Đang tải... (xem toàn văn)
UBND THµNH PHè HuÕ 1 TuhocOnline edu vn Kiểm tra chất lượng học sinh giỏi năm học Môn Toán lớp 8 Thời gian 150 phút – Không kể thời gian giao đề Bµi 1 (3 ®iÓm)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc Bµi 2 (4 ®iÓm) a/ Víi mäi sè a, b, c kh«ng ®ång thêi b»ng nhau, h y chøng minh a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc 0 b/ Cho a + b + c = 2009 chøng minh r»ng Bµi 3 (4 ®iÓm) Cho a 0, b 0 ; a vµ b th¶o m n 2a + 3b 6 vµ 2a + b 4 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a2 – 2a – b Bµi 4 (3 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b[.]
TuhocOnline.edu.vn Kiểm tra chất lượng học sinh giỏi năm học Mơn Tốn lớp Thời gian 150 phút – Khụng k thi gian giao Bài (3 điểm)Tính giá trị biểu thức 1 1+ ÷ + ÷ + ÷ 29 + ÷ 4 4 A= 1 + ÷ + ÷ + ÷ 30 + ÷ 4 Bài (4 điểm) a/ Với số a, b, c không đồng thời nhau, h·y chøng minh a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc ≥ b/ Cho a + b + c = 2009 chøng minh r»ng a + b3 + c3 - 3abc = 2009 a + b + c - ab - ac - bc Bài (4 điểm) Cho a 0, b ; a b thảo mÃn 2a + 3b ≤ vµ 2a + b ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A = a – 2a b Bài (3 điểm) Giải toán cách lập phơng trình Một ô tô từ A ®Õn B Cïng mét lóc « t« thø hai ®i tõ B ®Õn A v¬Ý vËn tèc b»ng vËn tèc cđa « t« thø nhÊt Sau chúng gặp Hỏi ô tô quÃng đờng AB bao lâu? Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M, N thứ tự trung điểm BC AC Các đờng trung trực BC AC cắt O Qua A kẻ đờng thẳng song song với OM, qua B kẻ đờng thẳng song song với ON, chúng cắt H a) Nối MN, AHB đồng dạng với tam giác nào? b) Gọi G trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ? c) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng? TuhocOnline.edu.vn ề thi học sinh giỏi năm học Môn: Toán lớp Thời gian làm 120 phút x5 + x Bµi Cho biĨu thøc: A = x −x +x a) Rót gän biĨu thức A b) Tìm x để A - A = c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhÊt Bµi 2: a) Cho a > b > 2( a2 + b2) = 5ab Tính giá trị cđa biĨu thøc: P = 3a − b 2a + b b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải phơng trình: a) x x x = − 2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = Bµi 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm tam giác cho ·ABP = ·ACP , kỴ PH ⊥ AB, PK AC Gọi D trung điểm c¹nh BC Chøng minh a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, đờng thẳng d cắt cạnh AB, AD M K, cắt đờng chéo AC G Chứng minh r»ng: AB AD AC + = AM AK AG TuhocOnline.edu.vn Lớp THCS - Năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: x + x + x + 2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình: x − x + + x − = 1 1 2 x + ÷ + x + ÷ − x + ÷ x + ÷ = ( x + ) x x x x Bài 3: (2điểm) Căn bậc hai 64 viết dới d¹ng nh sau: 64 = + Hái cã tồn hay không số có hai chữ số viết bậc hai chúng dới dạng nh số nguyên? HÃy toàn số Tìm số d phÐp chia cđa biĨu thøc ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho ®a thøc x + 10 x + 21 Bµi 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC ®ång d¹ng TÝnh sè ®o cđa gãc AHM TuhocOnline.edu.vn Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD = BC AH + HC HÕt ĐÒ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học Môn: Toán (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Bi (4 điểm): Cho biểu thức A= 4xy y − x2 : + 2 y + xy + x y −x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài (4 điểm): a) Giải phương trình : x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Bài (3 điểm): Chứng minh với n ∈ N n5 n ln