Đềthi học sinh giỏi toán9 TP Hồ Chí Minh Năm học 2002 – 2003 Vòng 1 (150 phút): Bài 1 (3đ): Giải các phương trình sau: 2241 4241 222 222 ++=−+− +−=−+− xxxx xxxx Bài 2 (3đ): Chứng minh hằng đẳng thức: a b a ba b a b ab − − = − − Bài 3 (3đ): Rút gọn biểu thức: ( ) )32423241(2.3 3814 3 3612 ++−−− − − Bài 4 (3đ): Trong các hình chữ nhật có chu vi P, hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích lờn nhất đó. Bài 5 (4đ): Cho đường tròng (O; R), từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Đường thẳng chứa đường kính // MN cắt AM, AN lần lượt tai B, C. 1, Chứng minh: Tứ giác MNCB là hình thang cân. 2, Chứng minh: MA. MB = R 2 . 3, Từ điểm K thuộc cung nhỏ MN kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AM, AN lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng: BP. CQ = 4 2 BC Bài 6 (4đ): 1 Đềthi học sinh giỏi toán9 Vòng 2 (150 phút): Bài 1 (4đ): Cho phương trình: (2m – 1)x – 2mx + 1 = 0 1, Tìm m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (– 1; 0). 2, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 1 2 2 2 1 =− xx Bài 2 (5đ): Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây: 1, 381257 2 +−=−+− xxxx 2, =++ =+++ 7 8 22 22 xyyx yxyx 3, =++ =++ 11 11 yx yx Bài 3 (3đ): 1, Cho a > c; b > c; c > 0. Chúng minh: abcbccac ≤−+− )()( 2, Cho x ≥ 1 và y ≥ 1. Chứng minh: xy yx + ≥ + + + 1 2 1 1 1 1 22 Bài 4 (3đ): Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E kẻ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K. Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn. Bài 5(2đ): Cho ∆ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D, E để diện tích ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất. 2 Đềthi học sinh giỏi toán9 Bài 6 (3đ): Cho hai đường tròn (O) và (O ’ ) cắt nhau ở A và B. Qua A vẽ hai đường thẳng d và d ’ , đường thẳng d cắt (O) tại C và cắt (O ’ ) tại D; đường thẳng d’ cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD. Chứng minh: CD = MN 3 Đềthi học sinh giỏi toán9 TP Hồ Chí Minh Năm học 2003 – 2004 (150 phút) I – Phần bắt buộc: Bài 1 (4đ): Giải các phương trình và hệ phương trình: 1, 141232532 2 +−=−+− xxxx 2, =+ =++ 7 41 yx yx Bài 2 (4đ): 1, Cho xy = 1 và x > y Chứng minh rằng: 22 22 ≥ − + yx yx 2, Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác thoả mãn: a + b + c = 2 Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2 Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O; 2 AI ). Gọi E là trung điểm của BC và K là trung điểm của OI. Chứng minh rằng: Tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn. Bài 4 (4đ): Cho hai nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc đường tròn (M ≠ A, M ≠ B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tiếp tuyến tại A, B của (O) lần lượt tại C, D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các tam giác ACM và DBM. II – Phần tự chọn: Chọn 1 trong 2 bài. Bài 5a (4đ): Cho phương trình: 2x 2 + 2mx + m 2 – 2 = 0 1, Xác định m để phương trình trên có 2 nghiệm. 2, Gọi 2 nghiệm của phương trình trên là x 1 , x 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 42 2121 −++ xxxx 4 Đềthi học sinh giỏi toán9 Bài 5b (4đ): Cho biểu thức: P = −+ − − + − + − − − − − 6 9 3 2 2 3 : 9 3 1 xx x x x x x x xx (x ≥ 0; x ≥ 9; x ≥ 4) 1, Rút gọn P. 2, Tìm x để P = 1 5 Đềthi học sinh giỏi toán9 Thừa Thiên Huế Năm học 2003 – 2004 Vòng 1 (120 phút) Bài 1 (3đ): 1, Giải hệ phương trình sau: =++ −=−+ =++ 14 1 6 222 zyx zxyzxy zyx 2, Cho hai số x, y thoả mãn đẳng thức: 4 4 1 8 2 22 =++ x yx Tìm x; y để xy đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2 (3,5đ): 1, Tìm m để phương trình: (m + 1)x 2 – 3mx + 4m = 0 có nghiệm dương. 2, Giải phương trình: 1)3(13 22 ++=++ xxxx Bài 3 (3,5đ): Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của cạnh BC, H là trực tâm ∆ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Tính độ dài AK và diện tích ∆ABC biết OM = HK = 4 1 KM; AM = 30 cm. Vòng 2 (120 phút): Bài 4 (3,5đ): 1, Giải phương trình: x xx x xx x = −− − + ++ + 3 3 3 3 2 2 2 2 2, Chứng minh: ab ba + ≥ + + + 1 2 1 1 1 1 22 với a ≥ 1; b ≥ 1 6 Đềthi học sinh giỏi toán9 Bài 5 (3,5đ): Cho ∆Abc nội tiếp trong đường (O). I là trung điểm BC, M là điểm trên đoạn CI (M khác C và I), đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại D. Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AMI tại M cắt các đường thẳng DB, DC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: DM. IA = MP. IB và tính tỉ số MQ MP Bài 6 (3đ): 1, Giải phương trình: 181 35 +−=++− xxx 2, Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn: 2(y + z) = x(yz – 1) 7 Đềthi học sinh giỏi toán9 Trường CĐSPBN Thi giải toán khó THCS năm học 2006 – 2007 (120 phút) Bài 1 (3đ): Cho phương trình: mxmx =−+ 22 )3(3 Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm Bài 2 (3đ): Cho các số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 14 Tính P = 1 + a 4 + b 4 + c 4 Bài 3 (3đ): Giải hệ phương trình: =−++ −=+−+ 0 123 yxyx yxyx Bài 4 (3đ): Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho: (n 2 + 9n – 2) (n + 11) Bài 5 (6đ): Cho vòng tròn (C). Điểm I ở trong vòng tròn, qua I dựng hai dây cung bất kỳ MIN và EIF. Gọi M ’ , N ’ , E ’ , F ’ lần lượt là trung điểm của IM, IN, IE, IF. 1, Chứng minh: Tứ giác M ’ N ’ E ’ F ’ nội tiếp đường tròn. 2, Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi. Chứng minh vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M ’ N ’ E ’ F ’ có bán kính không đổi. 3, Giả sử I cố định các dây cung MIN và EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau. Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho diện tích tứ giác M ’ N ’ E ’ F ’ không đổi. Bài 6 (2đ): Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + 2 2 2 2 11 x y y x 8 Đềthi học sinh giỏi toán9 Trường CĐSP Bắc Ninh Đềthi đại số sơ cấp và thực hành giải toán năm 2005 – 2006 (120 phút) Bài 1 (2đ): Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: =++ =++ 2835 143 zyx zyx Bài 2 (2đ): Giải phương trình: (6x + 5) 2 (3x + 2)(x + 1) = 35 Câu 3 (2đ): Chứng minh rằng nếu a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 0 thì 1/ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc 2/ 2(a 5 + b 5 + c 5 ) = 5abc(a 2 + b 2 + c 2 ) Bài 4 (2đ): Với giá trị nào của a và b thì: M = a 2 + ab + b 2 – 3a – 3b + 2006 đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị đó ? Bài 5 (2đ): Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: xz z zy y yx x + + + + + < yx z xz y zy x + + + + + 9 . 2121 −++ xxxx 4 Đề thi học sinh giỏi toán 9 Bài 5b (4đ): Cho biểu thức: P = −+ − − + − + − − − − − 6 9 3 2 2 3 : 9 3 1 xx x x x. 9 3 1 xx x x x x x x xx (x ≥ 0; x ≥ 9; x ≥ 4) 1, Rút gọn P. 2, Tìm x để P = 1 5 Đề thi học sinh giỏi toán 9 Thừa Thi n Huế Năm học 2003 – 2004 Vòng 1