Bài tập Cấp số Cộng- Cấp Số Nhân

Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN - BÀI TẬP ÁP DỤNG (2 tiết) A. MỤC TIÊU: + Về kiến thức : Giúp học sinh : - Nắm vững khái niệm CSC, CSN. - Nắm được tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của một CSC, CSN.; - Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một CSN,CSC. + Về kĩ năng : Giúp học sinh : - Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một CSC, CSN. - Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một CSC, CSN trong các trường hợp không phức tạp ; - Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã học để giải quyết các bài toán đơn giản liên quan đến CSC, CSN ở các môn học khác , cũng như trong thực tế cuộc sống . + Về tư duy và thái độ : Biết khái quát hoá , tương tự . Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi . B. CHUẨN BỊ CỦA THẦY & TRÒ: - Giáo viên : SGK , phiếu học tập. - Học sinh : Xem lại bài CSC, CSN, SGK , dụng cụ học tập . C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Phát hiện và giải quyết vấn đề . Bài mới: Tiết 1: Hoạt động của GV Hoạt động của HS Hoạt động 1: Cấp số cộng + HĐTP1:Tìm n và công sai của một cấp số cộng Bài tập1: Một CSC có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng số là 400. Tìm n và công sai. Cho HS các nhóm thảo luận tìm lời giải, gọi HS đại diện lên bảng trình bày lời giải. Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần) GV Nhận xét, bổ sung và nêu lời giải đúng (nếu HS không trình bày đúng lời giải) + HĐTP2: Bài tập về tìm số hạng u k Bài tập 2: Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là -61 và 64. Tìm số hạng thứ 23. Chia nhóm thảo luận và tìm lời giải. Gọi HS đại diện lên bảng trình bày lời giải. Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần) HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải. HS đại diện lên bảng trình bày lời giải (có giải thích) HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép. HS trao đổi và nêu kết quả: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2.400 16 5 45 8 1 1 3 n n n n n n n n n u u S S n u u S n u u u u u u n d d n + = ⇔ = + ⇔ = = = + + − = + − ⇔ = = − HS thảo luận để tìm lời giải và cử đại diện lên bảng trình bày lời giải (có giải thích) HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép. HS trao đổi và rút ra kết quả: Trường THPT Đức Trí 1 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV nhận xét và nêu lời giải chính xác (nếu HS không trình bày đúng) ( ) 1 54 1 4 1 1 23 1 1 53 (1) 3 (2) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh (1), (2) ta ®­îc : 143 5 , 2 2 33 22 2 n u u n d u u d u u d u d u u d = + − ⇔ = + ⇔ = + = =− ⇒ = + = + HĐTP 3: Tìm các số hạng còn lại của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu và số hạng cuối… Bài tập 3: Chèn 20 số vào giữa số 4 và 67, biết rằng dãy số đó là một CSC. Chia nhóm thảo luận tìm lời giải. Gọi HS đại diện nhóm lên bảng trình bày lời giải. Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần) GV nêu nhận xét, và trình bày lời giải đúng (nếu HS không trình bày đúng lời giải) + HĐTP 4: (Bài tập về tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số cộng) Bài tập 4: Tìm tổng của một cấp số cộng gồm các số 1 3 5 ,6 ,8 . 