Chuyên đề số nguyên tố

1 Định nghĩa 2 Lịch sử xuyên suốt thiên niên kỉ vài định lí 3 Một số dạng số nguyên tố Các cặp số nguyên tố 12 Các dạng tập 14 ứng dụng số nguyên tố đời sống 30 I/ Định nghĩa : Bn cú th d dng chia u 15 viờn bi cho em nh, nhng nu bn cú 17 viờn bi thỡ bn lm chia u cho chỳng c Trng hp th nht d dng vỡ 15 chia ỳng cho Trng hp sau khú khn vỡ 17 khụng chia ỳng cho m ch chia ỳng cho v 17 hay 17 ch cú c s l v 17, v c gi l mt s nguyờn t T xa, s nguyờn t ó lm say mờ nhiu nh toỏn hc chuyờn nghip cng nh ti t Trong toỏn hc, s nguyờn t c nh ngha l mt s lớn ch cú c s l v chớnh nú Có thể thấy điều định nghĩa dễ hiểu Nhng vấn đề nằm chỗ ta dựa vào định nghĩa mà xác định số có phải số nguyên tố hay không? Từ xa có sàng lọc số nguyên tố gọi sàng Eratosthenes Nhng với số lớn việc sử dụng sàng không hiệu Dựa vào định nghĩa ta thấy cách chứng minh đơn giản chia số cho số nguyên tố nhỏ nhng việc tốn không thời gian nh việc sử dụng sàng Eratosthenes Do đến ngày cha tìm đợc công thức số nguyên tố nên ta hạn chế việc thử phơng pháp hữu hiệu không sử dụng máy vi tính Ta chứng minh toán nhỏ : n N* n khụng chia ht cho mi s nguyờn t nh hn hoc bng CM: n l s nguyờn t Giải: Gia s sụ n la hp sụ thi Mt khac vi nờn iờu trai vi gia thiờt nờn ta co iờu phai chng minh Ta có nhận xét sau đây: Vi nhng s nh, thớ d s N, phng phỏp thng dựng l th tớnh chia ỳng ca s ú ln lt vi cỏc s nguyờn t t nh n ln v nh hn N/2, vi nhng nhn xột sau õy: o Loi nhng s chn, tr (chia ỳng cho 2) Loi nhng s tn cựng bng 5, tr (chia ỳng cho 5) o Loi nhng s cú tng s cỏc s chia ỳng cho 3, tr (chia ỳng cho 3) o o Loi nhng s chia ỳng cho 7, tr o Loi nhng s cú tng s cỏc s hng chn v hng l bng nhau, tr 11 (chia ỳng cho 11) o C th tip tc n ht nhng s nguyờn t nh hn N/2 o Nu tt c cỏc phộp chia u khụng ỳng thỡ N l s nguyờn t Tuỳ thuộc vào kinh nghiệm , nhìn số co thể đoán số nguyên tố hay không ma cần vài phép thử Do đề thi ngời ta số khổng lồ nên việc coi nh không đáng ngại II/ Lịch sử xuyên suốt thiên niên kỉ vài định lí: Với phần ta đến với định lí nhng cách thông thờng Ta dọc theo dòng lịch sử để Toán mà biết nguồn gốc ta nghiên cứu Số nguyên tố có quê hơng vùng Hi Lạp cổ đại Ngời có công gây dựng chứng minh định lí số nguyên tố Ơclit Ông chứng minh tập hợp số nguyên tố vô hạn Đây định lí dễ để chứng minh Công biểu diễn sô nguyên tố thuộc Eratosthenes với sàng số nguyên tố Số nguyên tố thực có bớc phát triển vợt bậc vào năm 18/10/1640 , Fermat gửi cho bạn ông th Trong có định lí Fermat nhỏ Nguyên văn th nh sau: Et cette proposition est gộnộralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la dộmonstration, si je n'apprộhendois d'ờtre trop long. Nh thói quen lạ kì nha Toán học Ông không chứng minh định lí ông đa Và đến tận năm 1736 , Euler công bố công trình chứng minh Nhng theo tài liệu mật , Leibniz có thảo chứng minh với ý tởng tơng tự trớc năm 1683 Lạ kì cách độc lập nhà toán học Trung Quốc trớc đa giả thiết rng p l mt s nguyờn t nu v ch nu ỳng l nu p l s nguyờn t , thỡ õy l trng hp c bit ca nh lý nh ca Fermat Tuy th, iu ngc li (nu thỡ p l s nguyờn t) l sai Định lí nhỏ Fermat đợc phát biểu nh sau: p chia ht p l nguyờn t v a l s nguyờn t cựng vi p p chia ht p l nguyờn t v a l s nguyờn t cựng vi p. Một cách tổng quát : Nu p l s nguyờn t v m v n l cỏc s nguyờn dng tha , thỡ Bên cạnh , Euler nghiên cứu dựa vào định lí để xây dựng định lí : vi modulo n bt k v s nguyờn a bt k l s nguyờn t cựng vớ n, ta cú ú (n) l ký hiu ca phi hm Euler m s cỏc s nguyờn gia v n nguyờn t cựng vi n õy l tng quỏt húa ca nh lý nh Fermat vỡ nu n = p l s nguyờn t thỡ (p) = p k 1 i (n) = n ữ với n= pi ữ ữ p p p i =1 k Bây ta chứng minh định lí Fermat nhỏ theo nhiều cách khác nhau: C1: Quy np theo a Nu a=1 thỡ iu cn chng minh l ỳng Gi s mnh ỳng vi a=k>0, ta cú Dựng gi thit quy np v ta cú chia ht cho C2: Cũn mt cỏch chng minh na cho nh lý Fermat l dựng t hp nh sau: Ta gii bi toỏn sau: Mt ng trũn c chia thnh p cung bng Hi cú bao nhiờu cỏch tụ mu cỏc cung bng a mu? Hai cỏch tụ thu c qua mt phộp quay c coi l ging Li