Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 743021

Đề số Thời gian làm bài: 120 phút Câu1: (2 ®iĨm) 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d ab bc cd d a Tìm giá trị biểu thức: M= cd d a ab bc Cho d·y tØ sè nhau: Câu2: (1 điểm) Cho S = abc  bca  cab Chøng minh r»ng S kh«ng phải số phương Câu3: (2 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, lúc xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h Biết khoảng cách AB 540 km M trung điểm AB Hỏi sau khởi hành ôtô cách M khoảng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M Câu4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác A  ฀ABO  ฀ACO a Chøng minh r»ng: BOC ฀ A b BiÕt ฀ABO  ฀ACO  900  vµ tia BO tia phân giác góc B Chứng minh rằng: Tia CO tia phân giác góc C Câu 5: (1,5điểm) Cho đường thẳng đường thẳng song song CMR có đường thẳng mà góc nhọn chúng không nhỏ 200 Câu 6: (1,5điểm) Khi chơi cá ngựa, thay gieo súc sắc, ta gieo hai súc sắc lúc điểm thấp 2, cao 12 điểm khác 3; 4; ;6 11 HÃy lập bảng tần số khả xuất loại điểm nói trên? Tính tần xuất loại ®iÓm ®ã HÕt ThuVienDeThi.com §Ị sè Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: Tìm c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mÃn: a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =x +8 -x 2 C©u 4: BiÕt r»ng :1 +2 +3 + +10 = 385 TÝnh tæng : S= 22+ 42+ +202 Câu : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC D a Chứng minh AC=3 AD b Chøng minh ID =1/4BD - HÕt -Đề số Thời gian làm bài: 120 phút Câu ( 2đ) Câu (1đ) Câu (2đ) a) A = a b c abc a Cho: Chøng minh:      b c d d bcd  a c b T×m A biÕt r»ng: A =   bc ab ca Tìm x Z để A Z tìm giá trị x3 x2 Câu (2đ) Tìm x, biết: x3 = a) b) A = b)  2x x3 ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E BC, BH AE, CK  AE, (H,K  AE) Chøng minh MHK vuông cân HÕt -Đề số Thời gian làm : 120 phút Câu : ( điểm) Ba đường cao tam giác ABC có độ dài 4,12 ,a Biết a số tự nhiên Tìm a ? ThuVienDeThi.com Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc a c  ( a,b,c ,d 0, ab, cd) ta suy tỉ b d lệ thøc: a) a c  a b cd b) ab cd  b d C©u 2: ( điểm) Tìm số nguyên x cho: ( x2 1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < C©u 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: A = x-a +  x-b + x-c +  x-d víi a 13 Câu 2: (3 điểm ) a Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số nã tû lƯ víi 1, 2, b Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n N) Câu : (1điểm )cho hình vẽ , biÕt  +  +  = 1800 chøng minh Ax// By A  x C   B y Câu (3 điểm ) Cho tam giác cân ABC, có ABC =1000 Kẻ phân giác góc CAB cắt AB D Chứng minh rằng: AD + DC =AB Câu (1 điểm ) Tính tổng S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .+ (-3)2004 HÕt -Đề số 15 Thời gian làm bài: 120 phú Bài 1: (2,5đ) Thực phép tính sau cách hợp lí: Bài 2: (2,5đ) 1 1 1 1         90 72 56 42 30 20 12 Tính giá trị nhỏ biÓu thøc: A = x    x Bài 3: (4đ) Cho tam giác ABC Gọi H, G,O trực tâm , trọng tâm giao điểm đường trung trực tam giác Chứng minh rằng: a AH lần khoảng cách từ O đến BC b Ba điểm H,G,O thẳng hàng GH = GO Bài 4: (1 đ) Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bá dÊu ngc biĨu thøc (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007 - HÕt -Đề 16 Thời gian làm bài: 120 phút ThuVienDeThi.com Câu 1(3đ): Chứng minh A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102 Câu 2(3đ): Tìm x, biết: a x x  ; b 3x   x Câu 3(3đ): Cho tam giác ABC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Các đường trung trực tam giác gặp tai Các đường cao AD, BE, CF gặp t¹i H Gäi I, K, R theo thø tù trung điểm HA, HB, HC a) C/m H0 IM cắt Q trung điểm đoạn b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) HÃy suy kết tương tự kết câu b Câu 4(1đ): Tìm giá trị x để biểu thức A = 10 - 3|x-5| đạt giá trị lớn - HÕt Đề 17 Thời gian: 120 phút Bài 1: (2đ) Cho biểu thức A = a) Tính giá trị cđa A t¹i x = x 5 x 3 b) Tìm giá trị x để A = - c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài (3đ) a) Tìm x biÕt:  x  x  b) TÝnh tæng M = + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006 c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + – 4x3 Chøng tá r»ng ®a thøc nghiệm Bài 3.(1đ) Hỏi tam giác ABC tam giác biết góc tam giác tỉ lệ với 1, 2, Bài 4.(3đ) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600 Hai tia phân giác AM CN tam giác ABC cắt t¹i I a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN Bài (1đ) Cho biểu thức A = 2006 x x Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn HÕt -10 ThuVienDeThi.com §Ị 18 Thêi gian: 120 C©u 1: 1.TÝnh: 15 1 a     20 25 1 b   :   2 4  Rót gän: A = 9 30 3  5.9  2.6 210.38  8.20 BiĨu diƠn số thập phân dạng phân số ngược lại: a 33 b 22 c 0, (21) d 0,5(16) Câu 2: Trong đợt lao động, ba khối 7, 8, chuyên chở 912 m3 đất Trung bình học sinh khối 7, 8, theo thứ tự làm 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất Sè häc sinh khèi 7, tØ lƯ víi vµ Khèi vµ tØ lƯ víi Tính số học sinh khối Câu 3: a.Tìm giá trị lớn biểu thức: A= ( x 2) b.Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + Câu 4: Cho tam giác ABC cân (CA = CB) C = 800 Trong tam giác cho MBA 300 MAB  100 TÝnh MAC C©u 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = th× (a2,a+b) = - HÕt -§Ị19 Thêi gian: 120 phút Câu I: (2đ) 1) Cho a b  c  vµ 5a - 3b - c = 46 Xác định a, b, c   2) Cho tØ lÖ thøc : a c 2a  3ab  5b 2c  3cd  5d  Chøng minh : Víi ®iỊu  b d 2b  3ab 2d  3cd kiÖn mÉu thøc xác định Câu II : Tính : (2đ) 1) A = 1    3.5 5.7 97.99 11 ThuVienDeThi.com 2) B =   1 1    50  51 3 3 C©u III : (1,5 đ) Đổi thành phân số số thập phân sau : a 0,2(3) ; b 1,12(32) Câu IV : (1.5đ) Xác định đa thức bậc biết : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = ; p(3) = Câu V : (3đ) Cho tam giác ABC cã gãc nhän Dùng phÝa ngoµi tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi M;N;P trung điểm BC; BD;CE a Chøng minh : BE = CD vµ BE với CD b Chứng minh tam giác MNP vuông c©n HÕt §Ị 20 Thêi gian lµm bµi: 120 Bµi (1,5®): Thùc hiƯn phÐp tÝnh: 3  11 12  1,5   0, 75 a) A = 5 0, 265  0,5   2,5   