hôm nay tớ mở ra chuyên đề này để chúng ta giao lưu học hỏi :khi (176)::khi ... Nếu tích abc chia hết cho một số nguyên tố p thì ít nhất phải có một thừa số của ... n là hợp số . nếu n không chia hết cho mọi số nguyên tố p (p.pleq n)thì n là s
TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN Phần I Một số kiến thức Về số nguyên tố I/ Định nghĩa 1) Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có ớc số Ví dụ: 2, 3, 5, 11, 13,17, 19 2) Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ớc Ví dụ: có ớc số: ; nên hợp số 3) Các số só nguyên tố hợp số 4) Bất kỳ số tự nhiên lớn có ớc số nguyên tố II/ Một số định lý 1) Định lý 1: Dãy số nguyên tố dãy số vô hạn Chứng minh: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p 1; p2; p3; pn pn số lớn nguyên tố Xét số N = p1 p2 pn +1 N chia cho số nguyên tố pi (1 [ i [ n) d (1) Mặt khác N hợp số (vì lớn số nguyên tố lớn p n) N phải có ớc nguyên tố đó, tức N chia hết cho số pi (1 [ i [ n) (2) Ta thấy (2) mâu thuẫn (1) Vậy có hữu hạn số nguyên tố 2/ Định lý 2: Mọi số tự nhiên lớn phân tích đợc thừa số nguyên tố cách (không kể thứ tự thừa số) Chứng minh: * Mọi số tự nhiên lớn phân tích đợc thừa số nguyên tố: Thật vậy: giả sử điều khẳng định với số m thoả mãn: 1< m < n ta chứng minh điều với n Nếu n nguyên tố, ta có điều phải chứng minh Nếu n hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n) Theo giả thiết quy nạp: a b tích thừa số nhỏ n nên n tích cuả thừa số nguyên tố * Sự phân tích nhất: Giả sử số m < n phân tích đợc thừa số nguyên tố cách nhất, ta chứng minh điều với n: TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN Nếu n số nguyên tố ta đợc điều phải chứng minh Nếu n hợp số: Giả sử có cách phân tích n thừa số nguyên tố khác nhau: n = p.q.r n = p.q.r Trong p, q, r p, q, r số nguyên tố số nguyên tố có mặt hai phân tích (vì có số thoả mãn điều kiện nh trên, ta chia n cho số lúc thờng nhỏ n, thơng có hai cách phân tích thừa số nguyên tố khác nhau, trái với giả thiết quy nạp) Không tính tổng quát, ta giả thiết p p lần lợt số nguyên tố nhỏ phân tích thứ thứ hai Vì n hợp số nên n > p2 n > p2 Do p = p => n > p.p Xét m = n - pp < n đợc phân tích thừa số nguyên tố cách ta thấy: p | n => p | n pp hay p | m p| n => p| n pp hay p| m Khi phân tích thừa số nguyên tố ta có: m = n - pp = pp P.Q với P, Q P ( P tập số nguyên tố) pp | n = pp | p.q.r => p | q.r => p ớc nguyên tố q.r Mà p không trùng với thừa số q,r (điều trái với gỉa thiết quy nạp số nhỏ n phân tích đợc thừa số nguyên tố cách nhất) Vậy, điều giả sử không đúng, n hợp số mà n phải số nguyên tố (Định lý đợc chứng minh) III/ Cách nhận biết số nguyên tố Cách 1: Chia số lần lợt cho nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; Nếu có phép chia hết số không nguyên tố Nếu thực phép chia lúc thơng số nhỏ số chia mà phép chia có số d số nguyên tố Cách 2: Một số có hai ớc số lớn số số nguyên tố Cho học sinh lớp học cách nhận biết số nguyên tố phơng pháp thứ (nêu trên), dựa vào định lý bản: TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN Ước số nguyên tố nhỏ hợp số A số khôngvợt A Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ 100 nên cho học sinh học thuộc, nhiên găp số a (a < 100) muốn xét xem a số nguyên tố hay hợp số ta thử a có