1 kiểm tra chất l-ợng học sinh giỏi năm học 2008 2009 môn toán lớp Thời gian 150 phút Không kể thời gian giao đề Bài (3 điểm)Tính giá trị biểu thức + 5 + 294 + 1+4 34 4 A= + + 6 + 304 + Bài (4 điểm) a/Với số a, b, c không đồng thời nhau, hÃy chứng minh a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc ≥ b/ Cho a + b + c = 2009 chøng minh r»ng a 3+3b3+ c - 3abc a 2+ 2b 2+ c - ab - ac - bc = 2009 Bài (4 điểm) Cho a 0, b ; a b thảo m·n 2a + 3b ≤ vµ 2a + b Tìm giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = a – 2a b Bài (3 điểm) Giải toán cách lập ph-ơng trình Một ô tô từ A đến B Cùng lúc ô tô thứ hai từ B đến A vơí vận tốc vËn tèc cđa « t« thø nhÊt Sau chúng gặp Hỏi ô tô quÃng đ-ờng AB bao lâu? Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M, N thứ tự trung điểm BC AC Các đ-ờng trung trực BC AC cắt O Qua A kẻ đ-ờng thẳng song song với OM, qua B kẻ đ-ờng thẳng song song với ON, chúng cắt H a) Nối MN, AHB đồng dạng với tam giác ? b) Gọi G trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ? c) Chøng minh ba ®iĨm M , O , G thẳng hàng ? đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 Môn: Toán lớp Thời gian lµm bµi 120 x+x x − x2 + x Bµi Cho biĨu thøc: A = a) Rót gän biĨu thøc A b) T×m x để A - A = c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Bài 2: a) Cho a > b > vµ 2( a + b2) = 5ab Tính giá trị biểu thức: P = 3a − b 2a + b b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam gi¸c Chøng minh r»ng a + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải ph-ơng trình: 1x x − 2008 2009 a) − x −1 = 2007 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = Bài 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm tam giác cho ABP = ACP , kỴ PH ⊥ AB, PK ⊥ AC Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bµi 5: Cho hình bình hành ABCD, đ-ờng thẳng d cắt cạnh AB, AD M K, cắt ®-êng chÐo AC t¹i G Chøng minh r»ng: AB AD AC AM AK AG+ = líp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 + 7x + x4 + 2008x2 + 2007x + 2008 Bài 2: (2điểm) Giải ph-ơng trình: x2 3x + + x −1 = 2 1 1 x + + x42 + x2 + −4 = ( x + x4)+ x x x x Bµi 3: (2điểm) Căn bậc hai 64 viết d-íi d¹ng nh- sau: 64 = + Hái có tồn hay không số có hai chữ số viết bậc hai chúng d-ới d ạng nh- số nguyên? HÃy toàn số ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2008 T×m sè d- phÐp chia cđa biĨu thøc cho ®a thøc x +10x + 21 Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đ-ờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đ-ờng vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gäi M lµ trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD BC AH + HC= HÕt ®Ị thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 - 2009 môn: Toán (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gåm trang Bài (4 điểm): Cho biểu thức 4xy 1 : 2 + 2 y − x2 y − x y + 2xy + x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài (4 điểm): a) Giải phương trình : A= x + 11 x + 22 + 115 104 = x + 33 + 93 x + 44 82 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx v x2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Bài (3 điểm): Chứng minh với n ∈ N n5 n ln có chữ số tận giống Bài (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M b ất kỳ cạnh AC T C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng c tia BM D, c tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD = ECB b) Cho BMC = 1200 S AED = 36cm2 Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Gọi P, Q l ần lượt trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ ⊥ PD Bài (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y + y x ≥ (với x y dấu) x y2 x y + − 3 + + y x y x (với x ≠ 0, y ≠ 0) b) Tìm giá trị nhỏ ca biu thc P = Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn: Toán Lớp năm học 2008 2009 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) 1, Cho ba số a, b, c tho¶ m·n 2a + b + c = a + b + c = 2009 , tÝnh A = a + b4 + c4 2, Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx Bài 2: (2 điểm) Cho ®a thøc f ( x) = x2 + px + q víi p ∈ Z, q ∈ Z Chøng minh tồn số nguyên k để f ( k ) = f (2008).f (2009) Bµi 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên d-ơng x, y thoả m·n 3xy + x + 15y − 44 = 2, Cho sè tù nhiªn a = ( 29 ) 2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d Bài 4: (3 điểm) Cho ph-ơng trình 2x m + x = , tìm m để ph-ơng trình có nghiệm d-ơng x2 x+2 Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh đ-ờng chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đ-ờng thẳng EB cắt đ-ờng thẳng DC F, CE cắt O Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính EOF Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC lầ n l-ợt lấy điểm E F cho EAD = FAD Chøng minh r»ng: = BE BF AB CE CF AC Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, ng-ời ta lµm nh- sau lÊy hai sè bÊt kú vµ thay hiệu chúng, làm nh- đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số đ-ợc không? Giải thích .Hết Thí sinh không đ-ợc sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: 6 ®Ị thi häc sinh giái líp năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 số nguyên tè n + n + 2n + n b) B= có giá trị số nguyên n2 + c) D=n5-n+2 số ph-ơng (n 2) Câu 2: (5 ®iĨm) Chøng minh r»ng : a) a b c + + = biÕt abc=1 ab + a + bc + b + ac + c + b) Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a + + c) + + ≥ b a c c a b C©u 3: (5 điểm) giảI ph-ơng trình sau: a) x 214 86 + x − 132 84 + x − 54 =6 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên d-ơng câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O giao điểm hai đ-ờng chéo Qua O kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA E ,cát BC t¹i F a) chøng minh r»ng : diƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b) Chøng minh : 1 + = AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng d-ờng thẳng đI qua K chia đôI diện tÝch tam gi¸c DEF -hÕt pgd thị xà Gia Ngh a đề thi phát học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Môn : toán (120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu rhứ sau luôn d-ơng (hoặc âm) với giá trị chử đà cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau: − 4x + 8x Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập ph-ơng số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đ-ờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC = CAD Tính AD chu vi hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3m+2a2m+am b) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số d- phép chia biểu thøc : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x 2+8x+1 Bµi 9: (3 ®) Cho biÓu thøc : 2x 2x −3 : 1 − 2 x −1 x+xx1 x+1 C= a) Tìm