bài tập đại số lớp 11
I. HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Đònh nghóa các giá trò lượng giác: cos sin tan ' cot OP a OQ a AT a BT a = = = = Nhận xét: • , 1 cos 1; 1 sin 1a a∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤ α • tana xác đònh khi , 2 a k k Z≠ + ∈ π π , • cota xác đònh khi ,a k k Z≠ ∈ π 2. Dấu của các giá trò lượng giác: Cung phần tư Giá trò lượng giác I II II IV sina + + – – cosa + – – + tana + – + – cota + – + – 3. Hệ thức cơ bản: sin 2 a + cos 2 a = 1; tana.cota = 1 2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 cot cos sin a a a a + = + = 4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos( ) cosa a− = ( ) sinsin a a− = π sin cos 2 a a − = ÷ π sin( ) sina a− = − cos( ) cosa a− = − π cos sin 2 a a − = ÷ π tan( ) tana a− = − tan( ) tana a− = − π tan cot 2 a a − = ÷ π cot( ) cota a− = − cot( ) cota a− = − π cot tan 2 a a − = ÷ π Trang 1 CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯNG GIÁC cosin O cotang sin tang p A M Q B T' α T Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87 5. Bảng giá trò lượng giác của các góc (cung) đặc biệt II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng: Trang 2 Cung hơn kém π Cung hơn kém 2 π sin( ) sina a+ = − π sin cos 2 a a + = ÷ π cos( ) cosa a+ = − π cos sin 2 a a + = − ÷ π tan( ) tana a+ = π tan cot 2 a a + = − ÷ π cot( ) cota a+ = π cot tan 2 a a + = − ÷ π 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π π 3 2 π 2 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3− –1 0 0 cotg 3 1 3 3 0 3 3 − –1 0 sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = + tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = − tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b − − = + Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan x x x x x x + − + = − = ÷ ÷ − + π π III. CÔNG THỨC NHÂN 1. Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= − = − = − 2 2 2tan cot 1 tan2 ; cot2 2cot 1 tan a a a a a a − = = − 2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba: 4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan 2 a : Đặt: tan ( 2 ) 2 a t a k= ≠ + π π thì: 2 2 sin 1 t a t = + ; 2 2 1 cos 1 t a t − = + ; 2 2 tan 1 t a t = − IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích: sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b + − + = sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b + − − = cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b + + = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b − − = sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b + + = sin( ) cot cot sin . b a a b a sinb − − = sin cos 2.sin 2.cos 4 4 a a a a + = + = − ÷ ÷ π π sin cos 2sin 2 cos 4 4 a a a a − = − = − + ÷ ÷ π π 2. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = − + + = − − + = − + + Trang 3 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan a a a a a a a a a a = − = − − = − 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2 a a a a a a a − = + = − = + Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87 Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ siny x= : Tập xác đònh D = R; tập giá trò 1, 1T = − ; hàm lẻ, chu kỳ 0 2T = π . * y = sin(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = π * y = sin(f(x)) xác đònh ( )f x⇔ xác đònh. cosy x= : Tập xác đònh D = R; Tập giá trò 1, 1T = − ; hàm chẵn, chu kỳ 0 2T = π . * y = cos(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = π * y = cos(f(x)) xác đònh ( )f x⇔ xác đònh. tany x= : Tập xác đònh \ , 2 D R k k Z = + ∈ π π ; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = π . * y = tan(ax + b) có chu kỳ 0 T a = π * y = tan(f(x)) xác đònh ( )f x⇔ ( ) 2 k k Z≠ + ∈ π π coty x= : Tập xác đònh { } \ ,D R k k Z= ∈ π ; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = π . * y = cot(ax + b) có chu kỳ 0 T a = π * y = cot(f(x)) xác đònh ( ) ( )f x k k Z⇔ ≠ ∈ π . * y = f 1 (x) có chu kỳ T 1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T 2 Thì hàm số 1 2 ( ) ( )y f x f x= ± có chu kỳ T 0 là bội chung nhỏ nhất của T 1 và T 2 . Trang 4 Bài 1. Tìm tập xác đònh và tập giá trò của các hàm số sau: a/ 2 sin 1 x y x = ÷ − b/ siny x= c/ 2 siny x= − d/ 2 1 cosy x= − e/ 1 sin 1 y x = + f/ tan 6 y x = − ÷ π g/ cot 3 y x = + ÷ π h/ sin cos( ) x y x = − π i/ y = 1 tan 1x − Bài 2. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số: a/ y = 2sin 1 4 x + + ÷ π b/ 2 cos 1 3y x= + − c/ siny x= d/ 2 4sin 4sin 3y x x= − + e/ 2 cos 2sin 2y x x= + + f/ 4 2 sin 2cos 1y x x= − + g/ y = sinx + cosx h/ y = 3sin2 cos2x x− i/ y = sin 3 cos 3x x+ + Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx d/ y = tanx + cotx e/ y = sin 4 x f/ y = sinx.cosx g/ y = sin tan sin cot x x x x − + h/ y = 3 3 cos 1 sin x x + i/ y = tan x Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số: a/ sin2y x= b/ cos 3 x y = c/ 2 siny x= d/ sin2 cos 2 x y x= + e/ tan cot3y x x= + f/ 3 2 cos sin 5 7 x x y = − g/ 2sin . cos3y x x= h/ 2 cos 4y x= i/ y = tan(−3x + 1) ĐS: a/ . π b/ 6π. c/ . π d/ 4π. e/ π. f/ 70π. g/ π. h/ . 4 π i/ 3 π Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC 1/ Vẽ đồ thò hàm số lượng giác: – Tìm tập xác đònh D. – Tìm chu kỳ T 0 của hàm số. – Xác đònh tính chẵn – lẻ (nếu cần). – Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T 0 có thể chọn: 0 0,x T ∈ hoặc 0 0 , 2 2 T T x ∈ − . – Vẽ đồ thò trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ. – Rồi suy ra phần đồ thò còn lại bằng phép tònh tiến theo véc tơ 0 . .v k T i= r r về bên trái Trang 5 Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87 và phải song song với trục hoành Ox (với i r là véc tơ đơn vò trên trục Ox). 2/ Một số phép biến đổi đồ thò: a/ Từ đồ thò hàm số y = f(x), suy ra đồ thò hàm số y = f(x) + a bằng cách tònh tiến đồ thò y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vò nếu a > 0 và tònh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vò nếu a < 0. b/ Từ đồ thò y = f(x), suy ra đồ thò y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thò y = f(x) qua trục hoành. c/ Đồ thò ( ), nếu f(x) 0 ( ) -f(x), nếu f(x) < 0 f x y f x ≥ = = được suy từ đồ thò y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thò y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thò y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành. Ví dụ 1: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = sinx. – Tập xác đònh: D = R. – Tập giá trò: 1, 1 . − – Chu kỳ: T = 2π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π – Tònh tiến theo véctơ 2 .v k i= r r π ta được đồ thò y = sinx. Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số đồng biến trên khoảng 0, 2 ÷ π và nghòch biến trên , . 2 ÷ π π Ví dụ 2: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cosx. – Tập xác đònh: D = R. – Tập giá trò: 1, 1 . − – Chu kỳ: T = 2π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 : π Trang 6 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π y = sinx –1 y x 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π x0y 1 0 –1 0 0 – Tònh tiến theo véctơ 2 .v k i= r r π ta được đồ thò y = cosx. Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. – Hàm số nghòch biến trên khoảng 0, 2 ÷ π và nghòch biến trên khoảng 3 , . 