2 4 đến số hạng thứ 17. Chia nhóm thảo luận tìm lời giải. Gọi HS đại diện lên bảng trình bày lời giải. Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần) GV nhận xét và nêu lời giải chính xác (nếu HS không trình bày đúng lời giải) HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải. HS đại diện nhóm lên bảng trình bày lời giải (có giải thích) HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép. HS trao đổi và rút ra kết quả: Ta xem số 4 là số hạng đầu và số 67 như là số hạng cuối. Như vậy cấp số cộng phải tìm có tất cả 22 số hạng. ( ) = + − ⇔ = + ⇔ = 1 Do 1 67 4 21 3 n u u n d d d Vậy cấp số cộng được tạo thành là: 4, 7, 10, … , 61, 64, 67 và 20 số cần chèn là: 7, 10, 13, …, 58, 61, 64. HS thảo luận theo nhóm để tìm lời giải và cử đại diện lên bảng trình bày lời giải (có giải thích) HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép. HS trao đổi và rút ra kết quả: ( ) ( )   − = +       − ⇔ = + =     1 1 Do S 2 17 1 1 5 263 17 5 . 2 2 4 2 n n n d n u S Tiết 2 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Hoạt động 2: Cấp số nhân + HĐTP 5: Chèn các số vào giữa hai số đã cho của một cấp số nhân. Bài tập 1: Hãy chèn 4 số của một cấp số nhân vào giữa hai số 160 và 5. Chia nhóm thảo luận để tìm lời giải. Gọi HS đại diện lên bảng trình bày lời giải. Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần). HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải. HS đại diện lên bảng trình bày lời giải (có giải thích) HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép. HS trao đổi để rút ra kết quả: Ta xem số 160 như là số hạng đầu và số 5 như là số hạng thứ 6 của một cấp số nhân. Ta có: 5 6 1 .u u q = Trường THPT Đức Trí 2 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV nhận xét và nêu lời giải chính xác (nếu HS không trình bày đúng lời giải) + HĐTP 6: Tính tổng của n số hạng của một cấp số nhân. Bài tập 2: Tìm tổng của một cấp số nhân gồm 7 số hạng mà các số hạng đầu là: 2 3 , 1, , . 3 2 − (hoặc phát phiếu HT) Chia nhóm để tìm lời giải. Gọi HS đại diện nhóm lên bảng trình lời giải. Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần) GV nhận xét và trình bày lời giải chính xác (nếu HS không trình bày đúng lời giải) 5 6 6 5 5 1 1 5 5 1 32 1 1 = 2 2 u u q q u u ⇔ = ⇒ = = = Suy ra các số hạng của cấp số nhân là: 160, 80, 40, 20, 10, 5 Vậy các số cần chèn là: 80, 40, 20. 10. HS thỏa luận theo nhóm để tìm lời giải và cử đại diện lên bảng trình bày lời giải. HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép. HS trao đổi để rút ra kết quả: Cấp số nhân có công bội là: 3 2 q = − . Ta có: 1 7 7 1 1 3 1 2 463 2 . 3 3 96 1 2 n n q S u q S − = −   − −  ÷   ⇒ = + + HĐTP 7: Bài tập về tìm các số hạng của một cấp số nhân khi biết tổng và tích của các số đó. Bài tập 3: Tìm 3 số hạng của một cấp số nhân mà tổng số là 19 và tích là 216. Thảo luận theo nhóm và gọi HS đại diện nhóm lên bảng trình bày. Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần) GV nhận xét và nêu lời giải đúng (nếu HS không trình bày đúng lời giải) + HĐTP 5: Bài tập về tìm số hạng đầu của một cấp số nhân khi biết công bội, tổng và số hạng HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải và cử đại diện lên bảng trình bày lời giải (có giải thích) HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép. HS trao đổi và rút ra kết quả: Giải: Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân là: , , ( « ) a a aq víi q lµ c ng béi q Theo giả thiết ta có: . . 