có chữ số tận giống Bài (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E · · a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD = ECB TuhocOnline.edu.vn · b) Cho BMC = 1200 S AED = 36cm Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ ⊥ PD Bài (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y + ≥ (với x y dấu) y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ) x y x2 y + − + ÷+ y x y x (với x ≠ 0, y ≠ Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn: Toán Lớp Năm học Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) a+ b + c = 1, Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n , tÝnh A = a4 + b4 + c4 2 a + b + c = 2009 2, Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx Bài 2: (2 điểm) Cho ®a thøc f ( x) = x + px + q víi p∈ Z,q∈ Z Chøng minh r»ng tồn số nguyên k để f ( k) = f ( 2008) f ( 2009) Bµi 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên dơng x, y thoả m·n 3xy + x + 15y − 44 = 2, Cho sè tù nhiªn a = ( 29 ) chữ số b, d 2009 , b tổng chữ số a, c tổng tổng chữ số c Tính d Bài 4: (3 điểm) Cho phơng trình 2x m x + = 3, tìm m để phơng trình có nghiệm x x+ dơng Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh đờng chéo AC, tia đối tia TuhocOnline.edu.vn AD lấy điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC F, CE cắt O Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính ÃEOF Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC lần lợt lấy điểm E F cho ÃEAD = ·FAD Chøng BE BF AB2 minh r»ng: = CE CF AC2 Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, ngời ta lµm nh sau lÊy hai sè bÊt kú vµ thay b»ng hiƯu cđa chóng, cø lµm nh vËy đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số đợc không? Giải thích Hết Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: ề thi học sinh giỏi lớp Năm học Môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu (5 điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 số nguyên tố n + 3n + 2n + 6n − có giá trị số nguyên n2 + D=n5-n+2 số phơng (n 2) b) B= c) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh : a) a b c + + = biÕt abc=1 ab + a + bc + b + ac + c + b) Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 c) a2 b2 c2 c b a + + ≥ + + b2 c2 a2 b a c C©u 3: (5 điểm) Giải phơng trình sau: a) x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,y nguyên dơng Câu 4: (5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O giao điểm hai đờng chéo Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E, cát BC F TuhocOnline.edu.vn a) Chứng minh : diƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b) Chøng minh : 1 + = AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng dờng thẳng đI qua K chia đôi diện tích tam giác DEF hÕt ĐỊ thi ph¸t hiƯn học sinh giỏi bậc thcs năm học Môn: toán (120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu rhứ sau luôn dơng (hoặc âm) với giá trị chử đà cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thøc sau: − x + 8x − Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phơng số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đờng chéo AC vuông góc với cạnh bên TuhocOnline.edu.vn CD, ∠BAC = CAD TÝnh AD nÕu chu vi cña hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3m+2a2m+am b) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) T×m sè d phÐp chia cđa biĨu thøc : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thøc : 2x 2x − : 1 − x −1 x + x − x −1 x +1 C= a) Tìm điều kiện x để biểu thức C đợc Xác định b) Rút gọn C c) Với giá trị x biểu thức C đợc xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông A (AC>AB) , đờng cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đờng vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh AE=AB b) Gäi M trung ®iĨm cđa BE TÝnh gãc AHM -HÕt - Híng dÉn chấm môn toán Bà Nội dung Điể i 1 m a+ b + c = Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n , tÝnh A = a4 + b4 + c4 2 a + b + c = 2009 Ta cã a2 + b2 + c2 = ( a + b + c) − 2( ab + bc + ca) = −2( ab + bc + ca) 2,0 0,50 a2 + b2 + c2 20092 a b + b c + c a = ( ab + bc + ca) − 2abc( a + b + c) = ÷ = 2 2 2 0,50 TuhocOnline.edu.vn 2009 Cho ba sè x, y, z thoả mÃn x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx B = xy + z( x + y) = xy + 3− ( x + y) ( x + y) A = a4 + b4 + c4 = ( a2 + b2 + c2 ) − 2( a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 1,00 2,0 = xy + 3( x + y) − ( x + y) = − x2 − y2 − xy + 3x + 3y 2 2 y − 3 −3y2 + 6y + y − 3 −3 = − x+ + = − x+ + ( y − 1) + ≤ ÷ ÷ 1,25 y − 1= y− = 0⇔ x = y = z = 0,50 DÊu = x¶y x + x + y + z = 0,25 VËy giá trị lớn B x = y = z = Cho ®a thøc f ( x) = x + px + q víi p∈ Z,q∈ Z Chøng minh r»ng tån t¹i 2,0 f ( k) = f ( 2008) f ( 2009) số nguyên k để ff ( x) + x = f ( x) + x + p( f ( x) + x) + q = f ( x) + 2.x.f ( x) + x2 + p.f ( x) + p.x + q = f ( x) f ( x) + 2x + p + ( x2 + px + q) = f ( x) x2 + px + q + 2x + p + 1 = f ( x) ( x + 1) + p( x + 1) + q = f ( x) f ( x + 1) Víi x = 2008 chän k = f ( 2008) + 2008∈ ¢ Suy f ( k) = f ( 2008) f ( 2009) Tìm số nguyên dơng x, y tho¶ m·n 3xy + x + 15y − 44 = ♦3xy + x + 15y − 44 = ⇔ ( x + 5) ( 3y + 1) = 49 x, y nghuyêndơng x + 5, 3y + nguyên dơng lớn Thoả mÃn yêu cầu toán x + 5, 3y + ớc lớn cđa 49 nªn cã: x+ 5= x = ⇔ 3y + = y = Vậy phơng trình có nghiệm nguyên x = y = Cho sè tù nhiªn a = ( 29 ) 2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c TÝnh d a = ( 29 ) 2009 = ( 23 ) 3.2009 = ( 23 ) 6027 1,25 0,50 0,25 2,0 0,75 0,50 0,75 2,0 < 106027 ⇒ b ≤ 9.6027 = 54243 ⇒ c ≤ + 4.9 = 41⇒ d ≤ + 1.9 = 13 ( 1) 1,00 0,75 TuhocOnline.edu.vn 23 ≡ −1mod9 ⇒ a ≡ −1mod9 mµ a ≡ b ≡ c ≡ dmod9 ⇒ d ≡ −1mod9 ( 2) Tõ (1) vµ (2) suy d = 2x − m x + = 3, tìm m để phơng trình có Cho phơng trình x x+ nghiệm dơng Điều kiện: x 2;x 2x − m x − + = ⇔ ⇔ x( 1− m) = 2m− 14 x− x+ m = 1phơng trình có dạng = -12 vô nghiệm 2m 14 m phơng trình trở thµnh x = 1− m 2m− 14 1− m ≠ m≠ 2m− 14 Phơng trình có nghiệm dơng 1< m < 1− m 2m− 14 1− m > m≠ Vậy thoả mÃn yêu cầu toán 1< m < 10 0,25 3,0 0,25 0,75 0,25 0,50 1,00 0,25 Cho h×nh thoi ABCD cã cạnh đờng chéo AC, tia đối 3,0 tia AD lấy điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC F Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính ÃEOF E AEB đồng dạng CBF (gA g) ⇒ AB2 = AE.CF ⇒ AC2 = AE.CF O AE AC B ⇒ = D AC CF ♦∆AEC ®ång d¹ng ∆CAF (cg-c) C ♦∆AEC ®ång d¹ng ∆CAF · · mµ ⇒ AEC = CAF · · · · · EOF = AEC + EAO = ACF + EAO · = 1800 − DAC = 1200 1,00 1,00 1,00 F Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, 3,0 đoạn thẳng DB, DC lần lợt lấy điểm E F cho ·EAD = ·FAD Chøng minh r»ng: BE BF = AB CE CF AC2 TuhocOnline.edu.vn A Kẻ EH AB H, FK AC t¹i K · · · · ⇒ BAE = CAF; BAF = CAE HAE đồng dạng KAF (g-g) AE EH K ⇒ = AF FK S∆ABE BE EH.AB AE.AB BE AE.AB C E D F B = = = ⇒ = S∆ACF CF FK.AC AF.AC CF AF.AC BF AF.AB Tơng tự = CE AE.AC BE BF AB2 (đpcm) = CE CF AC2 Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, ngời ta làm nh sau lÊy H hai sè bÊt kú vµ thay hiệu chúng, làm nh đến 11 1,00 1,25 0,50 0,25 2,0 cßn mét sè bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số đợc không? Giải thích Khi thay hai sè a, b bëi hiÖu hiÖu hai số tính chất chẵn lẻ tổng số có bảng không đổi 2008.