chia hết cho 2; 3; 5; hay không + Nếu a chia hết cho số a hợp số + Nếu a không chia hết cho số số a số nguyên tố Với quy tắc khoản thời gian ngắn, với dấu hiệu chia hết học sinh nhanh chóng trả lời đợc số có hai chữ số nguyên tố hay không Hệ quả: Nếu có số A > ớc số nguyên tố từ đến A A nguyên tố (Do học sinh lớp cha học khái niệm bậc hai nên ta không đặt vấn đề chứng minh định lý này, giới thiệu để học sinh tham khảo.) IV/ Số ớc số tổng ớc số số: Giả sử: A = p1X1 p2X2 pnXn Trong đó: pi P ; xi N ; i = 1, n a) Số ớc số A tính công thức: T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) .(xn + 1) Ví dụ: 30 = 2.3.5 T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = Thật vậy: Ư(30) ={ 1;2;3;5;6;10;15;30} Ư(30) có phân tử ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(A) biết A có ớc thông qua việc phân tích thừa số nguyên tố 3100 có (100 + 1) = 101 ớc 000 000 000 = 109 = 29.59 có (9 + 1)(9+1) = 100 ớc ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ớc số em tin tởng viết tập hợp ớc số khẳng định đủ hay cha b) Tổng ớc số A tính công thức: p1X1 + - p2X2 + - pnXn + - (A) = p1 - p2 - pn - V/ Hai số nguyên tố nhau: TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN 1- Hai số tự nhiên đợc gọi nguyên tố chúng có ớc chung lớn (ƯCLN) a, b nguyên tố (a,b) = a,b N 2- Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố 3- Hai số nguyên tố khác nguyên tố 4- Các số a,b,c nguyên tố (a,b,c) = 5- a,b,c nguyên tố sánh chúng đôi nguyên tố a,b,c nguyên tố sánh đôi (a,b) = (b,c) = (c,a) = VI/ Một số định lý đặc biệt 1) Định lý Đirichlet Tồn vô số số nguyên tố p có dạng: p = ax + b (x N, a, b số nguyên tố nhau) Việc chứng minh định lý phức tạp, trừ số trờng hợp đặc biệt Ví dụ: Chứng minh có vô số số nguyên tố dạng: 2x 1; 3x 1; 4x + 3; 6x + 2) Định lý Tchebycheff Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có số nguyên tố (n > 2) 3) Định lý Vinogradow Mọi số lẻ lớn 33 tổng số nguyên tố Các định lý ta giới thiệu cho học sinh tham khảo sử dụng để giải số tập TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN Phần II Một số toán Về số nguyên tố Dạng 1: Có số nguyên tố dạng ax + b (với x N (a,b) = 1) Bài tập số 1: Chứng minh rằng: có vô số số nguyên tố có dạng: 3x (x1) hợp số +) Xét số có dạng 3x + 1: số (3m + 1) số (3n + 1) Xét tích (3m + 1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + = 3x + Tích có dạng: 3x + +) Lấy số nguyên tố p có dạng 3x (với p p) ta lập tích p với tất số nguyên tố nhỏ p trừ ta có: M = 2.3.5.7 p = 3(2.5.7 p) M có dạng: 3x Có khả xảy ra: * Khả 1: M số nguyên tố, số nguyên tố có dạng (3x 1) > p, toán đợc chứng minh * Khả 2: M hợp số: Ta chia M cho 2, 3, 5, ,p tồn số d khác nên ớc nguyên tố M lớn p, ớc số có dạng 3x + (đã chứng minh trên) Do ớc nguyên tố M phải có dạng 3x (hợp số) 3x + Vì tất có dạng 3x + M phải có dạng 3x + (đã chứng minh trên) Do đó, ớc nguyên tố M phải có dạng 3x + 1, ớc lớn p Vậy: Có vô số số nguyên tố dạng 3x Bài tập số 2: Chứng minh rằng: Có vô số số nguyên tố có dạng 4x + (với x N) Nhận xét: Các số nguyên tố lẻ có dạng 4x 4x + TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN Vậy chúng tồn dới dạng 4x + 4x + Ta chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 4x + +) Xét tích số có