216 (1) 19 (2) a a aq q a a aq q  =     + + =   Từ (1) ta có a = 6. Thay vào (2) ta được: 6q 2 - 13q + 6 = 0 3 2 hoÆc 2 3 q q ⇔ = = Vậy 3 số hạng cần tìm là: 4, 6, 9 hay 9, 6, 4. Trường THPT Đức Trí 3 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến Hoạt động của GV Hoạt động của HS cuối. Bài tập 4: Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân biết rằng công bội là 3, tổng số là 728 và số hạng cuối là 486. Chia nhóm thảo luận để tìm lời giải. GV gọi HS đại diện nhóm lên bảng trình bày lời giải. Gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần) GV nhận xét, bổ sung và nêu lời giải dúng i(nếu HS không trình bày đúng lời giải). HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải và cử đại diện lên bảng trình bày lời giải (có giải thích) HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép. HS trao đổi và rút ra kết quả: − − − − = − = ⇒ = − ⇒ = − 1 1 1 1 1 1 1 (1) 1 . 1 µo (1) . (2) 1 n n n n n n n n n n q S u q u u u q u q u q Thay v S q q Theo giải thiết S n =728, u n =486,q=3 ( ) − − − − ⇒ = − ⇔ = = = ⇔ − = ⇔ = ⇒ = = = = 1 1 5 1 1 5 486 1 3 2 728 . 3 1 3 486 3 243 3 2 1 5 6 486 486 u 2 3 243 n n n n n n n u q *Áp dụng giải bài tập sau: Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7 số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889. Có bao nhiêu số của một cấp số cộng -9; -6; -3; … để tổng số các số này là 66. * Rút kinh nghiệm sau tiết dạy: . . . . . . . . Trường THPT Đức Trí 4 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến Lý Thuyết DÃY SỐ-CẤP SỐ CÔNG, CẤP SỐ NHÂN. 1) Dãy số tăng, dãy số giảm. Dãy số ( ) n u đgl dãy số tăng nếu ta có * 1n n u u n N + > ∀ ∈ Dãy số ( ) n u đgl dãy số giảm nếu ta có * 1n n u u n N + < ∀ ∈ Dãy số tăng, dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu 2) Dãy số bị chặn. Dãy số vô hạn ( ) n u được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho *, n n N u M∀ ∈ ≤ Dãy số vô hạn ( ) n u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho *, n n N u m∀ ∈ ≥ Dãy số vô hạn ( ) n u được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Nghĩa là tồn tại hai số M,m sao cho *, n n N m u M∀ ∈ ≤ ≤ 3) Cấp số công, cấp số nhân. Cấp số công Cấp số nhân 1) Định nghĩa ( ) 1 l CSC n 2, u n n n u à u d − ⇔ ∀ ≥ = + d đgl công sai của cấp số cộng ( ) 1 l CSN n 2, u . n n n u à u q − ⇔ ∀ ≥ = q đgl công bội của cấp số nhân 2) TC của 3 số hạng liên tiếp. 1 1 2 2 k k k u u u k − + + = ≥ 1 1 . 2 k k k u u u k − + = ≥ 3) Số hạng tổng quát ( ) 1 1 . n u u n d= + − 1 1 . n n u u q − = 4) Tổng n số hạng đầu tiên ( ) 1 . 1 2 n n n u u S n + = ∀ ≥ Hoặc ( ) ( ) 1 . 2 1 . 1 2 n n u n d S n + − = ∀ ≥ 1 1, . 