Các phương pháp xác định nguyên hàm - Lê Bá Bảo

Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?. A..[r]

I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT: 1 Nguyên hàm

a Định nghĩa: Cho hàm số f x  xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x  gọi nguyên hàm hàm số f x  K F x'    f x với x K b Định lí:

1) Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K với số C, hàm số    

G x F x C nguyên hàm f x  K

2) Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K nguyên hàm f x  K có dạng F x C, với C số

Do F x C C,  họ tất nguyên hàm f x  K Ký hiệu  f x x F x d   C

2 Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1: f x x d   f x  f x x' d  f x C Tính chất 2: kf x x k f x x d    d với k số khác Tính chất 3: f x   g x dx f x x d g x x d

Chú ý:          

     d

d d d d

d

; f x f x x

f x g x x f x x g x x x

g x g x x

   

  

    

3 Sự tồn nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x  liên tục K có nguyên hàm K 4 Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm hàm số sơ cấp

Nguyên hàm hàm số hợp u ax b a  ; 0

Nguyên hàm hàm số hợp u u x  

d x C

 0du C

dx x C

 du u C 

d 1

x x x C 



 

 

 1

  d 1   1

ax b x ax b C

a

 





   

 

  1

d 1

1

u u u C 



 

 

  1 d

1

ln

x x C

x  

 dx 1lnax b C

ax b a  

 1du lnu C

u  

 d

x x

e x e C

 eax bdx 1eax b C

a    

 e u eud  uC

d ln

x

x a

a x C

a

 



a0,a1

d ln

ax b ax b A

A x C

a A



  



a0,a1

d ln

u

u a

a u C

a

 



a0,a1 d

sinx x cosx C

 sinax b xd cosax b C a



   

 sinudu cosuC

d

cosx xsinx C

 cosax b xd sinax b C a



  

 cosu ud sinu C

d

tan cos x x x C

 21 d tan 

cos

ax b

x C

a ax b



 



 12 d tan

cos u u u C 

d

cot sin x x  x C

 21 d cot 

sin

ax b

x C

a ax b



  



 d

2

cot sin u u  u C 

II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1 Phƣơng pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu f u du F u    C u u x   hàm số có đạo hàm liên tục  

  ' d    f u x u x x F u x C 

Hệ quả: Nếu u ax b a   0 ta có f ax b x d 1F ax b  C a

   

 2 Phƣơng pháp nguyên hàm phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số u u x   v v x   có đạo hàm liên tục K    ' d     '   d

u x v x x u x v x  u x v x x

 

II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:

Nhóm kỹ năng: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN

Ví dụ 1: Xác định:

a) x1 2 2x1dx b) d

4

3

x x x

x x

  

 c) 43x34 xdx x0  Lời giải:

a) Ta có:    d   d  d

4

2 2 3 2 3

1 2 2

2 x

x x x x  x x x x  x  x x  x C

  

b) Ta có: d d

4

3

3 2

3 4 ln

4

x x x x x

x x x x x x C

x x

             

 

 

 

c) Ta có, với x0:  d d

4

1 3 4

3 4 3 12

4 3

4 5

3

x x

x x x  x  x  x   x x x x C

 

 

Ví dụ 2: Xác định:

a) 42x1dx b) ex2ex2dx. c) d

2

2

x x

x

e e

x e

  

Lời giải:

a) Ta có: d

2

2

4

2 ln x

x x C



  

 Nhận xét:

2 2

4

4 4 1

.16 2 ln 4 ln ln ln ln

x x x

x x

 

    (để phát triển đáp án vấn đề trắc nghiệm)

b) Ta có:   d  d  d

3

2 2 2 3 2

2 4 4

3 x

x x x x x x x x x x e

e e x e  e e x e  e e x e  e  C

  

c) Ta có: d  d

2

3

2

2

3

x x x x

x x x x

x

e e e e

x e e e x e C

e

        

 

Ví dụ 3: Xác định:

a) 2 sin 4x3cos 5x1dx b) 4 sin 22 x6 cos2x xd c) 2 sin 34 x xd d) sin 24 xcos 24 x xd Lời giải:

a) Ta có: 2 sin 3cos 1d cos 3sin

2

x x

b) Ta có: 4 sin 22 x6 cos2x xd 2 cos 4  x 3 cos 2 xdx3cos 2x2 cos 4x5dx 3sin sin

5

2

x x

x C

   

c) Ta có:    

2

4 cos

2 sin sin 2 cos cos

2

x

x x       x x

 

1 cos12 cos12

1 cos cos

2 4

x x

x x

  

      

 

Vậy sin 34 d cos cos12 d sin sin12

4 4 48

x x x x

x x   x  x   C

 

 

d) Ta có: sin 24 cos 24 1sin 42 1 cos cos

2 2 4

x x

x x  x     Vậy sin 24 cos 24 d cos d sin

4 4 32

x x

x x x    x x C

 

 

Ví dụ 4: Xác định:

a) 2 sin cos 2x x xd b) 6 sin sin 2x x xd c) cos cos 2x x xd d) 8 sin cos sin 6x x x xd Lời giải:

a) Ta có: sin cos d sin sin d cos cos

x x x x x x x  x C

 

b) Ta có: sin sin d cos 2 cos d 3sin sin

2

x x

x x x x x x  C

 

c) Ta có: cos cos d cos cos7 d sin sin7

2 14

x x

x x x x x x  C

 

d) Ta có: 8sin cos sin 6x x x4 sin xsin sin 6x x4sin sin 6x x4sin sin 6x x

   

2 cos 5x cos7x cosx cos11x 2cosx 2cos 5x 2cos7x 2cos11x

       

Vậy 8sin cos sin 6x x x xd 2cosx2cos 5x2cos7x2cos11x xd sin sin sin11

2 sin

5 11

x x x

x C

    

Bài tập tự luyện: Xác định nguyên hàm sau:

1) 3x1 2 2x1dx 2) d

4

2

7

x x x

x x

  

3) 43 x5 xdx x0  4) 92x1dx

5) e2x3ex2dx 6) d

2 2

x x

x

e e

x e

  

7) 3sin 2x2 cos7x1dx 8) 2 sin 22 x4 cos 42 x xd 9) 6 sin 24 x xd 10) sin4xcos4x xd 11) 8 sin cos 6x x xd 12) 10 sin sin 8x x xd 13) 4 cos cos 3x x xd 14) 16 sin cos sin 6x x x xd Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC

Nội dung:

Để tìm nguyên hàm hàm số ( ) ( ) P x

Q x , ( ),P x Q x( ) đa thức, ta thực sau:

- Nếu bậc P x( ) không nhỏ bậc Q x( ), ta tách phần nguyên ra, tức biểu biễn: ( ) ( ) 1( )

( ) ( )

P x P x

M x

Q x  Q x , M x( ) đa thức, 1( )

( ) P x

Q x phân thức có bậc

1( )

P x nhỏ bậc ( )Q x

- Nếu bậc tử nhỏ bậc mẩu, ta phân tích mẫu thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai có biệt số âm:

2

( ) ( ) (m )n

Q x  x a x px q  p  q

- Phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản:

         

     

1

2

1 2

1

2

( )

m n

m

n n

n n

A

A A

P x

m x a

x a

x a x px q x a

B x C B x C B x C

x px q x px q x px q 

    

 



   



 

  

 

   

-Đồng hai vế để tìm hệ số A A1, 2, ,A Bm, 1, , Bn

Cuối việc tìm nguyên hàm phân thức hữu tỉ đưa nguyên hàm đa thức phân thức hữu tỉ đơn giản

