Hệ thống bài tập Cấp số cộng Cấp số nhân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC ***** HỆ THỐNG BÀI TẬP HỆ THỐNG SỐ Tháng năm 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC ***** HỆ THỐNG BÀI TẬP HỆ THỐNG SỐ Mơn: Phương Pháp dạy học Đại số MA4114N02 Nhóm: Danh sách sinh viên: Nguyễn Phú Quý Võ Quốc Tiến Lê Quốc Việt Nguyễn Thanh Lâm GV: TS.GVC Lê Xuân Trường Tháng năm 2019 Mục lục Lý thuyết Mở đầu Nội dung chương trình hệ thống số Dạy học hệ thống số theo chương trinh Hệ thống lý thuyết 27 Bài tập 29 Cấp số cộng 30 1.1 Dạng tốn chứng minh tính chất CSC 30 Ví dụ 30 Ví dụ 30 Ví dụ 30 1.2 Dạng toán chứng minh ba số lập thành CSC .30 Ví dụ 31 1.3 Dạng tốn tìm điều kiện tham số lập thành CSC 32 Ví dụ 32 1.4 Bài tốn tìm điều kiện tham số 32 Ví dụ 33 1.5 Bài tốn tìm điều kiện tham số để pt trùng phương có nghiệm lập thành CSC .33 Ví dụ 34 Ví dụ 34 Ví dụ 35 1.6 Dạng tốn tính CSC .36 Ví dụ 10 36 Ví dụ 11 36 Ví dụ 12 36 Ví dụ 13 36 Ví dụ 14 37 Ví dụ 15 38 Ví dụ 16 38 Ví dụ 17 39 Ví dụ 18 39 Ví dụ 19 40 Ví dụ 20 40 Cấp số nhân 41 2.1 Dạng toán chứng minh tính chất cấp số nhân .41 Ví dụ 21 41 Ví dụ 22 41 2.2 Chứng minh số lập thành cấp số nhân 41 Ví dụ 23 41 2.3 Dạng tốn tìm điều kiện tham số để bộ số lập thành CSN .42 Ví dụ 24 42 Ví dụ 25 43 2.4 Dạng tốn tìm phần tử cấp số nhân 44 Ví dụ 26 44 Ví dụ 27 44 Ví dụ 28 45 2.5 Dạng tốn tính tổng cấp số nhân 45 Ví dụ 29 45 Ví dụ 30 46 Ví dụ 31 46 Ví dụ 32 47 Ví dụ 33 48 Ví dụ 34 49 Ví dụ 35 49 Ví dụ 36 50 Ví dụ 37 51 Ví dụ 38 52 PHẦN 1: LÝ THUYẾT Mở đầu Toán học môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, khơng gian phép biến đổi Nói cách khác, người ta cho mơn học "hình số" Tốn học tảng cho tất ngành khoa học tự nhiên khác Có thể nói khơng có tốn học, khơng có ngành khoa học Hình thành hệ thống số - số học cần thiết, bắt buộc giáo dục tốn học nhà trường, góp phần hình thành tảng kiến thức sở toán học Từ đó, tạo cho học sinh khả nhận thức phân tích tri thức thể nhiều hình thức khác nhau, hiểu chất nhiều phụ thuộc thực tế, hình thành hiểu biết vai trò số học nguồn thơng tin quan trọng mặt xã hội, biết áp dụng tư thống kê để phân tích liệu Từ đó, nâng cao hiểu biết phương pháp nghiên cứu giới đại cho học sinh Các hệ thống số đóng vai trò quan trọng Tốn học Trong chương trình mơn Tốn nhà trường phổ thơng hệ thống số nội dung xun suốt tồn chương trình Nội dung liên quan mật thiết với nội dung khác chương trình Tốn Thật vậy, hàm số biểu thị tương ứng thiết lập thành phần tập hợp số thỏa mãn số điều kiện định Giải phương trình bất phương trình đưa tính tốn so sánh tập hợp số số Những phép biến đổi đồng nguyên tắc thực giải ký hiệu đại diện cho số phép toán tập hợp số Những tính chất phép tính cặp số sở để xây dựng nhiều quy tắc công thức biến đổi đồng Những yếu tố giải tích tốn học như: giới hạn, đạo hàm, tích phân dựa số Việc vận dụng kiến thức toán học vào giải vấn đề thực tiễn vấn đề quan trọng dạy học tốn trường phổ thơng Điều thể từ đề thi THPT quốc gia năm học 2014-2015, 2015 – 2016 gần đề thi minh họa Bộ Giáo dục Trong chương trình sách giáo khoa Tốn hành, chương trình Đại số Giải tích, có nhiều chủ đề kiến thức có nhiều lợi việc lồng ghép tốn mang tính thực tế cao, chẳng hạn: Hệ bất phương trình bậc hai ẩn, Phương trình bậc hai, Bất phương trình bậc hai (Lớp 10), Giải tích