1 n q S n u n= = ∀ ≥ 1 1 1, . , 1 1 n n q q S u n q − ≠ = ∀ ≥ − 4) Bài tập tự luận Câu 1: Cho dãy số ( ) n u xác định bởi công thức ( ) 1 1 1 1 1 .2 n n n u n u u n + =   ∀ ≥  = +   . Chứng minh rằng: Trường THPT Đức Trí 5 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến ( ) n u là dãy số tăng Hướng dẫn: Tìm số hạng ( ) 1 1 .2 n n u n= + − ; Chứng minh 1 1 n n u u n + > ∀ ≥ Câu 2: Chứng minh rằng dãy số ( ) n u với 2 2 1 2 3 n n u n + = − là một dãy số bị chặn. Câu 3: Ba góc trong một tam giác lập thành cấp số cộng. Tìm 3 góc đó. Câu 4: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176, hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số cộng đó. Câu 5: Bốn số lập thành cấp số cộng, tổng của chúng bằng 22, tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tìm 4 số đó. Câu 6: Cho cấp số cộng ( ) n u có 17 20 9u u+ = và ( ) ( ) 2 2 17 20 153u u+ = . Tìm số hạng đầu và công sai của số hạng đó. Câu 7: Cho cấp số cộng ( ) n u có 2 22 60u u+ = . Tính 23 S Câu 8: Tìm bốn góc của một tứ giác, biết rằng các góc của tứ giác đó lập thành cấp số nhân. Và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai. Câu 9: Tìm 4 số hạng đầu tiên của một CSN biết rằng tổng 3 số hạng đầu là 4 16 9 đồng thời theo thứ tự chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư, thứ tám của một CSC. Câu10: Các số 6 ,5 2 ,8x y x y x y+ + + theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đòng thời các số 1. 2, 3x y x y− + − theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Hãy tìm x và y. Câu11: Ba số lập thành một CSN có tổng bằng 39, hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu bằng 24. Tìm ba số đó. (Hướng dẫn :3;9;27 hoặc 25;-35;49) Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho dãy số )( n u với n u n n π 2 cos)1( 1 + −= . Khi đó 12 u bằng: A. 2 1 B 2 3 C. 2 1 − D. 2 3 − Câu 2: Cho dãy số )( n u với 1 2 1 + − = n n n u . Khi đó 1 − n u bằng: A. n n n u 2 1 1 − = − B. n n n u 2 2 1 − = − C. 1 1 2 2 − − − = n n n u D. n n n u 2 1 = − Trường THPT Đức Trí 6 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến Câu 3: Dãy số nào sau đây là dãy tăng: A. n u n n π sin)1( 1 + −= B. 23 32 + + = n n u n C. 1 1 ++ = nn u n D. )13()1( 2 +−= nn n u Câu 4 Cho dãy số 2 2 1 n n u n = + . Số 9 41 là số hạng thứ bao nhiêu? A. 10 B. 9 C. 8 D. 11 Câu 5 Cho dãy số 1 2 1 n n u n + = + . Số 8 15 là số hạng thứ bao nhiêu? A. 8 B. 6 C. 5 D. 7 Câu 6 Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: 1 * 1 3 1 2 n n u u u n + =    = ∀ ∈   ¥ Tìm công thức tính số hạng tổng quát n u của dãy số A. 3 2 n n u = B. 1 3 2 n n u − = C. 3 2 1 n n u = − D. 3 2 1 n n u = + Câu 7 Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: 1 * 1 2 1 n n u u u n + + =    = ∀ ∈   ¥ Tìm công thức tính số hạng tổng quát n u của dãy số A. 2 1 n u n= + B. 2 1 n u n= − C. 2 2 n u n= + D. 2 3 n u n= + Câu 8 Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: 1 1 1 2 n n u u u + =   = +  Hỏi số 33 là số hạng thứ mấy: A. 15 u B. 17 u C. 14 u D. 16 u Câu 9: Nếu cấp số cộng )( )n u với công sai d có 0 5 = u và 10 10 = u thì: A. 8 1 = u và d = -2 B. 8 1 −= u và d = 2 C. 8 1 = u và d = 2 D. 8 1 −= u và d = -2 Câu 10: Một cấp số cộng có 9 số hạng. Số hạng chính giữa bằng 15. Tổng các số hạng đó bằng: Trường THPT Đức Trí 7 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến A. 135 B. 405 C. 280 D. Đáp số khác Câu 11: Cho cấp số cộng )( n u có 12 5 = u và tổng 21 số hạng đầu tiên là 504 21 = S . Khi đó 1 u bằng: A. 4 B. 20 C. 48 D. Đáp số khác Câu 12 Tìm tất cả các giá trị của x để 2 1 sinx;sin ;1 sin 3x x+ + là 3 số hạng liên tiếp của một CSC A. , 2 x k k π π = + ∈ Z B. 2 , 6 x k k π π = + ∈ Z C. 2 ; , 2 6 3 x k x k k π π π π = − + = − + ∈ Z D. 5 ; 2 ; 2 , 2 6 6 x k x k x k k π π π π π π = + = + = + ∈ Z Câu 13 Cho cấp số cộng )( n u . Tìm 1 u và công sai d biết 2 2 3 n S n n= − A. 1 1; 4u d= − = B. 1 1; 3u d= = C. 1 2; 2u d= = D. 1 1; 4u d= − = Câu 14 Cho cấp số cộng )( n u . Tìm 10 u biết 2 3 2 n S n n= − A. 10 50u = B. 10 53u = C. 10 55u = D. 10 60u = Câu 15 Cho cấp số cộng )( n u . Tìm 1 u và công sai d biết 5 2 18; 4 n n u S S= = A. 1 2; 3u d= = B. 1 2; 2u d= = C. 1 2; 4u d= = D. 1 3; 2u d= = Câu 16 Giải phương trình 1 7 13 x 280+ + +…+ = A. x 53 = B. x 55 = C. x 57 = D. x 59= Câu 17 Giải phương trình ( ) ( ) ( ) x+1 x+4 x+28 155+ +…+ = A. x 11 = B. x 4 = C. x 2= D. x 1= Câu 18 Ba số 10;25;40 có thể là: Trường THPT Đức Trí 8 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến A. Ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng B. Ba số hạng 1 4 8 ; ;u u u của một cấp số cộng C. Ba số hạng của một cấp số cộng nào đó D. Không thể là ba số hạng của một cấp số cộng Câu 19 Một tam giác vuông có chu vi bằng 3, các cạnh lập thành một cấp số cộng. Tìm 3 cạnh đó A 1 3 ;1; 2 2 B. 3 5 ;1; 4 4 C. 1 5 ;1; 3 3 D. 1 7 ;1; 4 4 Câu 20 Bốn nghiệm của phương trình 4 2 10 0x x m− + = là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Hãy tìm m. A. 16 B. 21* C. 24 D. 9 Câu 21 Nếu cấp số cộng )( n u có số hạng thứ n là nu n 31 −= thì công sai d bằng: A. 6 B. 1 C. -3 D. 5 Câu22 Cho CSC : -2 ; u 2 ; 6 ; u 4 . Hãy chọn kết quả đúng: A. u 2 = -6 ; u 4 = -2 B. u 2 = 1 ; u 4 = 7 C. u 2 = 2 ; u 4 = 8 D. u 2 = 2 ; u 4 = 10 Câu 23 Nếu một cấp số nhân ( n u ) có công bội 2 1 −= q và 4 1 6 −= u thì: A. 8 1 = u B 128 1 1 = u C 8 1 −= u D. 128 1 1 −= u Câu 24 Các số x; 4; y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân và các số x; 5; y theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Khi đó |x - y| bằng: A. 6 B. 10 C. 4 D. Đáp số khác Câu 25 Cho cấp số nhân )( n u với 7 1 = u , công bội q = 2 và tổng các số hạng đầu tiên 7 889S = . Khi đó số hạng cuối bằng: A. 484 B. 996 C. 242 D. 448 Câu 26 Nếu cấp số nhân )( n u với 72 24 =− uu và 144 35 =− uu thì: A. 12;2 1 == qu B. 2;12 1 −== qu C. 2;12 1 == qu D. 2;4 1 == qu Câu 27 Cho cấp số nhân 16; 8; 4; …; 64 1 . Khi đó 64 1 là số hạng thứ: A. 10 B. 12 C 11 D. Đáp số khác Câu 28 Cho cấp số nhân )( n u biết 1 5u = ; 1 405u = và tông 1820 n S = , hãy tìm n Trường THPT Đức Trí 9 Năm học: 2008-2009 Giáo án đại số 11 cơ bản Giáo viên: Dương Minh Tiến A. n 9 = B. n 8 = C. * n 6 = D. n 7= Câu 29 Cho cấp số nhân )( n u biết 2 4S = ; 3 13S = . Tìm 5 S A. 5 181 121 hoac 16 S = B. 5 35 121 hoac 16 S = C. 5 185 144 hoac 16 S = D. 5 183 141 hoac 16 S = Câu 30 Giải phương trình 2 2007 1 x x x 0+ + +…+ = A. x 1= ± B. x 1 = C x 11 = D. x 1 2x= ∨ = − Trường THPT Đức Trí 10 Năm học: 2008-2009 . động 2: Cấp số nhân + HĐTP 5: Chèn các số vào giữa hai số đã cho của một cấp số nhân. Bài tập 1: Hãy chèn 4 số của một cấp số nhân vào giữa hai số 160 và. Bài tập về tìm các số hạng của một cấp số nhân khi biết tổng và tích của các số đó. Bài tập 3: Tìm 3 số hạng của một cấp số nhân mà tổng số là 19 và tích