LUYỆN TẬP:

a) d b) d

1

3

4

x x x

I x I x

x x

  

 

 

 

Lời giải

a) Ta có: 1 1d 3( 4) 13d 3d 13 d 13ln

4 4

x x

I x x x x x x C

x x x

  

       

  

   

b) Biểu diễn:

4 4 2 47 1 1

2 12 24 24

x x x x x

x x

 

    

 

Lúc đó:

d d

4

2

4 31 63 31 63

ln

2 16 16 12 16 16 32

x x x x x x x x x

I x x x C

x x

 

 

              

   

 

Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm sau:

a) 1 d b) 2 d c) 3 d

2 2

3 1

4

I x I x I x

x x x x x

  

    

  

Lời giải a) Ta có:

d d d d

1

3 ( 2) ( 2) 1

3 ln

( 2)( 2) ( 2)( 2) 2

4

x x x

I x x x x C

x x x x x x x

x

     

        

      

  

   

b) Tương tự:

d d d d

2

1 ( 2) ( 3) 1

ln

( 2)( 3) ( 2)( 3) 2

5

x x x

I x x x x C

x x x x x x x

x x

     

        

      

   

   

c) Phân tích:

 

2

1

1

2

2

2

x x

x x



 

   

 

 

Hướng 1:

 

 

 

d d d

3

1

1

1

1

2

2 1

2

x x

I x x x

x x

x x x x

    

  

 

 

  

 

   

     

     

     

  

d

1 1 2

ln ln

1

1

2

x x

x C C

x x

x x

 

   

       

 

   

 

 



Hướng 2: 3 2 d  1 d (2 1) 2( 1)d

1 1

2

x x

I x x x

x x x x

x x

  

  

   

 

d

1

ln ln ln

1 2

x

x x x C C

x x x

  

          

  

 



Nhận xét:Hướng giải tốt gọn gàng hơn. Ví dụ 3: Xác định nguyên hàm sau:

a) d b d c) d

2

2 2

2

)

5

x x x x x

x x x

x x x x x x

  

     

  

Lời giải a) Phân tích:

  

2

2

1

1

5

x x A B

x x

x x

x x

    

 

 

 

 2  ( 4) ( 1) (*)

1 4

x A x B x

x x x x

   

 

   

Cách 1: (*)  2       

1 4

A B x A B

x

x x x x

   



 

   

   

2

4

A B A

x A B x A B

A B B

     

        

   

 

Cách 2: Từ (*) đồng nhất ta có: 2x 1 A x(  4) B x( 1)(**) Thay x1 vào (**): 3 3A  A

Thay x4 vào (**): 3 B B Lúc đó:

d d d

2

2 1 1

3 ln 3ln

1 4

5

x x

x x x x x C

x x x x

x x x x

              

   

      

Cách 3: d   d    d    d

2

2

2 2

1 4

5

x

x x

x x x x

x

x x x x x x

x x

 

 

 

     



     

   

   

Nhận xét:Cách giải 2, tỏ khoa học tốt cách Ví dụ 4: Xác định nguyên hàm sau:

     

a) d b) d c d

2 2

1 2

4

)

3 1 3 1

x x x x

I x I x I x

x x x x x x

  

  

    

  

Lời giải a) Phân tích:

 

2 2

3 2

4 4

( 1)( 2)

3

x x x x x x

x x x x x x x x x

     

 

 

Sử dụng đồng thức:  

4

( 1)( 2)

x x A B C

x

x x x x x x

     

   

4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)

( 1)( 2) ( 1)( 2)

x x A x x Bx x Cx x

x

x x x x x x

       

  

   

4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)

x x A x x Bx x Cx x x

           (*)

Thay x0 vào (*), ta được: 2 A A Thay x1 vào (*), ta được: 4    B B Thay x2 vào (*), ta được:  6 2C C

Lúc đó: d d

2

1

4

2 ln ln 3ln

1

3

x x

I x x x x x C

x x x

x x x

    

           

 

   

 

b) Phân tích:

     

2

2

1

1 ( 1) 3

x A B C

x

x x x

x x

    

  

 

         

  (*)

2

2

2

1 ( 1)( 3) ( 3) ( 1)

1 3

1 ( 1)( 3) ( 3) ( 1)

x A x x B x C x

x

x x x x

x A x x B x C x x

      

  

   

         

Thay x1 vào (*) ta được:

B B

  

Thay x 3 vào (*) ta được: 10 16 C C

  

Thay x0 vào (*) ta được: 3 3

3

B C

A B C A  

      

Lúc đó:

    d

2

2 2

3

1 8 2 8 1

ln ln

1 ( 1) 8

1

x

I dx x x x C

x x x x

x x

 

  

         

     

 

   

 

c) Phân tích:

 

2

5 1 ( 1)2 ( 1)3 ( 1)4 ( 1)5

x A B C D E

x x x x x

x

    

    



Sử dụng phương pháp đồng thức Bài tập tƣơng tự: Xác định nguyên hàm sau:

1) d 2) d 3) d

3

2 2

2 2

4

x x x

x x x

x x x x x

 

    

  

        

4) d 5) d 6) d

2

2 6

2 1

x x x x

x x x

x x x x x x x

   

     

     

7) d 8) d 9) d

3

2 2

1 17 18

6 2 1 2

x x x x x

x x x

x x x x x x

   

    

  

     

10) d d 12) d

3

2

2

2 1

11)

8 16

1

x x x x

x x x

x x

x x

x

  

 

 



  

Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

DẠNG 1: d

cos sin ( ) x

I f x x

x

 , ( )f x : đa thức Phương pháp: Đặt d d

d sin d chän: d /

( ) ( )

sin u f x u f x x

v x x v x x

   



  

 

Ví dụ 1: Xác định:

a) x1 sin 2 x xd b) x2 xcosx xd Lời giải

a) Đặt

d d

d d chän

cos sin

2

u x u x

x

x x v v

    

 

   



Ta có:  sin 2 d  cos 2 cos d  cos 2 sin

2 2

x x x x x x

x x x    x    C

 

Đặt d  d

d d chän

2

cos sin

u x x u x x

x x v v x

     

 

  

 Ta có:   d     d

2 cos sin 2 1 sin .

x x x x x x x x x x

 

Xét 2x1 sin x xd Đặt d d d d chän

2

sin cos

u x u x

x x v v x

    

    



Ta có: 2x1 sin x xd  2x1 cos x2cosx xd  2x1 cos x2sinx C Vậy x2 xcosx xd x2xsinx2x1 cos x2 sinx C '

DẠNG 2: I f x e x( ) xd , đó f x( ): đa thức

Phương pháp: Đặt d d

d d chän: d /

( ) ( )

x x

u f x u f x x

v e x v e x

   



  

 

Ví dụ 2: Xác định:

Lời giải

a) Đặt

d d

d d chän 2

1

x x

u x u x

e

e x v v

    

 

  

 Ta có:  

   

d

2 2 2

2 1

1

2 2

x x x x

x x e e x e e

x e x   dx   C

 

b) Đặt d  d

d d chän

2 4 2 4

x x

u x x u x x

e x v v e

     

 

  

 Ta có:   d     d

2 4 x 4 x 2 4 x

x  x e x x  x e  x e x

 

Xét 2x4e xxd Đặt d d d chän

2

x x

u x du x

e x v v e

    

 

  



