Nhóm lie và biểu diễn đối phụ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Công Thắng NHÓM LIE VÀ BIỂU DIỄN ĐỐI PHỤ HỢP Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành cảm ơn chân thành đến Thầy Cô Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy suốt khóa học vừa qua Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Anh Vũ, người thầy gợi mở hương nghiên cứu, hướng giải vấn đề cách khoa học, đọc chỉnh sửa tỉ mỉ cho luận văn Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô phòng sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành chương trình học Tôi xin chân thành cảm ơn NCS Dương Quang Hòa giúp đỡ trình học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, quý thầy cô, đồng nghiệp Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai tỉnh Bến Tre tạo điều kiện thuận lợi cho học Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, bạn bè, người động viên, chia sẻ giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Tp HCM, ngày tháng năm 2012 Đoàn Công Thắng MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhắc lại khái niệm đa tạp khả vi 1.1.1 Cấu trúc khả vi không gian tôpô 1.1.2 Các ví dụ 1.1.3 Tích đa tạp khả vi 1.1.4 Ánh xạ khả vi 1.1.5 Không gian vectơ tiếp xúc với M điểm 1.1.6 Trường vectơ tiếp xúc đa tạp khả vi 10 1.2 Nhắc lại khái niệm nhóm Lie 12 1.2.1 Định nghĩa ví dụ 12 1.2.2 Nhóm Lie Đồng cấu đẳng cấu nhóm Lie 13 1.2.3 Nhóm Lie thương 15 1.3 Nhắc lại khái niệm đại số Lie 15 1.3.1 Định nghĩa 15 1.3.2 Các ví dụ 16 1.3.3 Đồng cấu đại số Lie 17 1.3.4 Biểu diễn quy đại số Lie 18 1.3.5 Đại số Lie giải đại số Lie lũy linh 19 1.4 Sự liên hệ nhóm Lie đại số Lie 21 1.4.1 Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie cho 21 1.4.2 Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie 22 1.4.3 Ánh xạ mũ exponent 22 Chương BIỂU DIỄN NHÓM LIE 24 2.1 Khái niệm biểu diễn 24 2.2 Biểu diễn phụ hợp K-biểu diễn lớp MD-nhóm MD-đại số 25 2.2.1 K-biểu diễn nhóm Lie 25 2.2.2 Các MD-nhóm MD-đại số 32 2.3 Nhắc lại phương pháp mô tả K-quỹ đạo 33 Chương MÔ TẢ K-QUỸ ĐẠO CỦA MỘT LỚP CON CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN 37 3.1 Lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán chiều 37 3.2 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với MD5-đại số xét 41 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 BẢNG KÍ HIỆU Aut (V): nhóm tự đẳng cấu không gian vectơ V Aut G : nhóm tự đẳng cấu tuyến tính G  : trường số phức C ∞ (V ) : không gian hàm khả vi vô hạn lần đa tạp V End(V) : không gian đồng cấu không gian vectơ V exp : ánh xạ mũ exp G* : không gian đối ngẫu đại số Lie G GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực Mat(n; R) : tập hợp ma trận vuông cấp n hệ số thực  : trường số thực TeG không gian tiếp xúc G tạo điểm đơn vị e Ω F : quỹ đạo Kirillove qua F MỞ ĐẦU Một toán quan trọng lý thuyết biểu diễn toán phân loại biểu diễn Cụ thể cho trước nhóm Lie G, phân loại tất biểu diễn unita bất khả quy G (sai khác đẳng cấu) Đối tượng quan