Các phương pháp xác định nguyên hàm

Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp... Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC... Bài tập tương tự: Xác định các nguyên hàm sau:... Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một

I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT:

1 Nguyên hàm

a Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm 

số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số   f x trên   K nếu F x'    f x với mọi x K

b Định lí:

1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số 

   

G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên   K

2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên K thì mọi nguyên hàm của   f x 

trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số.

Do đó F x C C,  là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K  

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K  

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu f u du F u    C và u u x   là hàm số có đạo hàm liên tục thì

II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:

Nhóm kỹ năng: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN

a)  2 sin 4x3cos 5x1dx b)  4 sin 22 x6 cos2x xd

c) 2 sin 34 x xd d)  sin 24 xcos 24 x xd

b) Ta có:  4 sin 22 x6 cos2x xd 2 1 cos 4  x 3 1 cos 2 xdx 3cos 2x2 cos 4x5dx

a) 2 sin 3 cos 2x x xd b) 6 sin 4 sin 2x x xd

c) cos 5 cos 2x x xd d) 8 sin 3 cos 2 sin 6x x x xd

Vậy 8sin 3 cos 2 sin 6x x x xd  2cosx2cos 5x2cos7x2cos11x xd

2 sin 5 2 sin 7 2 sin11



 

7)  3sin 2x2 cos7x1dx 8)  2 sin 22 x4 cos 42 x xd

9) 6 sin 24 x xd 10)  sin4xcos4x xd

11) 8 sin 3 cos 6x x xd 12) 10 sin 2 sin 8x x xd

13) 4 cos 5 cos 3x x xd 14) 16 sin 2 cos 3 sin 6x x x xd

Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC

4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)

Thay x0 vào (*), ta được: 4 2 A A 2

Thay x1 vào (*), ta được: 4    B B 4

Thay x2 vào (*), ta được:  6 2C C 3

Sử dụng phương pháp đồng nhất thức như trên

Bài tập tương tự: Xác định các nguyên hàm sau:

Ta có:  2x1 sin x xd  2x1 cos x2cosx xd  2x1 cos x2sinx C

Vậy  x2 xcosx xd x2xsinx2x1 cos x2 sinx C '

.2

x x

2 1ln

2

x

x x x

2

2 11

x

I xe x I2 x e x2 xd I3  x12e2xdx

d4

ln x x I

1ln

Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm của hàm số f x trong các trường hợp sau: 

a) f x e1 cos xsin x b) f x sin3xcos5x

Lời giải

a) I f x x d e1 cos xsinx xd

Đặt t 1 cosxdt sinx xd Khi đó: I e t td     e t C e1 cos xC

b) I f x x d sin3xcos5x xd sinx1 cos 2xcos5x xd

b) 1 d

.1

x t

t



        a)

sin cos

.sin cos

Nhận xét: So với phép đổi biến t 1 sin2x thì cách dùng vi phân tỏ ra khoa học hơn

b) Ta có:  sin  d sin d 2 d sin d  1 cos 2 d

x

x

e x I

x x

e

e x

e e

x x I

e





4) I  esinx.cosxtanx xd 5) sin d

cos2 sin2

24

IV – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:

Câu 1 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu F x  là một nguyên hàm của f x  trên  a b; và C là hằng số thì

 d  

f x x F x C

B Mọi hàm số liên tục trên  a b; đều có nguyên hàm trên  a b;

C F x  là họ nguyên hàm của f x  trên   /     

x

C  5

32016

5

x

31

Câu 5 Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A sin 2x và cos2x B cos 2x và sin2x

f x x x x C

2 1 2 13

f x x x x C

2 13

f x x  x C

2 12

Câu 12 Biết một nguyên hàm của hàm số f x 2 sin 4x là hàm số F x  thỏa mãn   3

02

Khi đó F x  là hàm số nào sau đây?

A   cos 4

24

x

F x    B   cos 4

22

x

C   cos 4

22

2 C 2 C

     Vậy   cos 4

22

x C

4ln

.4

x C

Câu 18 Tính F x( )xsinx xd ta được kết quả

A F x( )xsinxcosx C B F x( ) sin x x cosx C

C F x( ) sin x x cosx C D F x( )xsinxcosx C

Lời giải

Đặt u x ,dvsinx xd dudx v,  cosx

Ta có: F x( ) xcosxcosx xd  xcosxsinx C  Chọn đáp án B.