Ta có: 2x4e xxd 2x4ex2e xxd 2x4ex2exC Vậy x2 4x e x xd x2 4x e x2x4ex2exC'

DẠNG 3: ( ) ln d

loga x

I f x x

x

 , ( )f x : đa thức

Phương pháp: Đặt d d

d d chän: d

1 ln

( ) ( )

u x u x

x v f x x v f x x 

  

 

  

 

Ví dụ 3: Xác định:

a) 2x1 ln x xd b) xlnx2x xd Lời giải

a) Đặt

 

d

d d chän

ln

u x du x x

x x v v x x

   

 

     



Ta có:   d    d  

2

2

2 ln ln ln

2 x

x x x x x x x x x x x  x C

 

a) Đặt  

d d

d d chän

2 2 ln

2 x

u x x u x

x x x

x x v v

     

 



   



Ta có:  d    d

2

2

2 1

ln ln

2

x x x

x x x x x x x

x x



   



 

  d  

2 2

2 1

ln ln ln

2 2 2

x x x x

x x x x x x x C

x

 

             



 

Bài tập tƣơng tự:

1) Xác định nguyên hàm sau: d

1 sin

I x x x I2 xcos 2x xd I3 2 cosx 2x xd

  d

4 cos

I  x x x I5 x21 sin x xd I6 xcos2xsinx xd

  d

7 sin cos

I  x x x x d

cos

8

sin

x x

I x

x 

 d

9

sin cos

x x

I x

x  

 

 d

10 cos

I x x x 11 sin3 d cos x x

I x

x

 I12xsin x xd

d 13 sin

I  x x I14 xtan2x xd I15 x22x3 cos x xd d

16 cos2 x

I x

x

 I17 x25 sin x xd 18 d cos

x

I x

x





 2) Xác định nguyên hàm sau:

d

x

I xe x I2 x e x2 xd I3 x12e2xdx d

4

x

I e x I5 x e3 x2dx I6 2xx xd

  d

7

x

I  x  x e x I8 ecosx.sin 2x xd I9 exlnxdx 3) Xác định nguyên hàm sau:

d ln

I  x x I2 xlnx xd I3 ln2x xd d

4

lnx x I

x

 I5 log2x3dx I6 lgx xd

 d ln

I  x x x I8 xln 1 x2dx I9 lnx2x xd  d

10 ln

I  x  x I11x2ln dx x I12 x3ln2x xd d

13

lnx

I x

x

 I14 ln ln x dx x

 I15 1 ln x2dx

  d

16

ln x

I x

x 



 I17 xlnx21dx d

2 18

1 ln x

I x x

x

  

  

 

 4) Xác định nguyên hàm sau:

d

1 cos

x

I e x x I2 cos ln x xd I3 sin ln(tan )x x xd d

4 sin x

d

2

7 sin

x

I e x x I8 sin ln cosx  x xd I9 lnx2x xd

  d

10 cos sin

I  x x x x I11xsin cosx 2x xd I12 ( ln )x x 2dx

Nhóm kỹ năng: ĐỔI BIẾN

Ví dụ 1: Xác định a)Atanx xd b) Bcotx xd Lời giải

a) tan d sin d cos

x

A x x x

x

 

Đặt tcosxdt sinx xd Khi đó: A dt lnt C ln cosx C t

       

b) cot d cos d sin

x

B x x x

x

 

Đặt tsinxdtcosx xd Khi đó: A dt lnt C ln sinx C t

    

Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm hàm số f x  trường hợp sau: a) f x e1 cos xsin x b) f x sin3xcos5x. Lời giải

a) I f x x d e1 cos xsinx xd

Đặt t 1 cosxdt sinx xd Khi đó: I e ttd     et C e1 cos xC b) I f x x d sin3xcos5x xd sinx1 cos 2xcos5x xd

Đặt tcosxdt sinx xd

Khi đó:    

8

2 cos cos

1 C

8

t t x x

I  t t dt t t dt     C Ví dụ 3: Xác định nguyên hàm sau:

a) d

2

3

9 12

2

x x

A x

x x

 

 

 b) d

1 x

B x

x

 



 Lời giải

a) d  d

2

3

3 12

2 5

x x

x x

A x x

x x x x

 

 

   

 

Đặt tx32x2 5 dt3x24x xd Khi đó: A 3dt 3lnt C 3ln x3 2x2 C t

b) d x

B x

x

 





Đặt t x    1 t2 x 2t td dx

Khi đó:   d  d

2 3

2 1

2 2 2

3

t t

B t t t t t C

t

   

      

 

 

1 2 1 5

3

x x x

x    C   C

      

 

Ví dụ 4: Xác định nguyên hàm sau:

a)   d

2 ln

x

A x

x



 b) d  

ln ln ln x B

x x x

 Lời giải

a)   d

2 ln

x

A x

x

 

Đặt t lnx dt dx x

    Khi đó: d  

3

2 ln

3

x t

At t  C  C b)

  d

ln ln ln

x B

x x x



Đặt ln ln  d d ln

t x t x

x x

   Khi đó: I dt lnt C ln ln ln x C t

    

Ví dụ 5: Xác định nguyên hàm sau:

a) 1d

x x e

I x

x e 

  



 b)

 2 d

sin cos sin cos

x x

J x

x x

 



 Lời giải

a) 1d

x x e

I x

x e 

  

 

Đặt t 1 ex dt 1 exdx Khi đó: I dt lnt C ln e x C t

          a)

 2 d

sin cos sin cos

x x

J x

x x

 





Đặt tsinxcosxdtcosxsinx xd Khi đó: d2 1 sin cos t

J C C

t x x

t

      





Bài tập tƣơng tự: Xác định nguyên hàm sau: 1) cot2 d

sin x

A x

x



 6) F 3ln lnx xdx x

2) B cos ln x dx x

 7) Gecos2xsin cosx x xd 3) Csin2xcos3x xd 8) d

2

H x

x x 

 

4) d

x x x x e e

D x

e e    



 9) sin 22 d

4 cos x

I x

x 

 

5) Ex33 x21 dx 10) Kcos4x xd

Nhóm kỹ năng: DÙNG VI PHÂN

Ví dụ 1: Xác định a) I tanx xd b) I cotx xd Lời giải

a) Ta có: tan d sin d dcos  ln cos cos cos

x x

I x x x x C

x x

      

b) Ta có: cot d cos d dsin  ln sin sin sin

x x

I x x x x C

x x

    

Ví dụ 2: Xác định a) sin d

sin 2

1

x

I x

x  



 b) I esinxcosxcosx xd Lời giải

a) Ta có: sin d cos d d sin   sin 

sin sin sin

2 1 2

1 2 1

ln

1 2 2

x

x x

I x x x C

x x x

 

     

  

  

Nhận xét:So với phép đổi biến t 1 sin2x cách dùng vi phân tỏ khoa học

b) Ta có:  sin cos cos d sin cos d cos2 d sin dsin  cos d

x x x x

I e  x x xe x x x xe x   x sin 1sin 2 .