điều kiện x để biểu thức C đ-ợc Xác định b) Rút gọn C c) Với giá trị x biểu thức C đ-ợc xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông A (AC>AB) , đ-ờng cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đ-ờng vuông góc với BC D cắt AC E a) chøng minh AE=AB b) Gäi M trung ®iĨm cña BE TÝnh gãc AHM hÕt - H-ớng dẫn chấm môn toán Bài Néi dung 1.1 Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a+b+c=0 §iĨm 4 2,00 , tÝnh A = a + b + c a + b + c = 2009 Ta cã a + b + c = (a + b + c) − (ab + bc + ca ) = −2 (ab + bc + ca ) 2 0,50 a + b + c 2009 a b + b c + c a = (ab + bc + ca ) − 2abc (a + b + c) = 22 22 22 2 4 2 2 2 2 2009 A = a + b + c = (a + b + c ) − 2(a b + b c + c a ) = 1.2 2 = 0,50 1,00 Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n x + y + z = T×m giá trị lớn B = xy + yz + zx 2,00 B = xy + z ( x + y ) = xy + 3 − ( x + y ) ( x + y ) = xy + 3( x + y ) − ( x + y ) = −x − y − xy + 3x + 3y 2 2 2 y − −3y + 6y + y − −3 =−x+ + = − x + + ( y − 1) + ≤ 2 2 y−1=0 y−3 DÊu = x¶y x + = ⇔ x = y = z = x + y + z = VËy giá trị lớn B x = y = z = 1,25 Cho ®a thøc f ( x) = x + px + q víi p ∈ Z, q ∈ Z Chøng minh r»ng tồn số nguyên 2,00 2 0,50 0,25 k ®Ó f ( k ) = f (2008).f (2009) f f ( x) + x = f ( x ) + x + p ( f ( x ) + x) + q = f ( x ) + 2.x.f ( x ) + x + p.f ( x ) + p.x + q 2 = f ( x ) f ( x ) + 2x + p + ( x + px + q) 2 = f ( x ) x + px + q + 2x + p + 1 = f ( x )( x + 1) + p ( x+ 1) + q = f ( x ) f ( x + 1) Víi x = 2008 chän k = f (2008) + 2008 ∈ Suy f ( k ) = f (2008).f (2009) 3.1 1,25 0,50 0,25 Tìm số nguyên d-ơng x, y thoả m·n 3xy + x + 15y − 44 = 2,00 ♦ 3xy + x + 15y − 44 = ⇔ ( x + 5)(3y + 1) = 49 x, y nghuyênd-ơng x + 5, 3y + nguyên d-ơng lớn 0,75 0,50 Thoả mÃn yêu cầu toán x + 5, 3y + -ớc lớn 49 nªn cã: x + = x = ⇔ 3y + = y = Vậy ph-ơng trình có nghiệm nguyên x = y = 0,75 3.2 2,00 Cho sè tự nhiên a = ( ) , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d 2009 tổng ch÷ sè cđa c TÝnh d a = ( ) = ( ) = ( ) < 10 ⇒ b ≤ 9.6027 = 54243 2009 3.2009 6027 6027 1,00 ⇒ c ≤ + 4.9 = 41 ⇒ d ≤ + 1.9 = 13 (1) ≡ −1mod9 ⇒ a ≡ −1mod9 mµ a ≡ b ≡ c ≡ d mod9 ⇒ d ≡ −1mod9 (2) Tõ (1) vµ (2) suy d = Cho ph-ơng trình 2x m x + = , tìm m để ph-ơng trình có nghiệm d-ơng x2 x+2 Điều kiện: x ≠ 2;x ≠ −2 2x − m x − + = ⇔ ⇔ x (1 − m) = 2m 14 x2 x+2 m = 1ph-ơng trình có dạng = -12 vô nghiệm 2m 14 m ph-ơng trình trở thành x = 1m 0,25 3,00 0,25 0,75 0,25 0,50 2m − 14 1−m ≠2 2m − 14 m≠4 Ph-¬ng trình có nghiệm d-ơng 1−m 1 < m < 2m − 14 >0 1m m4 Vậy thoả mÃn yêu cầu to¸n 1 < m < 0,75 1,00 0,25 Cho hình thoi ABCD có cạnh ®-êng chÐo AC, trªn tia ®èi cđa tia AD lÊy điểm 3,00 E, đ-ờng thẳng EB cắt đ-ờng thẳng DC F Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính EOF AEB đồng dạng CBF (g-g) E A 2 ⇒ AB = AE.CF ⇒ AC = AE.CF AE AC ⇒ = AC CF O B ♦ ∆AEC ®ång d¹ng ∆CAF (c-g-c) ♦ ∆AEC ®ång d¹ng ∆CAF ⇒ AEC = CAF mµ D C 1,00 1,00 EOF = AEC + EAO = ACF + EAO 0 = 180 − DAC = 120 1,00 F Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC lần l-ợt lấy điểm E F cho EAD = FAD Chøng minh r»ng: 3,00 10 BE BF AB = CE CF AC Kẻ EH AB H, FK ⊥ AC t¹i K A ⇒ BAE = CAF; BAF = CAE AE EH H K B E D F HAE đồng dạng KAF (g-g) = AF FK S ∆ABE BE EH.AB AE.AB BE AE.AB = = = ⇒ = S ∆ACF CF FK.AC AF.AC CF AF.AC BF AF.AB ♦T-¬ng tù = CE AE.AC C 1,00 1,25 0,50 BE BF AB ♦⇒ = (®pcm) CE CF AC Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, ng-ời ta làm nh- sau lấy hai sè bÊt kú 0,25 2,00 vµ thay b»ng hiệu chúng, làm nh- đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số đ-ợc không? Gi¶i thÝch Khi thay hai sè a, b bëi hiƯu hiệu hai số tính chất chẵn lẻ tổng số có bảng không đổi 1,00 Mà S = + + + + 2008 = 1,00 2008.