dạng 4x + là: 4m + 4n + Ta có: (4m + 1)(4n + 1) = 16mn + 4m + 4n + = 4(4mn + m + n) + = 4x +1 Vậy tích số có dạng 4x + số có dạng 4x + +) Lấy số nguyên tố p có dạng 4x 1, ta lập tích 4p với tất số nguyên tố nhỏ p trừ ta có: N = 4(2.3.5.7 p) Có khả xảy * Khả 1: N số nguyên tố => N = 4(2.3.5.7 p) có dạng 4x Những số nguyên tố có dạng 4x số có dạng 4x + toán đợc chứng minh * Khả 2: N hợp số: Chia N cho 2, 3, 5, , p đợc số d khác => ớc nguyên tố N lớn p Các ớc có dạng 4x 4x + (vì hợp số) Cũng toàn ớc có dạng 4x + nh N phải có dạng 4x + Nh ớc nguyên tố N có ớc có dạng 4x mà ớc hiển nhiên lớn p Vậy: Có vô số số nguyên tố có dạng 4x (hay có dạng 4x + 3) Trên mộ số toán chứng minh đơn giản định lý Đirielet: Có vô số số nguyên tố dạng ax + b x N ,(a,b) = Mục đích tập dạng là: Rèn luyện cho học sinh khả t sâu, cách xem xét kết luận vấn đề toán học cách xét hết khả xảy ra, dùng vấn đề toán học đ ợc chứng minh biết để loại bỏ khả xảy làm sáng tỏ vấn đề cần phải chứng minh Sau thành thạo dạng toán học sinh lớp hiểu đợc sâu sắc hơn, có khái niệm rõ ràng Thế chứng minh vấn đề toán học có đợc kỹ năng, kỹ xảo chứng minh cần thiết Tuy nhiên, với dạng toán này, trình độ lớp em giải đợc tập dạng đơn giản Việc chứng tập dạng phức tạp hơn, em gặp nhiều khó khăn dễ dàng chứng minh đ ợc Chẳng hạn chứng minh vô số số nguyên tố có dạng 4a + 1; 6a + phức tạp nhiều TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN DNG 2: Các toán chứng minh Số nguyên tố Bài tập số 1: Chứng minh rằng: (p 1)! chia hết cho p p hợp số, không chia hết cho p p số nguyên tố Giải: +) Xét trờng hợp p hợp số: Nếu p hợp số p tích thừa số nguyên tố nhỏ p số mũ luỹ thừa lớn số mũ luỹ thừa chứa (p 1)! Vậy: (p 1) !: p (điều phải chứng minh) +) Xét trờng hợp p số nguyên tố: Vì p P => p nguyên tố với thừa số (p 1)! (vì p > p-1 => (p 1)! : p (điều phải chứng minh) Bài tập số 2: Cho 2m số nguyên tố Chứng minh m số nguyên tố Giải: Giả sử m hợp số => m = p.q ( p, q N; p, q > 1) Khi đó: 2m = 2p,q - = (2p)q = (2p 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .+ 1) p > (giả thiết) điều giả sử => 2p > (2p(q-1) + 2p(q-2) + .+ 1) > Dẫn đến 2m hợp số (trái với giả thiết 2m số nguyên tố) Điều giả sử xảy Vậy m phải số nguyên tố (điều phải chứng minh) Bài tập số 3: Chứng minh rằng: 1994! có ớc số nguyên tố lớn 1994 Giải: (Chứng minh phơng pháp phản chứng) Gọi p ớc số nguyên tố (1994! 1) Giả sử p 1994 => 1994 1993 : p 1994! : p mà (1994! 1) : p => : p (vô lý) TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN Vậy: p nhỏ 1994 hay p > 1994 (điều phải chứng minh) Bài tập số 4: Chứng minh rằng: n > n n! có số nguyên tố (từ suy có vô số số nguyên tố) Giải: Vì n > nên k = n! > 1, k có ớc số nguyên tố p Ta chứng minh p > n Thật vậy: p n n! : p Mà k : p => (n! 1) : p.Do đó: 1:p (vô lý) Vậy: p > n=>n < p < n! < n! (Điều phải chứng minh) Dng Tìm số nguyên tố Thoả mãn điều kiện cho trớc Bài tập số 1: Tìm tất giá trị số nguyên tố p để: p + 10 p + 14 số nguyên tố Giải: (Phơng pháp: Chứng minh nhất) + Nếu p = p + 10 = + 10 = 13 p + 14 = + 14 = 17 số nguyên tố p = giá trị cần tìm + Nếu p => p có dạng 3k + dạng 3k * Nếu p = 3k + p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) : * Nếu p = 3k p + 10 = 3k + = 3(k + 3) : Vậy p p + 