tổ hợp, Xác suất, Cấp số cộng, Cấp số nhân (lớp 11) , Đạo hàm (Lớp 12), Những chủ đề có vai trò quan trọng việc rèn luyện cho học sinh kỹ vận dụng kiến thức Tốn học vào thực tiễn Tuy nhiên, nhiều lý quan tâm, ý khai thác người dạy người học toán Trong chuyên đề này, nhóm sinh viên đã: - Hệ thống kiến thức số - số học chương trình phổ thơng - Phân tích chương trình hành năm 2019 - Phân loại tập theo dạng kiến thức cấp số cộng, cấp số nhân - Cố gắng sưu tầm nhiều tốt tập thực tiễn từ nêu lên tốn cần phải giải quyết, vận dụng kiến thức cấp số cộng, cấp số nhân toán học để giải vấn đề - Xây dựng hệ thống tập theo chủ đề kiến thức Mặc dù cố gắng khả hạn chế nên báo cáo chắn nhiều hạn chế, kính mong Thầy đóng góp ý kiến để tài liệu tốt hơn! Nội dung chương trình hệ thống số - - Lớp 1: cộng trừ phạm vi 100 Lớp 2: nhân chia phạm vi nghìn phân số đơn giản Lớp 3: bảng nhân, chia đến Lớp 4: tốn có lời văn, tốn tìm x số hữu tỷ không âm Lớp 5: tốn lời văn, phép tính số tự nhiên, phân số, số thập phân Lớp 6: ôn tập số tự nhiên, lũy thừa số mũ tự nhiên phép tính; dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9; học số nguyên tố; làm quen với số nguyên âm phép tính Lớp 7, 8, 9: tìm hiểu số hữu tỷ phép tính; làm quen với số thực Lớp 10: số gần đúng, sai số: khái niệm số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối, chữ số quy tròn, Lớp 11: phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân Lớp 12: Lũy thừa với số mũ thực, số phức Dạy học hệ thống số theo chương trinh NỘI DUNG YÊU CẦ CẦN ĐẠT LỚP Số tự nhiên Đếm, đọc, viết số phạm vi 100 – Đếm, đọc, viết số phạm vi 10; phạm vi 20; phạm vi 100 - Nhận biết chục đơn vị, số tròn chục So sánh số - Nhận biết cách so sánh, xếp thứ tự số phạm phạm vi 100 (ở vi 100 nhóm có khơng q số) Các phép tính Phép cộng, phép trừ – Nhận biết ý nghĩa phép cộng, phép trừ với số tự nhiên – Thực phép cộng, phép trừ (không nhớ) số phạm vi 100 – Làm quen với việc thực tính tốn trường hợp có hai dấu phép tính cộng, trừ (theo thứ tự từ trái sang phải) Tính nhẩm – Thực việc cộng, trừ nhẩm phạm vi 10 – Thực việc cộng, trừ nhẩm số tròn chục Thực hành giải – Nhận biết ý nghĩa thực tiễn phép tính vấn (cộng, trừ) thơng qua đề liên quan đến tranh ảnh, hình vẽ tình thực tiễn phép – Nhận biết viết phép tính (cộng, trừ) phù tính cộng, trừ hợp với câu trả lời tốn có lời văn tính kết LỚP Số tự nhiên Số cấu tạo thập – Đếm, đọc, viết số phạm vi 1000 phân – Nhận biết số tròn trăm số – Nhận biết số liền trước, số liền sau số – Thực việc viết số thành tổng trăm, chục, đơn vị So sánh số – Nhận biết cách so sánh hai số phạm vi 1000 – Xác định số lớn số bé nhóm có khơng q số (trong phạm vi 1000) – Thực việc xếp số theo thứ tự (từ bé đến lớn ngược lại) nhóm có khơng q số (trong phạm vi 1000) Ước lượng số đồ vật Làm quen với việc ước lượng số đồ vật theo nhóm chục Các phép tính Phép cộng, phép trừ – Nhận biết thành phần phép cộng, với số tự nhiên phép trừ – Thực phép cộng, phép trừ (khơng nhớ, có nhớ khơng lượt) số phạm vi 1000 – Thực việc tính tốn trường hợp có hai dấu phép tính cộng, trừ (theo thứ tự từ trái sang phải) Phép nhân, phép chia – Nhận biết ý nghĩa phép nhân, phép chia – Nhận biết thành phần phép nhân, phép chia – Vận dụng bảng nhân bảng nhân thực hành tính – Vận dụng bảng chia bảng chia thực hành tính Tính nhẩm – Thực