( 2008 + 1) = 1004.2009 ≡ mod2 ; 1mod2 bảng lại số 11 Kỳ thi chọn häc sinh giái Bµi 1 líp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án thang điểm: Nội dung Câu 1.1 Điểm 2,0 (0,75 ®iĨm) 0.5 x + 7x + = x + x + 6x + = x ( x +1) + 6( x +1) = ( x +1) ( x + 6) 1.2 0,5 (1,25 ®iĨm) 4 0,25 x + 2008x + 2007x + 2008 = x + x + 2007x + 2007x + 2007 +1 = x + x +1+ 2007( x + x +1) = ( x +1) − x + 2007( x + x +1) ( 2 2 )( 2 ) 2 ( ) ( )( 0,25 ) = x + x +1 x − x +1 + 2007 x + x +1 = x + x +1 x − x + 2008 2.1 x − 3x + + x −1 = (1) + NÕu x ≥ 1: (1) ⇔ ( x −1) = ⇔ x = (tháa m·n ®iỊu kiƯn x ≥ 1) 0,5 + NÕu x < 1: (1) ⇔ x − 4x + = ⇔ x − x − 3( x −1) = ⇔ ( x −1)( x − 3) = ⇔ x = 1; x = (c¶ hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Ph-ơng trình (1) có2 nghiệm x = 2 0,5 2 2.2 0,25 2,0 x + + x + − x + x + = ( x + 4) (2) x x x x Điều kiện để ph-ơng tr×nh cã nghiƯm: x ≠ 2 (2) ⇔ x + + x + x + − x + = ( x + 4) x x x x 2 2 ⇔ x + − x + = ( x + 4) ⇔ ( x + 4) = 16 x x ⇔ x = hay x = x Vậy ph-ơng trình đà cho có nghiệm x = 0,25 0,5 0,25 12 đáp án h-ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn: Toán Bài 1: (4 điểm) a) Điều kiện: x ≠ ± y; y ≠ (1 điểm) b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c) Cần giá trị lớn A, từ tìm tất c ả giá trị nguyên dương A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = ⇒ 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y + 2(x – y) = ⇒ 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = ⇒ A + (x – y + 1)2 = ⇒ A = – (x – y + 1)2 ≤ (do (x – y + 1) ≥ (với x ; y) ⇒ A ≤ (0,5đ) x= x − y + = + A = 2x ( x + y) = ⇔ y = x ≠ ±y;y ≠ (x − y + 1)2 = + A = 2x ( x + y) = x ≠ ±y;y ≠ 2−1 x = hạn: y = + Từ đó, cần c ặp giá trị x v y, chẳng + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài 2: (4 điểm) (0,5 điểm) a) x + 11 + x + 22 = x + 33 + x + 44 115 104 93 82 x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 ⇔( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( 115 104 93 82 ⇔ + 1) x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 ⇔ + − − =0 115 104 93 82 (1 điểm) (0,5 điểm) ⇔ ⇔ x + 126 = ⇔ x = −126 2 (0,5 điểm) b) x + y + z = xy + yz + zx ⇔ 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = ⇔ (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = x − y = ⇔ y − z = z − x = ⇔x=y=z (0,75 điểm) ⇔x 13 2009 =y 2009 =z 2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 ⇔ z2009 = 32009 ⇔ z =3 Vậy x = y = z = (0,5 điểm) Bài (3 điểm) Cần chứng minh: n – n 10 - Chứng minh : n5 - n n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n + 1) (vì n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n – n n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) lý luận dẫn đến tổng chia hết cho (1,25 điểm) 5 - Vì ( ; ) = nên n – n 2.5 tức n – n 10 Suy n5 n có chữ số tận giống (0,75 điểm) Bài 4: điểm E D A M Q B P I H C Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chøng minh - Tõ ®ã suy * Chøng minh - Chøng minh - Suy (1 điểm) EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 ®iĨm EB ED EC EA= ⇒ EA.EB = ED.EC EAD = ECB 0,5 ®iĨm (1 ®iĨm) ∆ EAD ®ång d¹ng víi ∆ ECB (cgc) 0,75 ®iĨm EAD = ECB 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm - Từ BMC = 120o ⇒ AMB = 60o ⇒ ABM = 30o - Xét 0,5 điểm EDB vuông D có B = 30o ⇒ ED = ED EB ⇒ EB = 0,5 ®iĨm 14 S EAD ED = tõ ®ã ⇒ SECB = 144 cm2 S ECB EB - Lý luận cho 0,5 điểm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 ®iĨm - Chøng minh CM.CA = CI.BC 0,5 ®iĨm - Chøng minh BM.BD + CM.CA = BC cã giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biÕn ®ỉi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Câu d: điểm - Chứng minh BHD ®ång d¹ng víi ∆ DHC (gg) 0,5 ®iĨm BH BD 2BP BD BP BD ⇒ = ⇒ = ⇒ = 0,5 ®iĨm DH DC 2DQ DC DQ DC - Chøng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) BDP=DCQ ⇒ CQ ⊥ PD ma`BDP + PDC = 90o ®iĨm Bài 5: (2 điểm) x y yx a) x, y dấu nên xy > 0, + ≥ (*) ⇔ x2 + y2 ≥ 2xy ⇔ (x − y)2 ≥ (**) Bất đẳng thức (**) đúng, suy bđt (*) (đpcm) (0,75đ) b) Đặt x y y x+ = t x2 y ⇒ + = t2 − y x (0,25đ) Biểu thức cho trở thành P = t2 – 3t + P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + (0,25đ) - Nếu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t ≥ ⇒ t – ≥ ; t – > ⇒ ( t − 2)( t − 1) ≥ ⇒ P ≥ Đẳng thức xảy t = ⇔ x = y (1) (0,25đ) - Nếu x; y trái dấu x < v y < ⇒ t < ⇒ t – < v t – < y x ⇒ (t − 2)(t − 1) > ⇒ P > (0,25đ) - Từ (1) (2) suy ra: Với x ≠ ; y ≠ ln có P ≥ Đẳng thức xảy (2) x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pm=1 x=y 15 Kiểm tra chất l-ợng học sinh giỏi năm học 2008 2009 Đáp án, biểu điểm, h-ớng dẫn chấm Môn Toán Nội dung Điểm Bài (3 điểm) 1,0 Cã a + = a + − a = a + a + a − a + 4 2 2 Khi cho a giá trị từ đến 30 thì: Tử thức viết đ-ợc thành 1 2 2 0,5 (1 +1+ )(1 -1+ )(3 +3+ )(3 -3+ )…….(29 +29+ )(29 -29+ ) 2 2 2 MÉu thøc viÕt đ-ợc thành 2 2 0,5 2 (2 +2+ )(2 -2+ )(4 +4+ )(4 -4+ )……(30 +30+ )(30 -30+ ) 2 2 2 2 0,5 MỈt kh¸c (k+1) -(k+1)+ =………….=k +k+ 2 1 −1 + Nªn A= = 2 1861 30 + 30 + Bài 2: điểm ý a: điểm -Có ý t-ởng tách, thêm bớt thể đ-ợc nh- vậyđể sử dụng b-ớc sau -Viết dạng bình ph-ơng hiệu - Viết bình ph-ơng hiệu - Lập luận kết luận ®óng ý b: ®iĨm Ph©n tÝch ®óng tđ thøc thành nhân tử Rút gọn kết luận Bài : ®iĨm *Tõ 2a + b ≤ vµ b ≥ ta cã 2a ≤ hay a ≤ 2 Do ®ã A=a - 2a - b Nên giá trị lớn A lµ a=2vµ b=0 2 * Tõ 2a + 3b ≤ suy b ≤ - a 2 2 22 22 Do ®ã A ≥ a – 2a – + a = ( a − ) - ≥ 3 9 22 2 Vậy A có giá trị nhỏ lµ - a = vµ b = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 Bài : điểm - Chọn ẩn đạt điều kiện - Biểu thị đ-ợc đại l-ợng theo ẩn số liệu đà biết(4 đại l-ợng) - Lập đ-ợc ph-ơng trình - Giải ph-ơng trình - Đối chiếu trả lời thêi gian cđa « t« - LËp ln , tính trả lời thời gian ô tô lại Bài : điểm ý a : điểm A Chứng minh đ-ợc 1.0 cặp góc Nêu đ-ợc cặp góc 0,5 l¹i 0,25 0,25 x 0,25 0,5 0,5 0,5 16 Chỉ đ-ợc hai tam 0,5 giác đồng dạng ý b : điểm Từ hai tam giác 0,5 đồng dạng ý a suy tỉ số cặp cạnh AH / OM Tính tỉ số cặp 0,5 cạnh AG / GM Chỉ đ-ợc cặp góc 0,5 Kết luận tam 0,5 giác đồng dạng ý c : điểm - Từ hai tam giác đồng dạng câu b suy góc AGH = góc MGO (1) - Mặt khác góc MGO + Gãc AGO = 180 (2) - Tõ (1) vµ (2) suy gãc AGH + gãc AGO = 180 - Do H, G, O thẳng hàng 0,5 0,5 0,5 0,5 Chú ý: -Các cách giải khác chấm điểm t-ơng tự theo b-ớc `-Điểm làm tổng số điểm HS làm đ-ợc, không làm tròn