Bài tập hình học lớp 11
CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG I. Phép tònh tiến • v T r : M a M′ ⇔ 'MM v= uuuuur r • v T r (M) = M′, v T r (N) = N′ ⇒ ' 'M N MN= uuuuuur uuuur • v T r : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x x a y y b = + = + II. Phép đối xứng trục • Đ d : M a M′ ⇔ 0 0 'M M M M= − uuuuuur uuuuur (M 0 là hình chiếu của M trên d) • Đ d (M) = M′ ⇔ Đ d (M′) = M • Đ d (M) = M′, Đ d (N) = N′ ⇒ M′N′ = MN • Đ Ox : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x x y y = = − Đ Oy : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x x y y = − = III. Phép đối xứng tâm • Đ I : M a M′ ⇔ 'IM IM= − uuur uuur • Đ I (M) = M′ ⇔ Đ I (M′) = M • Đ I (M) = M′, Đ I (N) = N′ ⇒ ' 'M N MN= − uuuuuur uuuur • Cho I(a; b). Đ I : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' 2 ' 2 x a x y b y = − = − Đặc biệt: Đ O : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x x y y = − = − IV. Phép quay • Q (I, α ) : M a M′ ⇔ ' ( ; ') IM IM IM IM = = α • Q (I, α ) (M) = M′, Q (I, α ) (N) = N′ ⇒ M′N′ = MN • Q (I, α ) (d) = d′. Khi đó: · ( ) 0 2 , ' 2 nếu d d nếu π α < α ≤ = π π− α ≤ α < π • Q (O,90 0 ) : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x y y x = − = Q (O,–90 0 ) : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x y y x = = − V. Phép vò tự • V (I,k) : M a M′ ⇔ ' .IM k IM= uuur uuur (k ≠ 0) • V (I,k) (M) = M′, V (I,k) (N) = N′ ⇒ ' ' .M N k MN= uuuuuur uuuur • Cho I(a; b). V (I,k) : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' (1 ) ' (1 ) x kx k a y ky k b = + − = + − Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến ∆ ABC thành ∆ A ′ B ′ C ′ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ∆ ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ∆ A ′ B ′ C ′ . 1 Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87 I. PHÉP TỊNH TIẾN 1. Cho hai điểm cố đònh B, C trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm q tích trực tâm H của ∆ABC. HD: Vẽ đường kính BB ′ . Xét phép tònh tiến theo 'v B C= uuuur r . Q tích điểm H là đường tròn (O ′ ) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó. 2. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố đònh và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF và DEF. HD: Gọi H là trực tâm ∆ CEF, K là trực tâm ∆ DEF. Xét phép tònh tiến theo vectơ v BA= uuur r . Tập hợp các điểm H vàK là đường tròn (O ′ ) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó (trừ hai điểm A và A' với 'AA BA= uuur uuur ). 3. Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác đònh bởi AB DM= uuur uuuur và · · CBM CDM= . Chứng minh: · · ACD BCM= . HD: Xét phép tònh tiến theo vectơ AB uuur . 4. Cho tứ giác ABCD có µ A = 60 0 , µ B = 150 0 , µ D = 90 0 , AB = 6 3 , CD = 12. Tính độ dài các cạnh AD và BC. HD: Xét phép tònh tiến theo vectơ BA uuur . BC = 6, AD = 6 3 . 5. Cho ∆ABC. Dựng hình vuông BCDE về phía ngoài tam giác. Từ D và E lần lượt dựng các đường vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng hai đường vuông góc đó với đường cao AH của ∆ABC đồng qui. HD: Xét phép tònh tiến theo vectơ BE uuur , ∆ ABC → ∆ A ′ ED. 6. Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tònh tiến v T r trong các trường hợp sau: a) v r = (1; 1) b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) e) v r = (0; 0) f) v r = (–3; 2) 7. Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho ( ) v A T B= r trong các trường hợp sau: a) ( ) 2; 3v = − r b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) e) v r = (0; 0) f) v r = (–3; 2) 8. Tìm toạ độ vectơ v r sao cho ( ) / v T M M= r trong các trường hợp sau: a) M(−10; 1), M’(3; 8) b) M(−5; 2), M′(4; −3) c) M(–1; 2), M′(4; 5) d) M(0; 0), M′(–3; 4) c) M(5; –2), M′(2; 6) f) M(2; 3), M′(4; –5) 9. Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x − y + 5 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép tònh tiến theo v r trong các trường hợp sau: a) ( ) 4; 3v = − r b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) 10. Trong mpOxy, cho đường tròn (C): ( ) ( ) 2 2 1 2 4x y− + + = . Tìm phương trình của đường tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép tònh tiến theo v r trong các trường hợp sau: a) ( ) 4; 3v = − r b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) 11. Trong mpOxy, cho Elip (E): 2 2 1 9 4 x y + = . Tìm phương trình của elip (E′) là ảnh của (E) qua phép tònh tiến theo v r trong các trường hợp sau: a) ( ) 4; 3v = − r b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) 2 12. Trong mpOxy, cho Hypebol (H): 2 2 1 16 9 x y − = . Tìm phương trình của Hypebol (H′) là ảnh của (H) qua phép tònh tiến theo v r trong các trường hợp sau: a) ( ) 4; 3v = − r b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) 13. Trong mpOxy, cho Parabol (P): y 2 = 16x. Tìm phương trình của Parabol (P′) là ảnh của (P) qua phép tònh tiến theo v r trong các trường hợp sau: a) ( ) 4; 3v = − r b) v r = (2; 1) c) v r = (–2; 1) d) v r = (3; –2) 14. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ v r = (2; m). Tìm m để phép tònh tiến v T r biến d thành chính nó. II. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 1. Cho hai điểm B, C cố đònh trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm q tích trực tâm H của ∆ABC. HD: Gọi H ′ là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với (O). Xét phép đối xứng trục BC. Q tích điểm H là đường tròn (O ′ ) ảnh của (O) qua phép Đ BC . 2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d. Tìm trên d một điểm M sao cho tổng AM + MB có giá trò nhỏ nhất. HD: Gọi A ′ = Đ d (A). M là giao điểm của A ′ B và d. 3. Cho ∆ABC với trực tâm H. a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HBC, HCA có bán kính bằng nhau. b) Gọi O 1 , O 2 , O 3 là tâm của các đường tròn nói trên. Chứng minh rằng đường tròn đi qua 3 điểm O 1 , O 2 , O 3 có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 4. Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm điểm B ∈ Ox, C ∈ Oy sao cho chu vi ∆ABC là bé nhất. HD: Xét các phép đối xứng trục: Đ Ox (A) = A 1 ; Đ Oy (A) = A 2 . B, C là các giao điểm của A 1 A 2 với các cạnh Ox, Oy. 5. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn và điểm M chạy trên cạnh BC. Giả sử Đ AB (M) = M 1 , Đ AC (M) = M 2 . Tìm vò trí của M trên cạnh BC để đoạn thẳng M 1 M 2 có độ dài ngắn nhất. HD: M là chân đường cao vẽ từ A của ∆ ABC. 6. Cho ∆ABC cân đỉnh A. Điểm M chạy trên BC. Kẻ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC. Gọi D′ = Đ BC (D). Tính · 'BD M và chứng tỏ MD + ME không phụ thuộc vào vò trí điểm M. HD: · 'BD M = 1v; MD + ME = BH. 7. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Ox: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; – 3). 8. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Oy: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; – 3). 9. Tìm ảnh của điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0. 10. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox: a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 = 0 11. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy: a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 = 0 12. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox: a) (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 9 b) x 2 + (y – 2) 2 = 4 3 Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87 c) x 2 + y 2 – 4x – 2y – 4 = 0 d) x 2 + y 2 + 2x – 4y – 11 = 0 13. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Oy: a) (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 9 b) x 2 + (y – 2) 2 = 4 c) x 2 + y 2 – 4x – 2y – 4 = 0 d) x 2 + y 2 + 2x – 4y – 11 = 0 14. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy): a) 2 2 1 16 9 x y + = b) x 2 + 4y 2 = 1 c) 9x 2 + 16y 2 = 144 15. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy): a) 2 2 1 16 9 x y - = b) x 2 – 4y 2 = 1 c) 9x 2 – 25y 2 = 225 16. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Ox: a) y 2 = 2x b) x 2 = 2y c) y = x 2 17. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Oy: a) y 2 = 2x b) x 2 = 2y c) y = x 2 III. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 1. Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố đònh và một điểm A thay đổi. Gọi H là trực tâm của ∆ABC và H′ là điểm sao cho HBH′C là hình bình hành. Chứng minh rằng H′ nằm trên đường tròn (O). Từ đó suy ra q tích của điểm H. HD: Gọi I là trung điểm của BC. Đ I (H ′ ) = H ⇒ Q tích điểm H là đường tròn (O ′ ) ảnh của (O) qua phép Đ I . 2. Điểm M thuộc miền trong tứ giác lồi ABCD. Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là điểm đối xứng của M qua trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác A′B′C′D′ là hình bình hành. 3. Cho đường tròn (O, R) và một dây cố đònh AB = R 2 . Điểm M chạy trên cung lớn » AB thoả mãn ∆MAB có các góc đều nhọn, có H là trực tâm. AH và BH cắt (O) theo thứ tự tại A′ và B′. A′B cắt AB′ tại N. a) Chứng minh A′B′ cũng là đường kính của đường tròn (O, R). b) Tứ giác AMBN là hình bình hành. c) HN có độ dài không đổi khi M chạy như trên. d) HN cắt A′B′ tại I. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy như trên. HD: a) · ' 'A BB = 1v b) AM //A ′ N, BM // AN c) HN = B ′ A ′ = 2R d) Gọi J là trung điểm AB. Đ J (M) = N, Đ J (O) = O ′ . · 'OIO = 1v ⇒ Tập hợp các điểm I là đường tròn đường kính OO′. 4. Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD cắt các cạnh DC, AB tại P và Q. Chứng minh rẳng các giao điểm của các đường thẳng AP, BP, CQ, DQ với các đường chéo của hình bình hành là các đỉnh của một hình bình hành mới. HD: Xét phép Đ O . 5. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm với: a) Tâm O(0; 0) b) Tâm I(1; –2) c) Tâm H(–2; 3) 6. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0): a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1 7. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1): a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1 8. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1): 4 a) (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 9 b) x 2 + (y – 2) 2 = 4 c) x 2 + y 2 – 4x – 2y – 4 = 0 d) x 2 + y 2 + 2x – 4y – 11 = 0 9. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng tâm I(1; –2): a) 2 2 1 16 9 x y + = b) x 2 + 4y 2 = 1 c) 9x 2 + 16y 2 = 144 10. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng tâm I(–1; 2): a) 2 2 1 16 9 x y - = b) x 2 – 4y 2 = 1 c) 9x 2 – 25y 2 = 225 11. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0): a) y 2 = 2x b) x 2 = 2y c) y = x 2 IV. PHÉP QUAY 1. Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh ∆IMJ vuông cân. HD: Xét phép quay Q (A,90 0 ) . 2. Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc vơi FK và AM = 1 2 FK. HD: Gọi D = Đ (A) (B). Xét phép quay Q (A,90 0 ) . 3. Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng các tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE. Chứng minh ∆BMN đều. HD: Xét phép quay Q (B,60 0 ) . 4. Cho ∆ABC. Lấy các cạnh của tam giác đó làm cạnh, dựng ra phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC 1 , CAB 1 , CAB 1 . Chứng minh rằng các đoạn thẳng AA 1 , BB 1 , CC 1 bằng nhau. HD: Xét các phép quay Q (A,60 0 ) , Q (B,60 0 ) . 5. Cho ∆ABC đều tâm O. Trên các cạnh AB, AC đặt các đoạn thẳng AD, AE sao cho AD + AE = AB. Chứng minh rằng OD = OE và · DOE = 120 0 . HD: Xét phép quay Q (O,120 0 ) . 6. Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với CM, cắt AB và AD tại E và F. CM cắt AD tại N. Chứng minh rằng: a) CM + CN = EF b) 2 2 2 1 1 1 CM CN AB + = HD: Xét phép quay Q (C,90 0 ) . 7. Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao cho C và D nằm khác phía với AB. Chứng minh giao điểm của BI và CD nằm trên đường cao AH của ∆ABC. HD: Lấy trên tia đối của AH một đoạn AK = BC. Gọi O là tâm hình vuông ACIJ. Xét phép quay Q (O,90 0 ) ⇒ IB ⊥ CK. Tương tự CD ⊥ BK. 8. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép quay tâm O góc α với: a) α = 90 0 b) α = –90 0 c) α = 180 0 9. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc 90 0 : 5 Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87 a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1 10. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc 90 0 : a) (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 9 b) x 2 + (y – 2) 2 = 4 c) x 2 + y 2 – 4x – 2y – 4 = 0 d) x 2 + y 2 + 2x – 4y – 11 = 0 V. PHÉP VỊ TỰ 1. Cho ∆ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng và 2GH GO= − uuur uuur . HD: Xét phép vò tự V (G,–2) (O) = H. 2. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố đònh, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O). Tìm q tích trọng tâm G của ∆ABC. HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vò tự 1 ( , ) 3 I V (A) = G. 3. Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ là một đường kính thay đổi của (O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N. a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ. b) Tìm q tích của M và N khi đường kính PQ thay đổi. HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình. b) Xét các phép vò tự V (C,2) (Q) = M; 1 ( , ) 2 C V (Q) = N. 4. Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O). a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố đònh. b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O′ của đường tròn ngoại tiếp ∆MPQ, trực tâm H của ∆MPQ. HD: a) Kẻ OI ⊥ d, OI cắt PQ tại N. 2 .OI ON r= uuruuur ⇒ N cố đònh. b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O 1 ) đường kính NO. Tập hợp các điểm O ′ đường trung trực đoạn OI. Tập hợp các điểm H là đường tròn (O 2 ) = V (O,2) . 5. Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O. AM và AN cắt đường tròn (O) tại B và C. a) Chứng minh đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố đònh khác A. b) Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố đònh. c) Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của ∆ABC. HD: a) AO cắt (AMN) tại D. 2 . .OA OD OM ON R= = − uuur uuur uuuur uuur ⇒ D cố đònh. b) AO cắt BC tại E. 2 2 .AE AD AO R= − uuur uuur ⇒ E cố đònh. c) Tập hợp các điểm I là đường tròn (O 1 ) đường kính EO. Tập hợp các điểm G là đường tròn (O 2 ) = 2 ( , ) 3 A V (O 1 ). 6. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại một điểm C ở ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn. AM cắt d tại D, CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E. a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vò trí của điểm M. b) Tứ giác CDNE là hình gì? c) Tìm tập hợp trọng tâm G của ∆MAC. 6 HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD ⇒ CDNE là hình thang. c) Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn (K, 3 R ) ảnh của đường tròn (O, R) qua phép 1 ( , ) 3 I V . 7. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vò tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2: A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0). 8. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vò tự tâm I(2; 3), tỉ số k = 1 2 : A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0). 9. Phép vi tự tâm I tỉ số 1 2 k = biến điểm M thành M’. Tìm toạ độ của điểm I trong các trường hợp sau: a) M(4; 6) và M’(–3; 5). b) M(2; 3) và M′(6; 1) c) M(–1; 4) và M′(–3; –6) 10. Phép vò tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’. Tìm k trong các trường hợp sau: a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1). b) I(1; 2), M(0; 4) và M′(2; 0) c) I(2; –1), M(–1; 2), M′(–2; 3) 11. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép vò tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2: a) x + 2y – 1 = 0 b) x – 2y + 3 = 0 c) y – 3 = 0 d) x + 4 = 0 12. Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vò tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các trường hợp sau: a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k = 1 2 f) k = 1 2 − 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆ 1 : x – 2y + 1 = 0 và ∆ 2 : x – 2y + 4 = 0 và điểm I(2; 1). Tìm tỉ số k để phép vò tự V (I,k) biến ∆ 1 thành ∆ 2 . 14. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép vò tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2: a) 2 2 ( 1) ( 5) 4x y- + - = b) 2 2 ( 2) ( 1) 9x y+ + + = c) x 2 + y 2 = 4 15. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1) 2 + (y – 3) 2 = 9 qua phép vò tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các trường hợp sau: a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k = 1 2 f) k = 1 2 − 16. Xét phép vò tự tâm I(1; 0) tỉ số k = 3 biến đường tròn (C) thành (C′). Tìm phương trình của đường tròn (C) nếu biết phương trình đường tròn (C′) là: a) 2 2 ( 1) ( 5) 4x y- + - = b) 2 2 ( 2) ( 1) 9x y+ + + = c) 2 2 1x y+ = ÔN TẬP CHƯƠNG I 1. Cho hình bình hành ABCD có CD cố đònh, đường chéo AC = a không đổi. Chứng minh rằng khi A di động thì điểm B di động trên một đường tròn xác đònh. 2. Cho 2 điểm A, B cố đònh thuộc đường tròn (C) cho trước. M là một điểm di động trên (C) nhưng không trùng với A và B. Dựng hình bình hành AMBN. Chứng minh rằng tập hợp các điểm N là một đường tròn. 7 Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài tam giác ABC hình vuông CBEF. Chứng minh điểm E chạy trên một nửa đường tròn cố đònh. 4. Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI. a) Xác đònh một phép dời hình biến A thành B, I thành E. b) Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy. 5. Cho hai đường tròn (O; R) và (O′; R′). Xác đònh các tâm vò tự của hai đường tròn nếu R′ = 2R và OO′ = 3 2 R. 6. Cho v r = (–2; 1), các đường thẳng d: 2x – 3y + 3 = 0, d 1 : 2x – 3y – 5 = 0. a) Viết phương trình đường thẳng d′ = v T r (d). b) Tìm toạ độ vectơ u r vuông góc với phương của d sao cho d 1 = u T r (d). 7. Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm (C′) = v T r (C) với v r = (–2; 5). 8. Cho M(3; –5), đường thẳng d: 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y – 4 = 0. a) Tìm ảnh của M, d, (C) qua phép đối xứng trục Ox. b) Tìm ảnh của d và (C) qua phép đối xứng tâm M. 9. Tìm điểm M trên đường thẳng d: x – y + 1 = 0 sao cho MA + MB là ngắn nhất với A(0; –2), B(1; –1). 10. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn tâm A(–2; 3) bán kính 4 qua phép đối xứng tâm, biết: a) Tâm đối xứng là gốc toạ độ O b) Tâm đối xứng là điểm I(–4; 2) 11. Cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d′ là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc quay α, với: a) α = 90 0 b) α = 40 0 . 12. Cho v r = (3; 1) và đường thẳng d: y = 2x. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90 0 và phép tònh tiến theo vectơ v r . 13. Cho đường thẳng d: y = 2 2 . Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k = 1 2 và phép quay tâm O góc 45 0 . 14. Cho đường tròn (C): (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 4. Viết phương trình đường tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k = – 2 và phép đối xứng qua trục Oy. 15. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M′(–2x + 3; 2y – 1). Chứng minh F là một phép đồng dạng. CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Xác đònh một mặt phẳng • Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC)) 8 • Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (mp(A,d)) • Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b)) 2. Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian • Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. • Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. • Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. • Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bò che khuất vẽ nét đứt. VẤN ĐỀ 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó. 1.Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD). b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC). 