2

x

e x x C

   

Ví dụ 3: Xác định a) d x

x I

e

 

 b)

 

d

x

x e x I

e 

  Lời giải

a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:

  d 

d

d d d d

1

1 1

x x x x

x x x x

e e e

x e

I x x x x

e e e e

  

     

   

     

ln x

x e C

b) Ta có:         d d 1 3 3

1

3 1 1

1 2 x x x x x x e e x

I e e C C

e e                  

Ví dụ 4: Xác định a) d x x I x  

 b)

3

d

2

2

x I x x x     Lời giải

a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:

  d d 

d d d

d d

2

3

2 2 2

1 1

2

1 1 1

x x x x

x x x x x x x

I x x x x

x x x x x

                      2

ln

2 x

x C

   

b) Phân tích:  

3

4

2 2

2 '

7

2 3

4

2 3 3

x x

x x

x x

x x x x x x x x

 



      

       

 2 /      2 /

2

2 2

7 9

2

4 ( 1)(2 1) 4

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x

 

          

          

   

     

Suy ra:   d

/

2

2

7

2

4

x x

I x x

x x x x                           

  d  d 

d d

2

2

2

7 9

2

4 4

x x x

x x x

x x x x                

  9

3 ln ln ln

4 4

x x x x x x C

         

Bài tập tƣơng tự: Xác định nguyên hàm sau:

1) d

2 x I x x  

 2) d

2

ln ln

x x

I x

x

 

 3) d

2 x x e x I e    4) I esinx.cosxtanx xd 5) sin d

cos2 sin2 x I x x x  

 6) d

2 x x

x I

e e



 

 7) sin cos d

cos x x I x x  

 8) I x3 1x x2d 9) d

2

2

2

x x

x x e x e

IV – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:

Câu 1. Mệnh đề sau sai?

A Nếu F x  nguyên hàm f x   a b; C số

 d   f x x F x C



B Mọi hàm số liên tục  a b; có nguyên hàm  a b;

C F x  họ nguyên hàm f x   a b; F x/    f x ,  x  a b; D f x x d /  f x ,  x  a b;

Lời giải

Phương án C sai, F x  nguyên hàm f x  kéo theo

     

/ , ;

F x  f x  x a b  Chọn đáp án C.

Câu 2. Khẳng định sau là sai?

A 0dx C (C số) B 1dx ln x C

x  

 (C số)

C d

1

1 x

x x C

 

 

 



 (C số) D dx x C  (C số)

Lời giải

Ở phương án C, trường hợp  1 khẳng định sai Chọn đáp án C.

Câu 3. Hàm số  

cos f x

x

 có nguyên hàm trên:

A  0; B ;

2    

 

  C  ;  D 2;

   

 

 

Lời giải

Ta có: Vì   cos f x

x

 xác định liên tục khoảng ;

2    

 

  nên hàm số có nguyên

hàm ;

2  

 



 

  Chọn đáp án B.

Câu 4. Hàm số sau đây không phải nguyên hàm hàm số x3 ?4

A  

5

x

x 

 B  

5

x

C  

5

2016

x

 D  

5

1

x  Lời giải

Ta có:      

/

4

3

3

5 x

x x x

  

       

 

 

Câu 5. Cặp hàm số sau có tính chất: Có hàm số nguyên hàm hàm số lại?

A sin 2x cos2x. B. cos 2x và sin2x.

C.e2x và 2e2x. D. tan 2x và 2

cos 2x Lời giải

Vì tan ' 22 cos x

x

 nên phương án D đúng Chọn đáp án D.

Câu 6. Nguyên hàm F x  hàm số   12

sin f x

x

 biết

2

F     

A F x x B   cot

2 F x   x

C F x  cot x D   sin F x  x  Lời giải

Ta có:   d

2

cot sin

F x x x C

x

   

cot

2 2 2

F          C  C 

  Vậy F x  cotx



    Chọn đáp án B.

Câu 7. Hàm số F x  thỏa mãn  

  2 2

3

'

3 1

F x

x x

 

  Lúc đó, F x 

A   1

3 1

F x C

x x

  

  B  

1

F x C

x x

  

 

C   1

1

F x C

x x

  

  D  

1

C F x

x x

 

 

Lời giải

Ta có:  

  2 2 d  2 d   2 d 

3 1

3 1

3 1 1

F x x x x

x x x x

 

 

     

     

 

  

1 1 C

x x

  

   Chọn đáp án C.

Câu 8. Hàm số F x  biết F x' 3x2 2x1 đồ thị yF x  cắt trục tung điểm có tung

độ 2017

A F x x2 x 2017. B. F x cos 2x2016.

Ta có: F x 3x22x1dx x 3x2 x C

Đồ thị yF x  cắt trục tung điểm có tung độ 2017F 0 2017 2017

C

  VậyF x x3x2  x 2017  Chọn đáp án C.

Câu 9. Nguyên hàm hàm số f x( ) 2x1;

2 x   

 

 

A  d 12 1

3

f x x x x C

 B  d 22 1

3

f x x x x C



C  d

3

f x x  x C

 D  d

2

f x x x C



Lời giải

Ta có:  d d   d 

1

2 2

2

f x x x x x x

  

 3  

2

1

2

3

2

2 x

C x x C



       Chọn đáp án A.

Câu 10. Hàm số F x ex3 nguyên hàm hàm số

A f x ex3 B. f x 3x e2 x3.

C  

3

2

x e f x

x

 D f x x e3 x3 1

Lời giải

Ta có: F x'  ex3 / 3x e2 x3  Chọn đáp án B.

Câu 11. Nguyên hàm hàm số

2 ( )

sin

6 f x

x  

  

 

 

A ( )d cot

6 f x x  x C

 

 B ( )d 1cot

6

f x x  x C

 



C ( )d cot

6 f x x xC

 

 D ( )d 1cot

6

f x x x C

 



Lời giải

Ta có: d d d

2

1

( ) cot

6

sin sin

6

f x x x x x C

x x

 

 

   

        

         

   

   

  

Câu 12. Biết nguyên hàm hàm số f x 2 sin 4x hàm số F x  thỏa mãn  0 F  Khi F x  hàm số sau đây?

A   cos 4

x

F x    B   cos 2

x F x    C   cos

2 x

F x   D F x 2 cos 4x2

Lời giải

Ta có:   sin d cos

2 x

F x  x x  C Vì  0

2

F  nên

2 C C      Vậy   cos

2 x

F x     Chọn đáp án B.

Câu 13. Giá trị m để hàm số F x 4mx32x2m22x1 nguyên hàm hàm số

 

12

f x  x  x x

A m 1 B m0 C m1 D m2

Lời giải

Ta có: F x' 12mx24x m 2 2 f x  Đồng hệ số tương ứng ta được:

2 12 12

1

m

m m

 

   



  

 Chọn đáp án C.

Câu 14. Tính 2d

4x x

 ta kết

A 1ln 2 2 

4 x x C B

1

ln

4 x

C x   

C 1ln

4 x

C x 

 

 D

1

ln ln x x C Lời giải

Ta có: 2 d  1 d 1 d

4 2 2

4 x x x x x x x x

 

    

 

 

  

  

    

1

ln ln 1ln

4 x x C x x C

          Chọn đáp án C.

Câu 15. Cho hàm số y f x  có đạo hàm ' 

2 f x

x 

 f 0 1 f 1 có giá trị

Ta có:   d d 

2

1

2 ln

2

f C

x

x x x

x x

    

  

 

 

ln1

1

2

0 C C

f         1ln 1

2

f x  x  

Vậy  1 1ln

f    Chọn đáp án D.

Câu 16. Cho hàm số   12

sin y f x

x

  Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  đồ thị

 

yF x qua điểm ;

12 A 

  F x 

A   cot

2 x

F x    B   cot x F x  

C   cot

x

F x    D   cot F x  x Lời giải

Ta có:   d

2

1

cot 2 sin

F x x x C

x

   

Đồ thị yF x  qua điểm ; 12 A  

 

1

0 cot

12

F    C C

        

 

Vậy   1cot cot

2 2

x

F x   x     Chọn đáp án C.