trọng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie đại số Lie Vấn đề nghiên cứu phân loại biểu diễn nhóm Lie đại số Lie hướng nghiên cứu lớn Hình học – Tôpô có nhiều ứng dụng Vật lý, đặc biệt vật lý lượng tử Để giải toán này, năm 1962, A.A.Kirillove phát minh phương pháp quỹ đạo để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, phương pháp cho phép ta nhận tất biểu diễn unita bất khả quy nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải từ K-quỹ đạo nguyên Đóng vai trò then chốt phương pháp quỹ đạo Kirillove K-quỹ đạo biểu diễn đối phụ hợp (hay gọi K-biểu diễn) Do đó, việc mô tả K-quỹ đạo nhóm Lie, nhóm Lie liên thông giải được, có ý nghĩa quan trọng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Đó lý chọn đề tài: “ Nhóm Lie biểu diễn đối phụ hợp” Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề lý chọn đề tài Chương 1: Nều lại kiến thức đa tạp khả vi, nhóm Lie, đại số Lie, ví dụ minh họa nhóm Lie, đại số Lie, liên hệ nhóm Lie đại số Lie Chương : Biểu diễn nhóm Lie Chương 3: Mô tả K-quỹ đạo lớp MD-5 nhóm liên thông đơn liên Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu Các ký hiệu dùng luận văn ký hiệu thông dụng giải thích dùng lần đầu (xem danh mục ký hiệu) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương chủ yếu đưa sở lý thuyết cho kết nghiên cứu chương sau, giới thiệu đối tượng nghiên cứu nhóm Lie đại số Lie 1.1 Nhắc lại khái niệm đa tạp khả vi 1.1.1 Cấu trúc khả vi không gian tôpô Định nghĩa 1.1.1 Cho M không gian topo Hausdorff Một đồ M cặp (V , ϕ ) , V mở M, ϕ :V → V / phép đồng phôi từ V lên tập mở V /  n Nếu (V , ϕ ) đồ M x ∈ V , ϕ ( x)∈V / , ϕ ( x)= ( x1 , , x n )∈ n Các số xi gọi tọa độ địa phương x Nếu có họ đồ {(Vi , ϕi )}i∈I M mà {Vi }i∈I phủ mở M họ gọi atlat Định nghĩa 1.1.2 Cho M không gian topo Hausdorff Atlat {(Vi , ϕi )}i∈I M gọi atlat khả vi M với hai đồ tùy ý atlat (V1 , ϕ1 ), (V2 , ϕ2 ) mà V1  V2 ≠ φ , ϕ1 : V1 → V1/ , ϕ2 : V2 → V2/ ánh xạ ϕ2ϕ1−1 ϕ (V V ) : ϕ (V1  V2 ) → V2/ 1 ánh xạ khả vi Trên tập atlat khả vi không gian topo M ta cho quan hệ hai Cho A = (U i , ϕi )}i∈I , B {= {(V ,ϕ )} j j j∈J hai atlat khả vi M Ta bảo A  B A  B atlat khả vi M Quan hệ nàu quan hệ tương đương Định nghĩa 1.1.3 Mỗi lớp tương đương quan hệ tương đương xác định gọi cấu trúc khả vi M Định nghĩa 1.1.4 Không gian topo Hausdorff M với cấu trúc khả vi xác định atlat {(Vi , ϕi )}i∈I ϕi : Vi → Vi / ⊂  n gọi đa tạp khả vi n chiều, dim M = n 1.1.2 Các ví dụ Ví dụ 1.1.1 Trên  n cho atlat khả vi gồm đồ A = {( n , id )} Khi  n đa tạp khả vi n chiều Cấu trúc khả vi cấu trúc khả vi tắc  n Ví dụ 1.1.2 Trên  n cho atlat khả vi gồm đồ {( n , ϕ )} , ϕ :  →  xác định ϕ ( x) = x3 Khi  đa tạp khả vi chiều Ví dụ 1.1.3 Cho M đa tạp khả vi với atlat A = {(U i , ϕi )}i∈I , N tập mở { } M Khi N đa tạp khả vi với atlat A N = (U i  N , ϕi U  N ) i i∈I N gọi đa tạp mở M Ví dụ 1.1.4 Gọi Mat (n, ) tập ma trận vuông cấp n với hệ số thực Có song ánh từ Mat (n, ) đến  n Vì ma trận vuông có n phần tử Do cấu trúc khả vi Mat (n, )  n Ánh xạ ϕ : Mat (n, ) →  biến A  det A ánh xạ liên tục ánh xạ đa thức Do GL(n, ) = Mat (n, ) \ ϕ −1 (0) tập mở Mat (n, ) Vậy GL(n, ) đa tạp khả vi với cấu trúc khả vi Mat (n, ) 1.1.3 Tích đa tạp khả vi Định nghĩa 1.1.5 Cho đa tạp khả vi M với atlat A = {(U i , ϕi )}i∈I đa tạp khả vi N với atlat khả vi B = {(V j ,ψ j } j∈J Trên không gian Hausdorff M × N xét atlat khả vi A × B= {(U i × V j , ϕi ×ψ j )}i∈I , j∈J M × N gọi đa tạp tích hai đa tạp M N Trong ϕi ×ψ j : U i × V j → ϕi (U i ) ×ψ j (V j ) biến ( x, y ) → (ϕi ( x),ψ j ( y )) Nếu M đa tạp khả vi m chiều, N đa tạp khả vi n chiều M × N đa tạp khả vi m + n chiều Ví dụ 1.1.5 •  n ×  m đa tạp khả vi m+n chiều • Hình trụ  × S đa tạp khả vi chiều • Xuyến T = S × S đa tạp khả vi chiều 1.1.4 Ánh xạ khả vi Định nghĩa 1.1.6 Cho M N đa tạp khả vi m chiều n chiều Ánh xạ f : M → N gọi ánh xạ khả vi f ánh xạ liên tục đồ (U , ϕ ) M, đồ (V ,ψ ) N mà U  f −1 (V ) ≠ φ ánh xạ ψ  fϕ −1 từ tập mở ϕ (U  f −1 (V ))  m vào  n ánh xạ khả vi Định nghĩa 1.1.7 Nếu ánh xạ f : M → N ánh xạ khả vi có ánh xạ ngược f −1 : N → M khả vi f gọi vi phôi 1.1.5 Không gian vectơ tiếp xúc với M điểm Giả sử M đa tạp khả vi n chiều với atlat khả vi A = {(U i , ϕi )}i∈I Giả sử = J  (U ×  i n ) hợp rời không gian tôpô U i ×  n với tôpô tổng i∈I Trong J ta cho quan hệ hai sau: Với  x = y ( x, v) ∈ U i ×  n , ( y, w) ∈ V j ×  n ; ( x, v)  ( y, w) ⇔  −1  D(ϕ j ϕi )(ϕi ( x))(v) = w Quan hệ quan hệ tương đương Không gian thương TM = J /  không gian tôpô Hausdorff Ta xác định ánh xạ ∏ = ∏ M : TM → M , ∏(vx ) = x Nếu ( x, v) ∈ J lớp tương đương lí hiệu vx Giả sử vx , wx ∈ TM cho vx lớp ( x, v) , wx lớp ( x, w) ∈ J Khí lớp ( x, v + w) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện vx wx ta kí hiệu vx + wx Với số thực α với vx ∈ TM ta xác định α x ∈ TM lớp tương đương ∏ −1 ( x) ⊂ TM không gian vectơ Ta nói ( x, α v) Như vậy, mổi x ∈ M , TM = Tx M không gian tiếp xúc M x Mỗi phần tử Tx M gọi vectơ tiếp xúc M x mà ta kí hiệu X Định nghĩa 1.1.8 Cho M , M hai đa tạp khả vi f : M → M ánh xạ khả vi Xét ánh xạ Tx f : Tx M → T f ( x ) M , X  (Tx f )( X ) xác định [(Tx f )( X )]ϕ =: X (ϕ f ), ∀ϕ : M →  ánh xạ khả vi Khi Tx f ánh xạ tuyến tính ta xác định ánh xạ f∗ : TM → TM , X  f∗ X với ( f∗ X )ϕ := X (ϕ f ) Ánh xạ f∗ gọi ánh xạ tiếp xúc f Ví dụ 1.1.6 Cho f : M →  n ánh xạ khả vi, cấu trúc khả vi  n cấu trúc khả vi tắc Khi f∗ :TM → T  n = n ×  n cho công thức f∗ (vx ) = ( f ( x), D( fϕi−1 )(ϕi )( x)(v) (U i , ϕi ) đồ M x ∈ U i Như vậy, tồn ánh xạ df : TM → =  n cho f ∗ ( f ( x), df (vx )), vx ∈ Tx M Ánh xạ df gọi ánh xạ vi phân f Tính chất ánh xạ tiếp xúc Mệnh đề 1.1.1 Cho M1 , M , M đa tạp khả vi f : M → M , g : M → M hai ánh xạ khả vi Khi g f : M → M ánh xạ khả vi ( g f )∗ = g∗ f∗ Mệnh đề 1.1.2 Cho M đa tạp khả vi, f : M → , g : M →  hai ánh xạ khả vi Khi ( fg )( x) = f ( x) g ( x) ánh xạ khả vi, với vx ∈ Tx ( M ) , ta có = d ( fg )(vx ) f ( x)dg (vx ) + df (vx )d ( x) 1.1.6 Trường vectơ tiếp xúc đa tạp khả vi Trường vectơ