việc cộng, trừ nhẩm phạm vi 20 – Thực việc cộng, trừ nhẩm số tròn chục, tròn trăm phạm vi 1000 Thực hành giải – Nhận biết ý nghĩa thực tiễn phép tính (cộng, vấn trừ, nhân, chia) thông đề liên quan đến qua tranh ảnh, hình vẽ tình thực tiễn phép tính học – Giải số vấn đề gắn với việc giải tốn có bước tính (trong phạm vi số phép tính học) liên quan đến ý nghĩa thực tế phép tính (ví dụ: tốn thêm, bớt số đơn vị; tốn nhiều hơn, số đơn vị) LỚP Số tự nhiên Số cấu tạo thập – Đọc, viết số phạm vi 10 000; phân phạm vi 100 000 số – Nhận biết số tròn nghìn, tròn mười nghìn – Nhận biết cấu tạo thập phân số – Nhận biết chữ số La Mã viết số tự nhiên phạm vi 20 cách sử dụng chữ số La Mã So sánh số – Nhận biết cách so sánh hai số phạm vi 100 000 – Xác định số lớn số bé nhóm có khơng q số (trong phạm vi 100 000) – Thực việc xếp số theo thứ tự (từ bé đến lớn ngược lại) nhóm có khơng q số (trong phạm vi 100 000) Làm tròn số Làm quen với việc làm tròn số đến tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn, tròn mười nghìn (ví dụ: làm tròn số 1234 đến hàng chục số 1230) Các phép tính Phép cộng, phép trừ – Thực phép cộng, phép trừ số có đến với chữ số (có nhớ số tự nhiên khơng q hai lượt khơng liên tiếp) – Nhận biết tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng mối quan hệ phép cộng với phép trừ thực hành tính Phép nhân, phép chia – Vận dụng bảng nhân, bảng chia 2, 3, , thực hành tính – Thực phép nhân với số có chữ số (có nhớ khơng q hai lượt không liên tiếp) – Thực phép chia cho số có chữ số – Nhận biết thực phép chia hết phép chia có dư – Nhận biết tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép nhân mối quan hệ phép nhân với phép chia thực hành tính Tính nhẩm Thực cộng, trừ, nhân, chia nhẩm trường hợp đơn giản Biểu thức số Thực hành giải vấn đề liên quan đến phép tính học Phân số LỚP Số tự nhiên Làm quen với phân số – Làm quen với biểu thức số – Tính giá trị biểu thức số có đến hai dấu phép tính khơng có dấu ngoặc – Tính giá trị biểu thức số có đến hai dấu phép tính có dấu ngoặc theo nguyên tắc thực dấu ngoặc trước – Xác định thành phần chưa biết phép tính thơng qua giá trị biết Giải số vấn đề gắn với việc giải tốn có đến hai bước tính (trong phạm vi số phép tính học) liên quan đến ý nghĩa thực tế phép tính; liên quan đến thành phần kết phép tính; liên quan đến mối quan hệ so sánh trực tiếp đơn giản (chẳng hạn: gấp số lên số lần, giảm số số lần, so sánh số lớn gấp lần số bé) – Nhận biết phân số thơng qua hình ảnh trực quan – Xác định phân số nhóm đồ vật (đối tượng) việc chia thành phần Số cấu tạo thập – Đọc, viết số có nhiều chữ số (đến lớp phân triệu) số – Nhận biết cấu tạo thập phân số giá trị theo vị trí chữ số số – Nhận biết số chẵn, số lẻ – Làm quen với dãy số tự nhiên đặc điểm So sánh số – Nhận biết cách so sánh hai số phạm vi lớp triệu – Thực việc xếp số theo thứ tự (từ bé đến lớn ngược lại) nhóm có không số (trong phạm vi lớp triệu) Làm tròn số Làm tròn số đến tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn, tròn mười nghìn, tròn trăm nghìn (ví dụ: làm tròn số 12 345 đến hàng trăm số 12 300) 10 tâm dân số tốc độ tăng dân.