file bao gồm tất cả lý thuyết, cách giải cùng các tính chất quan trọng về phần cực trị điện xoay chiều. Ngoài ra còn mở rộng về phần bài toán về máy phát điện xoay chiều, đồ thị cũng như kinh nghiệm giải nhanh
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 MỤC LỤC Sự thay đổi R mạch R-L-C mắc nối tiếp 1.1 Hiệu điện (U) 1.1.1 Giá trị R làm cho UR cực đại 1.1.2 Giá trị R làm cho UL, UC, ULC, Ud cực đại 1.1.3.a URL không đổi R biến thiên 1.1.3.b URC không đổi R biến thiên 1.1.3.c UR không đổi R biến thiên 1.2 Công suất (P) 1.2.1.a Có hai giá trị R1 R2 cho giá trị công suất 1.2.1.b Giá trị R làm cho Pmạch cực đại 1.2.1.c Khảo sát biến thiên công suất vào giá trị R 1.2.2 Giá trị R làm cho PR cực đại 1.2.3 Giá trị R làm cho Pd cực đại 10 Sự thay đổi L mạch R-L-C mắc nối tiếp 10 2.1 Hiệu điện (U) 10 2.1.1 Giá trị ZL để UR, UC, URC cực đại 10 2.1.2.a Giá trị ZL để UL cực đại 10 2.1.2.b Có hai giá trị L1 L2 cho giá trị UL,giá trị L để ULmax tính theo L1 L2 12 2.1.3 Giá trị ZL để hiệu điện URL cực đại 13 2.2 Công suất (P) 14 2.2.1 Có hai giá trị L1 L2 cho giá trị công suất 15 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 2.2.2 Khảo sát biến thiên công suất theo cảm kháng 15 Sự thay đổi C mạch R-L-C mắc nối tiếp 16 3.1 Hiệu điện (U) 16 3.1.1 Giá trị ZC để UR, UL, URL cực đại 16 3.1.2.a Giá trị ZC để UC cực đại 17 3.1.2.b Có hai giá trị C1 C2 cho giá trị UL giá trị ZC để UCmax tính theo C1 C2 18 3.1.3 Giá trị ZC để hiệu điện URC cực đại 18 3.2 Công suất (P) 18 3.2.1 Có hai giá trị C1 C2 cho giá trị công suất 19 3.2.2 Khảo sát biến thiên công suất theo dung kháng 19 Sự thay đổi mạch R-L-C mắc nối tiếp 20 4.1 Hiệu điện (U) 20 4.1.1 Giá trị làm cho UR cực đại 20 4.1.2.a Giá trị làm cho UL cực đại 20 4.1.2.b Có hai giá trị 1 ≠ 2 cho giá trị UL 22 4.1.3.a Giá trị làm cho UC cực đại 23 4.1.3.b Có hai giá trị 1 ≠ 2 cho giá trị UC 24 4.2 Công suất (P) 24 4.2.1 Giá trị làm cho Pmax, PRmax, Pdmax 24 4.2.2 Có hai giá trị 1 2 cho công suất giá trị làm cho Pmax tính theo 1 2 25 4.2.3 Khảo sát biến thiên công suất theo 25 Biên soạn: Nguyễn Hồng Qn 2014 Một số tốn khác 27 Cực trị máy điện 28 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG ĐIỆN XOAY CHIỀU (MẠCH CĨ R, L, C MẮC NỐI TIẾP) Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị biểu thức xuất phát từ công thức tổng quát chúng, thực phép biến đổi theo quy tắc tử số mẫu số đại lượng biến thiên để biểu thức thay đổi (chia tử mẫu cho tử số chẳng hạn ) Bổ đề : • Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số khơng âm a, b Dấu xảy a = b • Hàm số bậc hai , với a > đạt giá trị nhỏ điểm Khơng nói đến r r = Mạch có R biến thiên 1.1 Hiệu điện (U) 1.1.1 Giá trị R làm cho UR cực đại U R IR= U R (Z L ZC ) 2 R U Z ZC 1 L R2 =>UR cực đại R = ∞ Z = ∞ = R UR=U Mặt khác UR cực tiểu R = UR = Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ có kết tương tự 1.1.2 Giá trị R làm cho UL, UC, ULC, Ud cực đại Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 L, C, r = const muốn giá trị cực đại cường độ dịng điện qua mạch phải