BỘ đề THI HSG TỈNH lớp 12 CHUYÊN TOÁN kèm đáp án CHI TIẾT

BỘ đề THI HSG TỈNH lớp 12 CHUYÊN TOÁN kèm đáp án CHI TIẾT BỘ đề THI HSG TỈNH lớp 12 CHUYÊN TOÁN kèm đáp án CHI TIẾT BỘ đề THI HSG TỈNH lớp 12 CHUYÊN TOÁN kèm đáp án CHI TIẾT BỘ đề THI HSG TỈNH lớp 12 CHUYÊN TOÁN kèm đáp án CHI TIẾT BỘ đề THI HSG TỈNH lớp 12 CHUYÊN TOÁN kèm đáp án CHI TIẾT BỘ đề THI HSG TỈNH lớp 12 CHUYÊN TOÁN kèm đáp án CHI TIẾT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2014-2015 Đề thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề) Ngày: 20/9/2014 HƯỚNG DẪN CHẤM -Câu 1: (5,0 điểm) Đặt t  3x 2 , điều kiện t  (0,5đ) Phương trình trở thành: 3t  (3 x  10)t   x  (0,5đ)  t  (1,0đ)   t   x  1 Trường hợp 1: t   3x = 3  x  (1,0đ) x2 Trường hợp 2: t   x     x (*) Do vế trái hàm số đồng biến, vế phải hàm số nghịch biến nên phương trình (*) có nghiệm nghiệm (1,0đ) 2 Vì   nên x  nghiệm phương trình (*) (0,5đ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x  (0,5đ) Câu 2: (5,0 điểm) Ta có: u n    n  n 1 (1,0đ) n 1 n 1  2 (1,0đ) n 1 n 1  2 Khi đó: S  u1  u2   u2014  11 11 21 21 31 31 20131 20131 20141 20141 (1,0đ)           2 2 2 2 2  11 1 2013  2014     2 2 (1,0đ) 4030  4028  (1,0đ) Câu 3: (5,0 điểm) Gọi mi số học sinh họp mặt lần họp mặt thứ i thỏa mãn yêu cầu  toán ( i  1,10 , mi  20 ) (0,5đ) Vì học sinh gặp lần nên kể từ lần họp mặt thứ hai, lần họp mặt, số học sinh họp mặt lần trước dự họp lại học sinh (0,5đ) Như vậy: m1 =20 m2  19 (có thể em lần đầu họp mặt) m3  18 (có thể lần họp mặt trước lần có em họp mặt lần này, em thỏa điều kiện lần thứ hai họp mặt) m4  17 (có thể lần họp mặt trước lần có em họp mặt lần này, em thỏa điều kiện lần thứ hai họp mặt) ……………… m10  11 (có thể lần họp mặt trước lần có em họp mặt lần này, em thỏa điều kiện lần thứ hai họp mặt) (lập luận chặt chẽ: 3,0đ) Sau lần thứ lần họp mặt mà số học sinh họp mặt lần đầu lần họp mặt lớn nên có khả chọn cho lần họp mặt sau em họp mặt lần đầu họp mặt (0,5đ) Vậy khối 12 năm học trường trung học phổ thông MTT có là: 20+19+…+11=155 (học sinh) (0,5đ) Câu 4: (5,0 điểm) AP AQ  m  n Dễ thấy  m, n  AB AC S AP AQ  m.n Ta có: APQ  S ABC AB AC BN BP S    m Do BNP  (1  m) Vì PN / / AD nên BD BA S BDA Đặt (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) S CMQ  (1  n) S CDA  S ABC  S APQ  S BNP  S CMQ Tương tự ta được: (0,5đ) Ta lại có: S MNPQ (0,5đ)  S ABC  m.n.S ABC  (1  m) S ABD  (1  n) S CDA (0,5đ)  (1  m.n)  (1  m)  S ABD  (1  m.n)  (1  n)  S CDA  (2m  m.n  m ).S ABD  (2n  m.n  n ).S CDA Vì 2m  m.n  m >0 2n  m.n  n >0 nên S MNPQ  (2m  m.n  m )  (2n  m.n  n )  max  S ABD , S CDA (0,5đ) (0,5đ)  S MNPQ   2(m  n)  (m  n)  max  S ABD , S CDA  S MNPQ  1  (m  n  1)  max  S ABD , S CDA Do S MNPQ  max  S ABD , S CDA (0,5đ) Dấu đẳng thức xảy S ABD  S CDA m  n  , tức D trung điểm đoạn thẳng BC AP AQ   AB AC (0,5đ) - HẾT Chú ý: Nếu làm học sinh có cách giải khác, cho đủ số điểm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2014-2015 Đề thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề) Ngày: 21/9/2014 HƯỚNG DẪN CHẤM -Câu 1: (6,0 điểm) Ta có: 2m   n  2m  (n  1)(n  1) (0,5đ) Vì m, n  N nên n  1, n  phải số nguyên dương ước 2m (1,0đ) Giả sử n   p , n   2q với p, q  N Dễ thấy p  q (0,5đ) Ta có: 2q  p  (n  1)  (n  1) (0,5đ)  p (2q  p  1)  (0,5đ) Vì số lẻ 2q  p  ước nên 2q  p   (1,0đ) Ta q  p  (0,5đ) Vì p (2  1)  nên ta p  , q  (1,0đ) Vậy m  , n  (0,5đ) Câu 2: (7,0 điểm) Viết lại phương trình dạng: 