( 2008+ 1) Mà S = 1+ + 3+ + 2008 = = 1004.2009 ≡ 0mod2 ; ≡ 1mod2 vËy bảng lại số Kỳ thi chọn häc sinh giái 1,00 1,00 TuhocOnline.edu.vn 12 líp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án thang điểm: Nội dung Bài Câ u 1.1 (0,75 ®iĨm) x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) 0.5 = ( x + 1) ( x + ) 0,5 1.2 (1,25 ®iĨm) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) − x + 2007 ( x + x + 1) 2 2 2 = ( x + x + 1) ( x − x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2008 ) 2 2 2 2.1 §iĨ m 2,0 0,25 0,25 0,25 2,0 x − x + + x − = (1) + NÕu x ≥ : (1) ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = (tháa m·n ®iỊu kiƯn x ≥ ) x < 1: + NÕu (1) 2 ⇔ x − x + = ⇔ x − x − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = ⇔ x = 1; x = (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm lµ x = 2.2 2 0,5 0,5 1 1 x + ÷ + x + ÷ − x + ÷ x + ÷ = ( x + ) (2) x x x x Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x ≠ 2 1 1 (2) ⇔ x + ÷ + x + ÷ x + ÷− x + ÷ = ( x + ) x x x x 0,25 1 2 ⇔ x + ÷ − x + ÷ = ( x + ) ⇔ ( x + ) = 16 x x ⇔ x = hay x = −8 vµ x Vậy phơng trình đà cho có mét nghiƯm x = −8 0,5 0,25 TuhocOnline.edu.vn 13 иp án hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi Năm học Môn: Toán Bi 1: (4 im) a) iu kiện: x ≠ ± y; y ≠ (1 điểm) b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c) Cần giá trị lớn A, từ tìm tất giá trị nguyên dương A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = ⇒ 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = ⇒ 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = ⇒ A + (x – y + 1)2 = ⇒ A = – (x – y + 1)2 ≤ (do (x – y + 1) ≥ (với x ; y) ⇒ A ≤ (0,5đ) x − y + 1= x = + A = 2x( x + y) = ⇔ y = x ≠ ± y;y ≠ 2 (x − y + 1) = + A = 2x( x + y) = Từ đó, cần cặp giá trị x x ≠ ± y;y ≠ 2−1 x = y, chẳng hạn: y = + + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = điểm) Bài 2: (4 điểm) x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + a) 115 104 93 82 x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 ⇔( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) (1 điểm) 115 104 93 82 ⇔ x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 ⇔ + − − =0 115 104 93 82 (0,5 điểm) ⇔ ⇔ x + 126 = ⇔ x = −126 (0,5 điểm) b) x + y + z = xy + yz + zx ⇔ 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 2 (0,5 TuhocOnline.edu.vn ⇔ (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 14 (0,75 điểm) x − y = ⇔ y − z = z − x = ⇔ x= y= z ⇔ x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 ⇔ z2009 = 32009 ⇔ z =3 Vậy x = y = z = (0,5 điểm) Bài (3 điểm) Cần chứng minh: n5 – n M10 - Chứng minh : n5 - n M2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) M2 (vì n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n – n M5 n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) lý luận dẫn đến tổng chia hết cho (1,25 điểm) 5 - Vì ( ; ) = nên n – n M2.5 tức n – n M10 Suy n5 n có chữ số tận giống (0,75 im) Bài 4: điểm E D A M Q B P I H C Câu a: điểm * Chøng minh EA.EB = ED.EC - Chøng minh ∆ EBD đồng dạng với (1 điểm) ECA (gg) EB ED = ⇒ EA.EB = ED.EC EC EA · · * Chøng minh EAD (1 ®iĨm) = ECB - Tõ ®ã suy - Chøng minh ∆ EAD ®ång d¹ng víi ∆ ECB (cgc) · · - Suy EAD = ECB 0,5 ®iĨm 0,5 ®iĨm 0,75 ®iĨm 0,25 ®iĨm TuhocOnline.edu.vn Câu b: 1,5 điểm 15 à - Từ BMC = 120o ⇒ ·AMB = 60o ⇒ ·ABM = 30o = 30o - Xét EDB vuông D cã B ⇒ ED = ED = EB ⇒ EB 2 0,5 ®iĨm 0,5 ®iĨm S ED - Lý luËn cho EAD = ÷ tõ ®ã S ECB EB ⇒ SECB = 144 cm2 0,5 điểm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 ®iĨm - Chøng minh CM.CA = CI.BC 0,5 ®iĨm - Chøng minh BM.BD + CM.CA = BC cã giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biÕn ®ỉi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Câu d: điểm - Chứng minh BHD ®ång d¹ng víi ∆ DHC (gg) ⇒ BH BD BP BD BP BD = ⇒ = ⇒ = DH DC DQ DC DQ DC 0,5 ®iĨm 0,5 ®iĨm - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) · · ⇒ BDP = DCQ ⇒ CQ ⊥ PD o · · ma`BDP + PDC = 90 ®iĨm Bài 5: (2 điểm) a) x, y dấu nên xy > 0, x y + ≥2 y x (*) ⇔ x2 + y2 ≥ 2xy ⇔ (x − y)2 ≥ (**) Bất đẳng thức (**) đúng, suy bđt (*) (đpcm) (0,75đ) x y + =t y x x2 y2 ⇒ + = t2 − (0,25đ) y x Biểu thức cho trở thành P = t2 – 3t + P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + (0,25đ) - Nếu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t ≥ ⇒ t – ≥ ; t – > ⇒ ( t − 2) ( t − 1) ≥ ⇒ P ≥ Đẳng thức xảy t = ⇔ x = y (1) (0,25đ) b) Đặt - Nếu x; y trái dấu x y < < y x ⇒ ( t − 2) ( t − 1) > ⇒ P > ⇒ t < ⇒ t – < t – < (2) (0,25đ) - Từ (1) (2) suy ra: Với x ≠ ; y ≠ ln có P ≥ Đẳng thức xảy x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pm=1 x=y TuhocOnline.edu.vn 16 KiĨm tra chÊt lỵng häc sinh giái năm học Đáp án, biểu điểm, hớng dẫn chấm Môn Toán Nội dung Điểm Bài (3 điểm) 1 1 1,0 Cã a4+ = a + ÷ − a = a + a + ÷ a − a + ÷ 2 Khi cho a giá trị từ đến 30 thì: Tử thức viết đợc thành 2 2 0,5 2 (12+1+ )(12-1+ )(32+3+ )(32-3+ )…….(292+29+ )(292-29+ ) MÉu thøc viết đợc thành 2 0,5 2 2 (22+2+ )(22-2+ )(42+4+ )(42-4+ )(302+30+ )(302-30+ ) Mặt khác (k+1)2-(k+1)+ 12 + 1 =………….=k2+k+ 2 0,5 = Nên A= 1861 302 + 30 + Bài 2: ®iĨm ý a: ®iĨm -Cã ý tëng tách, thêm bớt thể đợc nh vậyđể sử dụng bớc sau -Viết dạng bình phơng hiệu - Viết bình phơng hiệu - Lập luận kết luận ý b: điểm Phân tích tủ thức thành nhân tử Rút gọn kết luận Bài : điểm *Từ 2a + b ≤ vµ b ≥ ta cã 2a ≤ hay a ≤ Do ®ã A=a2 - 2a - b Nên giá trị lín nhÊt cđa A lµ a=2vµ b=0 * Tõ 2a + 3b ≤ suy b ≤ - a 2 22 22 a = ( a − )2 ≥3 9 22 2 Vậy A có giá trị nhỏ a = vµ b = 3 Do ®ã A ≥ a2 – 2a – + Bµi : điểm - Chọn ẩn đạt điều kiện - Biểu thị đợc đại lợng theo ẩn số liệu đà biết(4 đại lợng) - Lập đợc phơng trình 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 x 0,25 TuhocOnline.edu.vn 17 - Giải phơng trình 0,5 - Đối chiếu trả lời thời gian ô tô 0,5 - Lập luận , tính trả lời thời gian ô tô lại 0,5 Bài : điểm ý a : điểm Chứng minh đợc 1.0 A cặp góc Nêu đợc cặp 0,5 góc lại Chỉ đợc hai 0,5 H N tam giác đồng dạng G ý b : điểm Từ hai tam giác 0,5 O đồng dạng ý a suy tỉ C B số cặp cạnh M AH / OM Tính tỉ 0,5 số cặp cạnh AG / GM Chỉ đợc cặp 0,5 góc Kết luận 0,5 tam giác đồng dạng ý c : điểm - Từ hai tam giác đồng 0,5 dạng ë c©u b suy gãc AGH = gãc MGO (1) - Mặt khác góc MGO + 0,5 Góc AGO = 1800(2) - Tõ (1) vµ (2) suy 0,5 gãc AGH + gãc AGO = 1800 - Do ®ã H, G, O thẳng 0,5 hàng Chú ý: -Các cách giải khác chấm điểm tơng tự theo bớc `-Điểm làm tổng số điểm HS làm đợc, không làm trßn ... Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: ề thi học sinh giỏi lớp Năm học Môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu... Chứng minh: GB HD = BC AH + HC HÕt ĐÒ thi chän học sinh giỏi cấp huyện Năm học Môn: Toán (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Bi (4 điểm): Cho biểu thức... 16 x x ⇔ x = hay x = ? ?8 vµ x Vậy phơng trình đà cho có nghiƯm x = ? ?8 0,5 0,25 TuhocOnline.edu.vn 13 иp ¸n hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi Năm học Môn: Toán Bi 1: (4 im) a) iu kin: x