10 p + 14 hợp số => không thỏa mãn Do đó: giá trị cần tìm là: p = Bài tập số 2: Tìm số nguyên tố p để p + 2; p + 6; p + 18 số nguyên tố Giải: Bằng cách giải tơng tự tập số 1, học sinh dễ dàng tìm đợc p = thoả mãn Xong không chứng minh đợc p = giá trị dễ dàng thấy p = 11 thoả mãn Vậy với tập này, học sinh cần vài giá trị p thoả mãn đủ Bài tập số 3: Tìm k để 10 số tự nhiên liên tiếp: k + 1; k +2; k +3; k +10 có nhiều số nguyên tố TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN Giải: Giáo viên hớng dẫn học sinh rút nhận xét: Trong 10 số tự nhiên liên tiếp, có số chẵn số lẻ (trong số chẵn, có nhiều số nguyên tố chẵn 2) Vậy: 10 số có không số nguyên tố +) Nếu k = 0, từ đến 10 có số nguyên tố: 2; 3; 5; +) Nếu k = từ đến 11 có số nguyên tố: 2; 3; 5; 7; 11 +) Nếu k > từ trở số chẵn số nguyên tố Trong số lẻ liên tiếp, có số bội số đó, dãy có số nguyên tố Vậy với k = 1, dãy tơng ứng: k + 1; k + 2, k + 10 có chứa nhiều số nguyên tố (5 số nguyên tố) Bài tập số 4: Tìm tất số nguyên tố p để: 2p + p2 số nguyên tố Giải: Xét hai trờng hợp: +) p p = p = * Nếu p = => 2p + p2 = 22 + 22 = P * Nếu p = => 2p + p2 = 22 + 32 = 17 P +) p > ta có 2p + p2=(p2 1) + (2p + 1) p lẻ => (2p + 1) M p2 = (p + 1)(p 1) M => 2p + p2 P Vậy: Có giá trị p = thoả mãn Bài tập số 6: Tìm tất số nguyên tố cho: p | 2p + Giải: Vì p P ,p | 2p + => p Ta thấy: |p p Theo định lý Fermatm ta có: p | 2p-1 Mà p | 2p + (giả thiết) => p | 2.2p-1 + => p | 2(2p-1 1) + => p | [vì p | 2(2p-1 1)] Vì p P p | => p = Vậy: p = số nguyên tố thoả mãn tính chất p | 2p + Tóm lại: TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN Các toán thuộc dạng: Tìm số nguyên tố thoả mãn điều kiện cho trớc loại toán không khó loại toán số nguyên tố Qua loại toán này, giáo viên cần cố gắng trang bị cho học sinh kiến thức số nguyên tố Đặc biệt giúp học sinh nắm vững: Số số nguyên tố chẵn nhỏ tập số nguyên tố Dựa vào cách viết số nguyên tố dạng a.x + b, (a,b) = Rèn kỹ xét trờng hợp xảy ra, phơng pháp loại trừ trờng hợp dẫn đến điều vô lý Qua dạng toán này, giáo viên cần giúp học sinh rèn luyện t lôgic, t sáng tạo, tính tích cực chủ động làm Dạng Nhận biết số nguyên tố Sự phân bố số nguyên tố n Bài tập số 1: Nếu p số nguyên tố số 8p + 8p số nguyên tố số lại số nguyên tố hay hợp số? Giải: +) Nếu p = => 8p +1 = 17 P , 8p = 15 P +) Nếu p = => 8p = 23 P , 8p = 25 P +) Nếu p khác 3, xét số tự nhiên liên tiếp: 8p 1; 8p 8p + Trong số có số chia hết cho Nên hai số 8p + 8p chia hết cho Kết luận: Nếu p P số 8p + 8p P số lại phải hợp số Bài tập số 2: Nếu p < 2p + số nguyên tố 4p + nguyên tố hay hợp số Giải: Xét số tự nhiên liên tiếp: 4p; 4p + 1; 4p + Trong số có số bội Mà p < 5, p P nên p có dạng 3k + 3k + +) Nếu p = 3k + 4p = 4(3k + 1) 3Q + = p 4p + = 4(3k + 1) + p = 3.Q : Mặt khác: 4p + = 2(2p +1) = 3Q nên 3Q : => 2(2p + 1) : 3; (2;3) = nên (2p + 1) : (trái với giả thiết) 10 TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN +) Nếu p có dạng 3k + Khi 4p + = 4(3k + 2) + = 12k + = 3M : => 4p + hợp số Vậy số có số bội Bài tập số 3: Trong dãy số tự nhiên tìm đợc 1997 số liên tiếp mà số nguyên tố hay không ? Giải: Chọn dãy số: a1 = 1998! + a1 : a2 = 1998! + a2 : a3 = 1998! + a3 : a1997 = 1998! + 1998 a1997 : 1998 Nh vậy: Dãy số a1; a2; a3; a1997 gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp số số nguyên tố Bài tập số 4: (Tổng quát số 3) Chứng minh tìm đợc dãy số gồm n số tự nhiên liên tiếp (n>1) số số nguyên tố ? Giải: Ta chọn dãy số sau: a1 = (n+1)! + a1:2 a1>2 nên a1 hợp số a2 = (n+1)! + a2:3 a2>3 nên a2 hợp số an = (n+1)! + (n+1) an:(n+1) an > (n+1) nên an hợp số Dãy a1; a2; a3; .an gồm có n số tự nhiên liên tiếp số số nguyên tố Tóm lại: Qua toán dạng: Nhận biết số nguyên tố, phân biệt số nguyên tố N, giáo viên cần giúp cho học sinh hớng suy nghĩ để chứng minh xem xét số có phải số nguyên tố hay không? Thông qua việc phân tích xét hết khả xảy ra, đối chiếu với giả thiết định lý, hệ học để loại bỏ trờng hợp mâu thuẫn Bài tập số tập tổng quát phân bố số nguyên tố N Qua giáo viên cho học sinh thấy đợc phân bố số nguyên tố 11 TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN sau rời rạc Từ toán phát triển thành toán khác giúp học sinh rèn luyện kỹ xảo chứng minh Dạng Các toán Liên quan đến số nguyên tố Bài tập số 1: Tìm số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Giải: Gọi số nguyên tố phải tìm là; a, b, c ta có: a.b.c = 5(a+b+c) => abc M Vì a, b, c có vai trò bình đẳng Giả sử: a M 5, a P => a = Khi đó: 5bc = 5(5+b+c) 5+b+c = bc bc-b-c +1 = b(c-1) (c-1) = (c-1)(b-1) = Do vậy: b-1 = => b = Và c-1 = c=7 b-1 = => b = (loại c = P) c-1 = c=4 Vai trò a, b, c, bình đẳng Vậy số (a ;b ;c) cần tìm (2 ;5 ;7) Bài tập số 2: Tìm p, q P cho p2 = 8q + Giải: Ta có: p2 = 8q + => 8q = p2 8q = (p+1)(p-1) (1) Do p2 = 8q + lẻ => p2 lẻ => p lẻ Đặt p = 2k + (2) Thay (2) vào (1) ta có: 8q = 2k(2k + 2) 2q = k(k + 1) (3) Nếu q = => = k(k+1) => không tìm đợc k Vậy q 2, q P , q => (2,q) = Từ (3) ta có: k = q = k + => k = q = Thay kết vào (2) ta có: p = 2.2 + = 12 TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN Hoặc q = k = k + q=1 (không thoả mãn) k=1 Vậy cặp số (q,p) (5;3) cặp số cần tìm Tóm lại: Ngoài dạng tập số nguyên tố Phần số nguyên tố có nhiều tập dạng khác mà giải chúng học sinh cần phải vận dụng cách linh hoạt kiến thức có liên quan: ớc số, bội số, chia hết phải lần lợt xét khả xẩy Khi giảng dạy giáo viên cần giúp học sinh giải theo dạng để củng cố khắc sâu kỹ giải loại bài tập đề nghị I Các tập có hớng dẫn: Bài 1: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn hay số lẻ HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn Bài 2: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số nguyên tố HD: Vì tổng số nguyên tố 1012, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố Bài 3: Tổng số nguyên tố 2003 hay không? Vì sao? HD: Vì tổng số nguyên tố 2003, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số nguyên tố lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 số nguyên tố Bài 4: Tìm số nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố HD: Giả sử p số nguyên tố - Nếu p = p + = p + = số nguyên tố - Nếu p số nguyên tố p có dạng: 3k, 3k + 1, 3k + với k N* 13 TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN +) Nếu p = 3k p = p + = p + = số nguyên tố +) Nếu p = 3k +1 p + = 3k + = 3(k + 1) p + M p + > Do p + hợp số +) Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) p + M p + > Do p + hợp số Vậy với p = p + p + số nguyên tố Bài 