(tỉ lệ tăng dân số) Phương án giải quyết: Theo giả thuyết toán cho tốc độ tăng dân ln ổn định qua năm Tuy nhiên thực tế không Trong trường hợp thực tốt chương trình kế hoạch hóa gia đình tốc độ trì ổn định xem số không đổi d = triệu Do số dân năm lập thành cấp số cộng với công sai d = triệu, u1 = 84 Nên dân số năm 2020 tức u13 = 84 + (13 − 1) = 96 triệu Ví dụ 15: Sinh nhật Q vào ngày 14 tháng Bạn muốn mua máy tính hiệu casio fx580vnx giá 600.000 đồng để làm quà sinh nhật cho Bạn định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 14 tháng năm đó, sau liên tục ngày sau cao ngày trước 100 đồng Hỏi đến sinh nhật mình,Q có đủ tiền mua quà không? Giải Từ ngày 14 tháng đến ngày 14 tháng số ngày có là: 31 + 28 + 31 + 30 = 120 (ngày) Số tiền bỏ ống An ngày tăng theo cấp số cộng với công sai 100 đồng Do tổng số tiền có An đến ngày 14 tháng là: 120 120.121.100 (2.100 + (120 − 1)100) = = 726000 (đồng) 2 Vậy: Q có đủ tiền mua máy tính Casio Ví dụ 16: Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực việc trả lương cho kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương quý làm việc cho công ty 4,5 triệu đồng/quý kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương tăng thêm 0,3 triệu đồng quý Hãy tính tổng số tiền lương kĩ sư nhận sau năm làm việc cho công ty Giải Với số nguyên dương n, kí hiệu un (triệu đồng) mức lương người kĩ sư quý làm việc thứ n cho công ty Theo giả thiết tốn ta có: u1 = 4, 5; un+1 = un + 0.3 với n ≥ Do đó, dãy số (un ) cấp số cộng với công sai d = 0, Vì năm có q nên năm có 12 quý Như theo yêu cầu toán ta phải tính tổng 12 số hạng cấp số cộng (un ) 38 Ta có: u12 = 4, + (12 − 1).0, = 7, 12.(4, + 7, 8) Vậy: S12 = = 73, (triệu đồng) Ví dụ 17: Cho dãy số có số hạng 1,8,22,43, Hiệu số hạng liên tiếp dãy số lập thành cấp số cộng: 7,14,21, 7n Số 35351 số hạng thứ cấp số cho? Giải Theo đề ta có: u2 − u1 = u3 − u2 = 14 u4 − u3 = 21 Theo quy nạp: un − un−1 = 7(n − 1) Cộng vế theo vế ta được: un − u1 = + 14 + 21 + + 7(n − 1) Ta tính tổng + 14 + 21 + + 7(n − 1) (dãy số có n - số hạng) (n − 1)(7 + 7(n − 1)) 7n(n − 1) = = un − u1 (1) Sn = 2 7n(n − 1) Đặt un = 35351 u1 = thay vào (1) ta được: 3535−1 = ⇔ 7n2 − 7n − 70700 = ⇔ n = 101 n = −100 (loại) Vậy: số 35351 số hạng thứ 101 cấp số Ví dụ 18: Cho cấp số cộng (un ) có u1 = tổng 100 số hạng đầu 24850 1 Tính S = + + + u1 u2 u2 u3 u49 u50 Giải Gọi d công sai cấp số cộng cho 100(2u1 + 99d) Ta có: S100 = = 24850 ⇒ d = 39 ⇒ 5S = = = = = ⇒S= 5 + + + u1 u2 u2 u3 u49 u50 u50 − u49 u2 − u1 u3 − u2 + + + u1 u2 u2 u3 u49 u50 1 1 1 − − + − + + u1 u2 u2 u3 19 1 − u1 50 245 = u1 + 49d 246 49 246 Ví dụ 19: Một CSC có số hạng Biết tổng số hạng đầu số hạng cuối 30, tổng số hạng thứ ba thứ sáu 35 Số hạng thứ bảy CSC bao nhiêu? Giải Theo đề bài: u1 + u7 = 2u1 + 6d = 30 u3 + u6 = 2u1 + 7d = 35 u1 = d = u7 = u1 + 6d = + 6.5 = 30 Ví dụ 20: Một CSC có 12 số hạng Biết tổng 12 số hạng 144, số hạng thứ 12 23 Công sai CSC bao nhiêu? Giải Áp dụng công thức tính tổng: 12(u1 + 23) = 144 ⇒ u1 = S12 = 12(2.u1 + (12 − 1)d) S12 = ⇒d=2 40 Cấp số nhân 2.1 Dạng tốn chứng minh tính chất cấp số nhân Phương pháp: Với toán: Cho ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, chứng minh tính chất K, ta thực theo bước: Bước 1: Từ giả thuyết a, b, c lập thành cấp số nhân, ta được: ac = b2 Bước 2: Chứng minh tính chất K Ví dụ 21: Cho ba số a, b, c lập thành cấp số nhân Chứng minh rằng: (a2 + b2 )(b2 + c2 ) = (ab + bc)2 Giải Từ giả thuyết a, b, c lập thành cấp số nhân Ta ac = b2 Khi đó: (a2 +b2 )(b2 +c2 ) = a2 