cực đại Mặt khác: L, C, r = const muốn giá trị cực tiểu cường độ dòng điện qua mạch phải cực tiểu - L, C, r = const => Khơng có R1 R2 để Z1=Z2 Khơng có R1 R2 để I1=I2, UL1=UL2, UC1=UC2, ULC1=ULC2 - Khơng có R1 R2 để URL1 = URL2 ; URC1 = URC2 1.1.3.a URL không đổi R biến thiên Đoạn mạch RLC nối tiếp mắc theo thứ tự C , L(r=0) , R U RL U R Z L2 R (Z L ZC ) U 2Z L ZC Z C2 1 R Z L2 URL không phụ thuộc R 2ZL ZC ZC2 ZC=2ZL URL = U Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ có kết tương tự 1.1.3.b URC khơng đổi R biến thiên Đoạn mạch RLC nối tiếp mắc theo thứ tự L(r=0), C, R U RC U R ZC2 R (Z L ZC ) U 2Z L ZC Z L2 1 R ZC2 URC không phụ thuộc R 2ZL ZC Z2L ZL = 2ZC URC = U 1.1.3.c UR không đổi R biến thiên Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 UR = const R biến thiên ZL = ZC UR = U Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ có kết tương tự 1.2 Cơng suất (P) Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu hai đầu ổn định : u U cos(t u ) R L,r R biến trở, giá trị R0 , L C không đổi C Gọi Rm == R + r A B 1.2.1.a Có hai giá trị R1 R2 cho giá trị công suất - Công suất tiêu thụ mạch : P Rm I Rm U2 Rm2 ( Z L ZC )2 - Vì P1 = P2 = P nên ta xem cơng suất phương trình số không đổi ứng với hai giá trị R1 R2 Khai triển biểu thức ta có: PRm2 RmU P(Z L ZC )2 Nếu có giá trị điện trở cho giá trị cơng suất phương trình bậc có hai nghiệm phân biệt R1 R2 Theo định lý Viète (Vi-et): R1m R2 m ( Z L ZC ) ( R1 r )( R2 r ) ( Z L Z C ) U2 U2 R R R R r 1m 2m P P - Từ ta thấy có giá trị R1 R2 khác cho giá trị công suất Tan1 R R Z L ZC R 1m m m R1m R1m R1m Tan2 R R Z L ZC R 1m m 1m R2 m R2 m R2 m Tan1Tan2 1 2 Tan > ZL > ZC Tan < ZL < ZC Biên soạn: Nguyễn Hồng Qn 2014 Lưu ý: Cơng thức khác với trường hợp điện áp tức thời vuông pha: Tan1Tan2 1 1 2 1.2.1.b Giá trị R làm cho Pmạch cực đại - Ta có: P Rm I Rm - Đặt A Rm A Rm U2 Rm2 ( Z L ZC )2 U2 ( Z ZC )2 Rm L Rm ( Z L ZC )2 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A Rm ( Z L ZC )2 ( Z ZC )2 Rm L Z L ZC const Rm Rm - Ta thấy Pmax Amin => “ =” xảy Vậy: Rm Z L ZC - Khi giá trị cực đại cơng suất là: Pmax U2 U2 U2 Z L ZC R1td R2td ( R1 R0 )( R2 R0 ) Hệ số công suất đoạn mạch là: Với R1td R2td hai giá trị R cho giá trị công suất Lưu ý: Khi Z L ZC r giá trị biến trở R < 0, giá trị biến trở làm cho cơng suất tồn mạch cực đại R = 1.2.1.c Khảo sát biến thiên công suất vào giá trị R Để thấy rõ phụ thuộc công suất toàn mạch vào giá trị biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số: - Ta có cơng suất tồn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho hàm số: Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 P Rm I Rm U2 Rm2 ( Z L Z C )2 Rm R r Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có: P' ( R) U - ( Z L ZC )2 Rm2 ( Rm2 ( Z L ZC ) ) Khi P' ( R) (Z L ZC )2 Rm2 Rm Z L ZC R Z L ZC r Bảng biến thiên: R Z L ZC r P’(R) + + Pmax P(R) - U2 Z L ZC U2 Pr r (Z L ZC )2 Đồ thị P theo Rm: P Pmax U2 Z L ZC Pmax U2 Pr r (Z L ZC )2 O R=Z L - ZC - R0 R Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 Nhận