5: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + hợp số HD: Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k N* - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) p + M p + > Do p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 3) p + M p + > Do p + hợp số Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + p + hợp số Bài 6: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 4n +1 4n HD: Mỗi số tự nhiên n chia cho có số d: 0; 1; 2; Do số tự nhiên n viết đợc dới dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2,4k +3 với k N* - Nếu n = 4k n M4 n hợp số - Nếu n = 4k + n M2 n hợp số Vậy số nguyên tố lớn có dạng 4k + 4k Hay số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n với n N* Bài 7: Tìm sụ nguyên tố, biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số nguyên tố HD: Giả sử a, b, c, d, e số nguyên tố d > e Theo ra: a = b + c = d - e (*) Từ (*) a > a số nguyên tố lẻ b + c d - e số lẻ Do b, d số nguyên tố b, d số lẻ c, e số chẵn c = e = (do c, e số nguyên tố) a = b + = d - d = b + Vậy ta cần tìm số nguyên tố b cho b + b + số nguyên tố Bài 8: Tìm tất số nguyên tố x, y cho: x2 6y2 = 14 TRNG THCS TAM D HD: GV:Lấ èNH HUN Ta có: x y = x = y ( x 1)( x + 1) = y Do y M2 ( x 1)( x + 1)M2 Mà x - + x + = 2x x - x + có tính chẵn lẻ x - x + hai số chẵn liên tiếp ( x 1)( x + 1)M8 y M8 y M4 y M2 y M2 y = x = Bài 9: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + M HD: Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k N* - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) p + M p + > Do p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) (1) Do p số nguyên tố p > p lẻ k lẻ k + chẵn k + M2 (2) Từ (1) (2) p + M6 II Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + p + 10 b) p + 10 p + 20 c) p + 10 p + 14 d) p + 14 p + 20 e) p + 2và p + f) p + p + 14 g) p + p + 10 h) p + p + 10 Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14 b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24 f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32 g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16 Bài 3: a) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số 15 TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN b) Cho p 2p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + hợp số c) Cho p 10p + số nguyên tố (p > 3) C minh rằng: 5p + hợp số d) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số e) Cho p 4p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + hợp số f) Cho p 5p + số nguyên tố (p > 3) C minh rằng: 10p + hợp số g) Cho p 8p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - hợp số h) Cho p 8p - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + hợp số i) Cho p 8p2 - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 + hợp số j) Cho p 8p2 + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - hợp số Bài 4: Chứng minh rằng: a) Nếu p q hai số nguyên tố lớn p2 q2 M 24 b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k N*) số nguyên tố lớn k M Bài 5: a) Một số nguyên tố chia cho 42 có số d r hợp số Tìm số d r b) Một số nguyên tố chia cho 30 có số d r Tìm số d r biết r không số nguyên tố Bài 6: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số nguyên tố sinh đôi chia hết