Câu 19 Kết quả của xln 2 x xd là

f x x  x  x C

2 3 2 34

f x x   x  x C

C  d  

2 3

2 3

f x x   x  C

2 3 2 34

f x x   x  x C

Lời giải

Ta có:  f x x d 32 3 x xd

Câu 24 Nguyên hàm của hàm số ( ) 1

A.f x x e( )d  cosx sinx C B. f x x( )d ecosxsinx C

C. f x x( )d ecosxsinx C D. f x x e( )d  cosxsinx C

V – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:

Câu 1 Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?

Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:

Câu 2 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu F x  là một nguyên hàm của f x  trên  a b; và C là hằng số thì

 d  

f x x F x C

B Mọi hàm số liên tục trên  a b; đều có nguyên hàm trên  a b;

C F x  là một nguyên hàm của f x  trên  a b; F x/    f x ,  x  a b;

Câu 6 Hàm số f x  có nguyên hàm trên K nếu:

A f x  xác định trên K B f x  có giá trị lớn nhất trên K

C f x  có giá trị nhỏ nhất trên K D f x  liên tục trên K

Câu 8 Nếu f x  liên tục trên khoảng D thì:

A f x  không có nguyên hàm trên D B f x  có đúng một nguyên hàm trên D

C f x  có hai nguyên hàm trên D D f x  có vô số nguyên hàm trên D

x

C  5

32016

5

x

31

3 2

x

F x   x  x C B   3

235ln

3 2

x

F x   x  x C D   3

222

  D 2 cos2

sin

x C

x 

Câu 20 Mỗi khẳng định sau đúng hay sai (đánh dấu X vào ô thích hợp)?

Các cặp hàm số sau đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:

x

1

F x   x C

5ln 2

x

5ln 2

Khi đó F x  là hàm số nào sau đây?

A   cos 4

24

x

F x    B   cos 4

22

x

C   cos 4

22

Câu 35 Nguyên hàm của hàm số f x( ) 4sin 2 cos x x là

Câu 41 Giá trị m để hàm số F x 4mx32x2m22x1 là một nguyên hàm của hàm số

Câu 54 Biết một nguyên hàm của hàm số   2

A F x   2x 5ln 1 x 8 B F x   2x 5ln 1 x 8

C F x 2x5ln 1 x 8 D F x 2x5ln 1 x 8

Câu 56 Tính d

2 11

x

x x







C 1ln 2

4 2

x C x

f x x  x C

2 52

f x x  x  x

4 3 4 33

f x x   x  x

4 3 4 39

f x x   x  x C

4 33

f x x x x C

3 34

2

f x x x  C

Câu 79 Nguyên hàm của hàm số f x( ) 31 3 x là

1 3 1 34

f x x   x  x C

1 3 1 34

f x x   x  x C

1 3 1 34

f x x  x  x C

2 3

.2

x e

3 2

x e

.3

x e

A 3 B 3 C 6 D 1

6

Câu 85 Tính F x( )xsinx xd ta được kết quả

A F x( )xsinxcosx C B F x( ) sin x x cosx C

C F x( ) sin x x cosx C D F x( )xsinxcosx C

Câu 86 Giả sử F x  là nguyên hàm của hàm số   2

F x   e C

x x

F x   e C

A F x( ) xtanxln cosx C B F x( ) xcotxln cosx C

C F x( )xtanxln cosx C D F x( ) xcotxln cosx C

Câu 92 Tính F x( )x2cosx xd ta được kết quả

A F x( )x22 sin x2 cosx x C B F x( ) 2 x2sinx x cosxsinx C

C F x( )x2sinx2 cosx x2sinx C D F x( )2x x 2cosx x sinx C

Câu 93 Tính F x( )xsin 2x xd ta được kết quả

 theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ

x t

.4

x C

4ln

.4

x C

 D 3ln2x C

Câu 99 Để tính xe x2dx theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ

Câu 100 Kết quả của xe x2dx là

2.2

x e C

Câu 101 Để tính 12 1d

cos x x x

C tcos5x D tsin cos x x

Câu 104 Kết quả của sin cosx 5x xd là

6cos

.6

x C

6cos

.6

x C



Câu 105 Kết quả của 2x x21dx là

A

2 2

Câu 107 Kết quả của cos sin d

A 2 cosxsinx C B 2 cosxsinx C

Câu 108 Để tính xe xdx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu ta nên đặt

x x

e C

2

.2

x x x

Câu 111 Kết quả của x2cosx xd là

A 2 cosx x x 2sinx C B 2 cosx x x 2sinx C

C x2sinx x cosxsinx C D x2sinx2 cosx x2sinx C

Câu 112 Để tính xln 2 x xd theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, để tối ưu tanên đặt