xét đồ thị : Từ đồ thị ta thấy có hai giá trị R1 R2 cho giá trị công suất Công suất đạt giá trị cực đại R Z L ZC r Trong trường hợp R Z L ZC r đỉnh cực đại nằm phần R< ta thấy cơng suất mạch lớn R = (r tăng dần trục P đồ thị dịch chuyển dần theo chiều dương trục R) Nếu r = đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ ta ln có giá trị R làm cho cơng suất toàn mạch cực đại R Z L ZC Kết luận: Với phương pháp khảo sát hàm số để thu kết phần không hiệu phương pháp dùng tính chất hàm bậc bất đẳng thức Cauchy Tuy nhiên từ việc khảo sát ta biết biến thiên P theo biến trở R nhằm định tính giá trị công suất tăng hay giảm thay đổi điện trở 1.2.2 Giá trị R làm cho PR cực đại - Công suất biến trở R PR R I R - Đặt mẩu thức biểu thức : A - ( R R0 )2 ( Z L ZC )2 R ( Z L ZC ) R R0 R R Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được: A R - U2 U2 ( R R0 ) ( Z L Z C ) ( R R0 ) ( Z L Z C ) R r (Z L ZC )2 r (Z L ZC )2 2r R 2r r ( Z L ZC ) 2r const R R Ta thấy PRmax Amin nghĩa dấu “ =” phải xảy ra, đó: R R02 (Z L ZC )2 Biên soạn: Nguyễn Hồng Qn 2014 - Cơng suất cực đại biến trở R là: PR max U2 r ( Z L Z C ) 2r 1.2.3 Giá trị R làm cho Pd cực đại - Ta có : Pd rI ;U d I Z L2 r I U ( R r ) (Z L ZC )2 - Vì r; ZL; ZC U đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại cần cường độ dòng điện qua mạch cực đại Từ biểu thức dòng điện ta thấy I max giá trị biến trở R = Mạch có L biến thiên 2.1 Hiệu điện (U) 2.1.1 Giá trị ZL để UR, UC, URC cực đại C, R = const muốn giá trị cực đại cường độ dịng điện qua mạch phải cực đại I U Z U R Z L ZC ZL = ZC Zmin = R Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ có kết tương tự = 2.1.2.a Giá trị ZL để hiệu điện ULmax Cách 1: 10 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 Giá trị Khi Zmin = R , Cosmax = 2.2.1 Có hai giá trị L1 L2 cho giá trị cơng suất - Vì có hai giá trị cảm kháng cho giá trị công suất nên: U2 U2 P1 P2 R R R ( Z L1 ZC )2 R ( Z L2 ZC )2 - Khai triển biểu thức ta thu : Z L1 ZC Z L2 ZC (loaïi ) ( Z L1 ZC )2 ( Z L2 ZC )2 n) Z L1 ZC ( Z L2 ZC ) (nhaä - Suy : Z L Z L1 Z L2 L0 L1 L2 ( L0 giá trị để Pmax) 2.2.2 Khảo sát biến thiên công suất theo cảm kháng ZL - U2 Ta có cơng suất tồn mạch là: P R , với R, C số, nên R (Z L ZC )2 công suất mạch hàm số theo biến số ZL - Đạo hàm P theo biến số ZL ta có: P '( Z L ) RU ZL P’(ZL) P(ZL) Zc Z L P '( Z L ) Z L ZC [ R ( Z L ZC )2 }]2 Bảng biến thiên + ZL = ZC Pmax U2 PR R ZC + U R 15 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 Đồ thị công suất theo ZL : - P Pmax U2 R Pmax U2 PR R ZC O - ZL = ZC ZL Nhận xét đồ thị: Có hai giá trị cảm kháng cho giá trị công suất Công suất mạch cực đại Z L ZC Z L1 Z L2 , với Z L ; Z L hai giá trị cảm kháng cho giá trị công suất Kết luận: Từ việc khảo sát biến thiên thay đổi công suất vào giá trị ZL cho phép định tính tăng hay giảm P theoZL Từ ta tiên đốn thay đổi công suất theo giá trị ZL số tốn Mạch có C biến thiên 3.1 Hiệu điện (U) 3.1.1 Giá trị ZC để UR, UL, URL cực đại L, R = const muốn giá trị cực đại cường độ dòng điện qua mạch phải