gii: Ta ỏnh s cỏc cung t n p Nu khụng tớnh n phộp quay thỡ cú cỏch tụ cỏc cung Nu tớnh n phộp quay thỡ mi mt cỏch tụ cú mu tr lờn s nm lp vi p cỏch tụ khỏc Cú a cỏch tụ ch dựng mu Vỡ th s cỏch tụ s l Vỡ s cỏch tụ phi l mt s nguyờn nờn ta cú iu phi chng minh Cỏch chng minh l Phi khụng cỏc bn? Cũn cỏch kinh in khỏc l xột h thng d y mụ-un p Nu (a, p) = thỡ ax s chy qua h thng d y mod p x chy qua h thng d y mod p ú cng l cỏch chng minh nh lý Euler (thay h thng d y bng h thng d thu gn) Có thể nhiều cách khác Mong ngời bổ sung thêm Đứng trớc định lí ta thờng đặt câu hỏi định lí đa để làm Là định lí tiếng, định lí Fermat nhỏ có ứng dụng nh va định lí tông quát Ta xét vài ví dụ định lí Fermat Ta xét thi đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bình Định năm vừa : VD2: Cho n l s nguyờn dng cho Giải: Xột CMR: Theo nh lớ Fermat, ta cú nờn ta c: D thy chia ht cho => v ln hn hoc (vi a N * ) , nờn ta cú iu phi chng minh Ta tiếp tục với toán tiếp theo: VD3: CMR vi p l s nguyờn t ta cú [(p - 1)! + 1] chia ht cho p * Hin nhiờn trng hp p = l ỳng(Bng cỏch kim chng) *Ta s chng minh cho trng hp p > Khi ú p l s l Ta ỏp dng nh lý Fecma nh : vi p nguyờn t a l s nguyờn dng cho (a,p) = Khi ú a p (mod p) Vỡ p nguyờn t nờn (1,p) = 1; (2,p) = 1; (p-1,p) = 1; p dng nh lý Fecma nh ta cú : (p-1) p1 1(mod p ) p1 (p-2) 1(mod p) p1 (mod p); v p1 -(p-1) (Mod p); Nhõn theo v c : [(p-1)!] p1 -(p-1)(mod p) Rỳt gn theo v ta cú: [(p-1)!] p2 ][(p-2)!] p1 ] -1(mod p) Li theo L Fecma nh thỡ ((p-2)!,p) = => [(p-2)!] p1 1(mod p) nờn ta cú : [(p-1)!] p2 -1(mod p); Do p l nờn (p-2) cng l => (p-1)! = -1(mod p) Núi cỏch khỏc thỡ (p-1)! + chia hết p ú l iu phi chng minh Tiếp theo thành công định lí Fermat , có thêm hàng loạt định lí khác đời Trong kể đến định lí Wilson, Trêbsep, * Định lí Wilson: Đợc công bố vào năm 1773 John Wilson Cho p l s t nhiờn ln hn 1, ú p l s nguyờn t, v ch (p-1)!+1 chia ht cho p * Định lí Trêbsep: Cho mi s Nguyờn n > 3, luụn Tn ti mt s Nguyờn t nm gia n v 2n - Vớ d n = => 2n - = => P = [Nguyờn t] Cho mi s Nguyờn n > 1, luụn Tn ti mt s Nguyờn t giua n v 2n Vớ d n = => 2n = 16 => P = 11 v P = 13 [Nguyờn t] * énh lý Sylvester: Nu n > k, thỡ cỏc S n, n+1, , n+[k-1], cú mt S l 'Bi s' ca mt S Nguyờn t P [P > k] Vớ d n = || k = || P = A = + = 10 = 2.5 [A l Bi s ca P = 5] * Định lí Chen : mi s chn ln u cú th c vit di dng tng ca hai s nguyờn t hoc ca mt s nguyờn t v mt s na nguyờn t (tớch ca hai s nguyờn t) Định lí Chen phần nhỏ giả thiêt mà đến ngày cha nhà toán học chứng minh hoàn toàn Đó giả thuyết Euler Goldbach Nm 1742, nh toỏn hc c Goldbach vit th cho Euler bit rng ụng mo him a bi toỏn: Mi s t nhiờn ln hn u biu din c di dng tng ca s nguyờn t Euler tr li rng theo ụng, mi s chn ln hn u biu din c di dng tng ca s nguyờn t Nu chng minh c mt hai mnh thỡ s chng minh c mnh cũn li 200 nm sau, n nm 1937, nh toỏn hc Liờn Xụ Vinogradov ó gii quyt gn trn bi toỏn ú bng cỏch chng minh rng mi s l ln u cú th biu din c di dng tng ca s nguyờn t Nu mnh ca Euler l ỳng, hóy chng minh mnh Goldbach Gii: Cho s t nhiờn n>5, ta s chng minh rng n vit c di dng tng ca s nguyờn t Xột: Trng hp 1: Nu n chn thỡ n=2+m vi m chn, m>3 vỡ s chn >2 k tip l nờn dự l m>3 thỡ m vit c di dnng tng s nguyờn t Trng hp 2: nu n l thỡ n=3+m vi m chn, m>2 Theo mnh Euler, m chn, m>2 nờn m vit c di dng tng hai s nguyờn t Do ú n vit c di dng tng ca s nguyờn t *Gi thuyt Gilbrait Nu bn vit dóy cỏc s nguyờn t theo th t t n ln (thờm c s vo u ) u tiờn hng th nht ,bn ly giỏ tr tuyt i ca hiu s nguyờn t liờn tip Tip theo ,ly giỏ tr tuyt i ca hiu hai s liờn tip hng th nht , Sau hu hn ln nh vy , hng cui cựng bn s nhn c l s Đây giả thuyết Rất khó hiểu Ta xem biểu diễn giả thuyết qua hình học Ta đến với số tập sử dụng định lí Chng minh tn ti vô số cặp s chớnh phng m cú ớt nht 1000 s nguyờn t gia Bi ny dựng định lí: Cho s t nhiờn n thỡ on [n;2n] luụn tn ti ớt nht s nguyờn t Xột 1000 on [n;2n];[2n;4n];[ ] 1000 chn n l s chớnh phng ta có n n số phơng 3.CMR: Nu s Fermat l s nguyờn t thỡ nú phi l c ca Ta cú F khụng cú dng hoc nờn nu F l s nguyờn t thỡ phi khụng chớnh phng theo (mod F) Vy Suy o li gi s Suy Gi h l cp ca theo mod F Suy h|F-1 hay => (vi Nu Vy Suy F-1| thỡ h| Do ú ta cú (mõu thun) Vỡ h| => F-1= suy F l s nguyờn t l s nguyờn t th Gi s vi no ú : Chng minh rng : Từ => Pn + P1 + P2 + + Pn + áp dụng định lí Trêbsep : Cho mi s Nguyờn n > 3, luụn Tn ti mt s Nguyờn t nm gia n v 2n-2 => Pn + Pn +1 => đpcm III/ Một số dạng số nguyên tố : Số nguyên tố Fermat: - S nguyờn t Fecma cú dng 2 + (n N) n Trong thời gian dài, ngời ta lầm tởng Fermat tìm công thức cho số nguyên tố Thế nhng nhà toán học Euler chứng minh với n=5 số Fermat không số nguyên tố Nhng điều nghĩa số nguyên tố dạng Fermat không giá trị ta xét toán : Tìm k cho : k 2n + hợp số n N * Đặt Fm = 22 + F0 , F1 , F2 , F3 , F4 P F =641.p ( p P ) , p > F Xét : x 1mod(232 1).641 x 1(mod p) => x = k thoả mãn ta chứng minh với k > p thoả mãn toán Đặt n = 2m.(2t + 1)m, t N +) Nếu m { 0,1, 2,3, 4} k 2n + 22 (2t +1) + 1(mod 232 1) Dễ thấy 232 1MFmm = 0,1, 2,3, 22 (2t +1) + 1M22 + 1m = 0,1, 2,3, nên k.2 n +1 MFm lại có k.2 n +1 >k> F4 => k.2 n +1 hợp số +)Nếu m=5 : tơng tự k.2 n +1 M641 , k.2 n +1 >641 +)Nếu m : tơng tự k.2 n +1 Mp , k.2 n +1 >p ta có đpcm Số nguyên tố Mersenne : mt s Mersenne (s cú dng ly tha ca tr 1: 2n 1, mt s nh ngha yờu cu ly tha (n) phi l s nguyờn t) v l mt s nguyờn t m n m m iu kin cn Mn l s nguyờn t l n l s nguyờn t, 24 -1 = 15 l hp s vỡ khụng l nguyờn t, nhng ngc li khụng ỳng: vớ d s Mersenne 2047 = 211 khụng l nguyờn t vỡ nú chia ht cho 89 v 23, mc dự s 11 l s nguyờn t Hin nay, cỏc s nguyờn t ln nht c tỡm thy thng l s nguyờn t Mersenne Cỏc s nguyờn t Mersenne cú quan h cht ch vi cỏc s hon thin, ngha l cỏc s bng tng cỏc c chõn chớnh ca nú Trong lch s, vic nghiờn cu cỏc s nguyờn t Mersenne ó tng b thay i cỏc liờn quan ny; vo th k TCN, Euclid phỏt biu rng nu M l s nguyờn t Mersenne thỡ M(M+1)/2 l s hon thiờn Vo th k 18, Leonhard Euler chng minh rng tt c cỏc s hon thin chn u cú dng ny Khụng mt s hon thin l no c bit, v ngi ta nghi ng rng chỳng khụng tn ti *) Tìm số nguyên tố Mersenne : ng thc cho bit rng Mn cú th l s nguyờn t ch nu chớnh n l s nguyờn t, iu ú lm gin lc bt vic tỡm cỏc s nguyờn t Mersenne Mnh o, núi rng Mn l s nguyờn t nu n l s nguyờn t l sai S nh nht cho vớ d ny l 2ạạ-1 = 23ì89, l hp s ó cú cỏc thut toỏn nhanh tỡm s nguyờn t Mersenne, ú hin ó bit cỏc s nguyờn t Mersenne rt ln Bn s nguyờn t Mersenne u tiờn M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 v M7 = 127 ó c bit t c xa S th nm, M13 = 8191, c tỡm thy vo trc nm 1461; hai s tip theo (M17 v M19) tỡm thy bi Cataldi vo nm 1588 Sau hn mt th k M31 c kim tra bi Euler vo nm 1750 S tip theo (trong lch s, khụng theo th t s) l M127, Lucas tỡm thy vo nm 1876, sau ú M61 Pervushin tỡm vo nm 1883 Hai s na (M89 v M107) c tỡm thy vo th k 20, bi Powers vo nm 1911 v 1914 T th k 17, cỏc s ny c mang tờn nh toỏn hc Phỏp Marin Mersenne, ngi ó chng minh mt lot cỏc s nguyờn t Mersenne vi s m lờn ti 257 Danh sỏch ca ụng ó mc mt s sai lm, nh bao gm c M67, M257, v b quờn M61, M89 v M107 Phng phỏp tt nht kim tra tớnh nguyờn t ca cỏc s Mersenne c da vo s tớnh toỏn mt dóy tun hon, c phỏt biu u tiờn bi Lucas nm 1878 v chng minh bi Lehmer vo nhng nm 1930 Hin nú c gi l kim tra Lucas-Lehmer vi s nguyờn t Mersenne c bit, ta cú th chng minh rng (vi n > 2) Mn = 2n l s nguyờn t nu v ch nu Mn chia ht cho Sn-2, ú S0 = v vi k > 0, th biu din s cỏc ch s ca s nguyờn t Mersenne ln nht ó bit theo tng nm ca k nguyờn in t Chỳ ý rng trc tung ó c logarithm húa Vic tỡm cỏc s nguyờn t Mersenne thc s c cỏch mng bi cỏc mỏy tớnh in t s Thnh cụng u tiờn ca t tng ny thuc v s nguyờn t Mersenne, M521, nh n lc khộo lộo vo lỳc 10:00 P.M ngy30-1, 1952 s dng mỏy tớnh t ng Western U.S National Bureau of Standards (SWAC) ti Institute for Numerical Analysis thuc i hc California ti Los Angeles, di s iu khin trc tip ca Lehmer, s dng chng trỡnh vit v chy bi GS R.M Robinson Nú l s nguyờn t Mersenne u tiờn tỡm thy sau 38 nm; s tip theo, M607, ó c tỡm thy computer ny sau gn hai