19    x 2014  22015 x x  2014  22015 x  u   x 2014 Đặt  , điều kiện u , v  2015  x v   (0,5đ) (1,0đ) Khi u.v  (1  x  2014 )(1  22015 x )   x  2014  22015 x   u  v  (1,0đ) 19 8    Phương trình tương đương với  u v u  v   u  v   u.v (1,0đ)  u  8v  19  u  v   u v  u   v   u   v   (1,0đ) 1  x 2014  Trường hợp u   v  , ta   x  2015 2015  x    (1,0đ) 1  x 2014   Trường hợp u   v  , ta   x  2017 2015  x    (1,0đ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  2015 x  2017 (0,5đ) Câu 3: (7,0 điểm) Kéo dài B ' I cắt AB K AB ' C ' P ( C ' P // AB ' ) (1)  AK C ' K C 'P B'N Do C ' P  B ' N nên (2)  C 'K C 'K Theo định lí Talet Do IB ' N IKC ' nên B ' N IB ' (3)  C ' K IK (1,0đ) (1,0đ) (1,0đ) AB ' IB ' (1,0đ)  AK IK  AI phân giác góc KAB ' hay AI phân giác góc BAC (1,0đ) Chứng minh tương tự BI phân giác góc ABC , CI phân giác góc Từ (1), (2), (3) cho ta ACB Vậy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (1,0đ) (1,0đ) - HẾT Chú ý: Nếu làm học sinh có cách giải khác, cho đủ số điểm SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,5 điểm) a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x   m  1 x   m  3 x  8m đồng biến khoảng  0;3 b) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y   x  3mx  3m  có điểm cực đại, cực tiểu điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng x  y   Câu (2,0 điểm) cos x  cos3 x  a) Giải phương trình: cos x  tan x  cos x b) Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác Câu (1,5 điểm) x 1  x 1  x   Giải phương trình:  x    x   x    x  Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  b  a, b   , SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SA  2a Lấy điểm M thuộc cạnh SA cho AM  x với  x  2a a) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( MBC ) b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, có trọng tâm G Gọi E, H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A, I giao điểm đường thẳng AB đường thẳng CD Biết điểm D  1;  1 , đường thẳng IG có phương trình x  y   điểm E có hoành độ Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn 1;9  x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  y 1 y z      10 y  x  y  z z  x  -Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …… .…….….….; Số báo danh:……… ……… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học thí sinh không vẽ hình phần không cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số 1 y  x   m  1 x   m  3 x  8m đồng biến khoảng  0;3 b) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số 2,5 y   x  3mx  3m  có điểm cực đại, cực tiểu điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng x  y   a TXĐ: y '  x   m  1 x   m  3 Do phương trình y '  có nhiều hai nghiệm , nên để hàm số 0,5 cho đồng biến khoảng  0;3  y '  0, x   0;3 x2  2x    m, x   0;3 2x  x2  2x  khoảng  0;3 2x  x  2x2  2x  g ' x   ; g ' x       x  1  x  2  loai  Xét hàm số g  x   0,5 BBT x g ' x   3  18 g  x 0,5 Từ BBT, g  x   m, x   0;3  m  Vậy, m  hàm số cho đồng biến khoảng  0;3 b TXĐ: x  Hàm số cho có cực đại cực tiểu  y '  3 x  6mx; y '    x  m  phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt  m  0,5  Tọa độ hai điểm cực trị A  0;  3m  1 , B  2m;4m3  3m  1  AB  2m;4m3  trung điểm AB I  m;2m3  3m  1 I  d A, B đối xứng với qua đường thẳng d : x  y      AB  d 0,5 4m3  5m     m  1 (thỏa mãn) Vậy, m  1 4m  4m  cos x  cos3 x  a) Giải phương trình: cos x  tan x  cos x b) Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác 2 a Điều kiện: x    l l   Suy (1)  cos x  tan x   cos x  (1  tan x) 2,0 0,25 cos x  1  cos x   cos x  2cos x  cos x     cos x   0,25 +) cos x  1  x    k 2  k  0,25    x    k 2  k   Kết hợp với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x    k 2 ,  x    k 2  k   +) cos x  b Số tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: C153  455 tam giác Số phần tử tập M là: M  455 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Xét đỉnh A đa giác: Có cặp đỉnh đa giác đối xứng với qua đường thẳng OA, hay có tam giác cân đỉnh A Như vậy, với đỉnh đa giác có tam giác nhận làm đỉnh tam giác cân 15  tam giác Số tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác Tuy nhiên, tam giác cân xác định có tam giác đều, tam giác cân ba đỉnh nên tam giác đếm ba lần Suy ra, số tam giác giác cân tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: 7.15  3.5  90 Vậy, xác suất để chọn tam giác cân tam giác 90 18  từ tập M: P  455 91 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  x    x   Giải phương trình: x2  4 x  Điều kiện:  x  1   x    x      x2  4 x  2  x 1  x  1  x    x  x 1 x 1  1,5 0,5 x    x  x 1 x 1 Xét hàm số: f  t   t  2t , t  Có f '  t   2t   0t   hàm số đồng biến  0;  Suy phương trình (1) có dạng f   x2  4 x  f   x 1  0,5 x    x  x 1 11 Nghiệm tìm thỏa mãn 11 Vậy phương trình có nghiệm: x  3; x  Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  b  a, b   , SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) 2  x    x   x   x  3; x  SA  2a Lấy điểm M thuộc cạnh SA cho AM  x với  x  2a a) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( MBC ) 0,5 2,0 b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích S N M H A D B a C Do BC / / AD  mặt phẳng (MBC) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MN ( N  SD ) MN / / AD AD   SAB   MN   SAB   MN  BM Suy thiết diện hình chóp 0,5 S.ABCD cắt mặt phẳng (MBC) hình thang BCNM vuông B M b  2a  x  MN SM   MN  AD SA 2a Diện tích thiết diện BCNM: BM  x  a , S BCNM  b  2a  x   a  x2 b   2a b  4a  x  a  x    4a 0,5 b Kẻ AH  BM H, suy AH   BCNM  , AH  Do  BCNM    SAB    d  S ,  BCNM    d  S ,  BCNM   d  A,  BCNM    ax a  x2 MS MA a  2a  x  0,5 a2  x2 Thể tích khối chóp S.BCNM: b  2a  x  4a  x  VS BCNM  d  S ,  BCNM   S BCNM  12 Để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích nhau: VS ABCD  2VSBCNM  2a 2b b  2a  x  4a  x        x   a (lo¹i) 2  x  ax  a    Vậy x   a x   a  Cho tam giác ABC vuông cân A, có trọng tâm G Gọi E, H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A, I giao điểm đường thẳng AB đường thẳng CD Biết điểm D  1;  1 , đường thẳng IG có  0,5  1,0 phương trình x  y   điểm E có hoành độ Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC B H E G K A F C I D Gọi K trung điểm BI, suy HK / / CD  A trung điểm KI, HK  DI  IC ; AK  BK  GK / / AC  GK  AB  GB  GI  GC hay G tâm đường tròn qua ba điểm C, I, B CGI  IBC  90o , ID  IC  DE / / IG 0,5 Do M giao điểm AM BC nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình:   x = x − y − = 7 1 ⇔ ⇒ M  ;−   2 2 3 x + y − = y = −  AD vuông góc với BC nên nAD = u BC = (1;1) , mà AD qua điểm D suy phương trình AD :1( x − ) + 1( y + ) = ⇔ x + y − = Do A giao điểm AD AM nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình 3 x + y − = x = ⇔ ⇒ A (1;1)  x + y − = y =1 Tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình: x − y − = x = ⇔ ⇒ K (3; − 1)  x + y − =  y = −1 Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK = KCE , mà KCE = BDA (nội tiếp chắn cung AB ) Suy BHK = BDK , K trung điểm HD nên H ( 2; ) (Nếu học sinh thừa nhận H đối xứng với D qua BC mà không chứng minh, trừ 0.25 điểm) Do B thuộc BC ⇒ B (t ; t − ) , kết hợp với M trung điểm BC suy C ( − t ;3 − t ) HB (t − 2; t − 8); AC (6 − t ; − t ) Do H trực tâm tam giác ABC nên t = HB AC = ⇔ (t − )( − t ) + (t − )( − t ) = ⇔ (t − )(14 − 2t ) = ⇔  t = Do t ≤ ⇒ t = ⇒ B ( 2; −2 ) , C (5;1) Ta có AB = (1; −3) , AC = ( 4; ) ⇒ nAB = (3;1) , nAC = ( 0;1) Suy AB : x + y − = 0; AC : y − = Câu (2 điểm) S M K L A D E I H N B C Điểm Nội dung Gọi H, N, L, E trung điểm AB, CD, SC, HD Gọi I = AN ∩ BD, K = LM ∩ SN ; Dễ thấy tứ giác AHND hình chữ nhật IN = Từ giả thiết ta có SH ⊥ ( ABCD ) , ME / / SH ⇒ ME ⊥ BD (1) AN Lại AM ⊥ BD ( ) Từ (1) & ( ) ⇒ BD ⊥ ( AMN ) ⇒ BD ⊥ AN Trong tam giác AND ta NA2 ⇒ NA = ND = a ⇒ AD = NA2 − ND = a Dễ thấy CD ⊥ ( SHN ) , ML / / CD ⇒ ML ⊥ ( SHN ) ⇒ ML ⊥ SN (3) có ND = NI NA = Do ( ABLM ) ⊥ ( SCD ) , ( ABLM ) ∩ ( SCD ) = ML (4), nên từ (3) & ( ) ⇒ SN ⊥ ( ABLM ) ⇒ SN ⊥ HK Lại K trung điểm SN nên tam giác SHN vuông cân H suy SH = HN = a 4a 11  a Ta có VS ABCD = SH AB AD = ; VS BCM = VS BCD =  VS ABCD  = ( đvtt) 3 22  Ta có BC ⊥ SH , BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ S SBC = SB.BC 2 1 a = HB + SH BC = a + 2a a = 2 3V a Mặt khác ta có d ( M ; ( SBC )) = MSBC = S SBC Câu (1 điểm) Nội dung Điều kiện: x ≥ 2; y ≥ −1; < x + y ≤ 9; Ta có ≤ x + y − = x − + y + ≤ 3( x + y − 1) ⇒ ( x + y − 1) ≤ 3( x + y − 1) ⇒ ≤ x + y − ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ Đặt t = x + y, t ∈ [1; 4] , ta có S = t − − t + S '(t ) = 2t + t 1 − > 0, ∀t ∈ [1; 4] Vậy S(t) đồng biến [1;4] − t 2t t Suy Smax = S (4) = 42 − − + 33 − = ⇔ x = 4; y = 0; Smin = S (1) = − 2 ⇔ x = 2; y = −1 ……… Hết……… Điểm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – THPT chuyên Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 02/11/2012   x + 3x + = y − y −   Câu (2,5 điểm) Giải hệ phương trình  y + y + = − z − z    z + 3z + = x − x −  ( x, y , z ∈ ℝ ) Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh 3a bc 2b3d 25 + 3 + 4 ≤ a+b+c ( a + b )( a + b + c + d ) 81( a + b ) ( a + b + c + d ) Câu (2,0 điểm) Giả sử n số nguyên dương cho 3n + 2n chia hết cho Tìm số dư 2n + 11n + 2012n chia cho Câu (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi P điểm cho trung trực đoạn thẳng CP chia đôi đoạn AD trung trực đoạn AP chia đôi đoạn CD Gọi Q trung điểm đoạn thẳng BP a) Chứng minh đường thẳng BP vuông góc với đường thẳng AC b) Chứng minh BP = 4.OE , E trung điểm AC O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQC Câu (1,0 điểm) Cho m, n ( m > n > ) số nguyên dương A tập hợp có n phần tử c tập hợ p S = {1, 2,3, , m} Chứng minh n ếu m > ( n − 1) (1 + Cn2 + Cn3 + Cn4 ) ta chọn n phần tử đôi phân biệt x1 , x2 , , xn ∈ S cho tập hợp Ai = {x + y + xi x ∈ A, y ∈ A}, i = 1, n thỏa mãn Aj ∩ Ak = ∅ với j ≠ k j , k = 1, n -Hết - Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………………….Số báo danh…………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN – THPT chuyên HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Lưu ý chấm bài: -Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước không cho điểm bước -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm -Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai không điểm -Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau -Trong lời giải câu học sinh không vẽ hình vẽ sai hình không cho điểm -Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn Câu (2,5 điểm) Nội dung Điều kiện: x, y, z ≥ Xét hàm số f (t ) = t + 3t + 2, g (t ) = − 5t − Khi ta có t f ' (t ) = 2t + > 0, g ' (t ) = − − < 0, ∀t > t 5t − 1  1  Mà f (t ) , g (t ) hàm số liên tục  ; + ∞  suy f (t ) đồng biến  ; + ∞  5  5  1  g (t ) nghịch biến  ; + ∞  Không tính tổng quát ta giả sử x = {x, y, z} 5  Khi ta có: Nếu x < y ⇒ g ( x ) > g ( y ) ⇒ f ( z ) > f ( x ) ⇒ z > x ⇒ g ( z ) < g ( x ) ⇒ f ( y ) < f ( z ) suy y < z ⇒ g ( y ) > g ( z ) ⇒ f ( x ) > f ( y ) ⇒ x > y , vô lí x < y Do x = y , tương tự lí luận ta x = z suy x = y = z Thay trở lại hệ ta x + x + = 8 − x − ⇔ x + x + − + x − = (1) x x 1  Đặt h ( x ) = x + x + − + x − 1, x ∈  ; +∞  Dễ thấy hàm số đồng biến x 5  Nội dung 1   ; + ∞  h (1) = ⇒ x = nghiệm phương trình (1) Vậy nghiệm hệ phương trình cho x = y = z = Câu (1,5 điểm) Điểm Nội dung 3a bc 2b3 d + 33 + 44 Khi áp a+b+c ( a + b )( a + b + c + d ) 81( a + b ) ( a + b + c + d ) dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Đặt P = 2 3(a + b ) 3(a + b ) 2a 2a ≤ + a + b (a + b + c ) a + b (a + b + c ) 33 (a + b + c ) bc b 3c = 33 a + b (a + b + c ) (a + b + c + d ) ( a + b )( a + b + c + d ) ≤ (a + b + c ) b 3c + + a + b (a + b + c ) (a + b + c + d )   b 2d 44 =   81( a + b ) ( a + b + c + d )  3(a + b )  (a + b + c + d ) b 2d ≤ + 3(a + b) 3(a + b + c + d ) Cộng vế bất đẳng thức ta được: ( a + b ) ( a + b + c ) ( a + b + c + d ) 25 P≤ + + = a+b (a + b + c ) 3(a + b + c + d ) Dấu đẳng thức xảy a = b = c = d 2b3 d Câu (2,0 điểm) Điểm Nội dung Đặt n = 3q + r ; q, r ∈ ℕ, ≤ r ≤ Khi 3n + n = 27 q.3r + 8q.2r ≡ ( −1) 3r + 2r ( mod ) q Do để 3n + n ≡ ( mod ) ⇔ ( −1) 3r + 2r ≡ ( mod ) ⇔ q = 2k + 1, r = q Suy n có dạng n = 6k + , ý ( a, ) = ⇒ a ≡ 1( mod ) Do ta có: +) 2n = 26 k +3 = ( 2k ) ≡ 1( mod ) (1) +) 11n = 116 k +3 = (11k ) 113 ≡ 43 ≡ 1( mod ) (2) 6 +) 2012 n = 2012( k + 3) ( = 20126 k +6k ) 2012 ≡ 39 ≡ 273 ≡ ( mod ) Từ (1), (2) (3) ta (3) Điểm Nội dung 2n + 11n + 2012n ≡ + + ≡ 1( mod ) Vậy số dư cần tìm Câu (3,0 điểm) A B Q I O M P E J D C N Điểm Nội dung a) (2,0 điểm) Gọi M, N, I, J theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AD, CD, AP, CP Khi NI ⊥ AP, MJ ⊥ CP Do I trung điểm AP, Q trung điểm BP nên IQ AB IQ = AB từ suy IQ CN IQ = CN Suy tứ giác CNIQ hình bình hành Suy CQ NI Từ đó, NI ⊥ AP nên CQ ⊥ AP (1) Chứng minh tương tự, AQ ⊥ CP (2) Từ (1) (2) suy P trực tâm tam giác ACQ suy PQ ⊥ AC hay BP ⊥ AC Do P trực tâm tam giác AQC nên OA + OC + OQ = OP ⇔ OA + OC + ( ) ( ) OP + OB = OP ⇔ OA + OC + OB = OP ⇔ 4OE = OP − OB ⇔ 4OE = BP ⇒ BP = 4.OE Vậy BP = 4.OE Câu (1,0 điểm) Nội dung { } Xét tập hợp B = x + y − z − t x, y, z , t ∈ A Ta bất đẳng thức sau: B ≤ + Cn2 + Cn3 + Cn4 (1) Điểm Nội dung Thật vậy, ta xét trường hợp sau: +) Nếu số x, y, z , t số số dạng x + y − z − t +) Nếu số x, y, z , t có số nhau, giả sử x = y = z ≠ t Khi x + y − z − t = x − t suy có tối đa Cn2 số x + y − z − t +) Nếu số x, y, z , t có số Khi x = y có tối đa Cn3 số dạng này, x = z x + y − z − t = y − t có tối đa Cn2 số dạng xét +) Nếu số x, y, z , t đôi khác có tối đa Cn4 số x + y − z − t Do có nhiều + Cn2 + Cn3 + Cn4 số dạng x + y − z − t Từ suy bất đẳng thức (1) Gọi x1 = ∈ S Đặt C1 = S \ {x + x1 x ∈ B} suy C1 ≥ S − B > ( n − ) B > ⇒ ∃x2 = C1 ⇒ x2 > x1 Dễ thấy A1 ∩ A2 = ∅ Tiếp theo đặt C2 = C1 \ {x + x2 x ∈ B} suy C2 ≥ C1 − B > ( n − 3) B > ⇒ ∃x3 = C2 ⇒ x3 > x2 Kiểm tra A2 ∩ A3 = ∅ , A1 ∩ A3 = ∅ Cứ tiếp tục đến bước thứ n , ta đặt Cn −1 = Cn − \ {x + xn − x ∈ B} Cn −1 ≥ Cn − − B > ( n − n ) B = ⇒ ∃xn ∈ Cn −1 ⇒ xn > xn −1 Khi ta kiểm tra Ai ∩ A j = ∅ với i ≠ j Vậy tồn phần tử x1 , x2 , , xn ∈ S thỏa mãn yêu cầu toán -Hết - Điểm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2016-2017 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Lớp 12 (Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 17/9/2016 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Đề thi có 01 trang Bài 1: (5,0 điểm) Giải phương trình: log 2016 (  x  x)  log 2017 (  x2  x) tập số thực Bài 2: (5,0 điểm)   x1  Cho dãy (xn) xác định sau:   x  x  x (n  0) n n  n 1 Gọi A  1    Tính  A (phần nguyên A) x1  x2  x2016  Bài 3: (5,0 điểm) Có số tự nhiên có chữ số khác dạng a1a2a3a4 a5a6 a7 cho a1  a2  a3  a4  a4  a5  a6  a7 Bài 4: (5,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 1) Các điểm I(-1; 2) J(-1; 3) tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh B C tam giác - HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1: Chữ ký Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2016-2017 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Lớp 12 (Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 18/9/2016 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Đề thi có 01 trang Bài 1: (6,0 điểm) Chứng minh với số nguyên n, số n(n6 - 1) chia hết cho Bài 2: (7,0 điểm) Giải hệ phương trình sau tập số thực:  x y  y  x  x  ( x  2) y   ( x  1) Bài 3: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có đường phân giác BM, CN (M  AC; N  AB) Tia MN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D 1) Gọi A1, B1, C1 hình chiếu vuông góc D xuống đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh: DB1 = DA1 + DC1 2) Chứng minh rằng: 1   DB DA DC - HẾT - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1: Chữ ký Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2014-2015 Đề thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 20/9/2014 Đề thi có 01 trang Câu 1: (5,0 điểm) Giải phương trình sau: 32 x 3  (3 x  10).3x    x  Câu 2: (5,0 điểm) Cho dãy số (u n ) xác định u n  n  n 1 Tính tổng S  u1  u2   u2014 Câu 3: (5,0 điểm) Sau thi tốt nghiệp trung học phổ thông, em học sinh khối 12 trường trung học phổ thông MTT hẹn năm họp mặt lần vào ngày hội trại trường Tuy nhiên, thành viên mặt đủ theo giao ước ban đầu mà có 20 thành viên tham dự lần họp mặt Qua 10 lần họp mặt thành viên dự họp mặt với lần Hỏi khối 12 năm học trường trung học phổ thông MTT có học sinh? Câu 4: (5,0 điểm) Cho ABC D, P, Q điểm nằm cạnh BC, AB, AC tam giác Các đường thẳng qua P Q song song với AD cắt cạnh BC tam giác N, M Chứng minh S MNPQ  max{S ABD , S ACD } Dấu đẳng thức xảy nào? - HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1: .Chữ ký Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2013-2014 Đề thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 21/9/2013 Đề thi có 01 trang Câu 1: (5,0 điểm) Giải phương trình sau: 1   1 sin x  sin x sin x  cos x Câu 2: (5,0 điểm) Cho tập hợp X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Tính tổng số tự nhiên có chữ số khác lấy từ X Câu 3: (5,0 điểm) Cho dãy số ( an ) xác định sau: a0  2013, an 1 an2 (n=0,1,2,3,4 )   an tính a1000  (phần nguyên số hạng a1000 ) Câu 4: (5,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC vuông A, biết phương trình cạnh BC x  y   điểm A, B thuộc trục hoành Hãy xác định tọa độ trọng tâm G ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp ABC - HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1: .Chữ ký Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2014-2015 Đề thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 21/9/2014 Đề thi có 01 trang Câu 1: (6,0 điểm) Tìm số tự nhiên m, n thỏa mãn đẳng thức 2m   n Câu 2: (7,0 điểm) Giải phương trình sau: 22017 2x 19   x  22014 x  22015 x 2014  22015 x  Câu 3: (7,0 điểm) Cho ABC có A ' , B ' , C ' trung điểm cạnh BC, AC, AB Điểm I nằm A ' B ' C ' Các đường thẳng A ' I , B ' I , C ' I cắt B ' C ' , A ' C ' , A ' B ' theo thứ tự M, P, N Chứng minh A ' P  B ' M , A ' N  C ' M , B ' N  C ' P I tâm đường tròn nội tiếp ABC - HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1: .Chữ ký Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2013-2014 Đề thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 22/9/2013 Đề thi có 01 trang Câu 1: (6,0 điểm) Giải phương trình sau: x  32 x  2(2 x  1) x Câu 2: (7,0 điểm) Tìm số dư phép chia (5 30  50) 30 cho 24 Câu 3: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh BC, N chân đường phân giác góc A Đường thẳng vuông góc với NA N cắt đường thẳng AB, AM P Q Gọi I giao điểm đường vuông góc với AB P đường AN Chứng minh hai đường thẳng IQ BC vuông góc với - HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1: .Chữ ký Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2015-2016 Đề thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 26/9/2015 Đề thi có 01 trang Bài 1: (5,0 điểm) Giải phương trình: 2( x2  3x  2)  x  Bài 2: (5,0 điểm) Cho phương trình: x n  x n1   x   Chứng tỏ với số n nguyên dương phương trình có nghiệm dương xn tìm limxn Bài 3: (5,0 điểm) Chứng minh đẳng thức sau: 2016 2.1C2016  3.2C2016  4.3C2016   2016.2015C2016  2016.2015.2 2014 Bài 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến với đường tròn A B cắt S Nối CS cắt AB M, đặt AB=c; BC=a; CA=b Chứng minh rằng: MA b2  MB a2 - HẾT - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1: .Chữ ký Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2015-2016 Đề thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 27/9/2015 Đề thi có 01 trang Bài 1: (6,0 điểm) Cho A=2000.2001.2002 a) Tìm số ước số A không chia hết cho 1001 b) Tìm số ước số A không chia hết cho 1001 mà chia hết cho 176 Bài 2: (7,0 điểm)  x  x   y  y Giải hệ phương trình:  3 x  = y2  8y Bài 3: (7,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc với đôi mặt bên (SBC), (SCA), (SAB) theo thứ tự hợp với mặt (ABC) góc 1 ,  ,  Tính giá trị nhỏ biểu thức: M  tan 1  tan   tan   cot 1  cot   cot  - HẾT - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1: .Chữ ký Giám thị 2: [...]... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2015-2016 Đề chính thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 27/9/2015 Đề thi này có 01 trang Bài 1: (6,0 điểm) Cho A=2000.2001.2002 a) Tìm số các ước số của A không chia hết cho 1001 b) Tìm số các ước số của A không chia hết cho 1001 mà chia hết cho 176 Bài 2: (7,0 điểm) ... Vậy luôn tồn tại các phần tử x1 , x2 , , xn ∈ S thỏa mãn yêu cầu bài toán -Hết - 5 Điểm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2016-2017 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Lớp 12 