Giải bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 10 (năm 2015) Trường THPT chuyên cao bằng45149

GIẢI BỘ ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 10 (2015) THPT CHUYÊN CAO BẰNG Câu ( 4,0 điểm ): Gi¶i hệ phơng trình: x y  xy(1  y )    y  1  x  4x    Giải: ĐK: từ pt (2) ,suy x> (1)  x( x  y )  y (2 y  x)  ( x  y )( x  y )   x  y ( x+4y2> ) Thay vào phương trình (2) có x  x  x  x  (*) Ap dụng bất dẳng thức AM-GM tacó x2  x2  3  x  x  2x    ( x  4)  x  x  ( x  x)  x  4 4 x 4  (  x)  x  x  x  x 2 Dấu đẳng thức xảy x = Hệ phương trình có nghiệm x(2,1) Câu ( 4,0 điểm ): Cho tam giác nhọn ABC, phân giác góc A cắt BC D Gọi E, F hình chiếu vng góc D AB AC, K giao điểm CE BF, H giao điểm BF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK Chứng minh DH  BF Giải: A *) Gọi I = AK  BC Ta có AI, BF, CE đồng quy FA IC EB  1 FC IB EA E F Mà AE = AF K H IC FC DC cos C   Nên IB EB DB cos B C IC b cos C sin B.cos C I D    B IB c cos B sin C.cos B IC sin B.cos C   a sin A  IC  b cos C  AK  BC ThuVienDeThi.com *) A, E, H, K thuộc đường tròn  BE.BA  BH BK A, E, D, I thuộc đường tròn  BE.BA  BD.BI  BK BH  BD.BI  HKID nội tiếp Mà góc DIK vng nên góc DHK vng  Vậy DH  BF (ĐPCM) Câu ( 4,0 điểm): Cho a; b; c  thỏa mãn a  b  c  abc  Chứng minh a b c a  b  c     bc ac ab Giải: Áp dụng BĐT Bunhiakopxki ta  a b c a  b  c T    cb ac ab a bc b ac c ab     Lại có a b  c  b a  c  c a  b  a  b  c 2ab  2bc  2ac  Suy ra: T a  b  c  a  b  c 2ab  bc  ac  (*) Ta chứng minh a  b  c  ab  bc  ca (1) S2 Đặt a  b  S ; ab  P; ( P  ) 4S Từ giả thiết suy c   S  P 1 4S S 4  S   PP   S  S   (2) P Vậy (1)  S  P 1 P 1 Nếu P   S   VT   VP  S2 S2  S2   Nếu P   S  Ta có PP   S  ) Suy   S  (vì P  4   S2 S  22  S  22 PP   S  16 (vì S  ) Vậy: a  b  c  ab  bc  ac Từ (*) suy T abc Câu ( 4,0 điểm): Tìm tất ba số tự nhiên lớn cho tích hai số cộng chia hết cho số lại Giải: ThuVienDeThi.com Gọi a, b, c ba số tự nhiên lớn thỏa mãn điều kiện ab  1 c, bc  1 a, ca  1 b Dễ thấy a, b, c ba số đôi nguyên tố ( có hai số khơng nguyên tố chẳng hạn a b ( a, b) >1 Khi (ac, b) = d >1  suy ac +1 không chia hết cho d , ac + khơng chia hết cho b ),  suy số khác Số S = ab + bc + ca + chia hết cho số a, b, c nên S chia hết cho abc ( số a, b, c ba số đôi nguyên tố nhau) Vì S  abc * Khơng tính tổng qt, giả sử 2 a  b  c Nếu b  , c  , abc  2.4.5  40 40 abc abc abc abc     abc    abc    abc 20 20 Điều mâu thuẫn chứng tỏ b  , a  2, b  Vì ab   chia S  ab  bc  ca   hết c  Vậy tốn có ba số thỏa mãn điều kiện 2, 3, Câu (4,0 điểm) Cho 2015 tập hợp, tập hợp có 45 phần tử hai tập có phần tử chung Chứng minh tồn phần tử thuộc tất 2015 tập hợp H D Giải: Xét tập A số 2015 tập cho A giao với 2014 tập lại nên tồn a  A 2014  phần tử chung khơng     45 tập lại  45  Vậy a thuộc tập A, A1 , A2 , , A45 46 tập khơng có hai tập có phần tử chung khác a Ta chứng minh a thuộc tập B 20105 tập cho Thật vậy, a  B B có với tập A, A1 , A2 , , A45 phần tử chung khác a, suy B có khơng 46 phần tử, mâu thuẫn Bài tốn chứng minh PHH sưu tầm & GT - 12/2015 - nguồn THPT chuyên Cao Bằng ThuVienDeThi.com ... 2 0105 tập cho Thật vậy, a  B B có với tập A, A1 , A2 , , A45 phần tử chung khác a, suy B có khơng 46 phần tử, mâu thuẫn Bài toán chứng minh PHH sưu tầm & GT - 12/2015 - nguồn THPT chuyên Cao. .. abc Câu ( 4,0 điểm): Tìm tất ba số tự nhiên lớn cho tích hai số cộng chia hết cho số lại Giải: ThuVienDeThi.com Gọi a, b, c ba số tự nhiên lớn thỏa mãn điều kiện ab  1 c, bc  1 a, ca  1... điểm): Cho a; b; c  thỏa mãn a  b  c  abc  Chứng minh a b c a  b  c     bc ac ab Giải: Áp dụng BĐT Bunhiakopxki ta  a b c a  b  c T    cb ac ab a bc b ac c ab 