PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC BẰNG NHAU Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh : a) Nếu AB = AC B = C ; b) Nếu B = C AB = AC Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M điểm nằm tam giác cho MB = MC ; N trung điểm BC Chứng minh : a) AM tia phân giác góc BAC ; b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng ; c) MN đường trung trực đoạn thẳng BC Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AC, AB Trên tia đối tia MB MC lấy tương ứng hai điểm D E cho MB = MD NC = NE Chứng minh : a) AD = AE ; b) Ba điểm A, E, D thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC vng B AC = 2AB Kẻ phân giác AE (E e BC) a) Chứng minh EA = EC ; b) Tính góc A C tam giác ABC Ví dụ Cho tam giác ABC có góc A < 900 AB = AC Kẻ BD CE tương ứng vng góc với AC AB (D €AC, E € AB) Gọi O giao điểm BD CE Chứng minh rằng: a) BD = CE ; b) OE = OD OB = OC ; c) AO tia phân giác góc BAC BÀI TẬP Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh Cho ABC = A’B’C Gọi M M’ tương ứng trung điểm BC B’C’ Bết AM = A’M’ Chứng minh : a) AMB = A’M’B’ ; b) AMC = ANC"' Cho AABC Vẽ cung trịn tâm C bán kính AB, cung trịn tâm B bán kính AC Hai cung trịn cắt D (A D thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ BC) Chứng m inh CD // AB BD // AC Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox, Oy lấy tương ứng hai điểm A B cho OA = OB Vẽ đường trịn tâm A tâm B có bán kính cho chúng cắt hai điểm M, N nằm góc xOy Chứng minh : a) AOMA = AOMB AONA = AONB ; b) Ba điểm O, M, N thẳng hàng ; a) AAMN = ABMN ; d) MN tia phân giác góc AMB Cho AABC có AB = AC Gọi H trung điểm cạnh BC a) Chứng minh AH vng góc với BC tia phân giác góc BAC ; b) Trên tia đối HA lấy điểm K cho HK = HA Chứng minh CK // AB Cho AABC có AB = AC Gọi D E hai điểm BC cho BD = DE = EC a) Chứng minh EAB = DAC ; b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tia phân giác góc DAE ; c) Giả sử DAE = 600 Có nhận xét góc AAED Cho AABC Vẽ đoạn AD vng góc với AB (C D nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ AC), AE = AC Biết DE = BC Tính BAC Cho đoạn thẳng AB Hai điểm C D nằm khác phía AB cho C D cách hai điểm A B a) Chứng minh CD tia phân giác góc ACB ; b) Kết câu a có khơng C D nằm phía AB ? Trường hợp cạnh - góc - cạnh Cho góc xOy nhọn tia Oz tia phân giác góc Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B cho OA = OB Gọi C điểm tia Oz Chứng minh : a) AC = BC xAC = yBC ; b) AB vng góc với Oz Cho AABC vng A Gọi M trung điểm cạnh AC Trên tia đối tia MB lấy điểm N cho MB = MN Chứng minh : 10 11 12 13 14 15 16 17 a) CN1AC CN = AB ; b) AN = BC AN // BC Cho AABC vuông A AB < AC Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = AB Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh DE = BC; b) Chứng minh DE 1BC; c) Biết 413 = 5C Tính ALED Cho đoạn thẳng AB trung điểm O đoạn thẳng Trên nửa mặt phẳng đối bờ AB, kẻ hai tia Ax, By cho BAx = AJ3y; lấy tia Ax hai điểm C E (E nằm A C), By lấy hai điểm D F (F nằm B D) cho AC = BD, AE = BF Chứng minh : a) OC = OD, OE = OF ; b) Ba điểm C, O, D thẳng hàng; c) ED = CF Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm hai điểm A B không trùng với trung điểm đoạn thẳng AB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB kẻ hai tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy hai điểm M, M’, tia By lấy hai điểm N, N’ cho AM = BN’ = BC, BN = AM’ = AC Chứng minh : a) MC = NC, AN = BM’, AN’ = BM ; b) AN // BM AN’ // BM ; b) MN’ M’N cắt trung điểm đoạn thẳng AB Cho AABC có góc A nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tia Ax tia lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phảng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Ay lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh BE = CD BE CD ; b) Các đường thẳng AC ED vng góc với khơng ? c) Các kết có khơng góc A tù ? Cho AABC có M trung điểm BC Kẻ AH BC (H e BC) Biết AH, AM chia góc đỉnh A thành ba góc Tính góc AABC Cho AABC vng A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC điểm D Trên cạnh BC lấy điểm H cho BH = BA a) Chứng minh DH 1BC ; b) Biết ALDH = 1100, tính ALDH Cho AABC, D trung điểm AC, E trung điểm AB Trên tia đối tia DB lấy điểm N cho DN = DB Trên tia đối tia EC lấy điểm M cho EM = EC Chứng minh A trung điểm đoạn thẳng MN Cho điểm A nằm góc nhọn xOy Vẽ tia AH vng góc với Ox lấy điểm B tia đối tia HA cho HB = HA Vẽ AK vng góc với Oy lấy điểm C tia đối tia KA cho KC = KA Chứng minh : a) OB = OC ; b) Biết xOy = a, tính góc BOC 18 Cho AABC có AC > AB, tia phân giác góc A cắt BC D Trên AC lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh AD BE 19 Cho d đường trung trực đoạn thẳng AB, C điểm thuộc d Gọi Cx tia đối tia CA, Cy tia phân giác góc BCx Chứng minh Cy d 20 Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt tạo trung điểm O đoạn thẳng Lấy điểm E, F theo thứ tự AD BC cho AE = BF Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng 21 Cho AABC Kẻ BD vng góc với AC ; kẻ CE vng góc với AB Trên tia đối tia BD lấy điểm H cho BH = AC ; tia đối tia CE lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh AH = AK 22 Cho AABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm C, vẽ tia Ax vng góc với AB lấy điểm D tia cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Ay vuông góc với AC lấy điểm E tia cho AE = AC Chứng minh : DF a) AM = —; b) AM DE Trường hợp góc - cạnh - góc 23 Cho AABC có B = C Gọi I trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D, tia DI lấy điểm E cho I trung điểm DE Chứng minh : a) BD = CE ; b) CB tia phân giác góc ACE 24 Cho AABC vng A có AB = AC Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm phía xy) Kẻ BD CE vng góc với xy (D, E e xy) a) Chứng minh DE = BD + CE ; b) Kết câu a) thay đổi B, C nằm khác phía xy ? 25 Cho AABC vng A có AB = AC Trên cạnh AB, AC lấy tương ứng hai điểm D E cho AD = AE Từ A D kẻ đường vng góc với BE cắt BC theo thứ tự M N Tia ND cắt tia CA I Chứng minh : a) A trung điểm CI; b) CM = MN 26 Cho AABC vuông A Gọi M trung điểm cạnh BC Trên tia AM lấy điểm N cho M trung điểm AN Chứng minh : a) CN = AB CN // AB ; b) BC = 2AM 27 Cho AABC Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ AF 1AB AF = AB; nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ AH 1AC AH = AC Gọi D trung điểm cạnh BC, I điểm tia đối tia DA cho DI = DA Chứng minh : a) AI = FH ; b) DA 1FH 28 Cho AABC, D trung điểm cạnh AB, E trung điểm cạnh AC Vẽ điểm F cho E trung điểm DF Chứng minh : a) BD = CF ; b) DE // BC DE = ỈBC 29 Cho AABC Gọi M trung điểm BC , I trung điểm AM Tia CI cắt cạnh AB D Chứng minh : a) BD = 2AD ; b) CD = 4ID 30 Cho AABC có AB = AC Gọi M trung điểm AB Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BA = BD Chứng minh CD = 2CM 31 Cho AABC Kẻ BD CE tương ứng vng góc với AC AB (D e AC, E e AB) Gọi M, N trung điểm BC, DE Chứng minh MN1 DE 32 Cho AABC có góc A nhọn Trên nửa mặt phang bờ AB có chứa điểm C vẽ AD 1AB AD = AB ; nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B vẽ AE 1AC AE = AC Kẻ AH 1ED (H e ED) Chứng minh đường thẳng AH qua trung điểm M cạnh BC 33 Cho AABC có A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh BE + CD = BC 34 Cho AABC có A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh ID = IE 35 Cho đoạn thẳng AB, O trung điểm AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax By vng góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax Đường vng góc với OC O cắt tia By D Chứng minh CD = AC + BD 36 Trên cạnh BC AABC lấy điểm E F cho BE = CF Qua E F, vẽ đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự G H Chứng minh AB = EG + FH 37 Cho AABC vuông A, AB = AC Qua A vẽ đường thẳng d cho B C nằm phía đối với đường thẳng d Kẻ BH CK vng góc với d Chứng minh : a) AH = CK ; b) HK = BH + CK 38 Cho AABC Vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AB (D C nằm kahsc phái AB) Vẽ đoạn thẳng AE vng góc với BC Đường thẳng HA cắt DE K Chứng minh DK = KE Các trường hợp tam giác vuông 39 Cho AABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Kẻ Bh 1AD (H e AD), kẻ CK 1AE (K e AE) CMR : a) BH = CK ; b) AAHB = AAKC ; c) BC // HK 40 Cho AABC cân A, góc A nhọn Kẻ BD AC (D e AC), kẻ CE AB (E e AB) Gọi I giao điểm BD CE Chứng minh : a) AD = CE ; b) AI phân giác góc BAC 41 Cho AABC vng A Từ A kẻ AH BC Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA Kẻ EK 1AC (K e AC) Chứng minh AK = AH 42 Cho AABC vuông cân A, M trung điểm BC, điểm E nằm M C Kẻ BH, CK vng góc với AE (H K thuộc đường thẳng AE) Chứng minh : a) BH = AK ; b) AMBH = AMAK ; c) AMHK vuông cân 43 Cho AABC vuông A (AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE cắt tia DH K Chứng minh : a) BA = BH ; b) DBK = 450 44 Cho AABC vuôn cân A Một đường thẳng d ln qua A Kẻ BH CK vng góc với d Chứng minh tổng BH2 + CK2 có giá trị khơng đổi BÀI TẬP TỔNG HỢP 45 Cho AABC cân A Trên tia đối tia BC CB lấy thứ tự hai điểm D E cho BD = CE Gọi M trung điểm BC Chứng minh : a) AADE cân ; b) AM tia phân giác góc DAE ; c) BH = CK, với H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B, C đến AD AE d) Ba đường thẳng AM, BH CK gặp điểm 46 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác ACD BEC Gọi M N trung điểm AE BD Chứng minh : a) AE = BD ; b) AMCN tam giác 47 Cho AABC cân A, phân giác CD Qua D kẻ tia DF vng góc với DC tia DE song song với BC (F e BC, E e AC) Gọi M giao điểm DE với tia phân giác góc BAC Chứng minh : a) CF = 2BD ; b) CF = 4DM 48 Cho AABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh : a) DM = EN ; b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN ; c) Đường thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC 49 Cho AABC nhọn Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác ABD ACE vuông cân A Gọi M N trung điểm BD CE, P trung điểm BC Chứng minh APMN vuông cân 50 AABC cân B, có 13 = 800 I điểm nằm tam giác cho IAC = 10 ICA = 300 Tính AIB 51 Cho AABC cân A có A = 200 Từ B C kẻ đường thẳng cắt cạnh đối diện D E Biết CBD = 600, BCE = 500 Tính BDE 52 Cho AABC có A = 1200, phân giác AD Kẻ DE DF tương ứng vng góc với AB AC Trên đoạn thẳng BE FC đặt EK = FI a) Chứng minh ADEF ; b) Chứng minh ADIK cân ; c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt BA M Chứng minh AAMC ; d) Tính độ dài AD biết CM = m CF = n 53 Cho góc vng xOy Vẽ cung trịn tâm O, bán kính tuỳ ý cắt Ox A, cắt Oy B Từ điểm C tuỳ ý cung AB (C khác A B) kẻ đường thẳng song song với Ox A’ cắt Oy B’ Chứng minh tổng CA’2 + CB’2 khơng phụ thuộc vào vị trí điểm C cung AB ... AABC nhọn Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác ABD ACE vuông cân A Gọi M N trung điểm BD CE, P trung điểm BC Chứng minh APMN vuông cân 50 AABC cân B, có 13 = 800 I điểm nằm tam giác cho IAC = 10 ICA... C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác ACD BEC Gọi M N trung điểm AE BD Chứng minh : a) AE = BD ; b) AMCN tam giác 47 Cho AABC cân A, phân giác CD Qua D kẻ tia DF vng góc với DC tia... = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh BE + CD = BC 34 Cho AABC có A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB