Tài liệu toán 12 trường học trực tuyến Sài Gòn

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = fx trên tập D.. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA Tìm điểm uốn Điể

SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I ĐỊNH LÍ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b)  x1 , x2 (a; b), x1 < x2

Ta có: f(x1) < f(x2)  f(x) ≥ 0 x  (a; b) (Đẳng thức chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm trên (a; b)) Khi đó: đồ thị hàm số y = f(x) trên (a; b) có hình dạng đi lên từ trái sang phải

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b)  x1 , x2 (a;b), x1 < x2

Ta có: f(x1) > f(x2)  f(x)  0 x  (a; b) (Đẳng thức chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm trên (a; b)) Khi đó: đồ thị hàm số y = f(x) trên (a; b) có hình dạng đi xuống từ trái sang phải

II PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

Tính đạo hàm: y = f(x)

Tìm các điểm tại đó f(x) = 0 hoặc f(x) không xác định

Lập bảng biến thiên: sắp xếp các điểm tìm được theo thứ tự tăng dần, xét dấu đạo

hàm trong từng khoảng, rồi dựa vào định lý đơn điệu chỉ ra khoảng đồng biến,

nghịch biến

III CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

a) y x2 4x 5 b) y x33x21c) y x 4 2x23 d) y 2x 3

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I ĐỊNH LÍ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Quy tắc I: Nếu f(x) đổi dấu khi x đi qua điểm xo thì hàm số đạt cực trị tại điểm xo

Nếu f(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm xo thì hàm số đạt cực đại

tại điểm xo

Nếu f(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm xo thì hàm số đạt cực tiểu

tại điểm xo

Quy tắc II: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên (a;b) chứa điểm xo ,

f(xo) = 0 và hàm số f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo Nếu f(xo) < 0 thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm xo

Nếu f(xo) > 0 thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm xo

Ví dụ 3: Chứng minh: hàm số y 5 4x không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt

cực đại tại điểm đó

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I ĐỊNH NGHĨA

II PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên tập D

Phương pháp 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)

liên tục trên [a; b]

Tìm các điểm x1, x2, …,xn trên khoảng (a;b) tại đó f(x) bằng 0 hoặc f(x) không xác định

Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên

Ví dụ 2: Tìm các kích thước của hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất nội tiếp

trong đường tròn (O) có bán kính R cho trước

ĐƯỜNG TIỆM CẬN

I ĐỊNH NGHĨA

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và M(x; y) là một điểm thay đổi trên (C)

Ta nói (C) có một nhánh vô cực nếu ít nhất một trong hai x và y của điểm M(x; y)

dần tới  (hoặc +) Khi đó: điểm M(x; y) dần tới  (hoặc +)

Đường thẳng (d) được gọi là đường tiệm cận

(hay gọi là tiệm cận) của (C) nếu khoảng cách

MH (khoảng cách từ M bất kỳ trên (C) đến (d))

dần tới 0 khi M dần tới  (hoặc +)

II CÁC LOẠI TIỆM CẬN

tiệm cận ngang của đồ thị (C)

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA

Tìm điểm uốn Điểm đặc biệt (Lưu ý: các giao điểm của (C) với các trục Ox, Oy)

y 0có nghiệm kép

 

y 0vô nghiệm

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BỐN

Điểm đặc biệt (Lưu ý: các giao điểm của (C) với các trục Ox, Oy)

Dạng của đồ thị hàm số: y ax 4 bx2c (a 0)

y 0có ba nghiệm phân biệt

y 0có 1 nghiệm

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN

I SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ NHẤT BIẾN

Tìm tập xác định

Giới hạn và tiệm cận

Đạo hàm y’ (xét tính đơn điệu)

Lập bảng biến thiên Nêu các khoảng đơn điệu

Điểm đặc biệt (Lưu ý: các giao điểm của (C) với các trục Ox, Oy)

x 1

b  



x 2y

x 2 Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận Xét các trường hợp c = 0, ad – bc = 0

ÔN TẬP CHƯƠNG 1

I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Các quy tắc tìm cực trị của hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

hàm bậc ba, hàm trùng phương, nhất biến

Biện luận phương trình bằng đồ thị

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x ;y ) 0 0

2) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu của (C)

Bài tập 3: Cho hàm số y 1x4 2x2 1

4

    (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA

I LŨY THỪA

1 L ũy thừa với số mũ nguyên

a Định nghĩa: Cho a và n là số nguyên dương

aaa

Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n (n  2)

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an b

Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n

a a  a

1 n n

3 L ũy thừa với số mũ vô tỉ:

Định nghĩa: Cho a > 0 và  là số vô tỉ; (rn) là dãy số hữu tỉ cónlim r n

4 Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực có các tính chất tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương

II HÀM SỐ LŨY THỪA

1 Khái niệm: Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng y x  ý trong đó  là số tuỳ ý

3 Khảo sát hàm số lũy thừa y = x :

y x

b

1 2

y x 

c y = x (hàm số bậc nhất)

d y = x3

4 Dạng của đồ thị hàm số y = x

I KHÁI NIỆM

1 Định nghĩa:

Cho hai số dương a, b với a  1 Số  thỏa đẳng thức a bđược gọi là lôgarit cơ số a

của b và kí hiệu là: log b a

alog b a b

alog (a  )

    1 2= vế phải

Mở rộng: Cho a > 0, b , b , b1 2 n 0 và a  1:

log (b b b ) log b log b   log b

Chú ý: Cho a > 0, b b1 2 0 và a  1: log (b b ) log ba 1 2  a 1 log ba 2

Ví dụ: Tính log 135030 theo a và b, biếta log 3 30 và b log 5 30

2 Logarit của một thương:

Cho ba số dương a, b , b với a 1 2  1: 1

Ví dụ: Cho log 2 a10  Tính log 5 theo a 10

3 Logarit của một lũy thừa:

Cho hai số dương a, b, a  1 Với mọi : log (b )a   .log ba

III ĐỔI CƠ SỐ

Cho ba số dương a, b , c với a  1, c  1: a c

c

log blog b



c

.log alog a



   log ba

IV LÔGARIT THẬP PHÂN – LÔGARIT TỰ NHIÊN

Logarit thập phân: log b lgb10 

Logarit tự nhiên: log b lnbe  với

n1

HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT

I HÀM SỐ MŨ

1 Định nghĩa: Cho số thực dương a khác 1

Hàm số y a x được gọi là hàm số mũ cơ số a

II HÀM SỐ LÔGARIT

1 Định nghĩa: Cho số thực dương a khác 1

Hàm số y log x a được gọi là hàm số logarit cơ số a

2 Đạo hàm của hàm số logarit :

PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT (PHẦN 1)

I PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Phương trình mũ cơ bản:

Phương trình mũ cơ bản có dạng: ax b (a 0, a 1) Phương pháp giải:

Khi b > 0: ax   b x log baKhi b  0: phương trình vô nghiệm

PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT (PHẦN 2)

II PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1 Phương trình lôgarit cơ bản

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log x b (a 0, a 1)a   

a

log x b  x a

Ví dụ: Giải các phương trình

3 2

log x 3  x 2 8

0 5

log x 0  x 5 1lnx 1  x e

e Phương pháp đoán nghiệm: (Sử dụng đồ thị)

Ví dụ 5: Giải phương trình: log x 4 x3  

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT (PHẦN 1)

2 Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT (PHẦN 2)

I BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1 Bất phương trình logarit cơ bản:

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng

a

log x b (hoặc log x b, log x b , log x ba  a  a  ) với a 0, a 1 

Phương pháp giải bất phương trình log x ba 

log x 3  x 2   8 x 8

0 1

5

x 0

x5

2 Cách giải một số phương trình logarit đơn giản:

d Phương pháp đoán nghiệm:

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log x 4 x3  

ÔN TẬP CHƯƠNG 2

I Nhắc lại các vấn đề liên quan đến Lũy thừa – Mũ – Logarit

Tính chất của lũy thừa với số mũ bất kỳ

Định nghĩa, tính chất, quy tắc và đổi cơ số của Logarit

Tính chất và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit

Công thức tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit

Cách giải các phương trình, bất phương trình mũ và logarít cơ bản

Các phương pháp thường dùng để giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

II Các bài tập

Bài tập 1: Tính giá trị biểu thức sau: A = 81log 5 3  27log 36 9  34log 7 9

Bài tập 2: Tính log13510 theo a và b, biết a log 3 và b log 2 2  5

Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

 



  



NGUYÊN HÀM (Phần 1)

I ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa 1

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R

Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)

trên K nếu F'(x)=f(x) với mọi x ∈ K

Định lí 1

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x)+C cũng là một nguyên

hàm của hàm f(x) trên K (với C là hằng số)

Định lí 2

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K Khi đó mọi nguyên hàm của hàm

f(x) trên K đều có dạng F(x)+C (với C là hằng số)

Định nghĩa 2

Dựa vào Định lý trên ta thấy nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên K thì

F(x) + C, C R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K



Ví dụ 3: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm f(x) = ex – sinx biết F() = e + 1

Ví dụ 4: Tìm hàm f(x) nếu biết f’(x)= ax2 + bx +1 và f’(1) = 0, f(1) = 0, f(-1) = 1

NGUYÊN HÀM (Phần 2)III PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số

a) sin x cos x dx b) sin x dx 3

a

BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG VỚI ax + b (a  0)

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

u(x) v'(x)dx u(x) v(x)= -u'(x) v(x)dx

Chứng minh:

[u(x)v(x)]’ = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)

Do đó, u(x)v’(x) = [u(x)v(x)]’ – u’(x)v(x)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được

u(x) v'(x)dx=[u(x) v(x)]'dx-u'(x) v(x)dx

hay u(x) v'(x)dx u(x) v(x) = -u'(x) v(x)dx

Chú ý: vì dv = v’(x)dx, du = u’(x)dx nên đẳng thức trên có thể viết dưới dạng:

udv u v= -v du

Ví dụ 5: Tính

a) xe dx x b) (x 5)cosxdx + c) lnxdx

TỔNG QUÁT

TÍCH PHÂN (Phần 1)