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD). 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mp(IJK) với (ACD) và (ABD). 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD). b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN). 5. Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong ∆ABD, N là một điểm bên trong ∆ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD), (DMN) và (ABC). VẤN ĐỀ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho. 1.Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song vói CD. Gọi O là một điểm bên trong ∆BCD. a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD). b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN). 2.Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC. a) Tìm giao điểm của AM và (SBD). b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN). 3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK). 4.Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên trong ∆BCD. Tìm giao điểm của: a) MN và (ABO). b) AO và (BMN). HD: a) Tìm giao tuyến của (ABO) và (ACD). 9 Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87 b) Tìm giao tuyến của (BMN) và (ABO). 5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC. a) Tìm giao điểm của IK với (SBD). b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC. HD: a) Tìm giao tuyến của (SBD) với (IJK). b) Tìm giao tuyến của (IJK) với (SBD và (SCD). VẤN ĐỀ 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui • Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. • Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta có thể chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba. 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố đònh trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. a) CMR: IJ, MN và SO đồng qui (O =AC∩BD). Suy ra cách dựng điểm N khi biết M. b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng. c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố đònh khi (P) di động. 2.Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng ở ngoài (P). Giả sử các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (P) tại D, E, F. Chứng minh D, E, F thẳng hàng. 3.Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui. 4.Cho hai điểm cố đònh A, B ở ngoài mặt phẳng (P) sao cho AB không song song với (P). M là một điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (P) tại A′, B′. Chứng minh A′B′ luôn đi qua một điểm cố đònh. 5. Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB tại B 1 , B′. Qua B dựng mặt phẳng (Q) cắt AC, SC tại C 1 , C′. BB′, CC′ cắt nhau tại O′; BB 1 , CC 1 cắt nhau tại O 1 . Giả sử O′O 1 kéo dài cắt SA tại I. a) Chứng minh: AO 1 , SO′, BC đồng qui. b) Chứng minh: I, B 1 , B′ và I, C 1 , C′ thẳng hàng. VẤN ĐỀ 4: Xác đònh thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng Muốn xác đònh thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng (P) ta có thể làm như sau: • Từ điểm chung có sẵn, xác đònh giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian). • Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác đònh được các giao tuyến mới với các mặt này. • Tiếp tục như trên cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện. 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI). 2.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE=a. Kéo dài BD một đoạn DF=a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF). 10 [...]