Chuyờn : phương pháp tam giác Mụn: Hỡnh học Lớp: Người thực hiện: Lê Thị Kim Oanh Thực ngày 24 tháng 1năm 2008 I Mục tiêu Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng: 1.Biết vận dụng trường hợp tam giác để chứng minh hai tam giác nhau; Nắm bước chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc nhau; Biết vẽ thêm đường phụ để tạo hai tam giác Hiểu bước phân tích tốn, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng kiến thức trang bị để giải toán II Các tài liệu hỗ trợ: - Bài tập nâng cao số chuyên đề tốn -Hình học nâng cao THCS - Vẽ thêm yếu tố phụ để giải tốn hình học - Bồi dưỡng toán - Nâng cao phát triển toán -… III Nội dung Kiến thức cần nhớ Ta biết hai tam giác suy cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng Đó lợi ích việc chứng minh hai tam giác * Các trường hợp tam giác a Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tương ứng tam giác hai tam giác b Trường hợp cạnh - góc - cạnh: Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác c Trường hợp góc - cạnh - góc: Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác * Muốn chứng minh hai đoạn thẳng(hay hai góc) ta thường làm theo bước sau: - Xét xem hai đoạn thẳng(hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác - Chứng minh hai tam giác - Suy hai cạnh (hay hai góc) tương ứng * Để tạo hai tam giác nhau, ta phải vẽ thêm đường phụ nhiều cách: - Nối hai cạnh có sẵn hình để tạo cạnh chung hai tam giác - Trên tia cho trước, đặt đoạn đoạn thẳng khác ThuVienDeThi.com - Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng song song với đoạn thẳng - Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng vng góc với đoạn thẳng Ngồi cịn nhiều cách khác ta tích luỹ kinh nghiệm giải nhiều tốn Các ví dụ: 2.1 Ví dụ 1(BTNC&MSCĐ/123) Cho góc vng xOy, điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Lấy điểm E tia đối tai Ox, điểm F tia Oy cho OE= OB, OF= OA a Chứng minh AB = EF, AB EF b Gọi M N trung điểm AB y EF Chứng minh tam giác OMN vuông cân Giải: F · GT xOy = 900; A Ox, B Oy H B OE = OB, OF= OA N M M AB: MA = MB N EF: NE = NF E KL a, AB = EF, AB EF A x O b V OMN vuông cân Chứng minh a Xét V AOB V FOE có: OA = OF ( GT) ·AOB = FOE · = 900 V AOB V FOE(C.G.C) OB = OE (GT) AB = EF( cạnh tương ứng) µ µ (1) ( góc tương ứng) A = F µ = 900 E µ+F µ = 900 (2) Xét V FOE : O · Từ (1) (2) Eµ + µA = 900 EAH =900 EH HA hay AB EF b Ta có: BM = AB( M trung điểm AB) EN = 2EF( M trung điểm EF) BM = EN Mà AB = EF µ = 900 E µ = 900 µ+F Mặt khác: V FOE : O µ = 900 µ µ = 900 µ µ= B V OAB : O A+B E 1 µ µ (cmt) A = F Mà Xét V BOM V EON có : OB = OE (gt) µ = E µ (cmt) B V BOM = V EON (c.g.c) BM = EN (cmt) OM = ON (*) ¶ = O ¶ Và O ¶ +O ¶ =900 nên O ¶ +O ¶ =900 MON · Mà O = 900 (**) 3 Từ (*) và(**) V OMN vuông cân 2.2 VD2( BT26/VTYTP/62): Cho V ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Nối D với E Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng ThuVienDeThi.com Giải A GT V ABC: AB = AC D AB, E AC: BD=CE I DE: ID = IE KL B, I, C thẳng hàng D B F I C E · + EIC · * Phân tích: B, I, C thẳng hàng BIE = 1800 · = EIC · Cần c/m BID · + BIE · = 180 Mà BID Cần tạo điểm F cạnh BC: V EIC = V DIF Chứng minh · Kẻ DF// AC( F BC) DFB = ·ACB ( hai góc đồng vị) · DFB = ·ABC Mà V ABC cân tai A ·ABC = ·ACB (t/c) V DFB cân tai D DB = DF Xét V DIF Và V EIC có: ID = IE (gt) · · = CEI (SLT, DF// AC) V DIF = V EIC(c.g.c) FDI DF = EC (=BD) · · DIF = EIC (hai góc tương ứng) (1) · · = 1800 (2) Vì I DE nên DIF + FIE · · = 1800 hay EIC · · = 1800 B, I, C thẳng hàng Từ (1) (2) EIC + FIE + EIB 2.3 VD 3:(BTNC&MSCD/123) Cho V ABC, µA = 600 Phân giác BD, CE cắt O Chứng minh : a V DOE cân b BE + CD= BC Giải A µ V ABC, A =60 E BD: Phân giác Bµ (D AC) D O µ GT CE: Phân giác C (E AB) BD CE = {O} KL a V DOE cân C B F b BE + CD= BC Chứng minh Ta có: V ABC: Bµ + Cµ =1800 - µA =1800 - 600 = 1200 (Định lý tổng ba góc tam giác) µ B Mà Bµ1 = (BDlà phân giác Bµ ) µ µ = C (CE phân giác C µ) C ThuVienDeThi.com µC µ 1200 B Nên Bµ1 + Cµ1 = = = 600 2 · V OBC: BOC = 1800 - ( Bµ1 + Cµ1 )= 1800 - 600=1200((Định lý tổng ba góc tam giác) · ¶ = 1800( kề bù) Mặt khác: BOC +O ¶ =O ¶ =600 O · ¶ = 1800( kề bù) BOC +O · · ¶ =O ¶ = BOC =600 Vẽ phân giác OF BOC (F BC) O ¶ =O ¶ =O ¶ =O ¶ =600 Do : O Xét V BOE v V BOF cú: ả = B (BDl phõn giác B µ) B BO cạnh chung V BOE = V BOF(g.c.g) ¶ =O ¶ =600 O OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng) Và BE = BF c/m tương tự V COD = V COF(g.c.g) OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng) CD = EF Từ (1 ) (2) OE = OD V DOE cân b Ta có BE = BF CD = CF (cmt) BE+CD=BF+FC=BC Vậy : BE + DC= BC * Nhận xét: · - VD cho ta thêm cách vẽ đường phụ:Vẽ phân giác OF BOC Khi OF đoạn thẳng trung gian để so sánh OD với OE - Ta vẽ thêm đường phụ cách khác: Trên BC lấy điểm F:BF= BE Do cần c/m V BOE = V BOF(g.c.g) V COD = V COF(g.c.g) Bài tập 3.1.Bài tập 1: 62- BTNC&MSCĐ/117) Tam giác ABC tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C' Hai góc A A'bù Vẽ trung tuyến AM kéo dài đoạn MD=MA Chứng minh: a ·ABD = µA ' b AM = B'C' Giải GT V ABC, V A'B'C': AB=A'B', AC= A'C' µ A+ µ A ' = 1800 M BC: MB=MC D AM: MD=MA KL a ·ABD = µA ' b AM = B'C' A A' B B' ThuVienDeThi.com C' M D C Chứng minh Xét V AMC V DMB có: AM = MD (gt) ·AMC = DMB · (đối đỉnh) V AMC = V DMB (c.g.c) MC = MB( gt) AC = BD ( hai cạnh tương ứng) µ = D µ ( hai góc tương ứng) AC//BD ( có cặp góc SLT nhau) A · BAC + ·ABD = 1800(hai góc phía) · Mà BAC + µA ' = 1800(gt) ·ABD = µ A' b Xét V ABD V B'A'C' có: AB = A'B'(gt) ·ABD = µ A ' (cmt) V ABD V B'A'C'(c.g.c) BD = A'C'(=AC) AD = B'C' ( hai cạnh tương ứng) Mà AM = AM = AD (gt) B'C' * Nhận xét: Hai tam giác có hai cặp cạnh cặp góc xen chúng bù trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác nửa cạnh thứ ba tam giác 3.2 BT2: 63- BTNC&MSCĐ/117) Cho tam giác ABC vẽ tam giác tam giác vuông cân A ABE ACF Chứng minh: a BF = CE BF CE b Gọi M trung điểm BC CMR: AM = EF Giải F E V ABC V ABE: µ A = 900, AB = AE GT V ACF: µA = 900, AC = AF A I M BC: MB=MC O KL a.BF = CE BF CE b.AM = EF Chứng minh B ThuVienDeThi.com M C · · · · a Ta có: EAC = EAB + BAC = 900 + BAC · · · · BAF = BAC + CAF = 900 + BAC · · EAC = BAF Xét V ABF V AEC có: AB = AE(gt) · · BAF = EAC (cmt) V ABF = V AEC(c.g.c) AF = AC (cmt) BF = CE ( hai cạnh tương ứng) Bµ1 = Eµ1 ( hai góc tương ứng) (1) Gọi O I giao điểm CE với BF AB Xét V AEI vng A có Eµ1 + Iµ1 = 900(2) Và Iµ1 = Iµ2 (đối đỉnh) (3) · Từ (1), (2) (3) Bµ1 + Iµ2 =900 BOI = 900 BF CE · · · · b Ta có: EAB + BAC + CAF + FAE = 3600 · · · · BAC + FAE = 3600 - ( EAB + CAF ) =3600-(900+900)=1800 Ta thấy: V ABC V EAF có hai cặp cạnh cặp góc xen chúng bù nên trung tuyến AM = EF 3.3 BT3(HHNC/56): Cho V ABC vẽ tam giác tam giác vuông cân A ABE ACF Vẽ AH vng góc với BC Đường thẳng AH giao EF O CMR: O trung điểm EF Giải F V ABC K O E