BỘ đề THI và đáp án kì THI HSG cấp KHU vực VÙNG DUYÊN hải lớp 10 môn TOÁN của các TRƯỜNG CHUYÊN

BỘ đề THI và đáp án kì THI HSG cấp KHU vực VÙNG DUYÊN hải lớp 10 môn TOÁN của các TRƯỜNG CHUYÊN BỘ đề THI và đáp án kì THI HSG cấp KHU vực VÙNG DUYÊN hải lớp 10 môn TOÁN của các TRƯỜNG CHUYÊN BỘ đề THI và đáp án kì THI HSG cấp KHU vực VÙNG DUYÊN hải lớp 10 môn TOÁN của các TRƯỜNG CHUYÊN BỘ đề THI và đáp án kì THI HSG cấp KHU vực VÙNG DUYÊN hải lớp 10 môn TOÁN của các TRƯỜNG CHUYÊN BỘ đề THI và đáp án kì THI HSG cấp KHU vực VÙNG DUYÊN hải lớp 10 môn TOÁN của các TRƯỜNG CHUYÊN

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu 1 (4,0 điểm): Giải hệ phương trình

Câu 2 (4,0 điểm): Cho hình thang ABCD có cạnh đáy AB, CD Trên cạnh AB lấy

điểm M sao cho MC = MD Gọi O là giao điểm của AC và BD; O1, O2 lần lượt là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM và BCM Chứng minh O1O2vuông góc với OM.

Câu 3 (4,0 điểm) Cho đa thức 3 2

f x x  x  x chứng minh rằng tồn tại số

nguyên a sao cho f a( )chia hết cho 32015

Câu 4 (4,0 điểm) Cho các số thực dương , , , a b c d thỏa mãn điều kiện a  b c d

và abcd  Chứng minh rằng:1 1 1 1 3 3

a b c d 

Câu 5 (4,0 điểm) Trong hình tròn bán kính *

n cho 4n đoạn thẳng có độ dài mỗi

đoạn bằng 1 Chứng minh rằng với đường thẳng d cho trước luôn tìm được một đường thẳng song song hoặc trùng hoặc vuông góc với d và cắt ít nhất hai đường

thẳng trong 4n đường thẳng đã cho.

HẾT

Người ra đề

Hoàng Tuấn Doanh Quách Thị Tuyết Nhung

ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10

B A

Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2)

E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và AC

F là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O2) và BD

Do ABCD là hình thang và MC = MD nên AMDBMC (1)

Mặt khác, AMD AED BMC;  BFC (2)

Từ (1) và (2)  AEDBFCDEC DFC

 tứ giác CDFE nội tiếp.

1,0đ

Từ đó có: OFE ECD mà ECDCAB nên OFE EAB

Giả sử (O3) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEF

Ta có: MN, AC, BD lần lượt là các trục đẳng phương của các cặp

Gọi A= 3

1

( ) k

g k 

Ta chứng minh A là 1 hệ thặng dư đầy đủ mod 32012

Thật vậy, giả sử A không là 1 hệ thặng dư đầy đủ mod 32012

 tồn tại i, j sao cho: 1  i j 32012 và g(i)g(j) (mod 32012)

ij (mod 32012) (mâu thuẫn)

 A là hệ thặng dư đầy đủ mod 32012

Câu 5 Ta chứng minh: Với mỗi véc tơ có độ dài bằng 1 thì tổng độ dài các

hình chiếu vuông góc của nó trên hai đường thẳng vuông góc với

nhau không bé hơn 1

Thật vậy, giả sử véc tơ a

có độ dài bằng 1 và có hình chiếu trên haiđường thẳng vuông góc là x y ,

thì a x y

 1 a     x y x y (đpcm)

1,0đ

Xét hình chiếu của 4n đoạn thẳng trên hai đường thẳng vuông góc d

và d' Theo chứng minh trên, tổng độ dài hình chiếu của các đoạn

thẳng đó không bé hơn 4n Bởi vậy, Từ hai đường thẳng d và d' có

thể chọn được 1 đường thẳng mà tổng độ dài các hình chiếu của 4n

đoạn thẳng đã cho không bé hơn 2n.

1,0đ

Vì tất cả 4n đoạn thẳng được xếp trong hình tròn có bán kính bằng n

nên tập hợp các hình chiếu của chúng trên mỗi đường thẳng nằm

trên 1 đoạn thẳng có độ dài bé hơn 2n.

1,0đ

Suy ra, trên đường thẳng được chọn tìm được 1 điểm thuộc vào hình

chiếu của ít nhất 2 đoạn thẳng

Đường thẳng đi qua điểm này và vuông góc với đường thẳng được

chọn sẽ cắt ít nhất 2 đoạn thẳng và nó song song hoặc trùng hoặc

vuông góc với d (đpcm)

1,0đ

Hoàng Tuấn Doanh Quách Thị Tuyết Nhung (0987258681) (0982690763)

Page 1

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI Thời gian làm bài 180 phút

Đề thi này gồm có 01 trang, 05 câu

TỔ TOÁN-TIN HỌC TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI

Câu 1: (4 điểm ) Giải hệ phương trình

Câu 2: (4 điểm ) Cho hình thang có đáy nhỏ và một điểm di động bên

trong hình thang Gọi tương ứng là giao điểm của với Đường tròn

ngoại tiếp các tam giác và tam giác cắt nhau tại điểm thứ hai Chứng minh

đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định

Câu 3(4 điểm): Cho là số nguyên tố mà Tìm tất cả các số nguyên

Page 2

VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI Thời gian làm bài 180 phút

Hướng dẫn chấm này gồm có 0 trang

TỔ TOÁN-TIN HỌC TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI

Câu 1: (4 điểm ) Giải hệ phương trình

0,5

0,5

0,50,50,5

HDC ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

Page 3

Câu 2: (4 điểm ) Cho hình thang có đáy nhỏ và một điểm di động bên

trong hình thang Gọi tương ứng là giao điểm của với Đường tròn

ngoại tiếp các tam giác và tam giác cắt nhau tại điểm thứ hai Chứng minh

đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn chấm

Gọi là giao điểm của và đường tròn Gọi là giao điểm của

và đường tròn

-Ta có (cùng bằng góc ) Do đo tứ giác nội tiếp (1)

*Ta có (cùng bằng góc ) Do đo tứ giác nội tiếp (2)

Từ (1) và (2) cho ta tứ giác CQDP nội tiếp Mặt khác nên tứ giác

ABPQ nội tiếp

Gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác là Khi đó là trục đẳng

phương của từng cặp ba đường tròn

Gọi là giao điểm của và Khi đó đi qua điểm cố định

0,50,50,50,50,50,50,50,5

Câu 3(4 điểm): Cho là số nguyên tố mà Tìm tất cả các số nguyên

dương để

Hướng dẫn chấm

0,50,50,50,50,50,5

Để kết thúc bài toán ta sẽ chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó là nghiệm phương trình

0,50,50,50,50,50,50,50,5

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG

Thời gian làm bài 180 phút

(Đề này có 1 trang, gồm 5 câu)

Câu 1 ( 4 điểm): Giải hệ phương trình sau:

Câu 3 (4 điểm): Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần

lượt là các tiếp điểm của đường tròn (O) với AB, BC, CD, DA Gọi X là giao điểm

của MN và PQ; E, F lần lượt là giao điểm của AC với đường tròn (O) Gọi H là hình chiếu vuông góc của X trên BD Chứng minh rằng · AHE = CHF· .

Câu 4 (4 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương a b c d< < < sao cho mỗi số

trong chúng là ước của tổng ba số còn lại

Câu 5 (4 điểm): Cho 2016 cái kẹo vào 1008 cái hộp sao cho không có hộp nào có

nhiều hơn 1008 cái kẹo và mỗi hộp có ít nhất một cái kẹo Chứng minh rằng có thểtìm thấy một số hộp mà tổng số kẹo trong các hộp đó đúng bằng 1008 cái kẹo

……… HẾT ………

Người ra đề

Nguyễn Thị Giang

SĐT:0976138529

ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10

Thay vào (4) ta cũng được hai nghiệm trùng với hai nghiệm ở trên

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là ( ) ( ) ( )x y =; 1;0 ; 1;2- 0,5

2 Cho a b c là các số thực dương Chứng minh rằng:, ,

32

Suy ra 3 3

S S

+ ³ Bất đẳng thức được chứng minh

3 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp

điểm của đường tròn (O) với AB, BC, CD, DA Gọi X là giao điểm của MN và PQ;

E, F lần lượt là giao điểm của AC với đường tròn (O) Gọi H là hình chiếu vuông

góc của X trên BD Chứng minh rằng · AHE = CHF· .

4 điểm

Trước hết ta chứng minh kết quả sau: Gọi J là giao điểm của AC và BD Khi đó ta

có MP, NQ, BD, AC đồng quy tại điểm J, X A C, , thẳng hàng và(A CJX)= - 1,(FEJX )= - 1

Thật vậy

+ Kẻ hai tiếp tuyến XS, XR tới đường tròn (O) Khi đó tứ giác MSNR là tứ giác điều hòa, suy ra tiếp tuyến của (O) tại M, N và SR đồng quy, hay B, S, R thẳng hàng.

Tương tự D, S, R thẳng hàng Suy ra (FEJX = -) 1

+ Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BD với MN và PQ Ta có

(X IMN) (= X KPQ)= - Suy ra IK, MP, NQ đồng quy hay BD, MP, NQ đồng1

Qua C ta kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường MP tại G.

Dễ dàng chứng minh được tam giác CPG cân tại C nên CP=CG

Theo kết quả trên ta có (ACJX = - kéo theo) 1 H ACJX = - Nhưng vì( ) 1

HJ ^ HX Theo định lí về chùm điều hòa ta có HJ là phân giác của góc AHC.

Dễ thấy (FEJX = - suy ra HJ là phân giác của góc EHF) 1

Từ đó dễ dàng thấy được điều cần chứng minh ·AHE = CHF· .

Cho 2016 cái kẹo vào 1008 cái hộp sao cho không có hộp nào có nhiều hơn 1008 cái

kẹo và mỗi hộp có ít nhất một cái kẹo Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số hộp

mà tổng số kẹo trong các hộp đó đúng bằng 1008 cái kẹo

4 điểm

+) Nếu tất cả các hộp có số kẹo bằng nhau và bằng 2 thì lấy 504 cái hộp bất kì đều

có tổng số kẹo bằng 1008

0,5

+) Nếu tồn tại hai hộp có số kẹo khác nhau, sắp xếp các hộp thành một hàng ngang

sao cho hai hộp đầu tiên không có cùng số kẹo Kí hiệu a i là số kẹo trong hộp thứ

Lại có S1 = a1 ¹ a2,1£ a a1, 2 £ 1008, nên a a1, 2 không cùng số dư khi chia cho

1008 Suy ra tồn tại k = 2, 3, ,1008 thỏa mãn S a k, 2 có cùng số dư khi chia cho1008

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)

Đường thẳng AP2 cắt lại 1 tại X, đường thẳng BP1cắt lại 2 tại Y, và các đườngthẳng AP1, BP2cắt nhau tại Z Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng

ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN, KHỐI 10

Đặt t 4x (02  t 2): 2

(3)4t   3t m 160 (4)

t 0 22

A O

3 B

O

3 P

1

Z

O X

P 2

Gọi O1, O2, O3thứ tự là tâm các đường tròn   1, ,2 3

Gọi O là giao của các tiếp tuyến chung tại P1, P2, P3của

+ n = 5 : x = 2, y = 3+ n : Đặt6

(vì bậc của 2 theo mod 9 là 6)

0,5

13

Diện tích được phủ của họ tất cả các đường tròn có tâm thuộc

miền tam giác vuông cân (tính cả biên), bán kính bằng 1

13

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

Thời gian làm bài 180 phút

Đề thi gồm có 01 trang, 5 câu

Xác định tất cả các tập con A B C, , khác rỗng của tập các số nguyên

dương  * thoả mãn các điều kiện sau

ĐÁP ÁN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

NĂM HỌC 2015 - 2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10

Câu 1 (4,0) Giải phương trình 5 x3 2x  3 x5 2x

Dễ thấy x 0 là một nghiệm Xét x 0 , khi đó phương trình tương đương

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là: x 0;x  2 ■

Câu 2 (4,0) Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O Trung trực của đoạn AH cắt các cạnh CA AB, lần lượt tại M N; Chứng minh rằng A là tâm

đường tròn bàng tiếp của tam giác OMN.

Ta có ANH AOC ANO AHC AON  ACH (1)

Tương tự có AMH AOB AMO AHB AOM  ABH (2)

Từ  1 và  2 suy ra AON  AOM , hay OA là phân giác của góc MON.

Câu 3 (4,0) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố có dạng 4k 1 thì có một số tự nhiên a

nhỏ hơn p sao cho a2 1 chia hết cho p.

Theo định lý Wilson p   với 1 ! 1 p  *

p k k thì  4k ! 1  p(1) Mặt khác 2k    i 2k i 1 mod p với i 1, 2, , 2k Do đó

2k 1 2 k 2 4     k  2k ! modp

Suy ra     2 

4k !   2k !  modp (2)

Dấu đẳng thức khi a b 1;c 0 và các hoán vị.■

Câu 5 (4,0) Xác định tất cả các tập con A B C, , khác rỗng của tập các số nguyên dương *

thoả mãn các điều kiện sau :

1) A      B B C C A ;

2) ABC  *;

3) Với mọi aA b, B và cC, ta có c a A c b,  B và a b C.

Giả sử phần tử nhỏ nhất của C là x Thế thì1, 2, ,x   , do với 1 A B  a A b, B, ta

có a x A b,  x B Vậy tất cả các số không chia hết cho x là thuộc AB Do đó

  là bội của x Từ  3 , tổng của    a A, b B là bội của x

Giả sử x 1 Thì aA b, B suy ra a  1 A b,       1 B a b A B, mâu thuẫn với  1 Giả sử x 2 Ta có thể giả sử 1 A Thì do  3 , tất cả các số nguyên dương lẻ nằm trong

A Với bB, ta có1 b C Do đó b lẻ, dẫn tới b A B, mâu thuẫn với  1

Giả sử x 4 Thì 1, 2,3  , gọiA B y z, 1, 2,3 LấyA bB, ta có yb z,  b C

do  3 o đó y b   z b  là một bội của x Nhưng y z y z   , dẫn đến mâu thuẫn.x

Vì vậy x 3 Ta chỉ ra 1 và 2 không thể cùng nằm trong A (hay cả hai cùng nằm trong B).

, 2 3 , 1

3k k A k  Lấy bB, ta có 1 b C, điều này suy ra b 3k  2 A Do đó b A B, mâu thuẫn với  1

 Do đó hoặc 1 A, 2 B, suy ra A1, 4, 7, , B2,5,8, , C3, 6,9,  hoặc

2 A,1 B và B1, 4, 7, , A2,5,8, , C3, 6,9, .■

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM NĂM 2015

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Đề này có 01 trang gồm 5 câu)

Câu 1: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:

2 2 2

đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai là B và C ( D, E là các tiếp điểm ) Đường

thẳng AO’ cắt (O) tại điểm thứ hai là F Chứng minh rằng BC, DE, FK đồng quy

Trong một đợt giao lưu học sinh gồm 2m m  học sinh Biết rằng cứ 3 học sinh bất 1

kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập vớinhau Kí hiệu f m là số các cặp đôi như thế Chứng minh rằng: 2 f m 2  m m 1

……… HẾT………

Người ra đề: Nguyễn Thanh Thiên - ĐT liên hệ: 0905662875

Thử lại, ta thấy các giá trị trên đều thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có hai bộ nghiệm ( ; ; )x y z là (4; 1 3; 1 3)

2 Câu 2: (4,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại điểm K, ((O’)

nằm trong (O)).Điểm A nằm trên (O) sao cho A, O, O’ không thẳng hàng Các tiếptuyến AD, AE của (O’) cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai là B và C ( D,

E là các tiếp điểm ) Đường thẳng AO’ cắt (O) tại điểm thứ hai là F Chứng minh rằng

F B

* Nếu n m 2 thì n   1 n m2  mn 1 Điều này vô lý.

* Nếu n m 2 thì  m n,   k k, 2 Điều này thỏa mãn

* Nếu n m 2 thì m2  1 m2  n mn  1

Suy ra m  n

Từ  1 , ta có: m n 2  mn  1

+ Khi m n 2 thì m  1 m n 2  mn  Điều này vô lý.1

+ Khi m n 2 thì n m n  2 n2  n n2 m mn  suy ra1 n 1 Vô lý

+ Khi m n 2 thì  m n,   k k2, thỏa mãn

Kết luận : Vậy,  m n,   k k, 2 hoặc  k k Với2, k nguyên dương

1,0

1,0

Trong một đợt giao lưu học sinh gồm 2m m  1học sinh Biết rằng cứ 3 học sinh bất

kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với

nhau Kí hiệu f m 2 là số các cặp đôi như thế Chứng minh rằng: f m 2  m m  1

Ta xây dựng mô hình biểu diễn (K) gồm n n 2m    điểm như sau: Mỗi học sinh được

biểu diễn bởi 1 điểm ( không có 3 điểm nào thảng hàng ) Hai học sinh có trao đổi học

tập được biểu diễn bởi một đường liền nét, hai học sinh không có trao đổi học tập biểu

diễn bởi một đường không liền nét

1,0

Kí hiệu P là tập hợp n điểm, f n là số đoạn nối liền nét của một biểu diễn (K)

Từ giả thiết, ta suy ra bất kỳ 3 điểm nào của P cũng đều có ít nhât một đường liền nét

Ta luôn giả thiết rằng, trong biểu diễn K tồn tại hai điểm A, B mà đoạn nối AB không

liền nét Đặt Q P \  A B, Như vậy, Q có n-2 điểm, trong biểu diễn K ta bỏ đi đoạn

AB và tất cả các đoạn nối với A, nối với B và ta được biểu diễn K’ của tập Q thỏa bài

toán Gọi f n  2là số các đoạn thẳng liền nét trong (K’)

Lấy điểm C thuộc tập Q suy ra trong các đoạn CA, CB phải có ít nhất một đoạn liền

Trường hợp dấu bằng xảy ra như sau: Chia học sinh thành hai nhóm

Nhóm X gồm m học sinh có trao đổi học tập từng đôi một, Nhóm Y gồm m học sinh

có trao đổi học tập từng đôi một Mỗi học sinh của nhóm này đều không có trao đổi

học tập với bất kỳ một học sinh nào của nhóm kia Cách chọn như trên thỏa giả thiết

- Thí sinh làm khác đáp án nhưng hợp lý vẫn đạt điểm tối đa.

- Khuyến khích những cách giải sáng tạo.

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT Thời gian làm bài 180 phút

TỈNH QUẢNG NGÃI (Đề này có 1 trang, gồm 5 câu)

Đường tròn nội tiếp trong tứ giác ABCD tiếp xúc với các cạnh DA, AB, BC, CD lần lượt tại các điểm K, P, Q, R Giả sử        O1 , O2 , O3 , O là các đường tròn nội4

tiếp trong các tam giác AKP, BPQ, CQR, DRK Với các cặp đường tròn

               O1 & O2 ; O2 & O3 ; O3 & O4 ; O4 & O1 ta dựng các tiếp tuyến chung ngoài

khác cạnh của tứ giác ABCD Chứng minh tứ giác được lập bởi 4 tiếp tuyến trên là

ĐÁP ÁN +BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10

có 2 nghiệm x=1, y=-1 hoặc x=-1, y=1

Thử lại hệ đã cho có nghiệm là x=1, y=-1.

1đ 1đ

1đ 1đ

K

Ta chứng minh bổ đề sau:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), O là trung điểm cung BC không chứa1

A, O là trung điểm cung CA không chứa B Dựng đường tròn tâm2 O tiếp xúc với1

BC và đường tròn tâm O tiếp xúc với AC Khi đó, tâm I của đường tròn nội tiếp2

tam giác ABC nằm trên một trong các tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn  O1

Thật vậy, từ I kẻ các tiếp tuyến IK, IL với các đường tròn  O1 và  O Gọi M, N2

lần lượt là trung điểm của BC, CA.