2 ÷ π π Ví dụ 3: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = tanx. – Tập xác đònh: D = R \ , 2 k k Z + ∈ π π – Tập giá trò: R. – Giới hạn: 2 lim x y →± = ∞ π : 2 x⇒ = ± π là tiệm cận đứng. – Chu kỳ: T = π. – Bảng biến thiên trên , 2 2 − ÷ π π : – Tònh tiến theo véctơ .v k i= r r π ta được đồ thò y = tanx. Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn đồng biến trên tập xác đònh D. Ví dụ 4: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cotx. – Tập xác đònh: D = R { } \ ,k k Z∈ π – Tập giá trò: R. – Giới hạn: 0 lim , lim x x x y y → → = + ∞ = − ∞ tiệm cận đứng: x = 0, x = π. – Chu kỳ: T = π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, π : – Tònh tiến theo véctơ .v k i= r r π ta được đồ thò y = cotx. Trang 7 ∞ ∞ ∞ ∞ 3 2 π − π 2 π − 2 π π 3 2 π 2π 5 2 π 2− π 3 2 π − 2 π − 2 π π 3 2 π −π 2π Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87 Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn giảm trên tập xác đònh D. Ví dụ 5: Vẽ đồ thò y = – sinx. – Vẽ đồ thò y = sinx. – Từ đồ thò y = sinx, ta suy ra đồ thò y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox. Ví dụ 6: Vẽ đồ thò y = sinx sin , nếu sin x 0 sin -sin x, nếu sin x < 0. x y x ≥ = = Ví dụ 7: Vẽ đồ thò hàm số y = 1 + cosx. – Vẽ đồ thò y = cosx. – Từ đồ thò y = cosx, ta suy ra đồ thò 1 cosy x= + bằng cách tònh tiến đồ thò cosy x= lên trục hoành 1 đơn vò. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π : Trang 8 π 3 2 π − 3 2 π 2π 2 π π O −π 2 π − y = –sinx 1 –1 π 2 π − 3 2 π 2π 2 π π O y = /sinx/ y 1 x x0πy = cosx1 0 –1 01y = 1 + cosx2 1 0 12 2 π − O y = 1 + cosx y x − π 2 π π 3 2 π y = cosx 2 1 –1 Ví dụ 8: Vẽ đồ thò y = sin2x. – y = sin2x có chu kỳ T = π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π : Ví dụ 9: Vẽ đồ thò y = cos2x. – y = cos2x có chu kỳ T = π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π : Trang 9 2 π − O y x π 4 π − 4 π 1 3 2 π 2 π 5 4 π y = sin2x –1 x02x0y = sin2x 0 –1 01 0 x02x0y = cos2x –1 0 2 π 4 π 2 π 4 π 3 4 π Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87 Ví dụ 10: Vẽ đồ thò sin 4 y x = + ÷ π có chu kỳ T = 2π. Ví dụ 11: Vẽ đồ thò cos 4 y x = − ÷ π có chu kỳ T = 2π. Trang 10 3 2 π −π 3 4 π − 2 π − 4 π − 4 π 2 π 3 4 π π 5 4 π 7 4 π 2 / 2 2 / 2− [...]... 1)! − A= (m − 2 )( m − 3) (m + 1 )( m − 4) (m − 5)! 5! 12 .( m − 4)! 3! B= 7!4! 8! 9! − ÷ 10! 3!5! 2!7! ĐS: A = – 4(m–1)m; Bài 2: Chứng minh rằng: a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1 (với m ≥ 5) 5! (m + 1)! m(m + 1) (m − 1)! 3! 2 B= ; C = 20 3 C= b) Pn = (n − 1)Pn −1 + (n − 2)Pn−2 + + 2 P2 + P + 1 1 1 1 1 1 n2 1 1 + + + + < 3 d) = + 1! 2! 3! n! n! (n − 1)! (n − 2)! x !− ( x − 1)! 1 = Bài 3: Giải... trình: ( x + 1)! 6 ĐS: x = 2; x = 3 1 5 (n + 1)! n.(n − 1)! − Bài 4: Giải bất phương trình: ÷≤ 5 n − 2 n + 1 (n − 3)! 4! 12(n − 3). (n − 4)! 2! c) 1 + (n − 1)n ≤5 6 Bài 5: Giải các phương trình: ĐS: (1 ) ⇔ a) P2.x2 – P3.x = 8 ⇒ n = 4, n = 5, n = 6 b) Px − Px −1 Px +1 = Trang 23 1 6 (1 ) Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87 ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 Bài 6: Xét các số tự... − 1)Cn = n(n − 1)Cn−2 ( 2 < k < n) 0 p 1 p −1 p 0 p a) Cr Cq + Cr Cq + + Cr Cq = Cr + q 0 n n b) (Cn )2 + (C1 )2 + + (Cn )2 = C2 n n 0 2 4 2p 1 3 2 p −1 2 p −1 c) C2 p + C2 p + C2 p + + C2 p = C2 p + C2 p + + C2 p = c 1 2 3 p p d) 1 − Cn + Cn − Cn + + ( 1) p Cn = ( 1) p Cn−1 ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1 +x)r .