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 17/9/2016 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Đề thi này có 01 trang Bài 1: (5,0 điểm) Giải phương trình: log 2016 (... = ⇔ x = 4; y = 0; 2 4 Smin = S (1) = 2 − 2 2 ⇔ x = 2; y = −1 ……… Hết……… 4 Điểm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2 012- 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – THPT chuyên Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 02/11/2 012 8  2  x + 3x + 2 = y − 5 y − 1  8  Câu 1 (2,5 điểm) Giải hệ phương trình  y 2 + 3 y + 2 = − 5 z − 1 z  8 ...  khi và chỉ khi   y z    2 z  2 y  x   1   y -Hết -5 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2 012- 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 02/11/2 012 Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − (m + 1) x 2 + x + 2m + 1 , với m là tham số thực, có đồ thị là (C) Tìm m để đường thẳng... đỉnh B và C của tam giác - HẾT Họ tên thi sinh: Số báo danh: Chữ ký của Giám thị 1: Chữ ký của Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2016-2017 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Lớp 12 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 18/9/2016 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Đề thi này có 01 trang Bài 1: (6,0 điểm) Chứng... TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2014-2015 Đề chính thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 20/9/2014 Đề thi này có 01 trang Câu 1: (5,0 điểm) Giải phương trình sau: 32 x 3  (3 x  10).3x  2  3  x  0 Câu 2: (5,0 điểm) Cho dãy số (u n ) xác định bởi u n  1 n  n 1 2 Tính tổng S  u1  u2   u2014 Câu 3: (5,0 điểm) Sau khi thi. .. trọng tâm G của ABC biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp của ABC là 2 - HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của Giám thị 1: .Chữ ký của Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2014-2015 Đề chính thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 21/9/2014 Đề thi này có 01 trang Câu 1: (6,0... ký của Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2013-2014 Đề chính thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 22/9/2013 Đề thi này có 01 trang Câu 1: (6,0 điểm) Giải phương trình sau: 3 x  32 x  2(2 x  1) 2 x Câu 2: (7,0 điểm) Tìm số dư của phép chia (5 30  50) 30 cho 24 Câu 3: (7,0 điểm) Cho tam giác... ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2 012- 2013 Môn: TOÁN – THPT chuyên HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Lưu ý khi chấm bài: -Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm -Trong... thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của Giám thị 1: .Chữ ký của Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2015-2016 Đề chính thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 26/9/2015 Đề thi này có 01 trang Bài 1: (5,0 điểm) Giải phương trình: 2( x2  3x  2)  3 x 3  8 Bài 2: (5,0 điểm) Cho phương trình: ... VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2 012- 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – THPT chuyên Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 02/11/2 012   x +... ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2 012- 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 02/11/2 012 Câu (2 điểm)... ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2014-2015 Đề thức Môn: Toán - Lớp 12 (Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 20/9/2014 Đề thi có 01 trang Câu