Ta có IKO1 CMO1, suy ra IK / /AB và 1

2

IK  BC Tương tự IL/ /AB và

1 2

IL CA Từ đó ta suy ra được đpcm hơn nữa 1

Trở lại bài toán, dễ thấy rằng O ,1 O ,2 O ,3 O lần lượt là trung điểm các cung KP,4

PQ, QR, RK của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD.

Gọi STUV là tứ giác được tạo thành từ các tiếp tuyến chung ngoài của các cặp

đường tròn                O1 & O2 ; O2 & O3 ; O3 & O4 ; O4 & O 1

Từ bổ đề trên ta dễ dàng chứng minh được ST / /UV / /KQ SV; / /TU / /PR

Hơn nữa, tổng độ dài 2 tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn    O1 , O ;2

   O3 , O4 bằng tổng độ dài 2 tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn    O1 , O ;4

   O2 , O3 vì đều bằng nửa chu vi tứ giác KPQR Từ đó suy ra ST+UV=SV+TU

nên STUV là hình thoi.

Câu 5

(4đ) Gọi P là điểm được nối với nhiều điểm khác nhất trong số các điểm của đồ thị G.

Giả sử P được nối với m điểm P P1, 2, ,P m

Khi đó ta chia n điểm của G thành hai tập:

 1 , 2 , , m;  , 1 , 2 , , n m 1

Tập A gồm các điểm nối với P, tập B gồm điểm P và các điểm không nối với P.

Bất kỳ hai điểm nào trong A cũng không nối với nhau vì G không chứa tam giác

Phạm Viết Huy

SĐT: 0905564921

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Giải phương trình sau trên tập số thực:

Cho tập hợp X 1; 2;3;  ; 2015  Chứng minh rằng trong ba phần tử tùy ý của X luôn

có hai phần tử x x1, 2 sao cho 5 5

-HẾT -ĐÁP ÁN

Câu 1 Giải phương trình sau trên tập số thực:

1 3  x (xx ) 5  15 6  x 9x . 4,0Điều kiện: 5

3

x

  

Vì x 0 và x đều không phải là nghiệm của phương trình nên phương 1

trình đã cho tương đương với:

x Mặt khác 16 (3  x 1)2  16 với mọi x 0;1 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ

khi 1

3

x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1

3

trên cạnh AB sao cho ADkAB. Đường tròn đường kính BD cắt đường

thẳng đi qua C và trung điểm của đoạn thẳng AB tại E và F Tìm quỹ tích

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF khi C thay đổi.

4,0

C

Gọi M là trung điểm của AB, H

là điểm đối xứng với D qua M thì H là điểm cố định và

MB, M thuộc đoạn EF.

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm trên đường thẳng d là

Đảo lại, với điểm I bất kỳ trên đường trung trực của AH, gọi E và F là các

giao điểm của đường tròn tâm I bán kính IA với đường tròn đường kính BD.

Gọi M là giao điểm của EF và AB Khi đó ME MF MH MA MD MB , suy

ra MH MB MB MH BH 1



 , tức là M là trung điểm của HD và do

đó cũng là trung điểm của AB.

1,0

Nếu  đi qua M và cắt đường tròn đường kính BD tại E,F thì quỹ tích là

một điểm I, chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. 0,5

Nếu  không đi qua M Khi đó qua M vẽ đường thẳng song song với  cắt

đường tròn đường kính DB tại E,F thì tâm I’ của đường tròn ngoại tiếp tam

giác AEF không thuộc quỹ tích.

Nếu I  I':

Gọi C là điểm giao của  và đường thẳng EF và không trùng với M Khi đó

ta có tam giác ABC mà đường trung tuyến qua C cắt đường tròn đường kính

BD tại hai điểm E, F và tam giác AEF có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm I.

Lúc này quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF khi C thay đổi là

đường trung trực của đoạn thẳng AH loại trừ I’.

0,5

Câu 3 Cho p là một số nguyên tố, chứng minh rằng có vô số các số n * sao

Nếu 2015 p thì chọn n = kp, k là số nguyên dương bất kỳ 1,0 Nếu (2015, )p  , theo định lý Fermat 1