gi chy mỏy Ba s tip theo M1279,M2203, M2281 ó c tỡm thy vi cựng chng trỡnh trờn sau nhiu thỏng na M4253 l s nguyờn t Mersenne u tiờn l s nguyờn t siờu ln (trờn 1000 ch s thp phõn-titanic), v M44497 l s nguyờn t u tiờn cú trờn 10.000 ch s thp phõn (gigantic) n thỏng nm 2008, ch mi bit 46 s nguyờn t Mersenne; s ln nht ó bit l s (243 112 609 1) Cng nh nhiu s nguyờn t Mersenne trc ú, nú c tỡm nh d ỏn tớnh toỏn phõn tỏn trờn Internet, c bit vi tờn gi Tỡm kim s nguyờn t Mersenne khng l trờn Internet (Great Internet Mersenne Prime Search - GIMPS) *) Các định lí : +) Nu n l s nguyờn dng, theo nh lý nh thc ta cú th vit: , hay nh t c = 2a, d = 1, v n = b chng minh = an - bn +) Nu 2n - l s nguyờn t, thỡ n l s nguyờn t Chng minh Do Nu n khụng l nguyờn t, hoc n = ab ú < a,b < n Do ú, 2a l c ca 2n 1, hoc 2n khụng l nguyờn t 3) S NGUYấN T GAUSS Mt s Nguyờn Gauss l mt s Phc vi phn Thc v phn o đu l cỏc s Nguyờn Tp cỏc s Nguyờn Gauss l mt Min nguyờn, thung uc Ký hiu l Z[i] Cỏc Phn t Nguyờn t ca Z[i] cng uc gi l cỏc s Nguyờn t Gauss Mt vi s Nguyờn t thụng thung (đụi phõn bit, chỳng uc gi l cỏc "s Nguyờn t Hu t") khụng phi l cỏc s Nguyờn t Gauss Chng hn = (1 + i)(1 - i) v = (2 + i)(2 - i) Cỏc s Nguyờn t Hu t ng du vi (mod 4) l s Nguyờn t Gauss Cũn cỏc s Nguyờn t Hu t đng du (mod 4) thỡ khụng éú l vỡ s Nguyờn t dng 4k + luụn cú th vit dui dng Tng ca hai s Bỡnh phuừng(đnh lý Fermat), đú ta cú p = a2 + b2 = (a + bi)(a - bi) Nu Chun ca s Nguyờn Gauss z l mt s Nguyờn t, thỡ z cng l s Nguyờn t Gauss, vỡ mi Uc khụng Tm thung ca z cng l Uc khụng Tm thung ca Chun Chng hn + 3i l mt s Nguyờn t Gauss vỡ Chun ca nú l + = 13 4) S NGUYấN T CHEN S Nguyờn t p đuc gi l s Nguyờn t Chen (Trn) nu p + cng l s Nguyờn t hoc l Tớch ca hai s Nguyờn t Vo nóm 1966, Trn Cnh Nhun (Chen Jingrun) ó Chng minh rng cú Vụ hn s Nguyờn t nhu vy Mt s S nguyờn t Chen đu tiờn l 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101 (sequence A109611 in OEIS) Rudolf Ondrejka (1928-2001) ó tỡm uc mt Hỡnh vuụng K o 3x3 ca s Chen Vo thỏng 10-2005 Micha Fleuren v nhúm PrimeForm tỡm thy s Nguyờn t Chen ln nht hin nay, (1284991359 ã 298305 + 1)ã(96060285 ã 2135170 + 1) vi 70301 ch s S nh hừn mt Cp s Nguyờn t Sỏnh ụi l s Nguyờn t Chen (theo đnh ngha) én nóm 2006, cỏc S Nguyờn t Sỏnh đụi ln nht tỡm thy l 100314512544015 ã 2171960 1; Nú đuc tỡm thy bi cỏc nh Toỏn hc Hungarians Zoltỏn Jỏrai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza and Antal Jỏrai Nú cú 51780 ch s 10 Vy cú b s c tỡm l (2; 3; 17) v ( 3; 2; 17) Bi toỏn 3: Tỡm s t nhiờn ( x; y) cho: 1 = ( p l s nguyờn t) y p x Gii: Do x; y N 1 (x p)(y p) = p2 = y p x p nguyờn t x > p, y > p nờn ta cú cỏc kh nng sau * { x p =1 y p =p * { x p =p y p=p * { x p = p2 y p =1 { { { x =p +1 y =p +p x =2 p y =2 p x = p2 + p y = p +1 Bi toỏn 4: Tỡm s nguyờn t p cho: 2p + l lp phng ca mt s t nhiờn Gii: 2p + = n3 ( n N ) 2p = n3 = (n 1)(n2 + n + 1) p = 2p + =5 Khụng tn ti n tha p > 2, p nguyờn t nờn ( p; 2) = Mt khỏc: n < n2 + n + n = n = p = n2 + n + ( nguyờn t) Vy p = 13 tha yờu cu bi toỏn Bi toỏn 5: Tỡm s nguyờn t abcd cho ab v ac l s nguyờn t v b2 = cd + b c Gii: vỡ abcd , ab v ac l cỏc s nguyờn t b, c, d l cỏc s l khỏc b = cd + b c b( b 1) = cd - c = 10c + d c = 9c + d Do 9c + d 10 nờn b( b 1) 10 b Vy b = hoc b = *) Nu b = ta cú: 9c + d = 42 M3 d M3 d = hoc d = Nu d = 9c = 39 khụng tn ti c thuc N Nu d = 9c + d M cũn 42 khụng M9 (lai) *) Nu b = ta cú: 9c + d = 72 M d M9 vy d = 9c + = 72 c = 18 ab = a9 l s nguyờn t a 3; 6; 9; ac = a7 l s nguyờn t a 2; 5; 7; Mt khỏc a a = Vy s cn tỡm l 1979 ( Vỡ 1979 l s nguyờn t) Bi toỏn 6: Tỡm s nguyờn t liờn tip ( )thừa món: CM Tng quỏt vi s m n C1: Gi s D thy Vi ta cú Vi ta cú Vi thỡ luụn chia d tha bi C2: Ta cú (Fermat nh ) cũn khụng CP khụng CP nờn khụng tn ti cỏc s nguyờn t Vy ko cú s no tha mãn Bi dng: Tỡm tt c cỏc s nguyờn t p p va l tng, va l hiu ca hai s nguyờn t Tỡm s nguyờn t p cho 13p + l lp phng ca mt s t nhiờn Tỡm p p + ; p + ; p + ; p + ; p + 11 ; p + 15 l nhng s nguyờn t 4.Tỡm tn ti cỏc s nguyờn dng tha