Gv: Nguyễn Thanh Dũng PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARÍT Dạng1:1:Phương Phươngtrình trìnhmũ, mũ,lôgarít lôgarít Dạng Phương pháp chung: Bước 1: Đặt điều kiện Bước 2: thường dùng cách sau Đưa số: u +) a u = a v ⇔ u = v ; a = b ⇔ u = log a b c +) log a u = log a v ⇔ u = v ; log a u = c ⇔ u = a Đặt ẩn phụ +) Dạng Aa 2u + Ba u + C = , đặt t = a u > +) Dạng Aa u + Ba − u + C = , đặt t = a u > +) Dạng Aa 2u + B (ab)u + Cb 2u = , chia hai vế cho b 2u (hoặc a 2u (ab)u u a ) đặt t = ÷ > b Lôgarít, mũ hóa u v t u v t +) a b c = d ⇔ log a a b c = log a d ⇔ u + v log a b + t log a c = log a d v +) log a u = v ⇔ u = a Hàm số (thường dùng để chứng minh phương trình có nghiệm nhất) +) Nếu y = f(x) hàm đơn điệu tập D f ( x) = f ( xo ) ⇔ x = xo +) < a < : y = a x y = log a x nghịch biến tập xác định chúng a > : y = a x y = log a x đồng biến tập xác định chúng Bước 3: so sánh điều kiện ban đầu kết luận Chú ý: +) Phải ‘thuộc lòng’ công thức liện quan đến lũy thừa lôgarít 0 < a ≠ +) log a b có nghĩa ⇔ Do đó, log a [ f ( x) ] = log a f ( x) , f ( x) ≠ b > Bài 1: Giải phương trình sau x −3 x −3 1) 4) x 8) x −1 x ( 2) x −12 x −1 = 0, 01(10 ) 5) = 500 x+1 25 2) 0, x ÷ x −1 = 16 (0, 25) 5− x2 −3 = x x −1 −2 27 = ÷ 125 x2 −2 6) 3) x −4 =9 x ( 2) x−2 x2 −6 7) x 7 − ÷ = 4 ( 7) x2 − x +3 = 74 10) 10 x − x −12 x − = 950 9) 4.9 x −1 = 22 x +1 Bài 2: Giải phương trình sau 1) − 9.2 + = x 5) x x +2 − 9.2 x 9) 26 x + x+ +2 =5 3x x 2) 3x + 2.3 − 15 = +8 = 3) 6) 25− x + 5− x +1 = 50 10) 41+ www.nguyenthanhdung.wordpress.com x2 − x + = 9.2 x −3 − 3.4 x−2 =1 7) 64 x + 12 = 23+ x x2 −2 x x−1 1 1 4) ÷ − ÷ 4 8 8) 34 x − 4.32 = 128 x +3= 11) 41−( x +1) − 3.22−( x +1) + = Gv: Nguyễn Thanh Dũng 12) + cos x − 26.5 cos x +5 = 15) 15.2 x +1 + 15.22 − x = 135 18) ( 20) 5+2 ( ) +( x ) ( x +1 + sin x 13) 10 − ÷ ÷= x −3 16) 5.2 + = 3.25−3 x cot x 5−2 ) ) x = 10 x − = 4.2 x 19) 2 + x −9 + 4.15x 1 + x −5 ( 2+ 1 + ( x − 21− +4 ) x x =1 = 10 22) 4.22 x − x = 18.32 x 24) 5.25 x + 3.10 x = 2.4 x 25) x + 18 x = 2.27 x 2 = 3.52 x + x −9 27) 32 x − 2.3x + x + + 32( x +6) = 28) x − 2.32 x +3 = 3x + ) ( x ) x + + x+1 2− ) x = 2x +1 30) 27.2−3 x + 9.2 x − 23 x − 27.2− x = 29) 8.4 x + 8.4− x − 54.2 x − 54.2− x = −101 Bài 3: Giải phương trình sau 1) 17) 21) 2sin x + 5.2cos x = 23) 32 x + + 45.6 x = 9.22 x + 26) 32 x ( 14) a − 2.4 x +1 − a.2 x +1 = 2) x + x = 25 x 3) ( + 15 ) ( x + − 15 ) x ( = 2 ) x 4) x − + 2.3x −2 = 22 5) x = 3x − 12 x 6) 2.2 x + 3.3x = x − 7) 2− x + x = x − x + 2 8) 2sin x + 3cos x = 4.3sin x 9) x 2 x + = x + x + 10) − x.2 x + 23− x − x = 11) x + x +1 + x.3 x = x x + x + 12) 2.4 x +1 − x +1 + x + = Bài 4: Giải phương trình sau 1) log x + log x + log16 x = 2) log ( log x ) + log ( log x ) = 2 4) log ( x + 3) + log (7 − x) = log 3) log ( x − 3) + log (log x − 10) = log (5 x + 4) 5) log ( x − 3) + log ( x − 2) = 7) log x − + log ( x − 2) = 6) lg(3x − x + 2) − lg( x − x + 1) = lg 8) lg x − lg = lg( x + 2) − lg( x − 4) 2 9) lg(1 + x − x) − lg(19 + x ) = lg(1 − x) x 2 11) log ( x − x + 2) = log + log x − 2 x x 13) log (4 − 6) = log (2 − 2) = 2 2 10) log 0,25 ( x + x − 8) − log 0,5 (10 + x − x ) = 2 12) log 25 x = log x.log ( x + − 1) 14) lg( x + x + 1) + lg( x − x + 1) = lg( x + x + 1) + lg( x − x + 1) x 15) log (9 − ) = − x 16) lg(2 x + x − 13) = x − x lg 17) lg(6.5 x + 25.20 x ) = x + lg 25 18) log sin x + log cot x = 1 19) lg sin x = lg s in2x ÷ 20) log x +1 ( x − x + 8).log x −1 ( x + 1) = 2 Bài 5: Giải phương trình sau 2 1) log ( x − 1) = + log 0,5 ( x − 1) 2) lg(10 x) lg(0,1x) = lg x − 3) log x − log 3x = 4) lg( x + 1) = lg −1 ( x + 1) − =0 log x + log x = 7) log x − log x + 10) 13) log x + log x = 5) log 0,5 x + log x2 =8 2 8) log (2 x ).log (16 x) = log x www.nguyenthanhdung.wordpress.com 2 11) log x (9 x ).log x = 6) lg(lg x) + lg(lg x − 2) = 9) lg ( x − 1) + lg ( x − 1)3 = 25 12) log x − log 3 x = 14) log cos x + log (1 + cos x) = Gv: Nguyễn Thanh Dũng 15) lg ( x + 1) = lg( x + 1).lg( x − 1) + lg ( x − 1) Bài 6: Giải phương trình sau 16) lg( x − 10) lg( x + 10) = log( x − 100) − 2) ( x + 4) log ( x + 1) − ( x − 4) log ( x − 1) = log ( x − 1) 4) log ( x + 1) log ( x + 1) = 5) log (5 + x ) = log x 1) x log x = = log 27 x + x 3) log (2 + x ) = log x 6) ( x + 3) log ( x + 2) = Bài 7: Giải hệ phương trình sau 2x 2y 64 + 64 12 1) x + y 64 = 2 7) x − x + = ( x − 2) log 0,5 x x 1y 2y = 3 3) x + 3y = 2x − x y x−2 y + 2x − y − = 2) x +1 1−2 y =5 + 23 x = y − y log x − log y = x log + log y = y + log x 4) x + x +1 5) 6) =y x log 12 + log x = y + log y x − 5y + = x +2 x x+2 x x Bài 8: Tìm giá trị x để ba số log (2 − 1), log9 (2 − − 1), log (2 − 2) theo thứ tự lập thành cấp số cộng Dạng2:2:Bất Bấtphương phươngtrình trìnhmũ, mũ,lôgarít lôgarít Dạng Phương pháp chung Bước 1: Đặt điều kiện Bước 2: Dùng cách biến đổi “tương tự” dạng 1, với lưu ý < a < : + a u ≥ a v ⇔ u ≤ v ; a u ≥ b ⇔ u ≤ log a b b + log a u ≥ log a v ⇔ u ≤ v ; log a u ≥ b ⇔ u ≤ a u + a u ≥ a v ⇔ u ≥ v ; a ≥ b ⇔ u ≥ log a b b + log a u ≥ log a v ⇔ u ≥ v ; log a u ≥ b ⇔ u ≥ a Bước 3: so sánh điều kiện kết luận a >1: Bài 1: Giải bất phương trình sau 1) x < 25 x 5) x +3 2) x −6 ≥ 253 x − − < 7.2 x x −2 − 3.5 x −1 x x +1 x −1 x −2 3) − ≥ ( − ) 6) 64.3 x −8 x −8 −6 7) ≥0 4) 3x +37 x +3 ≤ 32 x x ( 2) x2 −6 x − ( − ) x + −1 ≥ x +1 5 8) (3, 24) 9) 62 x + − 33 x.2 x +8 > ≥ ÷ 9 Bài 2: Giải bất phương trình sau 2 1) x +1 + 3x + > 18 2) x −3 + < 28.3 x −3 −1 3) − x − 3.7 x +1 > x −5 5) 5.2 x < 10 x − 2.5 x 8) 3x 3x − Gv: Nguyễn Thanh Dũng Bài 3: Giải bất phương trình sau 1) x +3 − x x ≤ 16 − x3 2) 2.3x + 9.4 x ≥ 12 x + 18 4− x − 4.2− x − x − 5) ≤1 log 0,1 ( x + 3) 3) 3x ≤ x + 4) 4) log (2 − x) < log ( x + 1) 5) log − x < log − x 2 3) log8 ( x − x + 3) < x2 − 2x 6) log log8 ÷< x−3 ( ) 7) log ( x − x + 18) + log ( x − 4) < 8) log log (2 − x) ÷ < 9) log 1 + x − x < 2 10) log ( x − 6) + log x ≥ 11) log (2 − x) ≤ 12) log ( x − 1) > + log (5 − x) x −1 x −1 2 13) log (9 + 7) − < log (3 + 1) 14) log ( x − x + 12) < log ( x − 2) + log x − − 2 15) log x ( x + 1) < log (2 − x) 16) 10 − x lg5 < 5lg x < 50 − x lg5 17) log x + 2.log x2 < −1 x x x x x 18) log (16 − 2.12 ) ≤ x + 19) log x ( log (4 − 12) ) ≤ 20) log x ( log (9 − 6) ) ≥ Bài 5: Giải bất phương trình sau 1) lg(10 x) log x < log 10 2) log x − log x 27 ≤ 3) log x + − log x < 2 4) log − log x 5 + 1, 25 < 5) log (3 − 1).log3 (3 − 9) > 6) log x + log x ≥ Bài 6: Giải bất phương trình sau x−5 x −1 lg(4 x + 1) ≥ ≤ ≥1 1) 2) 3) log ( x − 2) log (9 − 3x ) − lg x 1 + log x < 4) log ( x − 2) < 5) 2 log x + x + x −1 2x −1 x x x+ Dạng3:3:Một Mộtsốsốbài bàitrong trongđềđềthi thitốt tốtnghiệp, nghiệp,đại đạihọc họcvàvàcao caođẳng; đẳng;cócótham thamsốsố Dạng Bài 1: Giải phương trình bất phương trình hệ phương trìnhsau 1) 22 x + − 9.2 x + = (TN 2006) 2) log x + log (4 x) = ; x + 2.71− x − = (TN 2007) 3) 32 x +1 − 9.3x + = ; log ( x + 2) + log ( x − 2) = log (TN 2008) 4) log ( x + 1) = + log x ; 25 x − 6.5 x + = (TN 2009) 5) x − 3x − = ; log x − 14 log x + = (TN 2010) 6) log x − log5 x − = ; x +1 − 8.7 x + = (TN 2011) 7) log x + log ( x − 8) = ; log ( x − 3) + log 3.log x = (TN 2012) 8) 25 x − 26.5 x = 25 = ; 31− x − 3x + = (TN 2013) www.nguyenthanhdung.wordpress.com Gv: Nguyễn Thanh Dũng 9) log x + log (2 x) − = (TN 2014) 10 log ( x + x + 2) = (THPT QG 2015) Năm 2002: Khối A: Cho phương trình log 32 x + log32 x + − 2m − = 0(*) a) Giải phương trình (*) m = b) Tìm m để (*) có nghiệm thuộc đoạn [1;3 ] x Khối B: Giải bất phương trình log ( log (9 − 72) ) ≤ 23 x = y − y Khối D: Giải hệ phương trình x + x +1 =y x +2 2 Năm 2003: Giải phương trình x − x − 22+ x − x = (Khối D) log ( y − x) − log y = Năm 2004: Giải hệ phương trình (Khối A) x + y = 25 x − + − y = Năm 2005: Giải hệ phương trình (khối B) 3log (9 x ) − log y = Năm 2006: Khối A: Giải phương trình 3.8 x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = x x− Khối B: Giải bất phương trình log (4 + 144) − log < + log ( + 1) 2 Khối D: a) Giải phương trình x + x − 4.2 x − x − 22 x + = b) Chứng minh với a > 0, hệ phương trình au có nghiệm e x − e y = ln(1 + x) − ln(1 + y ) y − x = a Năm 2007: Khối A: GIải bất phương trình log (4 x − 3) + log (2 x + 3) ≤ Khối B: Giải phương trình ( ) ( x −1 + ) x +1 − 2 = x x Khối D: Giải phương trình log ( + 15.2 + 27 ) + log =3 4.2 x − Năm 2008: 2 Khối A: Giải phương trình log x −1 (2 x + x − 1) + log x +1 (2 x − 1) = x2 + x log log Khối B: Giải bất phương trình ÷< 0,7 x+4 x − 3x + log ≥0 Khối D: Giải bất phương trình x CĐ: Giải phương trình log 22 ( x + 1) − log x + + = log ( x + y ) = + log ( xy ) Năm 2009: Giải hệ phương trình x2 − xy + y (Khối A) = 81 3 Năm 2010: www.nguyenthanhdung.wordpress.com Gv: Nguyễn Thanh Dũng log (3 y − 1) = x Khối B: Giải hệ phương trình x x 4 + = y 3 Khối D: a) Giải phương trình 42 x + x + + x = 42+ x + + x + x − x − x + y + = b) Giải hệ phương trình log ( x − 2) − log y = Năm 2011: a) Giải phương trình log (8 − x ) + log 2 ( ) + x + − x − = (Khối D) b) Giải bất phương trình x − 3.2 x + x − x −3 − 41+ x − x −3 > (CĐ) Năm 2012: Giải bất phương trình log (2 x).log (3 x) > (CĐ) Năm 2013: x + y = x − Khối B: Giải hệ phương trình log ( x − 1) − log ( y + 1) = Khối D: Giải phương trình log x + log (1 − x ) = log ( x − x + 2) 2 Năm 2014: a)Giải phương trình log ( x − 1) − log (3x − 2) + = (Khối D) b) Giải phương trình 32 x +1 − 4.3x + = (CĐ) Bài 2: Cho phương trình (2m + 1)9 x − m3x + m − = 0(*) Định m để phương trình (*): a) Hai nghiệm phân biệt b) Có hai nghiệm trái dấu c) Có nghiệm thuộc [0; 2] Bài 3: Cho phương trình lg( x + m) = log( x − 1)(**) Định m để phương trình (**): a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Định m để phương trình sau nghiệm với x a) m4 x + x + + 3m − > 2 b) + log ( x − x + 1) ≥ log (4 x + mx + 1) Bài 5: Định m để bất phương trình + log (4 x + m) ≥ log ( x + 1) nghiệm ∀x ∈ [1;3] www.nguyenthanhdung.wordpress.com