cực đại 16 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 I U Z U R Z L ZC ZL = ZC Zmin = R 3.1.2.a Giá trị ZC để UC cực đại Chứng minh tương tự: R Z L2 R2 - Khi ZC ZL Z L : ZL ZL U Cmax U R Z L2 2 2 2 UCm ax U U R U L ; U Cmax U LU Cmax U R uRL vuông pha với hiệu điện hai đầu mạch UC UCmax U ZCm ZC 17 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 UC U C1 Cm C2 C 3.1.2.b Có hai giá trị C1 C2 cho giá trị UL giá trị ZC để UCmax tính theo C1 C2 - Khi có hai giá trị C = C1 C = C2 cho giá trị UC giá trị C=Cm làm cho UCmax C C2 1 1 ( ) Cm ZC ZC1 ZC2 3.1.3 Giá trị ZC để hiệu điện URC cực đại - Khi ZC Z L R Z L2 2UR U RCmax ( Với điện trở R tụ điện mắc gần nhau) R Z L2 Z L 3.2 Công suất (P) R A L Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu hai đầu ổn định C : u U cos(t u ) B R điện trở L cuộn dây cảm khơng đổi 18 Biên soạn: Nguyễn Hồng Qn 2014 C có giá trị thay đổi Nhận xét: Vì cơng thức tổng trở Z R2 (Z L ZC )2 R2 (ZC Z L )2 ta thấy toán thay đổi giá trị C giống tốn thay đổi giá trị L Do thực việc khảo sát ta thực tương tự thu kết sau: Pmax ZC = ZL 3.2.1 Có hai giá trị C1 C2 cho giá trị công suất Với hai giá trị C1 C2 cho giá trị cơng suất ta có ZC0 ZC1 ZC2 1 1 C0 C1 C2 Với giá trị C0 giá trị làm cho cơng suất mạch cực đại Khi Zmin = R , Cosmax = 1, Imax Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ có kết tương tự 3.2.2 Khảo sát biến thiên công suất theo dung kháng - Bảng biến thiên: ZC P’(ZC) Z C = ZL + P(ZC) + Pmax - U2 R U2 PR R ZL2 19 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 - Đồ thị công suất theo giá trị ZC P Pmax U2 R Pmax U2 PR R ZL2 O ZL = ZC ZC Mạch có (hay f) biến thiên Không dùng giản đồ mà sử dụng đại số Nhiều toán cho omega1,2 phải đưa Zl0=Zc0=x từ suy mối quan hệ x với Zl1ZL2ZC1ZC2 dựa mối quan hệ giá trị omega để giải dễ VD: Mạch có cơng suất với Thì = 4.1 Hiệu điện (U) 4.1.1 Giá trị làm cho UR cực đại UR cực đại Imax Zmin ZL = ZC 0 LC URmax = U 4.1.2.a Giá trị làm cho UL cực đại R L Z U U C Ta có : U L I Z L Z L , đặt A Z ( L) Z ZL ZL 2 - 20 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 R2 1 2 L LC - Biến đổi biểu thức A ta thu : A - Ta tiếp tục đặt x - R2 x Lấy đạo hàm A theo biến số x ta thu được: A '( x) 1 L C C - Cho A’(x) = ta thu x - Vì x 2L A R2 x x 1 L C 2 LC R 2C 2L 2L R ta thu bảng biến thiên: C x LC R 2C 2L A’(x) - ∞ + A(x) Amin - Thay giá trị x vào biểu thức đặt ta thu hiệu điện cực đại cuộn dây là: L 2U L U Lmax 2 LC R C R LC R 2C Nhận xét : Khi x 2L R Amin x = A làm hàm số bậc có hệ số a C C nên hàm số có cực tiểu phần âm, x = làm cho A miền xác định x Khi lớn làm cho ZL lớn làm cho I = Do khơng thể tìm giá trị làm cho ULmax 21 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 UC U C Nếu điều kiện đề khơng thỏa mãn R2C C ; 02 LC - Nếu L có r ≠ R công thức Rtd = R+r 4.2 Công suất (P) 4.2.1 Giá trị làm cho Pmax , PRmax, Pdmax - Ta có P RI R U2 R2 L C giá trị cực đại khi: L - , từ công thức ta thấy công suất mạch đạt 0 C U2 Với Pmax R LC Khi Zmin = R hiệu điện giửa hai đầu mạch cường độ dòng điện