... • (P) ⊥ (Q) ⇔ ( P ), (Q) = 900 ( ) ( P ) ⊃ a • Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: a ⊥ (Q) ⇒ ( P ) ⊥ (Q) 28 4 Tính chất ( P ) ⊥ (Q) ⇒ a ⊂ (P ) • A ∈ (P ) a ∋ A, a ⊥ (Q) ( P ) ⊥ (Q) ,( P ) ∩ (Q) = c ⇒ a ⊥ (Q ) • a ⊂ ( P), a ⊥ c ( P ) ∩ (Q) = a ⇒ a ⊥ ( R) • ( P ) ⊥ ( R) (Q) ⊥ ( R) VẤN ĐỀ 1: Góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)... hai mặt phẳng a ⊥ (P ) · ¶ ⇒ ( P ), (Q) = ( a, b ) • b ⊥ (Q) ( ) a ⊂ ( P ), a ⊥ c · ¶ • Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng ⇒ ( P ), (Q) = ( a, b ) b ⊂ (Q), b ⊥ c · Chú ý: 0 0 ≤ ( P ), (Q) ≤ 900 ( ( ) ) 2 Diện tích hình chiếu của một đa giác Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H ) của (H) · trên (Q), ϕ = ( P ), (Q) Khi đó: S′ = S.cosϕ ( ) 3 Hai mặt phẳng... · b) cos (( SBC ), (SCD )) = 5 10 Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a 3 Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD) 0 HD: a) 60 b) arctan 6 c) 300 HD: · a) tan (( SAD ), (SBC )) = 7 11 Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = a 3 a 6 ; SA ⊥ (ABCD) và SO = 3 3 · a) Chứng minh ASC vuông b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc c) Tính... ⊥ (P), b ⊥ (Q) Khi đó: (P ), (Q) = ( a, b ) ( ) a ⊂ ( P ), a ⊥ c · ¶ • Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng b ⊂ (Q), b ⊥ c ⇒ ( (P ), (Q) ) = ( a, b ) 7.Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) và SA = a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC) 3 · · HD: a)... P ) ⊥ a,(Q) ⊥ a a ⁄⁄ (P ) a ⊄ (P) ⇒b⊥a ⇒ a ⁄ ( P ) • • b ⊥ (P ) a ⊥ b ,( P ) ⊥ b 4 Đònh lí ba đường vuông góc 24 Cho a ⊥ ( P ), b ⊂ ( P ) , a′ là hình chiếu của a trên (P) Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ 5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · • Nếu d ⊥ (P) thì d ,( P ) = 900 ( ( ) ) · · • Nếu d ⊥ (P ) thì d ,( P ) = ( d , d ' ) với d′ là hình chiếu của d trên (P) · Chú ý: 00 ≤ d ,( P ) ≤ 900 ( ) VẤN ĐỀ... Chứng minh: AB ⊥ (BCD) b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC) c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC CMR: OH ⊥ (ADC) Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD) b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) c) Gọi BE, DF là hai đường cao của ∆SBD CMR: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC) HD: b) 900 Cho hình chóp SABCD... minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: • Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q) · • Chứng minh (P ), (Q) = 900 ( ) * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: • Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q) • Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R)... a) (SAC ), (SBC ) = 600 b) cos (( SEF ), (SBC )) = 10 8.Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD) Tính SA theo a để số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng 600 HD: SA = a 9.Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA ⊥ (ABCD) và SA = a 3 a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD) ( ) 10... góc giữa: a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC) 1 1 21 HD: a) 600 b) arctan c) arcsin d) arcsin 7 14 7 HD: a) MN = 27 Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87 3.Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA ⊥ (ABCD) Cạnh SC = a hợp với đáy góc α và hợp với mặt bên SAB góc β a) Tính SA b) CMR: AB = a cos(α + β ). cos(α − β ) HD: a) a.sinα · 4.Cho hình chóp SABC,... mặt phẳng (OA′B ) và (P) HD: HD: a) a) x = 0 b) x = 4a c) arccos 39 26 IV KHOẢNG CÁCH 1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng d ( M , a) = MH trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P) d ( M ,( P )) = MH 2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song d(a,(P )) = d(M,(P )) trong đó M là điểm bất kì nằm trên a d((P),(Q) = d(M,(Q )) trong đó . IM= uuur uuur (k ≠ 0) • V (I,k) (M) = M′, V (I,k) (N) = N′ ⇒ ' ' .M N k MN= uuuuuur uuuur • Cho I(a; b). V (I,k) : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' (1 ) ' (1 ) x kx k a y. M(–1; 2), M (4 ; 5) d) M(0; 0), M ( 3; 4) c) M(5; –2), M (2 ; 6) f) M(2; 3), M (4 ; –5) 9. Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x − y + 5 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng (d’) là ảnh của (d). tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép tònh tiến theo v r trong các trường hợp sau: a) ( ) 4; 3v = − r b) v r = (2 ; 1) c) v r = ( 2; 1) d) v r = (3 ; –2) 11. Trong mpOxy, cho Elip (E): 2