 2x ln  C 2x Câu 59 Tính A  4x dx ta kết ln   x   x   C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 33 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] C  ln Câu 60 Tính NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2x  C 2x D x  3x   x2  3x  dx ta kết A x  ln  x  1 x    C C x  ln Câu 61 Tính A  x B x  ln x2  C x 1 dx ta kết  2x  1  C x1 A  x x 1  C x2 D x  ln x   ln x   C B  C ln x2  x   C Câu 62 Tính ln x  ln x   C D   C x1   x  1  C x2 B   C  C x2  2x   D  2x dx ta kết  2x  A ln x    C x 1 C ln x    C x 1 B ln x   x 2 dx ta kết  4x  C 2 ln x2  4x   C Câu 63 Tính  x2  x   x2  4x    C 2  C x 1 D ln x    C x 1 2x2  4x   x2  2x  dx ta kết A x   C x 1 C x   C x 1 dx ta kết Câu 65 Tính   2x  1 Câu 64 Tính A   x  1  C x 1 D x   C x 1 B   C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… B  34  2x  1  C CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] C  2x  1 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  C D Câu 66 Biết nguyên hàm hàm số f  x   Khi F  x  hàm số sau đây?  x  1  C x2  x hàm số F  x  thỏa mãn F    1 x A F  x   x2  6x  ln  x B F  x   x2  6x  ln  x  17 C F  x   x2  6x  ln  x  17 D F  x   x2  6x  ln  x  17 Câu 67 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f  x   A F  x   x2  x  x1 B F  x   x2  x  x1 C F  x   x  3x  x1 D F  x   x2  x1 x2  x  x  1 ? Câu 68 Hàm số F  x   e x  tan x nguyên hàm hàm số sau đây?  ex  A f  x   e x    cos2 x   B f  x   e x  C f  x   e x  tan2 x    D f  x    e x   cos2 x   Câu 69 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   B 2ln  A ln cos x f    f  1 có giá trị 2x  C 2ln  D 2ln  Câu 70 Nguyên hàm hàm số f ( x)  e x2 x 1 C B  f  x  dx  e x2 C D  f  x  dx  e x 1  C 4x   C A  f  x  dx  e C  f  x  dx  e 1 Câu 71 Nguyên hàm hàm số f ( x)  4x  x 1 A  f  x  dx  4x   C B  f  x  dx  C  f  x  dx  4x  C D  f  x  dx  4 Câu 72 Hàm số f  x  thỏa mãn f '  x   Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… C cos x   sin x  35 4x   C CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] A f  x   C f  x   sin x   cos x  NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG B f  x    C D f  x     C  cos x Câu 73 Nguyên hàm hàm số f ( x)   f  x  dx   C  f  x  dx  2x  C  sin x  f  x  dx  2 D  f  x  dx  3 2 x C A sin x  C  sin x B  x C  x C  x C   Câu 74 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   sin 2x  cos x f    f   có 2 giá trị A B C D Câu 75 Nguyên hàm hàm số f ( x)  2x  A  f  x  dx   2x  5 C  f  x  dx   1 2x   C 2x   C B  f  x  dx   2x  5 D  f  x  dx  B  f  x  dx     3x  D  f  x  dx   2x   C 2x   C Câu 76 Nguyên hàm hàm số f ( x)   3x A  f  x  dx    3x  C  f  x  dx     3x  2  3x  3x  C Câu 77 Nguyên hàm F  x  hàm số f  x   2  3x  3x  C 2x  biết F    1, ex x x  ln  A F  x   x e  ln  1 2 B F  x     e x  ln C F  x   x e  ln  1    1 D F  x        ln   e   e   ln x x Câu 78 Nguyên hàm hàm số f ( x)  x  A C  f  x  dx   x  3  f  x  dx  x3 C B x  3 x   Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… D 36  f  x  dx    x  3  f  x  dx  x3 C  x    C CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 79 Nguyên hàm hàm số f ( x)   3x A  f  x  dx   1  3x   3x  C B  f  x  dx   1  3x  3  3x  C  3 C D f x d x    x  x  x  C         Câu 80 Cho hàm