Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề 3

PHềNG GIO DC V O TO TRNG THCS THI OLYMPIC TON CP HUYN Nm hc 2013-2014 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 120 phỳt Câu : (6 điểm) a) Giải phơng trình : 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c + + b+ca a+cb a+bc Câu : (5 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm số nguyên n dể n5 + chia hết cho n3 + Cõu (3 im ) a Cho s dng a, b, c cú tng bng Chng minh rng: 1 + + a b c b Cho a, b dơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 Bài : ( im ) Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh : a ) OA.OB = OC.OH b ) Góc OHA có số đo không đổi c ) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi -HT - ỏp ỏn hng dn chm Câu : (6 đ) a) (3 đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,5 ĐKXĐ : x 4; x 5; x 6; x 0,5 Phơng trình trở thành : 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 + + = x + x + x + x + x + x + 18 1 = x + x + 18 1,75 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm đợc x=-13; x=2; ( 0,25) b) (3 đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 y+z x+z x+ y ;b = ;c = ; ( 1,5 ) 2 y+z x+z x+ y y x x z y z + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) ( 0,75 ) Thay vào ta đợc A= 2x 2y 2z x y z x z y Từ suy A (2 + + 2) hay A ( 0,25 ) Từ suy a= Câu : (2đ) a) Gọi số phải tìm a b , ta có a+b chia hết cho [ ] 0,25 Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a + 2ab + b ) 3ab = [ =(a+b) (a + b) 3ab ] 0,5 Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hết cho ; [ ] Do (a+b) (a + b) 3ab chia hết cho b ) ( ) n5 + Mn3 + n5 + n2 n2 + Mn3 + n2(n3 + 1)- ( n2 1) M n3 + (n 1)(n + 1) M(n+1)(n2 n + 1) n Mn2 n + n(n 1) Mn2 n + Hay n2 n Mn2 n + (n2 n + 1) Mn2 n + Mn2 n + Xét hai trờng hợp: + n2 n + = n2 n = n(n 1) = n = 0, n = thử lại thấy t/m đề + n2 n + = - n2 n + = , giá trị n thoả mãn Cõu b c a = 1+ a + a a c a T: a + b + c = = + + ( ) b b b a b c = 1+ c + c 1 a b a c b c + + = + + ữ+ + ữ+ + ữ a b c b a c a c b 3+2+2+2=9 Du bng xy a = b = c = ( 0,5 ) b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) ab = (a 1).(b 1) = a = b = Với a = => b2000 = b2001 => b = b = (loại) Với b = => a2000 = a2001 => a = a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1) ( 0,5 ) Cõu ( ) O OB OH OA.OB = OC.OH = (2) H OC OA A M OB OH OA OH = = b) (1) OC OA OC OB chung (2) OHA OBC có O B K Từ (1) (2) OHA ~ OBC (c.g.c) ã ã OHA = OBC (không đổi) ( ) BM BK = BM.BH = BK.BC c) Vẽ MK BC ; BKM ~ BHC (g.g) BC BH (3) CM CK = CM.CA ~ (g.g) = BC.CK CKM CAB CB CA (4) Cộng vế (3) (4) ta cú: BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK = BC(BK + CK) = BC2 (không đổi) ( ) a) BOH ~ COA (g-g) C