1, 25 11 12 0,375  0,3  b) B = + 22 + 24 + + 2100 Bài (1,5đ): a) So sánh: 230 + 330 + 430 3.2410 b) So sánh: + 33 29 + 14 Bài (2đ): Ba máy xay xay 359 thóc Số ngày làm viƯc cđa c¸c m¸y tØ lƯ víi 3:4:5, sè giê làm việc máy tỉ lệ với 6, 7, 8, công suất máy tỉ lệ nghịc với 5,4,3 Hỏi máy xay thóc Bài (1đ): Tìm x, y biết: a) 3x  1   b)    1.2 2.3   2x   99.100 Bài ( 3đ): Cho ABC có góc nhỏ 1200 Vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD, ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh r»ng: ฀ a) BMC  120 ฀  120 b) AMB Bài (1đ): Cho hàm số f(x) xác định với x thuộc R Biết với mäi x ta ®Ịu x cã: f ( x )  f ( )  x TÝnh f(2) 12 ThuVienDeThi.com HÕt -§Ị 21 Thêi gian làm bài: 120 phút Câu (2đ) Tìm x, y, z  Z, biÕt a x   x = - x x b  1  y c 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 Câu (2đ) a Cho A = ( b Cho B = 1 1  1).(  1).(  1) (  1) H·y so s¸nh A víi  2 2 100 x x Tìm x Z để B có giá trị số nguyên dương Câu (2®) Mét ng­êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tốc 4km/h dự định đến B lúc 11 45 phút Sau quÃng đường người với vận tốc 3km/h nên đến B lúc 12 trưa Tính quÃng đườngAB người khởi hành lúc giờ? Câu (3đ) Cho ABC có A > 900 Gọi I trung điểm cạnh AC Trên tia đối tia IB lấy ®iĨm D cho IB = ID Nèi c víi D a Chøng minh AIB  CID b Gäi M trung điểm BC; N trung điểm CD Chứng minh I trung điểm MN ฀ c Chøng minh AIB ฀AIB  BIC d T×m ®iỊu kiƯn cđa ABC ®Ĩ AC  CD C©u (1đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 14  x ;  x  Z  Khi x nhận giá 4x trị nguyên nào? - HÕt Đề 22 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,5đ) 13 ThuVienDeThi.com a Tìm x biÕt : x  +5x = 1 1 b Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + + 90) ( 12.34 – 6.68) :      ; 3 6 c So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 vµ B = 2101 Bµi :(1,5đ) Tìm tỉ lệ ba cạnh tam giác biết cộng độ dài hai đường cao tam giác tỉ lệ kết :5 : : Bài :(2®) Cho biĨu thøc A = x 1 x 16 25 a Tính giá trị A x = x = 9 b Tìm giá trị x để A =5 Bài :(3đ) Cho tam giác ABC vuông C Từ A, B kẻ hai phân giác cắt AC E, cắt BC D Từ D, E hạ đường vuông góc xuống AB cắt AB M N Tính góc MCN ? Bài : (1đ) Với giá trị cđa x th× biĨu thøc : P = -x2 – 8x +5 Có giá trị lớn Tìm giá trị lớn ? HÕt - Đề 23 Thời gian: 120 phút Câu 1: (3®) a TÝnh A = 0, 25  1 2 2 1 1 4 5 2         4 3 4 3 3 b Tìm số nguyên n, biết: 2-1.2n + 4.2n = 9.25 c Chứng minh với n nguyên dương thì: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hết cho 10 Câu 2: ((3đ) a 130 häc sinh thc líp 7A, 7B, 7C cđa mét trường tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng 2cây, cây, Hỏi lớp có häc sinh tham gia trång c©y? BiÕt sè c©y trång ®­ỵc cđa líp b»ng b Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) lµ mét sè nguyên Câu 3: (4đ ) Cho tam giác cân ABC, AB=AC Trên cạnh BC lấy điểm D Trên Tia tia BC lấy điểm E cho BD=BE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh: a DM= ED b Đường thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN 14 ThuVienDeThi.com c Đường thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi BC - HÕt -Đề 24 Thời gian: 120 phút Câu 1: (2 ®iĨm) a a  a Rót gän biĨu thøc b a  a c x  1  x Câu 2: Tìm x biết: a x  - x = b x - 4x < Câu 3: (2đ) Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số nã tû lƯ víi sè 1; 2; C©u 4: (3,5đ) Cho ABC, cạnh AB lấy ®iĨm D vµ E Sao cho AD = BE Qua D E vẽ đường song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự M N Chøng minh r»ng DM + EN = BC - HÕt -Đề 25 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(1điểm) HÃy so sánh A B, biết: Bài 2:(2điểm) Thực phép tính: A= 102006  ; 102007  B= 102007  102008  1     A= 1   1   1   1 1      2006  Bài 3:(2điểm) Tìm số x, y nguyªn biÕt r»ng:  x 1   y Bài 4:(2 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 15 ThuVienDeThi.com ฀ =C ฀ = 500 Gäi K điểm tam giác Bài 5:(3 điểm) Cho tam gi¸c ABC cã B ฀ ฀ = 100 KCB = 300 cho KBC a Chøng minh BA = BK b TÝnh sè ®o gãc BAK - HÕt -Đề thi 26 Thời gian làm bài: 120 phút Câu Víi mäi sè tù nhiªn n  h·y so s¸nh: 1 1     víi 2 n 1 1 b B =     víi 1/2 2n a A= Câu 2: Tìm phần nguyên cđa  , víi    3 4 n 1    n 1 n Câu 3: Tìm tỉ lệ cạnh tam giác, biết cộng độ dài hai đường cao tam giác tỉ lệ kết 5: : Câu 4: Cho góc xoy , hai cạnh ox oy lấy điểm A B AB có độ dài nhỏ Câu 5: Chứng minh r»ng nÕu a, b, c vµ a  b  c số hữu tỉ 16 ThuVienDeThi.com Phần 2: Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải đề số Câu 1: Mỗi tỉ số đà cho bớt ®i ta ®­ỵc: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d 1  1 = 1  1 a b c d abcd abcd abcd abcd    a b c d +, NÕu a+b+c+d  th× a = b = c = d lóc ®ã M = 1+1+1+1=4 +, NÕu a+b+c+d = th× a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b); d+a = -(b+c), lóc ®ã M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4 C©u 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c) V× < a+b+c 27 nên a+b+c 37 Mặt khác( 3; 37) =1 nên 3(a+b+c) 37 => S số phương Câu 3: QuÃng đường AB dài 540 Km; nửa quảng dường AB dài 270 Km Gọi quÃng đường ô tô xe máy đà S1, S2 Trong cïng M B thêi gian th× qu·ng ®­êng tØ lƯ thn víi A vËn tèc ®ã t= S1 S   t (t chÝnh lµ thời gian cần tìm) V1 V2 270 a 270  2a 540  2a 270  2a (540  2a )  (270  2a ) 270  ;t     3 65 40 130 40 130  40 90 VËy sau khëi hµnh giê ô tô cách M khoảng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M Câu 4: a, Tia CO cắt AB D +, Xét BOD có BOC góc nên BOC = B฀  D A  ADC cã gãc D1 lµ góc nên D A C Vậy BOC = ฀A  C฀1 + B฀1 +, XÐt 1 1 D ฀A ฀A ฀A 0 ฀ ฀ ฀ ฀ b, NÕu ABO  ACO  90  th× BOC = A  90   900  2 XÐt  BOC cã: O C B 17 ThuVienDeThi.com ฀ ฀ ฀  1800  O ฀ B ฀  1800   900  A  B  C 2  2   ฀ ฀ ฀ ฀ ฀  900  A  B  900  180  C  C C 2 2    tia CO tia phân giác góc C Câu 5: Lấy điểm O tuỳ ý.Qua O vẽ đường thẳng song song với đường thẳng đà cho đường thẳng qua O tạo thành 18 góc điểm chung, góc tương ứng góc hai đường thẳng số đương thẳng ®· cho Tỉng sè ®o cđa 18 gãc ®Ønh O 3600 có góc không nhỏ 3600 : 18 = 200, từ suy có hai đường thẳng mà góc nhọn chúng không nhỏ 200 Câu 6: Tổng số điểm ghi hai mặt