CHƯƠNG v đạo hàm

ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG V ĐẠO HÀM §1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I– ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM: Đònh nghóa đạo hàm điểm: Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a; b) x0  (a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim xx f ( x)  f ( x0 ) giới hạn gọi đạo hàm x  x0 hàm số y = f(x) điểm x0 kí hiệu f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là: f'(x0) = lim xx f ( x)  f ( x0 ) x  x0 * Chú ý:  Đại lượng x = x - x0 gọi số gia đối số x  Đại lượng y = f(x) - f(x0) = f(x0 + x) - f(x0) gọi số gia tương ứng hàm số Vậy: y’(x0) = lim x0 y x Cách tính đạo hàm đònh nghóa: Quy tắc:  Bước 1: Giả sử x số gia đối số x0, tính y  f ( x0  x)  f ( x0 ) y x y  Bước 3: Tìm lim x  x  Bước 2: Lập tỉ số Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số : Đònh lí 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm * Chú ý: a) Đònh lí tương đương với khẳn g đònh: Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn x0 đạo hàm điểm b) Mệnh đề đảo Đònh lí không Một hàm số liên tục điểm đạo hàm điểm NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ý nghóa hình học đạo hàm: a) Tiếp tuyến đường cong phẳng: Là y đường thẳng tiếp xúc với đường cong (C) f(x) điểm M; điểm M gọi tiếp điểm b) Ý nghóa hình học đạo hàm: Cho hàm f(x ) số y = f(x) xác đònh khoảng (a; b) có đạo hàm x0  (a; b) Gọi (C) đồ thò hàm số Đònh lí: Đạo hàm hàm số y = f(x) O điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến M0T (C) điểm M0(x0; f(x0)) c) Phương trình tiếp tuyến: Đònh lí: Phương trình tiếp tuyến đồ thò (C) hàm số y = f(x) điểm M 0(x0; f(x0)) là: y - y0 = f'(x0)(x - x0) y0 = f(x0) (C) M T M0 x0 x x II– ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG: Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm khoảng (a; b) có đạo hàm điểm x khoảng Khi đó, ta gọi hàm số f': (a; b)  R x  f'(x) đạo hàm hàm số y = f(x) khoảng (a; b), kí hiệu y’ hay f’(x) Tính đạo hàm định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x định nghĩa ta thực bước: B1: Giả sử x số gia đối số x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0) y  x 0  x B2: Tính lim NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM I– ĐẠO HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ THƯỜNG GẶP: Đònh lí 1: Hàm số y  x n ( n  N , n  1) có đạo hàm x  R và: (xn)' = nxn - * Nhận xét: Đạo hàm hàm 0: Đạo hàm hàm số y = x 1: (c') = (c = const) (x)' = Đònh lí 2: Hàm số y = x có đạo hàm x dương và: ( x )'  x II– ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG: Đònh lí: Giả sử u = u(x), v = v(x) hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác đònh Ta có:  (u + v)' = u' + v';  (u - v)' = u' - v'; u  ( v )'  Tổng quát: (u1  u2   un)' = (u1)'  (u2)'   (un)'  (u.v)' = u'v + v'u; u' v  v ' u (v v2 = v(x) ≠ 0) Hệ quả: Hệ 1: Nếu k số (ku)' = ku' v Hệ 2: ( )'   v' v2 ( v  v ( x )  0) III– ĐẠO HÀM CỦA HÀM HP: Hàm hợp: Giả sử u = g(x) hàm số x, xác đònh khoảng (a; b) lấy giá trò khoảng (c; d); y = f(u) hàm số u, xác đònh (c; d) lấy giá trò R Khi đó, ta lập hàm số xác đònh (a; b) lấy giá trò R theo quy tắc sau: x  f(g(x)) Ta gọi hàm số y = f(g(x)) hàm hợp hàm y = f(u) với u = g(x) Đạo hàm hàm hợp: Đònh lí: Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x u'x hàm số y = f(x) có đạo hàm u y'u hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x là: y'x = y'u.u'x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Giới hạn hàm số y = Đònh lí 1: lim x 0 sin x 1 x sin x : x Đạo hàm hàm số y = sinx: Đònh lí: Hàm số y = sinx có đạo hàm x  R (sinx)’ = cosx * Chú ý: Nếu y = sinu u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu Đạo hàm hàm số y = cosx: Đònh lí: Hàm số y = cosx có đạo hàm x  R (cosx)’ = -sinx * Chú ý: Nếu y = cosu u = u(x) thì: (cosu)’ = -u’.sinu Đạo hàm hàm số y = tanx: * Đònh lí: Hàm số y = tanx có đạo hàm x ≠ (tan x )'   + k, k  Z và: cos x * Chú ý: Nếu y = tanu u = u(x) ta có: (tan u)'  u' cos u Đạo hàm hàm số y = cotx: Đònh lí: Hàm số y = cotx có đạo hàm x ≠ k, k  Z và: (cot x )'   sin x * Chú ý: Nếu y = cotu u = u(x), ta có: (cot u)'   u' sin u NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §4 VI PHÂN Đònh nghóa: Ta gọi tích f'(x)x vi phân hàm số y = f(x) x ứng với số gia x Kí hiệu df(x) dy, tức là: dy = df(x) = f'(x)x * Chú ý: Áp dụng đònh nghóa vào hàm số y = x, ta có: dx = d(x) = (x)'x = 1.x = x Do đó, với hàm số y = f(x) ta có: dy = df(x) = f'(x)dx Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng: f(x0 + x)  f(x0) + f'(x0)x §5 ĐẠO HÀM CẤP HAI I– ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x  (a; b) Khi đó, hệ thức y' = f'(x) xác đònh hàm số khoảng (a; b) Nếu hàm số y' = f'(x) lại có đạo hàm x ta gọi đạo hàm y' đạo hàm cấp hai hàm số y = f(x) kí hiệu y'' f''(x) * Chú ý:  Đạo hàm cấp ba hàm số y = f(x) đònh nghóa tương tự kí hiệu y''' f'''(x) f3(x)  Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1, kí hiệu fn - 1(x) (n N, n  4) Nếu fn - 1(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f(x), kí hiệu y(n) fn(x) fn(x) = (f(n - 1)(x))' II– Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI: Đạo hàm cấp hai f''(t) gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t Ví dụ: Xét chuyển động có phương trình s(t) = Asin(t + ) (A, ,  số) Tìm gia tốc tức thời thời điểm t chuyển động NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ... Ta gọi hàm số y = f(g(x)) hàm hợp hàm y = f(u) với u = g(x) Đạo hàm hàm hợp: Đònh lí: Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x u'x hàm số y = f(x) có đạo hàm u y'u hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x là:... §2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM I– ĐẠO HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ THƯỜNG GẶP: Đònh lí 1: Hàm số y  x n ( n  N , n  1) có đạo hàm x  R và: (xn)' = nxn - * Nhận xét: Đạo hàm hàm 0: Đạo hàm hàm số y = x 1:... §5 ĐẠO HÀM CẤP HAI I– ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x  (a; b) Khi đó, hệ thức y' = f'(x) xác đònh hàm số khoảng (a; b) Nếu hàm số y' = f'(x) lại có đạo hàm x ta gọi đạo hàm