món: Tỡm tt c cỏc s nguyờn t v cho: l mt s chớnh phng Tỡm s nguyờn t a,b,c cho ( *xột => (loi) *xột c khỏc => c l => v cú s chn s l => a,b cú s chn gi s ú l a => a=2 thay vo ta cú nu thay vo => c=17 nu => b cú dng hoc vi k t nhiờn ln hn hoc bng thay vo trng hp thy VT chia ht cho => vụ lý ) (ARML 1988) : Tỡm s nguyờn t p; q; r cho p q = r Loại 2: Tỡm s t nhiờn n mt s - mt biu thc l s nguyờn t Bi toỏn tng quỏt: Tỡm s t nhiờn n biu thc P(n) l s nguyờn t 19 Thut toỏn: Khi gp dng toỏn ny ta phõn tớch P (n) thnh nhõn t P(n) = P1(n) P2(n) ú vỡ P(n) l s nguyờn t nờn P1(n) =1 hoc P2(n) = Thụng thng ta xột biu thc min(P 1(n); P2(n)) = gii phng trỡnh ny ta cú giỏ tr n cn tỡm Bi toỏn 1: Tỡm tt c cỏc s nguyờn n cho: a n4 + l s nguyờn t b n1997 + n1996 + l s nguyờn t Gii: a n4 + = ( n2 + 2)2 4n2 = (n2 + - 2n)( n2 + + 2n) Ta cú n2 + 2n < n + + 2n nờn n + l s nguyờn t thỡ n + 2n = (n 1)2 = n = Khi ú n4 + = l s nguyờn t Vy n = tha bi toỏn b n1997 + n1996 + = (n1997 - n2) + (n1996 - n) + ( n2 + n +1) = n2(n1995 - 1) + n(n1995 - 1) + (n2 + n +1) = ( n2 + n)(n1995 - 1) + (n2 + n +1) Ta cú: n1995 - = (n3)665 - = ( n3 - 1) [(n3)664 + (n3)663 + .+ n2 + 1] = ( n - 1)( n2 + n +1) [(n3)664 + (n3)663 + .+ n2 + 1] M( n2 + n +1) Do n > n2 + n +1 > Vỡ vy n1997 + n1996 + l s nguyờn t thỡ n1997 + n1996 + = n2 + n +1 n = Bi toỏn 2: Tỡm cỏc s t nhiờn m; n : A = 3 m +6 n 61 + l s nguyờn t Gii: Ta cú 3m2 + 6n 61 chia d ta t 3m2 + 6n - 61 = 3k + (k N) A =33k + +4 = 9.27k +4 D thy rng 9.27k (mod 13) 9.27k +4 M13 A nguyờn t thỡ A = 13 33k + = k = 3m2 + 6n - 61 = 3k + = (vỡ k = 0) 3m2 + 6n - 63 = m2 + 2n - 21 = n < 11 Do 2n chn m2 phi l s l m2 = 1, m2 = *) Nu m2 = m = , n =10 *) Nu m2 = m = ; n = Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l (1;10 ) ; (3; ) Bài toán 3: (olympic bungari 1996) Tỡm tt c cỏc s nguyờn t cho Khụng mt tớnh tng quỏt gi s D thy : l s l nờn khỏc Nu thỡ k=3 20 Ta s c/m mt s tn ti ớt nht s bng Gi s phn chng Do ú : hay (mod p) Tip theo ta cú nhn xột rng : Nu v (mod m),) (mod m) thỡ : (mod m) Mt khỏc theo nh lớ Fermat thỡ : (mod p) Khi ú ỏp dng nhn xột ta c : Rừ rng : Do ú : , mõu thun Vy Nu thỡ v vỡ th Cũn nu d dng kim tra thy tha Vy tt c cỏc b l Bi dng: Tỡm tt c cỏc s n cho: a n4 + n2 + l s nguyờn t c n1998 + n1997 + l s nguyờn t b n3 - n2 +n - l s nguyờn t d n1997 + n1995 + l s nguyờn t Bi toỏn m rng: Tỡm a N s a3n + + a3m + + l s nguyờn t bit rng m, n N v m2 + n2 Tỡm s nguyờn t (ko nht thit khỏc nhau) bit rng ln tớch ca cỏc s y tr i tng cỏc bỡnh phng ca chỳng thỡ bng Dạng 3: áp dụng giải phơng trình nghiệm nguyên , chia hết : Bài toán 1:Chng minh vi mi s nguyờn t p>2, thỡ t s m ca phõn s ti gin chia ht cho p C1: Ta thy t s ca phõn s chớnh l Cn chng minh biu thc ú chia ht cho p Ta thy cú tt c p-1 s hng, ta s chia chỳng thnh tng cp cú tng chia ht cho p nh sau: Tng cũn li rừ rng l s nguyờn nờn biu thc trờn chia ht cho p Ta cú pcm C2: Do p l s nguyờn t ln hn nờn (p-1) l s chn ú ta cú th chia cỏc s hng ca tng thnh nhúm Ta cú: Do p l s nguyờn t m cỏc tha s mu thỡ nh hn p nờn sau gin c t s 21 cũn tha s p Ta c pcm Bài toán 2: Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng x, y, z tha phng trỡnh: Theo bt ng thc Suy , ta cú: Gi l mt c nguyờn t bt kỡ ca Khi ú Gi s Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s Nu , ta cú Mt khỏc, Vy t Ta cú: , ta suy iu vụ lớ Vy Ta cú Suy Thay vo, ta cú: Do nờn Bài toán 3: Cho s nguyờn dng N cú ỳng 12 c s dng khỏc k c chớnh nú v 1, nhng ch cú c nguyờn t khỏc Gi s tng cỏc c nguyờn t l 20 Tớnh giỏ tr nh nht cú th cú ca N Do N cú ti a l 12 c nờn ta cú t (a,b,c,d>0) v (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=12=1.2.2.3 (1) Do m vỡ a,b,c,d>0 (2) t (1),(2)=> vụ lý Vy ta i tỡm N nh nht cú th li cú (a+1)(b+1)(c+1)=12=2.2.3 => s a,b,c =1 s cũn li =2 vỡ =>cú s =2 gi s (do khụng th chia ht cho 3=> >=5 ) l cỏc s nguyờn t d chng minh c l cỏc s tha bi v N Vy Bài toán 4: (Thi chn i tuyn 30/4 Lờ Quý ụng Nng vũng 2) Cho l cỏc s nguyờn l s nguyờn t l CMR nu l c ca v thỡ cng l c ca Giải: Bài toán 5: Tỡm cỏc s nguyờn