số y  f  x   Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  đồ thị sin 2 x f  x  dx  C   y  F  x  qua điểm A  ;  F  x   12  A F  x    C F  x   cot x  B F  x    cot x  cot x  D F  x   cot x  Câu 81 Nguyên hàm hàm số f  x   e 3x A C   f  x  dx  e3x  C B x2 2e f  x  dx   C 3x  Câu 82 Hàm số F  x    x  1 D  e3x  C e3x f  x  dx   C x   2016 nguyên hàm hàm số sau đây? A f  x    x  1 x   C B f  x   C f  x    x  1 x  D f  x    x  1 x   C Câu 83 Biết nguyên hàm hàm số F  1   f  x  dx  f  x   x  1 x   C 1  3x  hàm số F  x  thỏa mãn Khi F  x  hàm số sau đây? A F  x   x   3x  3 B F  x   x  C F  x   x   3x  D F  x     3x  3  3x a Câu 84 Biết F( x)   x nguyên hàm hàm số f ( x)  Khi giá trị a 1 x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 37 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] A 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG B C D Câu 85 Tính F( x)   x sin xdx ta kết A F( x)  x sin x  cos x  C B F( x)  sin x  x cos x  C C F( x)  sin x  x cos x  C D F( x)  x sin x  cos x  C Câu 86 Giả sử F  x  nguyên hàm hàm số f  x   3x2  2x Biết đồ thị hàm số F  x  f  x  cắt điểm trục tung Lúc đó, tọa độ giao điểm hai đồ thị f  x  F  x   A  0;   D 1   B  2;14  10 ;  0;     ; 1   C  2;14  10 ;  2;14  10 ;  0;  Câu 87 Tính 2;   x ln  2;  2 ;  0;  xdx ta kết   B x ln x  ln x   C   D x ln x  ln x   C A x ln x  ln x   C C x ln x  ln x   C     Câu 88 Giả sử F  x  nguyên hàm hàm số f  x   2x  Biết đồ thị hàm số F  x  f  x  cắt điểm trục tung Lúc đó, tọa độ giao điểm hai đồ thị f  x  F  x  B  3;  A  0; 1 C  0; 1  3;  D  0; 1  3;  Câu 89 Tính F( x)   x sin x cos xdx ta kết x A F( x)  cos x  sin x  C x B F( x)  sin x  cos x  C x C F( x)  sin x  cos x  C D F( x)  1 x sin x  cos x  C x Câu 90 Tính F( x)   xe dx ta kết x x A F( x)   x   e  C B F( x)   x   e  C x  x3 C F( x)  e  C x  x3 D F( x)  e  C Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 38 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] Câu 91 Tính F( x)   NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x dx ta kết cos2 x A F( x)  x tan x  ln cos x  C B F( x)  x cot x  ln cos x  C C F( x)  x tan x  ln cos x  C D F( x)  x cot x  ln cos x  C Câu 92 Tính F( x)   x2 cos xdx ta kết   A F( x)  x2  sin x  2x cos x  C B F( x)  2x2 sin x  x cos x  sin x  C C F( x)  x2 sin x  2x cos x  sin x  C D F( x)  2x  x2 cos x  x sin x  C   Câu 93 Tính F( x)   x sin 2xdx ta kết A F( x)  x cos x sin x  C B F( x)  x cos x sin x  C x cos x sin 2x x cos x sin x D F( x)    C  C 4 Câu 94 Hàm số F( x)  x sin x  cos x  2017 nguyên hàm hàm số nào? C F( x)   A f ( x)  x cos x B f ( x)  x sin x C f ( x)  x cos x D f ( x)  x sin x Câu 95 Tính A   ln x dx ta kết x2  ln x   C x C  B  x1 1  ln( x  1)  ln| x|C x Câu 96 Để xác định x 23  ln( x  1) x  ln  C x x1 D   ln( x  1)  ln x   ln x  C x  x3 dx theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ A t   x3 B t   x3 C t  x2 D t  x2  x3 ln x Câu 97 Để tính  dx theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ x A t  x Câu 98 Kết A C t   ln x  B t  ln x  ln x  D t  x ln x  x dx 3ln x  ln x x2 B ln x  C 4x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… C 39 ln x  C D 3ln2 x  C CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] Câu 