Câu 17. Kết d

3 ln x

x x



A

2

2 3ln ln

x x

x 

B

4 ln

x C

x  C

4 ln

x C

 D 3ln2x C . Lời giải

Ta có: d dlnx

3

3

ln ln

ln

4

x x

x x C

x   

   Chọn đáp án C.

Câu 18. Tính F x( )xsinx xd ta kết

A F x( )xsinxcosx C B F x( ) sin x x cosx C C F x( ) sin x x cosx C D F x( )xsinxcosx C

Lời giải

Đặt u x ,dvsinx xd dudx v,  cosx

Ta có: F x( ) xcosxcosx xd  xcosxsinx C  Chọn đáp án B.

A    

2

ln 2 ln

2

x x

x x x C

      B ln 2 

2 x

x C

x

  



C    

2

ln 2 ln

2

x x

x x x C

      D  

2

ln

4 x

x x C

   

Lời giải

Đặt   d d du d

2

ln , ,

2

x

u x v x x x v

x

     



Ta có:  d    d

2

1

2

ln n

2

2 l

2 x

x x x x x x C

x  



   



  d  

2 2

ln ln

2

1

2 2 ln

2 2

x

x x x x x x C

x x

x

 

 

              



   



   

2

ln 2 ln

2

x x

x x x C

        Chọn đáp án A.

Câu 20. Giả sử F x  nguyên hàm hàm số f x 2x1 Biết đồ thị hàm số F x 

 

f x cắt điểm trục tung Lúc đó, tọa độ giao điểm hai đồ thị f x 

  F x

A 0; 1  B  3; C 0; 1   3; D 0; 1   3;

Lời giải

Ta có: F x   2x1dx x  x C

Phương trình hồnh độ giao điểm F x  f x :

2 2 1

x   x C x

Đồ thị hai hàm số cắt điểm trục tung    C 1 F x x2 x 1

Khi 2 0

3 x

x x x x x

x

 

        

 

Vậy có hai giao điểm 0; 1   3;

 Chọn đáp án C.

Câu 21. Nguyên hàm hàm số f x( ) 32 3 x là

A  d 12 3

f x x  x  x C

 B  d 32 32

4

f x x   x  x C



C  d   3

f x x   x  C

 D  d 12 32

4

f x x   x  x C



Đặt

d d d d

3

3 2 3 2 3 3 3

t  x  t x t t  x x t t Khi  d 3d 12 3

4

f x x  t t  t   C  x  x C

 

 Chọn đáp án D.

Câu 22. Nguyên hàm hàm số ( ) sin

cos x f x

x





A.f x x( )d ln cos 3x 1 C B ( )d 1ln cos 3

f x x  x C



C ( )d 1ln cos 3

f x x x C

 D. f x x( )d  ln cos 3x 1 C Lời giải

Ta có:  d sin d cos

x

f x x x

x





 

Đặt cos d 3sin d sin d 1d t x  t  x x x x  t

Khi  d d 1ln 1ln cos

3 3

t

f x x t C x C

t

        

 

 Chọn đáp án B.

Câu 23. Nguyên hàm hàm số ( )

2 f x

x





A.f x x d ln 2  xC B. f x x d 2 x2 ln 2  xC C. f x x d 2 x2 ln 2  xC D. f x x d  2 ln 2  xC Lời giải

Ta có:  d d

f x x x

x

 

 

Đặt t 2 x x    t x t 22 dx2t2dt Khi f x x d 2t 2dt 2 dt 2t lnt C1

t t

  

       

 

  

   

2 x ln x C x ln x C

        

Câu 24. Nguyên hàm hàm số ( ) 1 x f x

x

 



A  d 2 10

3

f x x x x C

 B. f x x d x10 x 1 C C  

 

d

2 1

x

f x x C

x x



 

 

 D  d

1

f x x x C

x

   





Lời giải

Ta có:  d d x

f x x x

x

 



 

Đặt t x    1 t2 x 2t td dxdx2t td

Khi  d d  d

2

2

2

.2 2 2

3 t

f x x t t t t t t C

t

  

      

 

  

   

2

1 10

3 x x x C x x C

         

 Chọn đáp án A.

Câu 25. Nguyên hàm hàm số f x( )ecosxcotxsinx

A.f x x e( )d  cosx sinx C B. f x x( )d ecosxsinx C C. f x x( )d ecosxsinx C D. f x x e( )d  cosxsinx C Lời giải

Ta có f x( )ecosxcotxsinx xd ecosxsinx xd cosx xd

d d

cos cos

cos cos sin

x x

e x x x e x C

      

 Chọn đáp án C.

V – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:

Câu Mỗi khẳng định sau hay sai (đánh dấu X vào thích hợp)? Các cặp hàm số sau nguyên hàm hàm số:

Đúng Sai

a) f x lnx 1x2 và  

2 1 g x

x 



c) f x  sin2 x

 g x  12 sin2

x x

 

d)  

2 2 x

f x

x x

 

   

2 g x  x  x

e)  

1 x

f x x e    

1 x g x  x e

Câu Mệnh đề sau sai?

A Nếu F x  nguyên hàm f x   a b; C số

 d   f x x F x C



B Mọi hàm số liên tục  a b; có nguyên hàm  a b;

C F x  nguyên hàm f x   a b; F x/    f x ,  x  a b;

D f x x d /  f x ,  x  a b;

Câu Khẳng định sau sai?

A f x x F x d    C f t dtF t C B f x x d  / f x 

C f x x F x d    C f u x F u d   C D kf x x k f x x d    d (k số)

Câu Khẳng định sau là sai?

A f x   g x dxf x x d g x x d B kf x x k f x x d    d ; k

C f x x d /  f x  D f x g x    dx f x x g x x d   d

Câu Khẳng định sau là sai?

A 0dx C (C số) B 1dx ln x C

x  

 (C số)

C d

1

1 x

x x C

 

 

 



Câu Hàm số f x  có nguyên hàm K nếu:

A f x  xác định K B f x  có giá trị lớn K

C f x  có giá trị nhỏ K D f x  liên tục K

Câu Hàm số  

cos f x

x

 có nguyên hàm trên:

A  0; B ;

2    

 

  C  ;  D 2;    

 

 

Câu Nếu f x  liên tục khoảng D thì:

A f x  khơng có ngun hàm D B f x  có nguyên hàm D C f x  có hai nguyên hàm D D f x  có vơ số ngun hàm D

Câu Hàm số  

4

f x x có nguyên hàm trên:

A  ;  B 0; C ;  D  0;  Câu 10 Hàm số sau đây không phải nguyên hàm hàm số x3 ?4

A  

5

x

x 

 B  

5

x

C  

5

2016

x

 D  

5

1

x 

Câu 11 Cho hàm số f x  xác định K Hàm số F x  gọi nguyên hàm hàm số

 

f x K với x K , ta có:

A F x'    f x C B F x'    f x

C f x'   F x D f x'   F x C

Câu 12 Cặp hàm số sau có tính chất: Có hàm số nguyên hàm hàm số lại?

C.ex và ex. D tanx2 và

2

cos x

Câu 13 Cặp hàm số sau có tính chất: Có hàm số nguyên hàm hàm số lại?

A sin 2x cos2x B cos 2x sin2x

C.e2x và 2e2x. D. tan 2x và 2

cos x

Câu 14 Nguyên hàm hàm số f x x33x2 hàm số hàm số sau?

A F x 3x23x C B  

4

3

3 x

F x   x  x C

C  

4

2 x x

F x    x C D  

4 3 2

4

x x

F x    x C

Câu 15 Hàm số F x 5x34x22x C là họ nguyên hàm hàm số sau đây?

A f x 5x24x2 B f x 15x28x2

C  

2

5

4

x x x

f x    D f x 5x24x2 Câu 16 Nguyên hàm hàm số: y x2 3x

x   

A  

3

5ln

x

F x   x  x C B  

3

5ln

x

F x   x  x C

C  

3

5ln

x

F x   x  x C D F x  2x 52 C x

   

Câu 17 Nguyên hàm hàm số f x   x1x2

A F x 2x 3 C B  

3 2

2 3 x

F x   x  x C

C  

3

2 x

F x   x  x C D  

3 2

2 3 x

F x   x  x C

Câu 18 Nguyên hàm F x  hàm số   12

sin f x

x

 biết

2

A F x x B   cot F x   x

C F x  cot x D   sin F x  x 

Câu 19 Nguyên hàm hàm số   12

sin f x

x

 khoảng  0; A cotx C B cotx C C cos3

sin x

C x

  D cos2 sin

x C x  Câu 20. Mỗi khẳng định sau hay sai (đánh dấu Xvào thích hợp)?

Các cặp hàm số sau nguyên hàm hàm số:

Đúng Sai

a)  

2

2 3

x x

F x

x

 



  

2

x x

G x

x

 





b) F x  5 sin2x G x  1 cos x

c) F x   x52 G x x210x7

d)   12

cos F x

x

 G x  tan2x8

Câu 21 Hàm số F x lnx nguyên hàm hàm số sau 0;?

A

x B

1 x

 C 12

x D

1 x  Câu 22 Nguyên hàm F x  hàm số   2 72

5 f x

x x x

  

 hàm số sau đây?

A F x  ln 2x ln x C x

      B F x  ln 2x ln x C x

     

C F x  ln 2x ln x C x

     D F x  ln 2x ln x C x

     

Câu 23 Hàm số F x  thỏa mãn  

  2 2

3

'

3 1

F x

x x

 

  Lúc đó, F x 

A   1

3 1

F x C

x x

  

  B  

1

F x C

x x

  

C   1

F x C

x x

  

  D  

1

C F x

x x

 

 

Câu 24 Hàm số F x  biết F x' 3x2 2x1 đồ thị yF x  cắt trục tung điểm có tung độ 2017

A F x x2 x 2017. B. F x cos 2x2016.

C F x x3x2 x 2017 D F x x3x2 x 2016 Câu 25 Nguyên hàm hàm số f x( ) sin 4 x

A ( )d 1cos 4

f x x  x C

 B ( )d 1cos

4

f x x x C



C f x x( )d cos 4x C D f x x( )d  cos 4x C

Câu 26 Nguyên hàm hàm số ( ) cos f x   x 

 

A ( )d 1sin

2

f x x  x C

 

 B ( )d sin

4 f x x  x C

 



C ( )d 1sin

2

f x x   x C

 

 D ( )d 1sin

2

f x x  x C

 



Câu 27 Hàm số F x ex3 là nguyên hàm hàm số

A f x ex3 B f x 3x e2 x3

C  

3

2

x e f x

x

 D f x x e3 x3 1.

Câu 28. Nguyên hàm hàm số ) a

6

( t n

f x   x

A  d tan

6 x f x x C

 B  d tan

6 x f x x C



C  d 1tan

6 x f x x C

 D  d tan

6 x f x x  C



Câu 29 Biết  f v u F v d   C Khẳng định sau đúng?

C 4 3d 4 3

f x x F x C

 D f4x3dx4F4x 3 C Câu 30 Hàm số F x , thỏa mãn điều kiện F x'  x

x   A F x  52 C

x

   B  

2

5ln

x

F x   x C

C  

2

5ln

x

F x   x C D  

2

5ln

x

F x   x

Câu 31 Nguyên hàm hàm số

2 ( )

sin

6 f x

x  

  

 

 

A ( )d cot

6 f x x  x C

 

 B ( )d 1cot

6

f x x  x C

 



C ( )d cot

6 f x x x C

 

 D ( )d 1cot

6

f x x x C

 



Câu 32 Biết nguyên hàm hàm số f x 2 sin 4x hàm số F x  thỏa mãn  0 F  Khi F x  hàm số sau đây?

A   cos 4

x

F x    B   cos 2

x F x    C   cos

2 x

F x   D F x 2 cos 4x2

Câu 33. Nguyên hàm hàm số f x( ) sin 2xcos2x là

A  f x x( )d sin 2x C B ( )d sin 2

x f x x  C



C f x x( )d 2 sin 2x C D ( )d sin 2

x f x x C



Câu 34 Nguyên hàm hàm số f x( ) 2sin cos 3 x x A ( )d cos cos

4

x x

f x x  C

 B ( )d cos cos

4

x x

f x x   C



C ( )d cos cos

4

x x

f x x  C

 D ( )d cos cos

4

x x

f x x   C

Câu 35 Nguyên hàm hàm số f x( ) 4sin cos x x A ( )d cos cos

3 x

f x x   x C

 B ( )d cos cos

3 x

f x x   x C 

C ( )d cos cos

x

f x x  x C

 D ( )d cos cos

3 x

f x x  x C 

Câu 36. Nguyên hàm hàm số f x( ) 2sin sin x x A ( )d sin sin

4

x x

f x x   C

 B ( )d sin sin

4

x x

f x x   C 

C ( )d sin sin

2

x x

f x x  C

 D ( )d sin sin

4

x x

f x x  C 

Câu 37 Nguyên hàm hàm số f x( ) 4cos cos 2 x x A ( )d sin sin

5 x

f x x   x C

 B ( )d sin sin

5 x

f x x  x C



C ( )d sin sin

x

f x x  x C

 D ( )d sin sin

5 x

f x x   x C 

Câu 38. Nguyên hàm hàm số f x( ) sin 4xcos4x A ( )d sin

4 16

x f x x x C

 B ( )d sin

4 16

x f x x  x C



C ( )d sin

4 16

x f x x x C

 D ( )d sin

4 16

x f x x  x C



Câu 39 Nguyên hàm hàm số f x( ) sin 6xcos6x A ( )d 3sin

8

x f x x x C

 B ( )d 3sin

8 32

x f x x x C



C ( )d 3sin 32

x f x x x C

 D ( )d 3sin

8

x f x x x C



Câu 40 Nguyên hàm hàm số f x( ) sin 4xcos4xsin6xcos6x là

A ( )d sin 4 16

x f x x  C

 B ( )d sin

4 16

x f x x x C



C ( )d sin 4 16

x f x x x C

 D ( )d sin

4 16 x f x x x C

Câu 41 Giá trị m để hàm số F x 4mx32x2m22x1 nguyên hàm hàm số   12 4

f x  x  x x

A m 1 B m0 C m1 D m2

Câu 42 Nguyên hàm hàm số f x( ) sin 3x.cosx là

A d

4 sin ( )

4 x f x x C

 B d

4 sin ( )

4 x f x x  C



C d

2 sin ( )

2 x f x x C

 D d

5 sin ( )

5 x f x x  C



Câu 43 Nguyên hàm hàm số f x( )exex

A  f x x e d  xexC B f x x d   ex exC C f x x e d  xexC D f x x e d  x exC

Câu 44 Cho hàm số f x xex Giá trị a b, để F x   ax b e  x nguyên hàm hàm số f x 

A a1; b1 B a 1; b1

C a1; b 1 D a 1; b 1

Câu 45 Nguyên hàm hàm số f x( ) 5 x x

A  d

5 ln ln x

f x x   C 

 

 B  d

2 ln ln x

f x x   C 

 



C  d

5 ln ln x

f x x   C 

 

 D  d

5 ln ln x

f x x   C 

 



Câu 46 Cho hàm số f x  thỏa mãn điều kiện f x'  2 cos 2x

f    

  Khẳng

định sau sai?