cho Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3, số sau lớn số trớc d đơn vị Chứng minh d chia hết cho Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết viết số theo thứ tự ngợc lại ta đợc số lập phơng số tự nhiên Bài 9: Tìm số tự nhiên có chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số viết đợc dới dạng tích số nguyên tố liên tiếp Bài 10: Tìm số nguyên tố lẻ liên tiếp số nguyên tố Bài 11: Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p + q2 + r2 số nguyên tố Bài 12: Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c cho a.b.c < a.b + b.c + c.a Bài 13: Tìm số nguyên tố p, q, r cho pq + qp = r Bài 14: Tìm số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + = z Bài 15: Tìm số nguyên tố abcd cho ab , ac số nguyên tố b = cd + b c Bi 16: Cho số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) số nguyên tố Chứng minh số p, q, r có hai số 16 TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN Bài 17: Tìm tất số nguyên tố x, y cho: a) x2 12y2 = b) 3x2 + = 19y2 c) 5x2 11y2 = d) 7x2 3y2 = e) 13x2 y2 = f) x2 = 8y + Bài 18: Tìm số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Bài 19: Chứng minh điều kiện cần đủ để p 8p2 + số nguyên tố p = Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu a2 b2 số nguyên tố a2 b2 = a + b Bài 21: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 6n + 6n Bài 22: Chứng minh tổng bình phơng số nguyên tố lớn số nguyên tố Bài 23: Cho số tự nhiên n Gọi p1, p2, , pn số nguyên tố cho pn n + Đặt A = p1.p2 pn Chứng minh dãy số số tự nhiên liên tiếp: A + 2, A + 3, , A + (n + 1) Không chứa số nguyên tố Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố 2.3.4 (p 3)(p 2) - Mp Bài 25: Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố 2.3.4 (p 2)(p 1) + Mp 17 TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN 18 [...]... nguyên tố trong N Qua đó giáo viên cho học sinh thấy đợc sự phân bố số nguyên tố 11 TRNG THCS TAM D 2 GV:Lấ èNH HUN càng về sau càng rời rạc Từ bài to n này có thể phát triển thành bài to n khác giúp học sinh rèn luyện kỹ xảo chứng minh Dạng 5 Các bài to n Liên quan đến số nguyên tố Bài tập số 1: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng Giải: Gọi 3 số nguyên tố phải tìm là;... là hợp số an = (n+1)! + (n+1) an:(n+1) an > (n+1) nên an là hợp số Dãy a1; a2; a3; .an ở trên sẽ gồm có n số tự nhiên liên tiếp trong đó không có số nào là số nguyên tố cả Tóm lại: Qua các bài to n dạng: Nhận biết số nguyên tố, sự phân biệt số nguyên tố trong N, giáo viên cần giúp cho học sinh hớng suy nghĩ để chứng minh hoặc xem xét 1 số có phải là số nguyên tố hay không? Thông qua việc phân ... lại: TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN Các to n thuộc dạng: Tìm số nguyên tố thoả mãn điều kiện cho trớc loại to n không khó loại to n số nguyên tố Qua loại to n này, giáo viên cần cố gắng trang bị... nguyên tố 11 TRNG THCS TAM D GV:Lấ èNH HUN sau rời rạc Từ to n phát triển thành to n khác giúp học sinh rèn luyện kỹ xảo chứng minh Dạng Các to n Liên quan đến số nguyên tố Bài tập số 1: Tìm số nguyên... học cách xét hết khả xảy ra, dùng vấn đề to n học đ ợc chứng minh biết để loại bỏ khả xảy làm sáng tỏ vấn đề cần phải chứng minh Sau thành thạo dạng to n học sinh lớp hiểu đợc sâu sắc hơn, có