qua mạch đồng pha - Tương tự PRmax, Pdmax khi: 0 LC 24 Biên soạn: Nguyễn Hồng Qn 2014 4.2.2 Có hai giá trị 1 2 cho công suất giá trị làm cho Pmax tính theo 1 2 - Nếu có hai giá trị tần số khác cho giá trị cơng suất thì: P1 P2 R U2 R (1 L ) 1C R U2 R (2 L ) 2C - 1 1 L C 2 L C (1) Biến đổi biểu thức ta thu : L ( L )(2) 1C 2 C - Vì 1 2 nên nghiệm (1) bị loại - Khai triển nghiệm (2) ta thu : 12 - Theo kết ta có : 02 12 LC với 0 giá trị cộng hưởng điện LC 4.2.3 Khảo sát biến thiên cơng suất theo - Ta có P RI R U2 R L C 2 - Việc khảo sát hàm số P theo biến số việc lấy đạo hàm lập bảng biến thiên khó khăn hàm số tương đối phức tạp Tuy nhiên, ta thu kết từ nhận xét sau: làm cho P = C Khi = ZC Khi 0 Khi Z L L làm cho P = mạch cộng hưởng làm cho công suất mạch cực đại LC 25 Biên soạn: Nguyễn Hồng Qn 2014 Từ nhận xét ta dễ dàng thu biến thiên đồ thị : 0 LC + U2 R P() 0 P Pmax LC Nhận xét đồ thị: Từ đồ thị ta thấy có hai giá trị 1 ≠ 2 cho giá trị công suất, điều phù hợp với biến đổi phần 26 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 Một số tốn khác 5.1 Các cơng thức dễ nhầm lẫn L L0 Pmax L1 L2 U L1 U L L U Lmax 1 2 U L1 U L 1 1 Lm L1 L2 1 1 2 2 C 1 2 L0 C Cm U Cmax C U Cmax 1 2 U C1 U C C C0 Pmax L Lm U Lmax C1 C2 U C1 U C Cm L1 L2 P1 P2 C1 C2 L2 L1 L2 C1 C2 P1 P2 1 22 1 1 C0 C1 C2 5.2 ZL = ZC Đoạn mach RLC nối tiếp mắc theo thứ tự R, L (r≠0), C U MB U Z U r Z L ZC 1 R Rr r Z L ZC UMB = Ur ZL = ZC UMB U 27 ZC Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 5.3 0 I I max 1 2 I1 I Imax n 1 2 , L biết R L 1 2 n2 Chứng minh: 0 I max Z R 1 , 2 I1 I I max Z1 Z nR 1 2 n 2 R 1 L R 2 L nR 1C 2 C 1 1 L n 1R 12 L n 1R1 1C C 2 L 1 n 1R 22 L n 1R2 2 C C L 12 22 n 1R 1 2 R L 1 2 n2 Cực trị máy điện 6.1 Máy phát điện xoay chiều pha có điện trở khơng đáng kể, mắc vào đoạn mạch nối tiếp RLC Rơto có tốc độ quay n1 n2 I1 = I2 Khi rơto có tốc đọ quay n0 Imax 1 1 2n12 n22 hay n0 n02 n12 n22 n1 n22 6.2 Máy biến áp có lõi đối xứng gồm n nhánh có hai nhánh quấn hai cuộn dây Khi mắc cuộn dây vào điện áp xoay chiều đường sức từ sinh khơng bị 28 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 chia cho hai nhánh lại Khi mắc cuộn vào điện áp hiệu dụng U cuộn để hở có điện áp hiệu dụng U Khi mắc cuộn với điện áp hiệu dụng U điện áp hiệu dụng cuộn để hở 2 2 1 n 1 U N 22 N2 U1 N11 N1 / n 1 1 U 2' N12' N1 2 ' ' n U1 N 21 N n 1 U 2U 2' U 2U 2' 1 U U 2' 2 ' U1U1 n 1 UU n 1 n2 1 29 ... 28 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân 2014 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐIỆN XOAY CHIỀU (MẠCH CÓ R, L, C MẮC NỐI TIẾP) Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị biểu thức xuất phát từ cơng thức tổng quát... đạt giá trị cực đại cần cường độ dòng điện qua mạch cực đại Từ biểu thức dòng điện ta thấy I max giá trị biến trở R = Mạch có L biến thiên 2.1 Hiệu điện (U) 2.1.1 Giá trị ZL để UR, UC, URC cực đại... 3.1 Hiệu điện (U) 16 3.1.1 Giá trị ZC để UR, UL, URL cực đại 16 3.1.2.a Giá trị ZC để UC cực đại 17 3.1.2.b Có hai giá trị C1 C2 cho giá trị UL giá trị ZC để