Công thức hình học giải nhanh trắc nghiệm

TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ 3: HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Nội dung 1: LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN CÁC PHÉP TOÁN VỀ TỌA ĐỘ VEC - TƠ Cho v = ( x; y; z ) , v ' = ( x '; y '; z ') (1) Hai vec tơ phương: v phương với v ' ⇔ x y z = = (trong v ' ≠ ) x' y' z' x = x '  (2) Hai vec-tơ nhau: v = v ' ⇔  y = y ' z = z '  (Hai vec-tơ vec-tơ có phương, chiều độ dài) (3) Tổng vec-tơ: v ± v ' = ( x ± x '; y ± y '; z ± z ') (4) Nhân vec-tơ với số: k.v = ( kx; ky; kz ) (5) Độ dài vec-tơ: v = x + y + z (6) Nhân vec-tơ: v.v ' = xx '+ yy '+ zz ' (7) Hai vec-tơ vuông góc: v ⊥ v ' ⇔ v.v ' = ( ) (8) Góc vec-tơ: cos v; v ' = v.v ' v v' (9) Tích có hướng vec-tơ:  y z z x x y   v; v ' =  ; ;  = ( yz '− zy '; zx '− xz '; xy '− yx ' )   y ' z ' z ' x ' x ' y '   * Chú ý: [ v ; v' ] (+)  v; v ' ⊥ v;  v; v ' ⊥ v ' (+)  v; v ' = v v ' sin v; v ' ( ) v (+) v phương với v ' ⇔  v; v ' = (+) vec tơ a; b;c đồng phẳng ⇔ tích hỗn tạp a; b  c = v' CÁC PHÉP TOÁN VỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM Cho A ( x A ; y A ; z A ) ; B ( x B ; y B ; z B ) ;C ( x C ; yC ; z C ) ; D ( x D ; y D ; x D ) (1) AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) (2) AB = 2 ( x B − x A ) + ( yB − yA ) + ( zB − zA ) = AB  x A + x B yA + yB z A + zB  ; ;  2   (4) Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔  AB; AC  = (5) Ba điểm A, B, C không thẳng hàng ⇔  AB; AC  ≠ (3) I trung điểm AB ⇒ I  Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC (6) S∆ABC = A  AB; AC   2 ( ) (7) cos A = cos AB; AC = AB.AC B C AB AC * Chú ý: Nếu A nhọn ⇔ cosA < ; A vuông ⇔ cosA = ; A tù ⇔ cosA >  x A + x B + x C y A + y B + yC z A + z B + zC  ; ;  3   * Chú ý: Với điểm M tùy ý không gian ta có MA + MB + MC = 3.MG (9) Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ⇔  AB; AC  AD = (8) G trọng tâm ∆ABC ⇒ G  B A C D (10) Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ⇔  AB; AC  AD ≠ (11) Thể tích tứ diện ABCD VABCD =  AB; AC  AD D C A B (12) Nếu G trọng tâm tứ diện ABCD  x + x B + x C + x D y A + y B + yC + y D z A + z B + zC + z D  ⇒ G A ; ;  4   * Chú ý: - Với điểm M tùy ý không gian ta có MA + MB + MC + MD = 4.MG - Thể tích lăng trụ VABCD.A 'B'C'D' =  AB; AC  AD D' C' A' B' D A C B PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (1) Vec-tơ phương mặt phẳng vec-tơ khác nằm mặt phẳng nằm đường thẳng song song với mặt phẳng Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC (2) Vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng vec-tơ khác nằm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ký hiệu n ) * Chú ý: Nếu ta lấy cặp vec-tơ phương mặt phẳng (cặp vec-tơ không phương - tức không nằm đường thẳng đường thẳng song song) sau nhân có hướng vec-tơ với ta vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng (3) Phương trình tổng quát mặt phẳng phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D = 0, A + B2 + C > * Chú ý: - Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D = 0, A + B2 + C > mặt phẳng (P) có vec-tơ pháp tuyến n = ( A; B;C ) - Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = , vec-tơ pháp tuyến n = ( 0;0;1) - Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = , vec-tơ pháp tuyến n = ( 0;1; ) - Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x = , vec-tơ pháp tuyến n = (1;0; ) (4) Vị trí tương đối mặt phẳng Xét mặt phẳng (P):A1x + B1 y + C1z + D1 = 0, (Q) : A x + B2 y + C2 z + D = A1 B1 C1 D1 = = ≠ A B2 C D A B C D - Mặt phẳng (P) ≡ (Q) ⇔ = = = A B2 C D A B C D - Mặt phẳng (P) cắt (Q) ⇔ ≠ ≠ ≠ A B2 C D - Mặt phẳng (P) / /(Q) ⇔ - Mặt phẳng (P) ⊥ (Q) ⇔ n P n Q = ⇔ A1A + B1B2 + C1C = (5) Công thức viết phương trình mặt phẳng - Mặt phẳng (P) qua điểm M ( x ; y0 ; z ) có vec-tơ pháp tuyến n = ( A; B;C ) có phương trình A ( x − x ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z ) = - Mặt phẳng (P) qua điểm nằm trục tọa độ: A ( a;0; ) , B ( 0; b;0 ) ; C ( 0;0;c ) có phương trình x y z + + = 1, a.b.c ≠ (trong trường hợp a b c mặt phẳng (P) cắt trục tọa độ nên gọi mặt phẳng theo đoạn chắn) (6) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Xét mặt phẳng (P):Ax + By + Cz + D = 0, M ( x ; y0 ; z ) , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) d ( M; (P) ) = Ax + By + Cz + D A + B2 + C * Chú ý: Nếu mặt phẳng (P) / /(Q) : d ( (P); (Q) ) = d ( M;(Q) ) = d ( N;(P) ) , ∀M ∈ (P), ∀N ∈ (Q) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC (7) Góc hai mặt phẳng Xét mặt phẳng (P):A1x + B1 y + C1z + D1 = 0, (Q) : A x + B2 y + C2 z + D = , góc mặt phẳng (P) (Q) α xác định công thức sau: cosα = n P n Q nP nQ = A1A + B1B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A 2 + B2 + C 2 , α góc nhọn PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (1) Vec-tơ phương đường thẳng vec-tơ nằm đường thẳng nằm đường thẳng khác song song với đường thẳng đó, ký hiệu U (2) Công thức viết phương trình đường thẳng Đường thẳng (d) qua điểm M ( x ; y0 ; z ) có vec-tơ phương U = ( a; b ) có  x = x + at  phương trình là:  y = y0 + bt ( t ∈ R ) (PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ) dạng sau: z = z + ct  x − x y − y0 z − z0 = = , a.b.c ≠ (PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC) a b c * Chú ý: - Trục Ox có vec-tơ phương U = (1;0;0 ) - Trục Oy có vec-tơ phương U = ( 0;1;0 ) - Trục Oz có vec-tơ phương U = ( 0;0;1) - Nếu gọi M điểm đường thẳng (d) ⇒ M ( x + at; y0 + bt; z + ct ) (3) Công thức góc - Góc đường thẳng ( d1 ) ( d ) cos ( d1 ;d ) = U1.U U1 U - Góc đường thẳng (d) mặt phẳng (P) sin ( d;(P) ) = U d n P Ud n P (4) Vị trí tương đối đường thẳng Xét đường thẳng d1 qua điểm M1 có vec-tơ phương U1 , đường thẳng d qua điểm M có vec-tơ phương U   U1 ; U  ≠   - Nếu  d1 cắt d   U1 ; U  M1M =   U1 ; U  ≠   - Nếu  d1 d chéo   U1 ; U  M1M ≠   U1 ; U  =   - Nếu  d1 / /d   U1 ; M1M  ≠ Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC   U1 ; U  =   - Nếu  d1 trùng với d   U1 ; M1M  = * Chú ý: - Nếu  U1 ; U  M1M = d1 d đồng phẳng - Khi d1 cắt d , giải hệ phương trình gồm đường thẳng ta tìm tọa độ giao điểm chúng (5) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Xét đường thẳng d qua điểm M, có vec-tơ phương U , mặt phẳng (P) có vec-tơ pháp tuyến n Khi để xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng (P) ta thực hai cách sau: d (I) (P) * Cách 1: Xét hệ phương trình  - Nếu hệ (I) có nghiệm d cắt (P) - Nếu hệ (I) vô nghiệm d // (P) - Nếu hệ (I) có vô số nghiệm d nằm mặt phẳng (P) * Cách 2: - Nếu n.U ≠ d cắt (P) n.U = d // (P) M ∉ (P) - Nếu  n.U = d nằm (P) M ∈ (P) - Nếu  Đặc biệt: Nếu d ⊥ (P) ⇒ U = k.n ⇒ vec-tơ phương đường thẳng d vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) ngược lại (6) Khoảng cách (6.1) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng d qua điểm M có vec-tơ phương U Khi khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d tính   AM; U  theo công thức: d ( A; d ) =  U * Chú ý: + Có thể tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d cách gọi H hình chiếu vuông góc A d ⇒ d ( A;d ) = AH (cách làm cụ thể hóa phần tập) + Nếu d1 / /d d ( d1; d ) = d ( M;d ) = d ( N; d1 ) , ∀M ∈ d1 , ∀N ∈ d (6.2) Khoảng cách đường thẳng chéo Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC Xét đường thẳng d1 qua điểm M1 có vec-tơ phương U1 , đường thẳng d qua điểm M có vec-tơ phương U Khi khoảng cách đường thẳng d1 d  U1; U  M1M  tính theo công thức d ( d1; d ) =   U1 ; U    * Chú ý: Có thể tính khoảng cách đường thẳng chéo độ dài đoạn vuông góc chung, cách làm cụ thể hóa phần tập (6.3) Khoảng cách mặt phẳng (P) đường thẳng d // (P) d ( d;(P) ) = d ( M; (P) ) , ∀M ∈ d PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU (1) Định nghĩa: - Mặt cầu tập hợp điểm M cách điểm I cố định khoảng không đổi - Điểm I cố định gọi tâm mặt cầu - Khoảng cách khôi đổi R, gọi bán kính mặt cầu (S) I R M (2) Phương trình mặt cầu Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) bán kính R, (S) có phương trình là: 2 ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R2 * Chú ý: Nếu phương trình (S) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = I ( a; b; c ) bán kính mặt cầu tính theo công thức R = a + b2 + c − d , ( a + b + c − d > ) (3) Vị trí tương đối điểm với mặt cầu Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R điểm A, đó: - Nếu IA > R A nằm mặt cầu (S) - Nếu IA = R A nằm mặt cầu (S) - Nếu IA < R A nằm mặt cầu (S) (4) Vị trí tương đối đường thẳng với mặt cầu Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R đường thẳng d, đó: - Nếu d ( I, d ) > R đường thẳng d không cắt mặt cầu (S) - Nếu d ( I, d ) = R đường thẳng d tiếp tuyến mặt cầu (S) - Nếu d ( I, d ) < R đường thẳng d cắt mặt cầu (S) điểm phân biệt (5) Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R mặt phẳng (P), đó: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC - Nếu d ( I, (P) ) > R mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) - Nếu d ( I, (P) ) = R mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) - Nếu d ( I, (P) ) < R mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn có bán kính r = R − d ( I;(P) ) (S) I R M P r O (6) Công thức diện tích thể tích mặt cầu - Diện tích mặt cầu S = 4πR - Thể tích mặt cầu V = πR Tài liệu biên soạn đôi chỗ sai sót - mong góp ý chân thành ! Thầy giáo: NGUYỄN HỮU BIỂN Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ... https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC (7) Góc hai mặt phẳng Xét mặt phẳng (P):A1x + B1 y + C1z + D1 = 0, (Q) : A x + B2 y + C2 z + D = , góc mặt phẳng (P) (Q) α xác định công thức sau: cosα = n P n... THAM KHẢO HÌNH HỌC Xét đường thẳng d1 qua điểm M1 có vec-tơ phương U1 , đường thẳng d qua điểm M có vec-tơ phương U Khi khoảng cách đường thẳng d1 d  U1; U  M1M  tính theo công thức d ( d1;... d (I) (P) * Cách 1: Xét hệ phương trình  - Nếu hệ (I) có nghiệm d cắt (P) - Nếu hệ (I) vô nghiệm d // (P) - Nếu hệ (I) có vô số nghiệm d nằm mặt phẳng (P) * Cách 2: - Nếu n.U ≠ d cắt (P) n.U