b2 +a2 c2 +b4 +b2 c2 = a2 b2 +2ab2 c+b2 c2 = (ab + bc)2 = (ab + bc)2 Vậy: (a2 + b2 )(b2 + c2 ) = (ab + bc)2 Ví dụ 22: Cho (an ) cấp số nhân Chứng minh rằng: a1 an = ak ak+1 với k = 1, 2, 3, , n Giải Ta có: VT = a1 an = a1 a1 q n−1 = a21 q n−1 VP = ak an−k+1 = a1 q k−1 a1 q n−k = a21 q n−1 Suy VT = VP, hay a1 an = ak an−k+1 với k = 1, 2, , n 2.2 Dạng toán chứng minh số lập thành cấp số nhân Phương pháp: Để chứng minh ba số a,b,c lập thành cấp số nhân, ta chứng minh: ac = b2 2 , , lập thành cấp số cộng b−a b b−c Chứng minh ba số a, b, c lập thành cấp số nhân Ví dụ 23: Cho ba số 41 Giải 2 , , lập thành cấp số cộng Ta được: b−a b b−c 2 + = ⇔ b(b − c + b − a) = (b − a)(b − c) ⇔ b2 = ac b−a b−c b Vậy: ba số a, b, c lập thành cấp số nhân Từ giả thiết ba số 2.3 Dạng tốn tìm điều kiện tham số để số lập thành cấp số nhân Phương pháp: Để ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, điều kiện là: ac = b2 , tốn chuyển việc giải phương trình ac = b2 Để bốn số a, b, c, d lập thành cấp số nhân, điều kiện là: bd = c2 tốn chuyển việc giải hệ phương trình Ví dụ 24: Tìm x để ba số x−2, x−4, x+2 lập thành cấp số nhân Giải Để ba số x − 2, x − 4, x + lập thành cấp số nhân, điều kiện là: (x − 4)2 = (x − 2) (x + 2) ⇔ 8x = 20 ⇔ x = Vậy: x = thỏa mãn yêu cầu toán Bài tốn: Tìm điều kiện tham số cho phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0(∗), với a = có nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, đó: x1 x3 = x22 Áp dụng định lý Viet phương trình bậc ba, ta có: x1 + x2 + x3 = b − a c c x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = ⇔ x1 x2 + x2 x3 + x22 = ⇔ x2 (x1 + x2 + x3 ) = a a c c ⇔ x2 = − a b c c c c Với x2 = − thay vào (*) ta được: a +b − +c − +d = b b b b 42 ⇔ ac3 = b3 d Đây điều kiện cần để phương trình (*) có nghiệm lập thành cấp số nhân Điều kiện đủ: Từ ac3 = b3 d suy phương trình (*) có nghiệm c x2 = − b c b c Khi đó: x2 (x1 + x2 + x3 ) = − − = = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ⇔ b a a x1 x3 = x2 ⇔ x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân Vậy điều kiện cần đủ để (*) có nghiệm lập thành cấp số nhân là: ac3 = b3 d Với toán chứa tham số, điều kiện đủ ta khẳng định việc nghiệm cụ thể phương trình Hãy nhớ điều quan trọng ta phải khẳng định phương trình cho có nghiệm phân biệt Ví dụ 25: Xác định m để phương trình x3 + 2x2 + (m + 1) x + (m + 1) = (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Điều kiện cần: Giả sử phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, đó: x1 x3 = x22 Ta có: x1 + x2 + x3 = −2 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = m + ⇔ x1 x2 + x2 x3 + x22 = m + ⇔ x2 (x1 + x2 + x3 ) = m + m+1 ⇔ x2 = − m+1 m+1 m+1 Với x2 = − thay vào (1) ta được: − +2 − + 2 (m + 1) − m+1 + (m + 1) =  m = −1  ⇔ (m + 1) (m + 2m − 15) = ⇔ m = m = −4 Đó điều kiện cần để (1) có nghiệm lập thành cấp số nhân Điều kiện đủ: + Với m = −1, ta được: (1) ⇔ x3 + 2x2 = ⇔ mãn 43 x=0 không thỏa x = −2 + Với m = 3, ta được: (1) ⇔ x3 + 2x2 + 4x + = ⇔ x = −2 không thỏa mãn + Với m = −5, ta được: (1) ⇔ x3 + 2x2 − 4x − = ⇔ x = không thỏa mãn Vậy: không tồn giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề 2.4 Dạng tốn tìm phần tử cấp số nhân Phương pháp: Thơng thường tốn chuyển xác định u1 cơng bội q Ví dụ 26: Tìm số hạng đầu u1 cơng bội q cấp số nhân u4 − u2 = 72 (un ) biết: u5 − u3 = 144 Giải u1 q − u1 q = 72 u1 q(q − 1) = 72 Ta biến đổi: ⇔ u1 q − u1 q = 144 u1 q (q − 1) = 144 144 ⇒q= = ⇒ u1 = 12 72 Vậy: cấp số nhân (un ) có u1 = 12 q = Ví dụ 27: Cho cấp số nhân (un ) thỏa mãn u4 − u2 = 72 u5 − u3 = 144 a Tìm số hạng cơng bội cấp số nhân b Tính tổng số 10 số hạng cấp số nhân c Tính tổng S = u3 + u6 + + u12 Giải a Gọi q công bội cấp số nhân (un ), ta có: u4 − u2 = 72 u1 q − u1 q = 72 u1 (q − q) = 72 ⇔ ⇔ u5 − u3 = 144 u1 q − u1 q = 144 u1 (q − q ) = 144 q3 − q = ⇔ q = ⇒ u1 = 12 ⇒ q − q2 Vậy: Cấp số nhân (un ) có u1 = 12 q = q 10 − 210 − b Ta có: S20 = u1 + u2 + + u10 = u1 = 12 = 12276 q−1 2−1 q 10 − 210 − c Ta có: S = u3 + u6 + + u12 = u3 = 12.22 = 49104 q−1 2−1 44 Ví dụ 28: Cho ba số a, b, c lập thành cấp số nhân Chứng minh rằng: (a + b + c)(a − b + c) = a2 + b2 + c2 Áp dụng: Tìm ba số liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 21 tổng bình phương chúng 189 Giải Từ giả thiết ba số a,b,c lập thành cấp số nhân, ta được: ac = b2 Khi đó: (a + b + c) (a − b + c) = (a + c)2 − b2 = a2 + 2ac + c2 − b2 = a2 + 2b2 + c2 − b2 = a2 + b2 + c2 Áp dụng: với ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, biết a + b + c = 21 a2 + b2 + c2 = 189, suy ra:   b = 189 b=6 = ⇒ ⇒ a + c = 15 ⇒ a−b+c =  21 a + c = 15  a + c2 = 153   a = b=6   c = 12 Vậy: ba số cần tìm 3, 6, 12 2.5 Dạng tốn tính tổng cấp số nhân Phương pháp: Nếu (un ) cấp số nhân với cơng bội q = tổng n số hạng cấp số nhân tính theo cơng thức: u1 (1 − q n ) Sn = 1−q Ví dụ 29: Tính tổng sau: a S = + + 18 + + 13122 b S = + 2.2 + 3.22 + + 100.299 Giảit a Xét CSN (un ) có u1 = cơng bội q = 3, ta có: 13122 = un = u1 q n−1 = 2.3n−1 ⇔ n = q9 − 39 − Suy ra: S = S9 = u1 =2 = 19682 q−1 3−1 b Ta có: 45 S = (2 − 1) S = 2S − S = 1.2 + 2.22 + 3.23 + + 100.2100 − − 2.2 − 3.22 − − 100.299 = 100.2100 − + (1.2 − 2.2) + 2.22 − 3.22 + + 99.299 − 100.299 = 100.2100 − − − 22 − − 299 = 100.2100 − + + 22 + + 299 Xét cấp số nhân (un ) có u1 = 1, công bội q = 1 − 2100 99 = 2100 − Ta có: + + + + = 1−2 100 100 Suy ra: S = 100.2 − − = 99.2100 + Ví dụ 30: Tính tổng S = + 11 + 111 + + 11 n chữ số Giải Xét hai dãy số: + Cấp số nhân (u bội q = 10 n ) có (u1 ) = công   + Dãy số (sn ) = 1, 11, 111, , 11   n chữ số Suy (sn ) tổng n số hạng đầu cấp số nhân (un ), tức là: sn = 10n − 1 = (10n − 1) 10 − Khi ta nhận được: n n n n k k = S = s1 + s2 + + sn = sk = 10 − = 10 − 9 k=1 k=1 k=1 10n − n 1 n+1 − 10 − 9n 10 10 − − = 81 10 Ví dụ 31: Đầu mùa thu hoạch xồi, bác nơng dân bán cho người thứ nhất, nửa số xoài thu hoạch nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số lại nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số xồi lại nửa v.v Đến lượt người thứ bảy bác bán nửa số xồi lại nửa khơng Hỏi bác nông dân thu họach xoài đầu mùa? Giải Gọi x số Xồi thu hoạch đầu mùa người nơng dân x x+1 Người khách hàng thứ mua: + = quả; 2 46 x+1 x+1 (x − )+ = quả; 2 x2 x+1 x+1 x+1 x+1 Người khác thứ mua: (x − − )+ = quả; 2 x2 23 x+1 Và người thứ mua: Ta có phương trình: 27 Người thứ mua: x+1 x+1 x+1 1 − + + = x ⇔ (x + 1)( + + + ) = x(∗) 2 2 2 Tính tổng số hạng dựa vào cơng thức tính tổng cấo số nhân: 27 = 127 128 11 − 1 + + + = 2 2 127 = x ⇔ x = 127 128 Vậy bác nơng dân thu hoạch 127 Xồi đầu mùa Do phương trình (*) ↔ (x + 1) Ví dụ 32: Qua điều tra chăn ni bò huyện X cho thấy nhiều năm qua, tỉ lệ tăng đàn hàng năm 2% Tính xem, sau kế hoạch năm, với số lượng đàn bò thống kê huyện vào ngày 1/1/2006 18.000 con, với tỉ lệ tăng đàn đây, đàn bò đạt tới con? Giải Phân tích tốn: Thơng thường tốn giải sau: Sau năm đàn bò huyên tăng được: 18000 × 2% = 360 (con) Nên tổng số đàn bò sau năm thứ (cuối năm 2006) là: 18.000 + 360 = 18.360 (con) Sau năm đàn bò lại tăng thêm: 18.360 × 2% = 367 (con) Nên tổng số bò sau năm thứ (cuối năm 2007) là: 18.360+367 = 18.727 (con) Sau năm đàn bò lại tăng thêm: 18.727 × 2% = 375 (con) Như tổng đàn bò cuối năm thứ (cuối 2008) là: 18.727 + 375 = 19.102 (con) Bài toán giải xong Tuy nhiên ta nhận thấy yêu cầu tính số đàn bò sau nhiều năm cách tính bước vất vả, chậm nhầm lẫn Bằng kiến thức cấp số nhân 47 ta tìm cách tính tổng qt Gọi S0 tổng số đàn gia súc theo thống kê ban đầu; q tỉ lệ tăng hàng năm; n số năm phát triển (n ∈ N∗ ) Si(i = n) tổng số đàn gia súc sau i năm Số gia súc sau năm phát triển là: S1 = S0 + S0 q = S0 (1 + q) Số gia súc sau năm phát triển là: S2 = S1 + S1 q = S0 (1 + q) + S0 (1 + q)q = S0 (1 + q)2 Số gia súc sau năm phát triển là: S3 = S2 + S2 q = S0 (1 + q)2 + S0 (1 + q)2 q = S0 (1 + q)3 Như vậy, tổng số bò đàn sau năm phát triển lập thành cấp số nhân với công bội (1 + q) S1 = S0 (1 + q) Vậy sau n năm tổng số đàn gia súc là: Sn = S1 (1 + q)n − = S0 (1 + q).(1 + q)n−1 = S0 (1 + q)n Áp dụng cơng thức cho tốn ta có: S3 = 18.000(1+0, 02)3 = 19.102 (con) Ví dụ 33: Kết kiểm kê vào cuối năm 2006, cho biết tổng đàn bò vùng Y 580 năm qua tỉ lệ tăng đàn đạt 12% năm Hãy tính xem vào đầu năm 2004 (cách năm trước) đàn bò có con? Giải Thơng thường tốn giải sau: Coi số bò mẹ đầu năm 2006 100%, với tỉ lệ tăng đàn 12%, số 580 bò mẹ cuối năm 2006 so với đầu năm là: 100% + 12% = 112% Nghĩa 112% số bò ứng với 580 Vậy số bò đầu năm 2006 là: 580 × 100 580 × 100 580 = = (con) 112 (1 + 0, 12) × 100 + 0, 12 Tương tự trên, số bò đầu năm 2005(trước năm) là: 580 × 100 580 × 100 580 = = (con) (1 + 0, 12) × 112 (1 + 0, 12)(1 + 0, 12) × 100 (1 + 0, 12)2 Tiếp tục lập luận ta có số bò mẹ đầu năm 2004 (trước năm) là: 580 × 100 580 × 100 580 = = = 413 (con) (1 + 0, 12)2 × 112 (1 + 0, 12)(1 + 0, 12) × 100 (1 + 0, 12)3 48 Nếu gặp phải yêu cầu tính số bò đàn vào đầu năm cách xa thời điểm rõ ràng cách tính "lùi" gặp khó khăn Ta nhận thấy, số bò năm trước thời điểm thống kê lập thành 580 cấp số nhân với §1 = cơng bội nên trước + 0, 12 + 0, 12 n năm, số bò là: Sn = 580 580 ( )n−1 = + 0, 12 + 0, 12 (1 + 0, 12)n Nếu gọi S tổng số bò đàn thời điểm thống kê; n số năm trước thời điểm thống kê; q tỉ lệ tăng đàn hàng năm Thì tổng số bò cách thời điểm thống kê n năm trước là: Sn = S (1 + q)n Ví dụ 34: Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí 100 triệu đồng sau năm đem lại 150 triệu đồng Với lãi suất 8% năm, đánh giá xem có nên thực dự án hay khơng? Giải Bn (1 + r)n Nếu gửi ngân hàng, để sau năm bạn có 150 triệu đồng phải có số tiền là: Ta có: A = A= 150 ≈ 119, 075(triệu đồng) (1 + 0, 08)3 Như vậy, việc thực dự án đem lại khoản lợi 19,075 triệu đồng Đó việc nên làm Ví dụ 35: Bạn định mua xe máy theo phương thức trả góp Theo phương thức sau tháng kể từ nhận xe bạn phải trả đặn tháng lượng tiền định đó, liên tiếp 24 tháng Giả sử giá xe máy thời điểm bạn mua 16 triệu đồng giả sử lãi suất ngân hàng 1% tháng Với mức phải trả hàng