(1 +x)q = (1 +x)r+q So sánh hệ số của xp ở 2 vế b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n c) Sử... phương trình: 1) sin 2 x − 4 ( cos x − sin x ) = 4 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 3) ( 1 − 2 ) ( 1 + sin x − cos x ) = sin 2 x 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0 5) sin2x + π 2 sin x − ÷ = 1 4 6) ( sin x − cos x ) − ( 2 + 1) (sin x − cos x ) + 2 = 0 2 Bài 3 Giải các phương trình: 1) sin3x + cos3x = 1 + ( 2 − 2 ) sinx.cosx Trang 19 2) 2sin2x – 3 6 sin x + cos x + 8 = 0 Đại số 11 – Chương 1 Học... chéo? n(n − 3) (n − 2 )( n − 1)n n(n − 1 )( n − 2 )( n − 3) ; n = 5 b/ ĐS: a/ c/ 2 6 24 Bài 5: Tìm số giao điểm tối đa của: a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt? c/ 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên? ĐS: a/ 45 b/ 90 c/ 335 Bài 6: Cho hai đường thẳng song song (d 1), (d 2) Trên (d 1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d 2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37... sin x.cos x = ± (t 2 − 1) 2 Tương tự dạng trên Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối Bài 1 Giải các phương trình: 1) 2sin 2 x − 3 3 ( sin x + cos x ) + 8 = 0 2) 2 ( sin x + cos x ) + 3sin 2 x = 2 5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6) ( 1 + 2 ) ( sin x + cos x ) − sin 2 x = 1 + 2 3) 3 ( sin x + cos x ) + 2sin 2 x = −3 4) ( 1 − 2 ) ( 1 + sin x + cos x ) = sin 2 x Bài 2 Giải các... – 1 = 0 3) sin3x + cos3x = cos2x 4) sin2x = 1 + 5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 6) (2 sinx – 1 )( 2 cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x 2 cosx + cos2x 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 8) sinx + sin2x + sin3x = 2 (cosx + cos2x + cos3x) Bài 4 Giải các phương trình sau: 1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x 4) cos5x.cosx... 5 chữ số còn lại ⇒ có A5 cách chọn 4 3 ⇒ Có A6 + 4.5 A5 = 1560 số Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 00 0)? ĐS: 3 A10 − 1 = 999 Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với: a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu và cuối khác nhau? c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau? ĐS: 4 a) 9 A10 = 9.104 số 6 5 b) Có tất... c/ 6 d/ 118 Bài 8: Với mỗi hoán vò của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có được từ các hoán vò của 7 phần tử trên? ĐS: Với mọi i, j ∈ { 1,2,3,4,5,6,7} , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6! ⇒ Tổng tất cả các số là: (6 !1+…+6! 7) + (6 !1+…+6! 7). 10 +…+ (6 !1+…+6! 7). 106 = 6! (1 +2+…+ 7) .(1 +10+…+10 6) Bài 9: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được... a/ x = 11 b/ x = 3; 4 Bài 6: Giải các bất phương trình: 4 An + 4 15 a) < (n + 2)! (n − 1)! ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) n = 3 2 2 c) 3 An − A2 n + 42 = 0 c) n = 6 3 2 b) 2( An + 3 An ) = Pn+1 b) n = 4 2 2 c) 2 Pn + 6 An − Pn An = 12 c) n = 2; 3 2 2 b/ Px Ax + 72 = 6( Ax + 2 Px ) d/ y +1 Ax +1 Px − y Px −1 = 72 d/ x = 8, y ≤ 7, y ∈ N c/ x = 5 b) 4 An +2 Pn+2 − 143 . phần đồ thò còn lại bằng phép tònh tiến theo véc tơ 0 . .v k T i= r r về bên trái Trang 5 Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87 và phải song song với trục hoành Ox (với i r là véc. x 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π x0y 1 0 –1 0 0 – Tònh tiến theo véctơ 2 .v k i= r r π ta được đồ thò y = cosx. Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. – Hàm số nghòch. trò: 1, 1 . − – Chu kỳ: T = 2π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π – Tònh tiến theo véctơ 2 .v k i= r r π ta được đồ thò y = sinx. Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận