Lương Ngọc Huyên Pre VMO 2014 DÃY NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Lương Ngọc Huyên Lý thuyết + Trong phần ta xét toán sau: “Cho dãy hàm số f n(x) xác định công thức tường truy hồi thoả mãn điều kiện: phương trình f n(x) = có nghiệm x n ∈ D Cần khảo sát tính chất xn khảo sát hội tụ, tìm giới hạn …” + Các kiến thức cần ôn tập: Hàm số liên tục, định lí Lagrange, đơn điệu hàm số, Ví dụ π Ví dụ Chứng minh phương trình cos x = x n (1) có nghiệm x = an ∈ 0; với 2 n ∈ ¥ * Tính giới hạn lim an π HD Theo định lý giá trị trung bình (1) có nghiệm x = an ∈ 0; 2 π Dãy (an ) tăng an +1 < an từ an +1, an ∈ (0; ) ta suy cos an +1 > cos an ⇒ ann++11 > ann ⇒ ann+1 > ann ⇒ an +1 > an vô lí! Vậy tồn l = lim an > Từ an = (cos an )n suy 1 l = lim an = lim (cos an ) n = (cos l )0 = Ví dụ Với n ≥ gọi xn nghiệm dương phương trình xn = xn-1 + xn-2 + … + x + a) Chứng minh lim xn = b) Hãy tìm lim (2 – xn)1/n Giải Sử dụng đẳng thức x n – = (x – 1)( x n-1 + xn-2 + … + x + 1) ta viết phương trình lại dạng xn(x – 2) + = Từ suy – xn = 1/xnn 2n Đặt Pn(x) = xn – xn-1 – xn-2 – … – x – Pn+1(2) = > 0, P ÷ < (sử dụng BĐT Becnuli) n +1 Ta thấy: x > ⇒ Pn ( x) > 0, < x < 2n ⇒ Pn ( x) < n +1 Vậy Pn(x) nghiệm x ∈ (0; 2n 2n ) ∪ (2; +∞) Trên khoảng ( ; 2) Pn(x) có nghiệm n +1 n +1 Lương Ngọc Huyên Pre VMO 2014 Mặt khác: Pn+1(xn) = xnPn(xn) – = –1, suy > x n+1 > xn Như thế, ta có – x n = 1/xnn < 1/x1n → 0, suy lim xn = Và từ (2 – xn)1/n = 1/xn → 1/2 Ví dụ (Hưng Yên 2010) Cho phương trình: x2n+1 = x + với n nguyên dương Chứng minh phương trình cho có nghiệm thực với n nguyên dương cho trước Gọi lim xn nghiệm xn Tìm n →+∞ Giải Khảo sát hàm số: f n ( x) = x 2n +1 − x − ; f n '( x) = ( 2n + 1) x 2n − f n '( x) = ⇔ x = ± n i ) f n '( x) < ⇔ − n Kết hợp bảng biến thiên nhận xét: ( 2n + 1) 1