tháng việc mua trả góp chấp nhận được? Giải Gọi khoản tiền phải trả hàng tháng a đồng Nếu gửi vào ngân hàng giá trị tồn khoản tiền trả góp thời điểm nhận 49 hàng là: a a a a + + + + + 0, 01 (1 + 0, 01)2 (1 + 0, 01)3 (1 + 0, 01)24 100 100 24 1− 101 101 = a ≈ 21, 24a đồng Như vậy, việc mua trả góp 100 1− 101 tương đương với mua trả (bằng cách vay ngân hàng) nếu: 24, 21a = 16.000.000 (đồng) ⇔ a = 660.883, (đồng) Chắc hẳn, bạn lòng mua trả góp số tiền phải trả hàng tháng 660.883,9 (đồng), khơng vay ngân hàng để trả 16.000.000 (đồng) Ví dụ 36: Người ta dự định xây dựng tòa tháp 11 tầng ngơi chùa nọ, theo cấu trúc diện tích mặt sàn tầng nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp 12,28m2 Hãy giúp nhà chùa ước lượng số gạch hoa cần dùng để lát nhà Để cho đồng nhà chùa yêu cầu nhà phải lót gạch hoa cỡ 30x30cm Giải Vấn đề đặt ra: Tính số lượng gạch hoa cần dùng để lát nhà Mà số lượng gạch lại phụ thuộc vào tổng diện tích mặt sàn 11 tầng tháp Do vấn đề phải tính tổng diện tích sàn nhà 11 tầng tháp Phương án giải quyết: Nếu gọi S1 diện tích mặt đáy tháp S1 = 12, 28m2 Si diện tích mặt tầng thứ i i = 1, 2, , 11 Ta thấy Si lập thành cấp số nhân với cơng bội q = Tổng diện tích mặt 11 tầng tháp tổng 11 số hạng cấp số nhân T11 1 − S1 (1 − q 11 ) = = 12, 28 1−q 1− 50 11 = 24564(m2 ) Diện tích viên gạch 30 × 30 = 900 cm2 = 0, 09m2 Vậy số lượng gạch cần dùng là: N = 24564 ÷ 0, 09 = 272.934 (viên) Trong q trình xây dựng viên gạch hoa cắt nên ta nên mua số lượng nhiều số liệu tính tốn ra, chẳng hạn mua 273000 viên Ví dụ 37: Một lọ thủy tinh có dung tích 1000 (ml) chứa đầy dung dịch chất độc nồng độ 10% chuyển sang bình chứa khác, dung dịch chất độc sau đổ sang bình chứa khác dính lại lọ cũ 0,1% Để chất độc lọ 0,001 µ gam (microgam) người ta dùng 1000ml nước cất để rửa lọ lần? Giải Trong 1000ml dung dịch gồm nước chất độc, nồng độ chất độc 10% ⇒ Lượng chất độc bình chưa chuyển sang bình khác 100g ta phải chia cho dung tích bình nghĩa 100g ÷1000 = gam 10 Lượng chất độc mà đề yêu cầu ≤ 0, 001µ (gam) = 10−9 (gam) Mỗi lần rửa với 1000ml nước cất dính ỏ lọ 0, 1% lần, hay lần 103 Lần 0: gam 10 1 Lần 1: 10 103 1 Lần 2: 10 103 103 1 1 Lần 3: ≤ 10−9 10 103 103 103 Vậy: rửa với 1000ml nước cất cần rửa lần Nhận xét: Đây dãy CSN với công sai q = 10 51 Ví dụ 38: Tính tổng n số hạng: Sn = + 33 + 333 + Giải Ta có: Sn = + 33 + 333 + = 3(1 + 11 + 111 + ) 10 − 102 − 103 − 10n − = 3( + + + + ) 9 9 = (10 + 102 + 103 + + 10n − n) Ta tính tổng riêng S∗ = 10 + 102 + 103 + + 10n có u∗1 = 10 q∗ = 10 u ∗1 (1 − q n ) Áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân: S∗n = = 1−q 10(1 − 10n ) − 10 Vậy: Sn = − (−10n+1 + 9n + 10) 27 52 ... hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x dựa vào đồ thị 24 Phương trình lượng giác Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân Dãy số Dãy số tăng, dãy số giảm Cấp số cộng Số hạng tổng quát cấp số cộng. .. quát cấp số cộng Tổng n số hạng cấp số cộng Cấp số nhân Số hạng tổng quát cấp số nhân Tổng n số hạng cấp số nhân – Giải số vấn đề thực tiễn gắn với hàm số lượng giác (ví dụ: số tốn có liên quan đến... định số hạng tổng quát cấp số nhân – Tính tổng n số hạng cấp số nhân – Giải số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số nhân để giải 25 Hàm số mũ hàm số lơgarit Phép tính luỹ thừa với số mũ ngun, số mũ