t tha: 22 TH1 Thay vo phng trỡnh ó cho ta c TH2 T , ta cú Suy T õy, ta cú hai trng hp cn xột hoc Hai trng hp ny ta d dng tỡm c Bài toán 6: Chng minh rng nu cho Trc ht, ta cú: l s nguyờn t l thỡ Ta cú nhn xột: T ú, ta cú: Do ú Ta li cú 23 chia ht Vy Bài toán 7:(Vit NAm TST 2003) CHo n l s nguyờn dng Chng minh rng cú c nguyờn t dng vi k nguyờn dng Xột l mt c nguyờn t no ú ca -Nu chn, t suy l thng d bc ca cú th cú dng (1) -Nu l, t suy l thng d bc ca cú th cú dng hoc (2) T (1) v (2) suy pcm Bài toán 8: Cho n l mt s nguyờn cú khụng quỏ c s nguyờn t CMR : nu n-1 chia ht cho (n) thỡ n l mt s nguyờn t Xột cú c nguyờn t d thy ỳng Xột cú c nguyờn t Theo gi thit : ko ch ch t Vi Vi thỡ bn ta cú Vy trng hp ny vụ lớ Xột loi Gii nghim ko l cỏc s nguyờn t => loi Bài toán 9:( IMO Shortlist 2002 ) Cho n l s nguyờn dng; l cỏc s nguyờn t phõn bit ln hn Chng minh rng: cú ớt nht c vi thỡ cú no l khụng mt tớnh tng quỏt gi s t a n = ú cm v Bài tập vận dụng : Tỡm cỏc s nguyờn t p,q cho: (Iran 2008) Chng minh rng tn ti vụ hn s nguyờn t tha Dạng 4: áp dụng số bổ đề số nguyên tố 24 *) Bổ đề 1: Gis ls nguyờn t l vi t, k l cỏc s t nhiờn, k l s t nhiờn l Khi ú, nu cỏc s t nhiờn x,y cho thỡ x v y ng thi chia ht cho p Chng minh b : Ta s dng phộp chng minh bng phn chng Gi s x khụng chia ht cho p, t gi thit suy y cng khụng chia ht cho p Theo nh lý nh Fec-ma ta cú: Hay: Suy ra: M theo gi thit nờn (Do k l) Vy iu gi s trờn ca ta l sai Túm li ta cú pcm Chỳ ý rng vỡ p l s nguyờn t l Khi t=1 v t=2 ta cú cỏc h qu sau Bi tp1: Cho s nguyờn t dng p=4k+3 CMR: Nu cỏc s t nhiờn x,y tha thỡ x v y u chia ht cho p Bi tp2: Cho s nguyờn t dng p=4k+1, k l s t nhiờn l CMR: Nu cỏc s t nhiờn x,y tha thỡ x v y u chi ht cho p Bi 3: Gi s a,b l hai s t nhiờn khỏc nguyờn t cựng Khi ú cỏc c s nguyờn t l ca ch cú dng 4m+1 vi m l s t nhiờn Cỏc bi nõng cao (S dng nh lý v cỏc h qu trờn gii quyt): Bi 1*: Gii phng trỡnh nghim nguyờn: Bi 2*: Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn dng (x,y) cho l s nguyờn v l c ca 1995 (Thi HSG Bungary 1995) Bi 3*: Gi s a,b l cỏc s nguyờn dng cho 15a+16b v 16a-15b u l cỏc s chớnh phng Tỡm giỏ tr nh nht ca s nh nht hai s chớnh phng y (IMO ln th 37) Bi 4*: Tỡm cỏc nghim nguyờn dng ca cỏc phng trỡnh: a) b) 25 c) Bi 5*: Tỡm nghim nguyờn dng ca h phng trỡnh: Bi 6*: Cho x v y l cỏc s nguyờn khỏc cho l s nguyờn v l c ca 1978 Chng minh rng x=y (Chn i tuyn QG CHLB c 1979) *) Bổ đề 2: Giả sử (a,b)=1 ớc nguyên tố lẻ a + b có dạng 4m+1 m N * Chứng minh: Xét ớc nguyên tố p= 4m+3 = 2(2m+1)+1 theo bổ đề => p = => mâu thuẫn => đpcm Bài toán 1: Gpt nghiệm nguyên x2 y3 = (1) pt (1) x + = y + 23 x + = ( y + 2)( y y + 4) (2) Nếu y chẵn vế phải (2) chia hết x lẻ Đặt x = 2t+1 => x + = 4t + 4t + không chia hết cho ( loại) Vậy y lẻ , y = 2k+1 => y y + = 4k + nên phải có ớc nguyên tố lẻ dạng 4m +3 => x + có ớc nguyên tố dạng 4m+3 , trái với bổ đề Vậy pt nghiệm nguyên x2 + y2 N * ớc 1995 Bài toán : Tìm tất cặp số ( x,y) N * cho x y x2 + y Giả sử = k nguyên dơng k la ớc số 1995 = 5.3.7.19 = 5n với n=3.7.19 x y Các số nguyên tố có dạng 2(2m+1)+1= 4m+3 Gọi ƯCLN x y d= (x,y) x=du y = dv với (u,v)=1 Từ giả thiết => d( u + v )= k(u-v) (1) Xét Trờng hợp : 1) nMk k có ớc nguyên tố dạng 4m+3 áp dụng bổ đề vào (1) => u + v không chứa ớc nguyên tố k nên k ớc số d => d= kt 26 t.( u + v ) = u-v => u + v < u- v => (1) vô nghiệm 2) k=5m với m ớc n Lúc (1) trở thành d( u + v ) = 5m(u-v) => d = mt ( tơng tự nh trên) t( u + v ) = 5( u v) (2) Từ (2) có u + v 5( u-v) => A= u + v - 5(u-v) (3) Mặt khác 4A= 4u 20u + 25 + 4v + 20v + 25 50 = (2u 5) + (2v + 5) -50 12 + 72 50 => A => A = Dễ dàng giải tiếp Bài toán 3: Tìm số nhỏ tập hợp số phơng có dạng 15a+16b 16a-15b a, b N * Giả sử 15a+ 16b = m 16a- 15b = n (1) m, n N * => m + n = (15a + 16b) + (16a 15b) = 481( a + b )=13.37 ( a + b ) Thấy 13 37 sô nguyên tố có dạng p = 22 k + với k lẻ Giả sử (m,n) = d => m = du , n=dv với (u,v) = (2) trở thành d (u + v ) = 481(a + b ) (3) Vì (u,v) = nên u + v không chứa ớc nguyên tố 13 37 481 ớc d => d = 481t Để m,n nhỏ ta lấy t = Lúc (3) trở thành 481 ( u + v )= a + b (4) Từ (1) có : m n = 31b a hay 481 ( u + v ) = 31b a Chọn u = v =1 để m , n nhỏ => m=n= 481 Bài tập áp dụng : Tìm nghiệm nguyên dơng pt : a, x + y = 585 b, x + y = 1210 c, 4xy x y = z d, x + y = 3z 2 Tìm nghiệm nguyên dơng hệ phơng trình : x +13 y = z 2 13x + y = t 3.