hai súc sắc là: = 1+1 = 1+2 = 2+1 = 1+3 =2 +2 = 3+1 = 1+4 =2+3=3+2=4+1 6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1 7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1 8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2 9=3+6=4+5=5+4=6+3 10=4+6=5+5=6+4 11=5+6=6+5 12=6+6 Điểm số (x) Tần số( n) TÇn suÊt (f) 2,8% 5,6% 10 8,3% 11,1% 13,9% 16,7% 13,9% 11,1% 8,3% 11 12 5,6% 2,8% Nh­ vËy tæng sè điểm có khả xảy tới 16,7% Đáp án đề số Câu1: Nhân vế bất đẳng thức ta : (abc)2=36abc +, Nếu số a,b,c số lại +,Nếu 3số a,b,c khác chia vế cho abc ta abc=36 +, Từ abc =36 ab=c ta c2=36 nên c=6;c=-6 +, Từ abc =36 bc=4a ta 4a2=36 nên a=3; a=-3 18 ThuVienDeThi.com +, Từ abc =36 ab=9b ta 9b2=36 nên b=2; b=-2 -, Nếu c = avà b dấu nên a=3, b=2 a=-3 , b=-2 -, Nếu c = -6 avà b trái dấu nên a=3 b=-2 a=-3 b=2 Tóm lại có số (a,b,c) thoà mÃn toán (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) Câu (3đ) a.(1đ) 5x-3 -2 x>1 *NÕu 3x+1 x1 hc x x4 (0,25đ) (1)4-x+2x=3 => x=-1( thoả mÃn đk) (0,25đ) *4-x x>4 (0,25đ) (1) x-4+2x=3 x=7/3 (loại) (0,25đ) Câu3 (1đ) ¸p dông a+b a+bTa cã A=x+8-xx+8-x=8 MinA =8 x(8-x) 0 (0,25®) x  =>0x8 (0,25®) 8  x  * x  => 8  x * x không thoà mÃn(0,25đ) x Vậy minA=8 0x8(0,25đ) Câu4 Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+ +22.102 A =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5đ) Câu5.(3đ) D E C B M Chøng minh: a (1,5®) Gäi E trung điểm CD tam giác BCD có ME đường trung bình => ME//BD(0,25đ) Trong tam giác MAE có I trung điểm cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) 19 ThuVienDeThi.com Nên D trung điểm AE => AD=DE (1)(0,5đ) Vì E trung điểm DC => DE=EC (2) (0,5đ) So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ) b.(1đ) Trong tam giác MAE ,ID ®­êng trung b×nh (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25®) Trong tam giác BCD; ME Đường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ) So sánh (1) (2) => ID =1/4 BD (0,25®) -Đáp án đề số Câu Ta cã a b c a  (1) b c d d Ta l¹i cã a b c abc    (2) b c d bca abc a Tõ (1) vµ(2) =>    d bcd  a c b abc C©u A =   = bc ab ca 2a  b  c  NÕu a+b+c  => A = NÕu a+b+c = => A = -1 C©u a) A = + x2 để A Z x- ­íc cđa => x – = ( 1; 5) * x = => A = * x = => A = - b) A = -2 x3 * x = => A = * x = -3 => A = để A Z x+ ước => x + = ( 1; 7) * x = -2 => A = * x = => A = -1 * x = -4 => A = - * x = -10 => A = -3 Câu a) x = - b) x = hc - 11 c) x = Câu ( Tự vẽ hình) MHK cân M Thật vậy: ACK =  BAH (gcg) => AK = BH  AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH 20 ThuVienDeThi.com ... ThuVienDeThi.com §Ị số 11 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2®) Rót gän A= x x2 x  x 20 Câu (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp. .. trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng Câu 3: (1,5đ) 102006 53 số tự nhiên Chứng minh Câu : (3đ)... ((3đ) a 130 häc sinh thuéc líp 7A, 7B, 7C trường tham gia trồng Mỗi học sinh cđa líp 7A, 7B, 7C theo thø tù trång 2cây, cây, Hỏi lớp có học sinh tham gia trồng cây? Biết số trồng lớp b Chứng minh