A = 900, AB = AE V ABE: µ I µ GT V ACF: A = 90 , AC = AF A AH BC ( H BC) AH EF ={O} KL O trung điểm EF B Chứng minh Kẻ EI AH, FK AH (I, K AH) Xét V AEI V ABH có: $I = H µ = 900 AE = AB (gt) · · EAI = BAH ( cặp góc có cạnhThuVienDeThi.com tương ứng vng góc nhọn) H C V AEI = V ABH (cạnh huyền- góc nhọn) EI = AH ( hai cạnh tương ứng) Tương tự: V AFK = V CAH (cạnh huyền- góc nhọn) FK = AH ( hai cạnh tương ứng) Xét V OEI V OFK có: µ = 900 $I = K EI = FK (=AH) V OEI = V OFK(g.c.g) · · (SLT, EI//FK) KFO = IEO OE = OF ( hai cạnh tương ứng) Mà O EF(gt) O trung điểm EF 3.4 BT4( 88/ BDT7/101) Cho V ABC có µA = 600 Dựng ngồi tam giác tam giác ABM CAN a CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng b c/m BN = CM · c Gọi O giao điểm BN CM Tính BOC Giải M A N GT V ABC : µA = 600 V ABM: AB= BM=MA V CAN: AC=CN=NA BN CM = {O} Kl a A,M,N thẳng hàng b BN=CM · c BOC =? O B C Chứng minh · · a V ABM, V CAN BAM = CAN =600 · · · · Vậy MAN = BAM + BAC + CAN = 600+600+600=1800 M,A,N thẳng hàng b.Xét V ABN V ACM có: AB = AM (gt) · · BAN = CAM (=1200) V ABN = V ACM(c.g.c) AN=AC(gt) BN = CM ( hai cạnh tương ứng) ¶ ( hai góc tương ứng) Và Cµ1 = N · c BOC góc ngồi V OCN ThuVienDeThi.com · · · · BOC = OCN + ONC = Cµ1 + ÃACN + ONC ả (cmt) M Cà = N 1 · ¶ + ·ACN + ONC · BOC =N = ·ACN + ·ANC =600+600=1200 3.5.BT5(35/NC&PT/37) Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác hai cạnh trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác hai tam giác Giải A' GT V ABC, V A'B'C': AB = A'B', AC= A'C' A 2 M BC: MB=MC M' B'C': M'B'=M'C' M' AM=A'M' C' M B C B' KL V ABC= V A'B'C' 1 D Chứng minh Lấy D AM: MD=MA Lấy D' A'M': M'D'=M'A' Xét V ABM V DMC có: MB=MC(gt) ·AMB = CMD · (đối dỉnh) V ABM V DMC(c.g.c) AM = MD(cách lấy điểm D) CD= AB( hai cạnh tương ứng) ¶ (1)( hai góc tương ứng) Và ¶A2 = D ¶ ' (2) C/m tương tự ; C'D'=A'B'; ¶A '2 = D Xét V ACD V A'C'D' có: AC = A'C'(gt) AD=A'D'(vì AM=A'M') V ACD = V A'C'D'(c.g.c) CD=C'D'(=AB) =ả ả =D ả ' (3) A A '1 D 1 µ =¶ · Từ (1), (2),(3) ¶A2 = ¶A '2 mà A A '1 BAC = B· ' A ' C ' Vậy V ABC= V A'B'C'(c.g.c) * cách 2: V AMC V A'M'C' có: AM=A'M'(gt) µ =¶ A A '1 (cmt) V AMC = V A'M'C'(c.g.c) AC= A'C'(gt) MC = M'C'( hai cạnh tương ứng) 1 BC; M'C' = B'C'(gt) Do đó: BC=B'C' 2 Vậy V ABC= V A'B'C'(c.c.c) ThuVienDeThi.com Mà MC = D' Chốt lại phần lý thuyết lưu ý vận dụng chuyên đề: Khi cần phải chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc 5.Bài tập nhà: · Cho tam giác ABC cân đáy BC BAC =200 Trên cạnh AB lấy điểm E cho · · BCE =500 Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD =600 Qua D kẻ đường thẳng song song với BC,nó cắt AB F Gọi O giao điểm BD CF a C/m V AFC= V ADB b C/m V OFD V OBC tam giác c Tính số đo góc EOB d C/m V EFD = V EOD d Tính số đo góc BDE ThuVienDeThi.com ... Nhận xét: Hai tam giác có hai cặp cạnh cặp góc xen chúng bù trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác nửa cạnh thứ ba tam giác 3.2 BT2: 63- BTNC&MSCĐ/117) Cho tam giác ABC vẽ tam giác tam giác vuông... 3.5.BT5(35/NC&PT/37) Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác hai cạnh trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác hai tam giác Giải A' GT V ABC, V A'B'C': AB = A'B', AC= A'C' A 2 M BC:... V ABC: Bµ + Cµ =1800 - µA =1800 - 600 = 1200 (Định lý tổng ba góc tam giác) µ B Mà Bµ1 = (BDlà phân giác Bµ ) µ µ = C (CE phân giác C µ) C ThuVienDeThi.com µC µ 1200 B Nên Bµ1 + Cµ1 = = = 600