A   1sin

f x  x x B f x 2xsin 2x

C f 0  D

2 f

 

Câu 47 Nguyên hàm hàm số f x( )ex2ex

C ( ) x x

F x e C

e

   D F x( ) 2 ex x C Câu 48. Nguyên hàm hàm số f x( )exex2

A

2

4 ( )

2 x x e e

F x C



 

  B F x( )e2xe2x2x C .

C F x( )e2xe2x 2x C D

2

( )

2

x x e e

F x x C



   

Câu 49 Tính

2x1dx

 ta kết

A ln 2x 1 C B

 2

2x C

 



C ln

2 x

C



 D ln 2x 1 C

Câu 50 Tính

1 3 xdx

 ta kết

A 3ln 3 x C B

 2 18

C x

 

C 2 ln 3 x C D ln 3 x C

Câu 51 Tính

1 x

dx x

 

 ta kết

A 2xln x 1 C B 2xln x 1 C

C ln x 1 C D 2x1 ln x 1 C

Câu 52 Tính

1 x

dx x

 

 ta kết

A 4x6 ln x 1 C B 4x6 ln x 1 C

C 4x3ln x 1 C D 4xln x 1 C

Câu 53 Tính

2 x

dx x

 

 ta kết

A 4x10 ln 2 x C B  4x 10 ln 2 x C

Câu 54 Biết nguyên hàm hàm số  

2 f x

x



 hàm số F x  thỏa mãn F 2 0

Khi F x  hàm số sau đây?

A F x ln 2x 1 ln B F x ln 2x 1 ln

C F x 2 ln 2x 1 ln D   ln ln

x F x   

Câu 55 Biết nguyên hàm hàm số  

1 x f x

x

 

 hàm số F x  thỏa mãn F  1

Khi F x  hàm số sau đây?

A F x   2x 5ln 1 x B F x   2x 5ln 1 x

C F x 2x5ln 1 x D F x 2x5ln 1 x

Câu 56 Tính d

2 1 x

x x

 

 ta kết

A

2

2 ln

x

x x C

    B

2

ln

x

x x C

   

C

2

2 ln

x

x x C

    D

2

ln

x

x x C

   

Câu 57. Tính 21 d

1 x x 

 ta kết

A 1ln 1 1

2 x x C B

1

ln

2

x

C x

  

C 1ln

2

x

C x

 

 D

1

ln ln x x C

Câu 58 Tính 2 d

4 x x  x

 ta kết

A 1ln 1 3

2 x x C B

1

ln

2

x

C x

  

C 1ln

2

x

C x

 

 D

1

ln ln x x C

Câu 59 Tính 2 d

4x x

 ta kết

A 1ln 2 2 

4 x x C B

1

ln

4 x

C x 

C 1ln x C x     D

ln ln x x C

Câu 60 Tính d

2 x x x x x    

 ta kết

A x2 lnx1x2 C B ln

2 x x C x    

C ln

1 x x C x   

 D x2 ln x 1 ln x 2 C

Câu 61 Tính 2 d

2 x x  x

 ta kết

A

1 C x    B C x   

C 2 ln x2 2x 1 C. D  

 2 2

4 x C x x     

Câu 62 Tính d

2

4 x

x x



 

 ta kết

A

2 C x    B C x   

C 2 ln x24x 4 C D  

 2 2

2

4 x C x x     

Câu 63 Tính 2 d

2 x

x x  x

 ta kết

A ln

1 x C x     B

2 ln

1

x C

x

  



C ln

1 x C x     D

2 ln

1

x C

x

  



Câu 64 Tính d

2

2

2 x x x x x    

 ta kết

A

1 x C x    B C x   

C 2

1 x C x    D x C x    Câu 65 Tính

 3 d 2

x x

 ta kết

A

 2

2x C

 

 B  2

1

2x C

 

C

 2

2x C



 D  2

1

2x C

 

Câu 66 Biết nguyên hàm hàm số  

2

2

1

x x

f x

x  

 hàm số F x  thỏa mãn F 2 1

Khi F x  hàm số sau đây?

A F x   x2 6x6 ln 1x B F x   x2 6x6 ln 1 x 17

C F x   x2 6x6 ln 1 x 17. D. F x   x2 6xln 1 x 17. Câu 67 Hàm số sau không phải nguyên hàm hàm số  

 

2 2

x x

f x x

 

 ?

A  

2 1

x x F x

x   

 B  

2 1

x x F x

x   



C  

2 3 3

x x

F x

x

 



 D  

2 1 x F x

x  



Câu 68 Hàm số F x 7extanx là nguyên hàm hàm số sau đây?

A   2

cos x

x e

f x e

x 

 

   

  B  

1

cos x f x e

x

 

C f x 7extan2x1 D.  

2

cos x

f x e

x

 

   

 

Câu 69 Cho hàm số y f x  có đạo hàm '  f x

x 

 f 0 1 f 1 có giá trị

A ln B 2ln 1. C 2ln 1. D 2ln 1. Câu 70 Nguyên hàm hàm số f x( ) e6x2

A  d

3 x f x x e  C

 B f x x e d  3x1C

C  d

3 x f x x e  C

 D  d

3 x f x x e  C



Câu 71 Nguyên hàm hàm số ( )

4 f x

x





A  f x x d  4x 1 C B f x x d 2 4x 1 C

C  d

2 x

f x x  C

 D f x x d  4 4x 1 C

Câu 72. Hàm số f x  thỏa mãn  

 2

cos '

4 sin x f x

x



A  

 2

sin

cos

x

f x C

x

 

 B  

sin

sin

x

f x C

x

 



C  

4 cos

f x C

x

 

 D  

1

sin

f x C

x

  



Câu 73 Nguyên hàm hàm số ( )

2 f x

x





A  f x x d   2 x C B f x x d  2 2 x C C f x x d 2 2 x C D f x x d  3 2 x C

Câu 74 Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x' 2 sin 2xcosx f 0 4

2 f  

  có

giá trị

A B C D

Câu 75 Nguyên hàm hàm số f x( ) 2x5

A  d 12 5

3

f x x x x C

 B  d 22 5

3

f x x x x C



C  d

3

f x x  x C

 D  d

2

f x x x C



Câu 76 Nguyên hàm hàm số f x( ) 3 x

A  d 24 

9

f x x  x  x

 B  d 24 

3

f x x   x  x



C  d 24 

9

f x x   x  x C

 D  d

3

f x x   x C



Câu 77 Nguyên hàm F x  hàm số  

x x f x

e 

 biết F 0 1,

A  

 

2 ln ln x

x F x

e

 



 B  

2 x F x

e       

C  

 

2 ln ln x

x F x

e  

 D  

1 1

ln 1 ln

x x

F x

e e

         

     