( Chọn đội tuyển quốc gia Đức ) Giả sử x y số nguyên khác cho CMR : x=y Dạng : Các dạng khác 27 x2 + y số nguyên ớc 1978 x+ y Bi toỏn 1: Tỡm s nguyờn t cho tớch ca chỳng gp ln tng ca chỳng Gii: Gi s nguyờn t ú l a, b, c lỳc ú ta cú: a.b.c = 5( a + b + c ) Mabc m a, b, c nguyờn t nờn mt s phi bng Gi s a = b.c = + b + c ( b 1)(c 1) = { { b 1=1 c 1=6 b 1=2 c 1=3 { b =2 c =7 Trng hp ny loi vỡ b = khụng nguyờn t Vy b s nguyờn t cn tỡm l (2; 5; 7) Bi toỏn 2: Tỡm tt c cỏc s nguyờn t cú dng Gii: n( n +1) - ( n 1) n( n +1) (n 1)( n + 2) -1= =p 2 *) n = p = 2, n = p = tha *) n > th thỡ hoc n- chn hoc n + chn nờn p l hp s Giỏ tr p cn tỡm l p = hoc p = Bi toỏn 3: Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng a , b phõn bit cho : v l mt ly tha ca mt s nguyờn t T gi thit ta cú vi Suy ta cú trng hp *TH1: Do (g/t) (vụ lý vỡ *TH2:p^k|ab-1 +)Nu +)Nu +)Nu ) thỡ a=b=1(t/m) thỡ d dng suy vụ lý v thỡ ta cú (do Mt khỏc t ta cú 28 (Do vy suy p=3 (loi) Vy a=b=1 Bi toỏn4: Tỡm cỏc s nguyờn p cho cỏc s p+2, p+6, p+8, p+14 cng l nguyờn t t: p = 5k+r (0 r < 5) * nu r = => p+14 = 5k+15 chia ht cho * nu r = => p+8 = 5k + 10 chia ht cho * nu r = => p+2 = 5k+5 chia ht cho * nu r = => p+6 = 5k+10 chia ht cho * nu r = => p = 5k l nguyờn t k = p = 5, cỏc s l: 7,11,13,19 l cỏc s nguyờn t nờn tho iu kin bi Vy p = l giỏ tr cn tỡm Bi toỏn 5: Cho p,q l s nguyờn t khỏc CM: + (mod p.q) Ta cú p,q l s nguyờn t nờn Tng t ta cú Do nờn suy pcm Bài toán 6: cm: nu mt s nguyờn t thỡ Ta cú m kt hp vi l s nguyờn t ta cú Nờn Bi dng: Chng minh rng ch cú mt cp s nguyờn dng (a, b) a4 + 4b4 l s nguyờn t Tỡm s nguyờn t p cú dng n(n +1)(n + 2) + ( n 1) Chng minh rng + 2n + 4n (n N*) l s nguyờn t thỡ n = 3k (k N) Cho p l s nguyờn t Chng minh khụng l s chớnh phng Tỡm s nguyờn t p p2-p+1 l lp phng mt s t nhiờn 6.a, tỡm tt c cỏc s t nhiờn n : b, tỡm tt c cỏc s t nhiờn a,b : l s nguyờn t l s nguyờn t VI/ ứ ng dụng số nguyên tố đời sống : Toán học không lí thuyết Nó có vai trò lớn khoa học ngày Trớc kết thúc chuyên đề ta th giãn chút để hiểu từ đầu đến ta học số nguyên tố để lam Đầu tiên ngành bảo mật Chc hn rt nhiu ngi ó tng nghe qua vic dựng toỏn hc mt mó húa, vy cú th ó quờn, ch ny c to vi mc ớch gii thiu v ng dng ca toỏn hc mt mó húa, vỡ trỡnh cú hn Nhng khỏi nim toỏn hc cn thit 29 - Hm s Eurler (kớ hiu l ): cho n t nhiờn, ú (n) = s cỏc s t nhiờn nh hn n v nguyờn t cựng vi n Vit di dng hp: A = { u| (n) = card(A) - Cn nguyờn thy: cho n t nhiờn, ú a c gi l cn nguyờn thy ca n nu: (i) 1 Z/pZ x > a^x l song ỏnh õy ta cú: Z/pZ l hp p lp tng ng xõy dng bi quan h ng d mod p Núi nụm na, ú l hp ca p hp, ú hp th i = {n| n = i (mod p)} Mt hm s f xõy dng nh vy c gi l hm m ng d Trong trng hp tng quỏt, f c nh ngha nh sau: f : Z/nZ > Z/nZ x > a^x (mod n) Cho trc x, a, vic xỏc nh s d ca a^x mod n, tc l tớnh f(x) l n gin v cú kh nng Tuy vy, vic xỏc nh hm s ngc ca f, ngha l cho trc a, n v s d ca a^x chia cho n, xỏc nh s d ca x chia cho n khụng phi bao gi cng lm c iu ny ch cú th lm c nu f l song ỏnh, ú cng chớnh l ý ngha ca nh lý ny Nh vy, vic tỡm tt c cỏc cn nguyờn thy ca s cho trc s rt cú ý ngha nh lý sau õy giỳp chỳng ta - nh lý : Nu p nguyờn t, a l mt cn nguyờn thy ca p, ú vi mi b thuc Z/pZ cú th vit c di dng b = a^i ú < i < p-2 T nh lý ny suy ra: * b l cn nguyờn thy v ch (p-1,i)= 1, hay núi cỏch khỏc, hp cỏc cn nguyờn thy ca p = {a^i (mod p), (p-1,i)=1} * S cn nguyờn thy ca p = (p-1) * Nu ta bit cn nguyờn thy ca p, ú chỳng ta s bit tt c cỏc cn nguyờn thy ca p Nh vy, di mt s iu kin, hm s m ng d x > a^x (mod n) Z/nZ l mt song ỏnh Cn nhn mnh rng vic tớnh hm s ngc ca nú thỡ phc hn rt nhiu, c chỳng ta bit giỏ tr ca a Hm s ny l mt vớ d tt cho mt lp cỏc hm s m chỳng ta gi l hm s "hng nht": - n gin tớnh - phc tớnh ngc li Tuy vy, hm s m ng d cú mt li th khỏc, ú l: Chỳng ta cú th tớnh hm s ngc ca nú mt cỏch d dng nu chỳng ta bit mt s thụng tin d dng vic gi mt V chớnh nhng hm s ny cú mt ý ngha quan trng vic mt mó húa Bõy gi chỳng ta s cựng tỡm hiu mt s phng phỏp mó húa: ffice:smarttags" />I. Chia s chỡa khúa: A v B mun cú chung chỡa khúa, h s chn: - p nguyờn t v cụng khai 30 - a cn nguyờn thy ca p, a cụng khai - Mi ngui mt s mt Xa v Xb vi < Xa, Xb < p-1 A s gi cho B a^Xa (mod p) B s gi cho A a^Xb (mod p) Khi ú, A v B s cựng cú chung chỡa khúa K = a^(Xa.Xb) (mod p) II Mó húa "khụng chỡa khúa": Cho thụng tin (di dng s) M < p, A cn gi M cho B A chn a < p, (a,p-1)=1 (a mt) B chn b < p, (b,p-1)=1 (b mt) A gi cho B s C = M^a(mod p) B gi li cho A s D = C^b (mod p) A tớnh a' cho < a' < p v a.a' = (mod p-1) (a' c gi l nghch o (mod p-1) ca a), sau ú gi cho B s E = D^a' = C^(b.a') = M^(a.b.a') B tớnh nghch o b' ca b, sau ú tớnh E^b' = M^(aba'b') = M (mod p) vỡ aa' = bb' = (mod p-1) v theo nh lý nh Fermat, M^(p-1) = (mod p) III Mó húa vi chỡa khúa cụng khai p nguyờn t, p cụng khai N ngi mun chia s thụng tin mt cỏch mt, h s chn: a cn nguyờn thy ca p (nh th hm s m ụng d ca a s l song ỏnh) mi ngi s mt Xn, vi < Xn < p-1 H cụng khai Yn = a^Xn (mod p) IV H thng RSA õy l h thng mó húa khỏ thụng dng hin nay, ly tờn t thut toỏn RSA, Rivest, Shamir, Adelman tỡm vo nm 1977 Ngi s dng mun trao i thụng tin: - Chn s nguyờn t p v q - Tớnh n = pq - Chn d (ln) v nguyờn t cựng vi (n) = (p-1)(q-1) - Tớnh e nghch o ca d mod (p-1)(q-1) Cụng khai e v n A mun gi thụng tin M cho B, A s gi C = M^e (mod n) B mun tỡm li M s tớnh C^d = M^(ed) = M (mod n) Chỳ ý rng thụng tin b che giu õy l hai s p v q, nh chỳng ta u bit, cho trc s t nhiờn, vic phõn tớch thnh tha s nguyờn t ũi hi khong thi gian rt ln (vi nhng thut toỏn hin Số nguyên tố đề tài văn chơng Điều cho thấy toán học không khô khan chút Một cảm nhận cá nhân tiểu thuyết : Nỗi cô đơn số nguyên tố Trc bc sang tui 30, bn s cũn cú nhiu c hi nhỡn v tui th v bt u cú v th mụ t li i sng trng thnh ca mỡnh trc ú Cun tiu thuyt ny núi v s cụ n ca tui th v s ln lờn ca ni cụ n ú Rng, ta cũn bộ, mt li lm nh cng tr thnh mt bi kch ln, v ta s b nú lm cụ n chỳt chỳt Nhng nu ỳng l mt bi kch ln thỡ ni cụ n ú cú th l mt gỏnh nng sut ng i 31 Rng, c trng thnh, ni cụ n cũn ú Vớ d nh: - Nu ta v nim tin, mt mi quan h thỡ khong trng thốm khỏt cú mt cỏi nm tay khụng cũn ú, mt cỏi ụm vụ hỡnh, mt li thỡ thm an i cũn nguyờn ú Nu cỏi tụi ca ta l mt s nguyờn t, ch chia ht cho v chớnh bn thõn nú thỡ tm mụ hỡnh húa nh sau: Cỏi tụi = p Ni cụ n = n ta cú cụng thc ca cp s nguyờn t sinh ụi (twin prime) nh sau (p, n+p) => (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463) Thc toỏn hc cú nhiu hn cp s nguyờn t sinh ụi, rng n = cỏc s khỏc chen vo gia v dóy s cng i xa, n cng ln Cỳng ging nh ta ln lờn, s cụ n cng ln y khong cỏch gia cỏc s nguyờn t cng xa hn Vỡ ta cú nhiu hoi nghi hn cú nhiu ni s hn cú nhiu s dn vt hn cú nhiu s khụn ngoan hn cú nhiu s thụng thỏi hn cú nhiu li khuyờn hn Nhng cỏi tụi! Cú lý gỡ hn ta khụng bc n tht gn nhau? Kết : Vậy đấy! Những số khô khan cung biểu thức khó hiểu phải tất toán học? Một nhà văn tìm vẻ đẹp mà ta không tìm ra? Số nguyên tố nói riêng hay số học nói chung có nét thú vị riêng, độc đáo riêng Tập chuyên đề hay muôn ngàn tập chuyên đề khác giá trị nh thân ngời không tìm đợc chút vẻ đẹp từ nghiên cứu Thái Bình ,ngày tháng năm 2010 Lê Huy Toàn 32 ... => đpcm III/ Một số dạng số nguyên tố : Số nguyên tố Fermat: - S nguyờn t Fecma cú dng 2 + (n N) n Trong thời gian dài, ngời ta lầm tởng Fermat tìm công thức cho số nguyên tố Thế nhng nhà toán... biểu diễn sô nguyên tố thuộc Eratosthenes với sàng số nguyên tố Số nguyên tố thực có bớc phát triển vợt bậc vào năm 18/10/1640 , Fermat gửi cho bạn ông th Trong có định lí Fermat nhỏ Nguyên văn... biết nguồn gốc ta nghiên cứu Số nguyên tố có quê hơng vùng Hi Lạp cổ đại Ngời có công gây dựng chứng minh định lí số nguyên tố Ơclit Ông chứng minh tập hợp số nguyên tố vô hạn Đây định lí dễ để