I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Định nghĩa

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm

f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích

phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là

a b

Vì mọi nguyên hàm của f(x) chỉ khác nhau một hằng số C, do đó trong định nghĩa

trên lấy F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x)

2

-b) | sin x | - x dx







III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm và

liên tục trên đoạn [; ] sao cho  () = a,  () = b và a  (t)  b với mọi

2 0

x 2 0

ab

hay udv = uv - vdu

TÍCH PHÂN (Phần 2)

I TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

Ví dụ 1: Tính

1 30

x

(3x +1)

Chú ý:

Nếu f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1, x2 thì f(x) = a(x - x )(x - x )1 2

III TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

1+ sin x





ÔN TẬP HỌC KÌ 1

I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

1 Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

Nếu f’(x) > 0, x  K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

Nếu f’(x) < 0, x  K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

Các bước để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)

Bước 2: Tính đạo hàm: y’ = f’(x)

Tìm các điểm xi mà f’(xi) = 0 hoặc f’(xi) không xác định

Bước 3: Lập bảng biến thiên: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần, xét dấu

đạo hàm trong từng khoảng, rồi dựa vào định lý đơn điệu chỉ ra khoảng đồng

Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi

3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b]

Bước 1: Tìm các điểm x1, x2,…, xn trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x)

không xác định

Bước 2: Tính f(a), f(x1), f(x2),…, f(xn), f(b)

Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có:

M = max f x ,m = minf xa;b   a;b  

 Giải phương trình f’(x)=k tìm ra được x0

 Tìm y0 và viết phương trình tiếp tuyến: y f '(x )(x x ) y 0  0  0

6 Sự tương giao của đồ thị hàm số

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) chính là số nghiệm của

phương trình hoành đồ giao điểm: f(x) = g(x)

Để biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị (C): y = f(x) ta đưa

phương trình về dạng f(x) = g(m) Khi đó, số nghiệm của phương trình chính là số

giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng (d): y = g(m)

II HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

1 Công thức luỹ thừa

a Lũy thừa với số mũ nguyên

b Lũy thừa với số mũ thực

u(x) v'(x)dx = u(x) v(x) - u'(x) v(x)dx

udv = u v- v du

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = -x3 + 3x2

Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình -x3 + 3x2 - m = 0

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =x - 5x + 42

x - 2 Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x +2006

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x3 - x2 -7x +1 trên đoạn

[0; 2] (Đề thi tốt nghiệp 2007)

Bài 4: Giải các phương trình:

a) 22x+2- 9.2 +2 = 0 x

b) log x +log (4x) = 54 2

Bài 5: Tính các nguyên hàm sau:

a) (sin x 2cos x)sin xdx 

b) x(1+ln x)dx

 

b a

S = -f(x) dx

b a

S = f(x) dx 

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (Phần 1)

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Ý nghĩa hình học của tích phân Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân

b a

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai

đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:

b a

S = f(x)dx

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 + x với

trục hoành, và hai đường thẳng x = -2; x = 1

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số y = f1(x), y = f2(x) liên tục trên đoạn [a; b] Gọi S là diện tích của

phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b

Chú ý:

Giả sử phương trình f1(x) - f2(x) = 0 có hai nghiệm c, d (c < d) trong đoạn [a; b]

Khi đó, f1(x) - f2(x) không đổi dấu trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] và

y = x - 2xb)

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (Phần 2)

II TÍNH THỂ TÍCH

1 Thể tích của vật thể, khối chóp và khối chóp cụt

Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x=a, x=b (a < b) Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x (a  x  b) cắt V theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b] Khi đó, thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng (P), (Q) được tính:

Ví dụ 1: Cho hình nón có đường cao b và bán kính đáy là R Tính thể tích của hình nón

Gọi: chiều cao của khối nón cụt là h diện tích đáy lớn của khối nón cụt là B

diện tích đáy nhỏ của khối nón cụt là B’

V = S(x)dx 

Từ nhận xét 2 nếu ta thay đáy của hình nón cụt bằng một đa giác để tạo thành

hình chóp cụt thì chứng minh tương tự ta cũng có thể tích của khối chóp cụt là:

h

V = B + BB' +B'3

Với h là chiều cao của khối chóp cụt

B là diện tích đáy lớn của khối chóp cụt

B’ là diện tích đáy nhỏ của khối chóp cụt

2 Thể tích của khối tròn xoay

Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường

thẳng x=a, x=b (a<b) quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay

Khi đó, thiết diện của khối tròn xoay tạo bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại x thuộc

V = S(x)dx =  f(x) dx

Ví dụ 2: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và các

đường sau khi quay quanh trục Ox:

2

a) y =1+ x ;x = -1;x = 2

2

b) y =1+ x ;y = -x +7;x = -1

Ví dụ 3: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn

sau khi quay quanh trục Ox: (C) : x + y = 49;2 2 (C') : (x - 4) + y = 4 2 2