Câu 78. Nguyên hàm hàm số f x( ) x3

A  d 3 33

4

f x x x x C

 B  d 3 33

4

f x x  x x C



C  d 2 33

3

f x x x x

 D  d  

2

2

f x x x  C

Câu 79 Nguyên hàm hàm số f x( ) 31 3 x

A  d 11 31

4

f x x   x  x C

 B  d 31 31

4

f x x   x  x C



C  d 11 31

4

f x x  x  x C

 D  d  

2 3

f x x   x  C



Câu 80 Cho hàm số   12

sin y f x

x

  Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  đồ thị

 

yF x qua điểm ;

12 A 

  F x 

A   cot

2 x

F x    B   cot x F x  

C   cot

x

F x   D   cot F x  x Câu 81 Nguyên hàm hàm số f x  e3x

A  d

3

x e f x x C

 B  d

3

x

f x x C

e

 



C  d

3 2

x e

f x x C

x 

 



 D  d

3

x e f x x C 

Câu 82 Hàm số F x   x12 x 1 2016 nguyên hàm hàm số sau đây? A   2 1 C

5

f x  x x  B   5 1

2

f x  x x C

C   5 1

f x  x x D f x   x1 x 1 C

Câu 83 Biết nguyên hàm hàm số   1

1 f x

x

 

 hàm số F x  thỏa mãn

 

3

F   Khi F x  hàm số sau đây?

A   3

3

F x  x  x B   3

F x  x  x

C  

3

F x  x  x D  

3

F x    x Câu 84 Biết F x( ) 1 x nguyên hàm hàm số ( )

1 a f x

x



 Khi giá trị a

A 3 B C D

6 Câu 85 Tính F x( )xsinx xd ta kết

A F x( )xsinxcosx C B F x( ) sin x x cosx C C F x( ) sin x x cosx C D F x( )xsinxcosx C

Câu 86 Giả sử F x  nguyên hàm hàm số f x 3x22x Biết đồ thị hàm số F x 

và f x  cắt điểm trục tung Lúc đó, tọa độ giao điểm hai đồ thị f x 

và F x 

A  0; B 2 2;14 10 ; 0;    

C 2 2;14 10 ; 2    2;14 10 2 ;  0;

D 1 2; 2 ; 1    2; 2 ;  0; Câu 87 Tính xln2x xd ta kết

A 22 ln2 2 ln 1

4x x x C B  

2

2 ln ln 2x x x C

C 22 ln2 2 ln 1

4x x x C D  

2

2 ln ln 2x x x C

Câu 88 Giả sử F x  nguyên hàm hàm số f x 2x1 Biết đồ thị hàm số F x 

 

f x cắt điểm trục tung Lúc đó, tọa độ giao điểm hai đồ thị f x 

  F x

A 0; 1  B  3; C 0; 1   3; D 0; 1   3;

Câu 89 Tính F x( )xsin cosx x xd ta kết A ( ) 1cos sin

4

x

F x  x x C B ( ) 1sin cos

8

x

F x  x x C C ( ) 1sin cos

4

x

F x  x x C D ( ) 1sin cos

4

x

F x  x x C

Câu 90 Tính ( ) 3d

x

F x xe x ta kết

A ( )  3 .

x

F x  x e C B ( ) 3 3 . x F x  x e C

C ( ) 3 .

x x

F x   e C D ( ) 3 .

x x

Câu 91 Tính d ( )

cos x

F x x

x

 ta kết

A F x( ) xtanxln cosx C B F x( ) xcotxln cosx C C F x( )xtanxln cosx C D F x( ) xcotxln cosx C

Câu 92 Tính F x( )x2cosx xd ta kết

A F x( )x22 sin x2 cosx x C B

( ) sin cos sin

F x  x x x x x C C F x( )x2sinx2 cosx x2sinx C D. F x( )2x x 2cosx x sinx C Câu 93 Tính F x( )xsin 2x xd ta kết

A ( ) cos sin

2

x x x

F x   C B ( ) cos sin

2

x x x

F x   C C ( ) cos sin

2

x x x

F x    C D ( ) cos sin

2

x x x

F x    C

Câu 94 Hàm số F x( )xsinxcosx2017 nguyên hàm hàm số nào?

A f x( )xcosx B f x( )xsinx

C f x( ) xcosx D f x( ) xsinx

Câu 95 Tính ln2 xdx x 

 ta kết

A lnx C x

  

B ln( 1) ln

x x

C

x x

 

  



C x 11 ln(x 1) ln| |x C x



     D ln(x 1) ln x ln x C

x 

 

   

Câu 96 Để xác định x231x x3d theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ

A t 31x3. B t 1 x3. C tx2. D tx231x3.

Câu 97 Để tính d

3 ln x

x x

 theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ A t

x

 B tln x C t lnx D  

3 ln

x t

x



Câu 98 Kết d

3 ln x

x x



A

2

2 3ln ln

x x

x 

B

4 ln

x C

x  C

4 ln

x C

Câu 99 Để tính xex2dx theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ

A tx2 B tex2 C txex2 D tex

Câu 100 Kết xex2dx

A xex2 C B

2

x e

C

 C ex2 C D x e x2 C

Câu 101 Để tính 12cos1dx x x

 theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ

A t 12 x

 B t

x

 C t cos x

 D t 1cos x x



Câu 102. Kết 12 cos1dx x x



A sin1 C

x B

1 sin C

x

 

C 14 sin1 23 cos1 C

x x

x x

   D sin1 C

x x

  

Câu 103. Để tính sin cosx 5x xd theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số phụ A tcos x B tsin x

C tcos5x D tsin cos x x Câu 104 Kết sin cosx 5x xd

A 5cos4x C . B

6 cos

x C

 

C 5cos4xsinx C D

6 cos

x C  Câu 105 Kết 2x x21dx

A

2

2

2

1 x

x C

x

 

  

 

  

  B

2

2

2

2

x

x C

x

 

  

 

  

 

C  

3

2

2

1

3 x  C D  

2

1 x   x C

Câu 106 Để tính cos sin d

cos sin

x x

x

x x

 

 theo phương pháp đổi biến số, để tối ưu ta nên đặt biến số

phụ

Câu 107 Kết cos sin d cos sin

x x

x

x x

 



A 2 cosxsinx C B cosxsinx C

C sinxcosx C D sinxcosx C

Câu 108 Để tính xexdx theo phương pháp tính nguyên hàm phần, để tối ưu ta nên đặt A u e x, dv x x d B u x , dv e x xd

C u xe x, dvdx D u e x, dvdx. Câu 109 Kết xexdx

A exxexC B

2

x x

e C

C xex ex C D

2

x x x

e  e C

Câu 110 Để tính x2cosxdx theo phương pháp tính nguyên hàm phần, để tối ưu ta nên đặt

A u x , dv x cosx xd B u x 2, dvcosx xd

C ucos ,x dv x x 2d D u x 2cos ,x dvdx Câu 111 Kết x2cosx xd

A cosx x x 2sinx C B cosx x x 2sinx C

C x2sinx x cosxsinx C . D x2sinx2 cosx x2sinx C .

Câu 112 Để tính xln 2 x xd theo phương pháp tính nguyên hàm phần, để tối ưu ta nên đặt

A u x , dvln 2 x xd B uln 2 x, dv x x d

C u x ln 2 x, dvdx D uln 2 x, dvdx Câu 113 Kết xln 2 x xd

A    

2

ln 2 ln

2

x x

x x x C

      B ln 2 

2 x

x C

x

  



C    

2

ln 2 ln

2

x x

x x x C

      D  

2

ln

4 x

x x C

   