99 Để tính  xe x2 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG dx theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ 2 C t  xe x B t  e x A t  x2 D t  e x x  xe dx Câu 100 Kết ex B  C x2 A xe  C Câu 101 Để tính A t  x D x  e x  C cos dx theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ x x2 C t  cos x B t  x x Câu 102 Kết D t  1 cos x x cos dx x A sin  C x C  C e x  C B  sin  C x 1 D   sin  C x x 1 sin  cos  C x x x x Câu 103 Để tính  sin x cos5 xdx theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ A t  cos x B t  sin x C t  cos5 x D t  sin x cos x Câu 104 Kết  sin x cos5 xdx A 5cos4 x  C B  C 5cos4 x sin x  C D cos6 x  C cos6 x  C Câu 105 Kết  x x2  1dx  x2  A  x     C x        x B  x     C 2 x      2 x  x   C D x   C 3 cos x  sin x Câu 106 Để tính  dx theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số cos x  sin x C phụ A t  cos x  sin x B t  sin x  cos x C t  cos x  sin x D t  cos x  sin x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 40 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]  Câu 107 Kết cos x  sin x cos x  sin x NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG dx A 2 cos x  sin x  C B cos x  sin x  C C sin x  cos x  C D sin x  cos x  C Câu 108 Để tính  xe x dx theo phương pháp tính nguyên hàm phần, để tối ưu ta nên đặt A u  e x , dv  xdx B u  x, dv  e x dx C u  xe x , dv  dx D u  e x , dv  dx Câu 109 Kết  xe x dx A e x  xe x  C B x2 x e  C C xe x  e x  C D x2 x x e  e  C Câu 110 Để tính x cos xdx theo phương pháp tính nguyên hàm phần, để tối ưu ta nên đặt A u  x, dv  x cos xdx B u  x2 , dv  cos xdx C u  cos x, dv  x2 dx D u  x2 cos x, dv  dx Câu 111 Kết x cos xdx A 2x cos x  x2 sin x  C B 2x cos x  x2 sin x  C C x2 sin x  x cos x  sin x  C D x2 sin x  2x cos x  2sin x  C Câu 112 Để tính  x ln   x  dx theo phương pháp tính nguyên hàm phần, để tối ưu ta nên đặt A u  x , dv  ln   x  dx B u  ln   x  , dv  xdx C u  x ln   x  , dv  dx D u  ln   x  , dv  dx Câu 113 Kết A C  x ln   x  dx x2 x2 ln   x   ln   x    x  C B ln   x   x  C 2x x2 x2 x2 ln   x   ln   x    x  C D ln   x    x  C 4 HẾT Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 41 CLB Giáo viên trẻ TP Huế [...]... đúng một nguyên hàm trên D C f  x  có hai nguyên hàm trên D D f  x  có vô số nguyên hàm trên D Hàm số f  x   x  4 5 A  ;   có nguyên hàm trên: B  0;   C  ; 0  D 0;   Câu 10 Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số  x  3  ? 4 A C  x  3 5 5  x  3 5  x B 5  2016 D  x  3 5 5  x  3 5 5  1 Câu 11 Cho hàm số f  x  xác định trên K Hàm số F ... viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 16 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] Câu 5 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A sin 2x và cos2 x B cos 2x và sin 2 x C e 2 x và 2e 2 x D tan 2x và 2 cos 2 2x Lời giải Vì  tan 2 x  '  Câu 6 2 nên phương án D đúng  Chọn đáp án D cos2 2 x Nguyên hàm F  x  của hàm. .. là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu với mọi x  K , ta có: A F '  x   f  x   C B F '  x   f  x  C f '  x   F  x  D f '  x   F  x   C Câu 12 Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A sin 2x và cos2 x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… B sin 2x và sin 2 x 25 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM... Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 32 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] Câu 54 Biết một nguyên hàm của hàm số NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG f x  Khi đó F  x  là hàm số nào sau đây? 2 là hàm số F  x  thỏa mãn F  2   0 2x  1 A F  x   ln 2x  1  ln 3 B F  x   ln 2x  1  ln 3 C F  x   2 ln 2 x  1  ln 3 D F  x   Câu 55 Biết một nguyên hàm của hàm số f... 7 Hàm số f  x  có nguyên hàm trên K nếu: A f  x  xác định trên K B C f  x  có giá trị nhỏ nhất trên K D f  x  liên tục trên K Hàm số f  x   Câu 9 f  x  có giá trị lớn nhất trên K 1 có nguyên hàm trên: cos x    B   ;   2 2 A  0;   Câu 8 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG    D   ;   2 2 C  ; 2  Nếu f  x  liên tục trên khoảng D thì: A f  x  không có nguyên hàm. .. 13 Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? A sin 2x và cos2 x B cos 2x và sin 2 x C e 2 x và 2e 2 x D tan 2x và 2 cos 2 x Câu 14 Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau? A F  x   3x2  3x  C C F  x   x4 x2   2x  C 4 2 B F  x   x4  3x 2  2 x  C 3 D F  x   x 4 3x 2   2x  C 4 2 Câu 15 Hàm số... Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG   Câu 41 Giá trị m để hàm số F  x   4mx3  2x2  m2  2 x  1 là một nguyên hàm của hàm số f  x   12x2  4x  x là A m  1 B m  0 C m  1 D m  2 Câu 42 Nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin3 x.cos x là A C  f ( x)dx  sin 4 x C 4 B  f ( x)dx  sin 2 x C 2 D  f ( x)dx   sin 4 x C 4  f ( x)dx   sin 5 x C 5 Câu 43 Nguyên hàm của hàm số...  1 2 dx   4) Xác định các nguyên hàm sau: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 11 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG   I7   e 2 x sin 2 xdx I8   sin x ln  cos x  dx I 9   ln x2  x dx I10    x  cos x  sin xdx I11   x sin x cos2 xdx I12   ( x ln x)2 dx Nhóm kỹ năng: ĐỔI BIẾN a) A   tan xdx Ví dụ 1: Xác định b) B   cot... 3 D F  x   x3 2 2  x  2x  C 3 3 Câu 18 Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x      1 biết F    là 2 sin x 2 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 26 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG A F  x   x B F  x    cot x  C F  x    cot x D F  x   sin x  Câu 19 Nguyên hàm của hàm số f  x   A cot x  C   2 2  1 1 trên...  Chọn đáp án C Câu 3 Hàm số f  x   1 có nguyên hàm trên: cos x    B   ;   2 2 A  0;      D   ;   2 2 C  ; 2  Lời giải Ta có: Vì f  x   1 xác định và liên tục trên khoảng cos x      2 ; 2  nên hàm số có nguyên      hàm trên   ;   Chọn đáp án B  2 2 Câu 4 Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số  x  3  ? 4 A  x  3 5 5  x B  ... , B1 , , Bn Cuối việc tìm nguyên hàm phân thức hữu tỉ đưa nguyên hàm đa thức phân thức hữu tỉ đơn giản LUYỆN TẬP: Ví dụ 1: Xác định nguyên hàm sau: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giáo... khoảng D thì: A f  x  nguyên hàm D B f  x  có nguyên hàm D C f  x  có hai nguyên hàm D D f  x  có vô số nguyên hàm D Hàm số f  x   x  A  ;   có nguyên hàm trên: B  0;   ...   Câu 10 Hàm số sau nguyên hàm hàm số  x   ? A C  x  3 5  x  3  x B  2016 D  x  3  x  3 5  Câu 11 Cho hàm số f  x  xác định K Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x