200 Bài Hình Học Không Gian Luyện Thi Đại

CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC - Khối chóp Bài 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác S AB S AD = 900 J trung điểm SD Tính theo a thể tích khối tứ diện ACD J khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( AC J ) Giải: S J I B A C D + AD ⊥ S A AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (S AB) + Gọi I trung điểm AB AD ⊥ SI (1) Mà ∆S AB nên SI ⊥ AB (2) 2 Từ (1) (2) suy SI ⊥ ( ABCD ) Do d ( J, ( ACD )) = d (S, ( ABCD )) = SI = a a3 = 24 a2 ∆BCI vuông B nên CI = CB2 + BI = ∆SIC vuông I nên SC = SI + IC = 2a2 a 1 Từ suy VACD J = a2 Tương tự SD = SC = 2a2 SC + CD SD ∆SCD có C J đường trung tuyến nên C J = − = a2 a Xét ∆ J AC có J A = ; AC = a 2; C J = a nên tính cosA = 7 a2 a Từ sin J AC = nên dt( J AC ) = = 2 a3 3 a 21 Vậy d (D, ( J AC )) = 24 = a Nhận xét: Có thể tính diện tích tam giác JAC cách lấy hình chiếu J mặt đáy (là trung điểm H DI) Trong mặt đáy, kẻ HK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) với K thuộc AC JK vuông góc với AC tính JK đường cao tam giác JAC Bài 1.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi ; hai đường chéo AC = 3a, BD = 2a cắt O ; hai mặt phẳng (S AC ) (SBD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) theo a http://boxmath.vn/ a , tính thể tích khối chóp S.ABCD http://boxtailieu.net Giải: S I A D O H K C B Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a AC, BD vuông góc với trung điểm O đường chéo Ta có tam giác ABO vuông O AO = a 3; BO = a, ABD = 60o hay tam giác ABD Từ giả thiết hai mặt phẳng (S AC ) (SBD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) nên giao tuyến chúng SO ⊥ ( ABCD ) Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có DH ⊥ AB a ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK ) Gọi I hình chiếu 2 O lên SK ta có OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (S AB), hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng 1 a = + ⇒ SO = Diện tích (S AB) Tam giác SOK vuông O, OI đường cao ⇒ 2 2 OI OK SO a đáy S ABCD = 4S∆ ABO = 2.O A.OB = 3a2 ; đường cao hình chóp SO = a3 Thể tích khối chóp S.ABCD : VS.ABCD = S ABCD SO = 3 DH = a 3; OK //DH OK = DH = Bài 1.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh cm , cạnh S A = SB = SC = cm Tam giác SBD có diện tích cm2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải: S A D H O C B Gọi H hình chiếu S ( ABCD ) suy H nằm BD (Vì S A = SB == SC, BD trung trực AC ) Do SH đường cao hình chóp đường cao tam giác SBD ; Gọi O giao điểm AC BD Vì S A = SC = D A = DC nên SO = DO suy tam giác SBD tam 12 5 11 11 ABCD hình thoi có AD = 3, DO = nên AO = suy dt( ABCD ) = 2 giác vuông S Vì dt(SBD ) = SB = nên SD = 4; suy BD = 5, SH = http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net VS.ABCD = SH.dt( ABCD ) = 11 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD 11( cm3 ) Bài 1.4 Cho hình chóp S.ABC có S A = 3a (với a > 0); S A tạo với đáy ( ABC ) góc 600 Tam giác ABC vuông B, ACB = 300 G trọng tâm tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB) (SGC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a Giải: S A C G K B Gọi K trung điểm BC Ta có SG ⊥ ( ABC ); S AG = 600 , AG = 3a 9a 3a ; SG = Trong tam giác ABC đặt AB = x ⇒ AC = x; BC = x 9a Ta có AK = AB2 + BK nên x = 14 243 Vậy VS.ABC = SG.dt( ABC ) = a 112 Từ AK = Bài 1.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tam giác S AB tam giác cân đỉnh S Góc đường thẳng S A mặt phẳng đáy 450 , góc mặt phẳng (S AB) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết khoảng cách hai đường thẳng CD S A a Giải: S P D A M N H C B Gọi H hình chiếu vuông góc S lên mặt đáy, M trung điểm AB tam giác S AB cân S nên SM vuông góc với AB kết hợp với SH vuông góc với đáy suy AB vuông góc với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: (S A, ( ABCD )) = S AH = 450 ⇒ S A = SH ((S AB), ( ABCD )) = (SM, MH ) = SMH = 600 ⇒ SM = SH http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM dễ thấy NP khoảng cách hai đường thẳng S A CD suy NP = a Ta có SH.MN = NP.SM ⇐⇒ SH.AB = a 6.SH ⇐⇒ AB = 2a Trong tam giác S AM ta có S A = AM + SM ⇐⇒ 2.SH = Vậy VS.ABCD = SH.dt( ABCD ) = a a a = 3 4SH + 2a2 ⇐⇒ SH = a 3 Bài 1.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, BC = 2a Cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy, S A = a Gọi H hình chiếu A SB Tính thể tích khối chóp H.ACD theo a côsin góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD ) Giải: S K H D A E C B Kẻ HE //S A (E ∈ AB) ⇒ HE ⊥ ( ABCD ) BH AB2 HE a Trong tam giác SAB có AB = BH.SB ⇒ = = = ⇒ HE = SB SB SA Diện tích ∆ ACD S∆ ACD = 12 AD.CD = a2 ⇒ thể tích H.ACD VH.ACD = 31 HE.S∆ ACD = a3 S A ⊥ ( ABCD ) ⇒ S A ⊥ BC mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (S AB) ⇒ BC ⊥ H A mà H A ⊥ SB nên H A ⊥ (SBC ) tương tự gọi K hình chiếu A SD AK ⊥ (SCD ) góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD ) góc AH AK tam giác vuông SAB có tương tự AK = 2a , SK = a a 1 a , S A = SH.SB ⇒ SH = = + ⇒ AH = 2 2 AH AB SA 5 SB2 + SD − BD SH + SK − HK a2 = ⇒ HK = cos BSD = 2.SB.SD 2.SH.SK AH + AK − HK 10 10 = > ⇒ cos((SBC ), (SCD )) = Trong ∆ AHK có cos AHK = 2.AH.AK 5 Bài 1.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông Mặt bên S AB tam giác cân S , mặt phẳng (S AB) vuông góc với đáy, mặt phẳng (SCD ) tạo với đáy góc 600 cách đường thẳng AB khoảng a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải: http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net S K D A H I C B Gọi H, I trung điểm AB CD Do S AB cân S nên SH ⊥ AB mà (S AB) ⊥ ( ABCD ) SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ CD, H I ⊥ CD nên CD ⊥ (SH I ), kẻ HK ⊥ SI, CD ⊥ HK nên HK ⊥ (SCD ) ⇒ HK = d ( H, (SCD )) = d ( AB, (SCD  )) = a  H I ⊥CD   ⇒ ((SCD ), ( ABCD ) = ( H I, SI ) = SI H = 600 CD ⊥ (SH I ) ⇒ SI ⊥CD   CD = (SCD ) ∩ ( ABCD )  HK 2a = BC Trong ∆ HSI có SH = H I.tan600 = 2a = sin60 a2 diện tích ABCD S ABCD = BC = a3 Thể tích S.ABCD VS.ABCD = SH.S ABCD = Trong ∆HK I có H I = Bài 1.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành thỏa mãn AB = 2a, BC = a 2, BD = a Hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) trọng tâm tam giác BCD Tính theo α thể tích khối chóp S.ABCD , biết khoảng cách hai đường thẳng AC SB a Giải: S K M D O H A C B Gọi H hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABCD ), M trung điểm CD O tâm đáy ABCD Do AO trung tuyến tam giác ABD nên AO = AB2 + AD BD 3a2 − = ⇒ a AO 2a ⇒ AH = AO + = 3 2 2 2a BD + BC CD a + a2 a2 BM = − = − = 3a2 ⇒ BM = a ⇒ BH = 4 AO = http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net Ta có AH +BH = 4a2 = AB2 ⇒ AH ⊥BH , kết hợp với AH vuông góc với SH ta AH ⊥ (SHB) Kẻ HK vuông góc với SB, theo chứng minh ta AH ⊥ (SHB) suy AH ⊥ HK ⇒ HK đoạn vuông góc chung AC SB suy HK = a 1 = + ⇒ SH = 2a 2 HK SH HB2 4 a3 Ta có VS.ABCD = SH.S ABCD = SH.4.SO AB = SH O A.BH = 3 3 Trong tam giác vuông SHB ta có - Khối lăng trụ Bài 2.1 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B1 C1 có đáy tam giác cạnh 2a, điểm A cách ba điểm A, B, C Cạnh bên A A tạo với mặt phẳng đáy góc α Hãy tìm α , biết thể tích khối lăng trụ ABC.A B1 C1 3a3 Giải: A1 B1 C1 A B I G H C Ta có tam giác ABC cạnh 2a nên S ABC = a2 Mặt khác A A = A B = A C ⇒ A ABC hình chóp tam giác đỉnh A Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có A G đường cao Trong tam giác ABC có AG = AH = 2a 3 2a tanα 3 ⇒ α = 60 o Trong tam giác vuông A AG có: A AG = α; A G = AG.tanα = Thể tích khối lăng trụ V = A G.S ABC = 3a3 ⇒ tanα = Bài 2.2 Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC = 1200 , cạnh bên BB = a Gọi I trung điểm CC Chứng minh tam giác AB I vuông A tính cosin góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB I ) Giải: http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net A B C A B I C Ta có BC = a Áp dụng định lí Pitago tam giác vuông ACI, ABB , B C I 13 a, AB = 2a, B I = a 2 Do AI + AB = B I Vậy tam giác AB I vuông A 10 a , S ABC = a Gọi α góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB I ) Tam S AB I = AI.AB = 4 giác ABC hình chiếu vuông góc tam giác AB I 10 3 cos α = ⇔ cos α = suy S A BI cos α = S ABC ⇔ 4 10 Suy AI = Bài 2.3 (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A B1 C1 có AB = a, AC = 2a, A A = 2a BAC = 1200 Gọi M trung điểm cạnh CC Chứng minh MB ⊥ M A tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( A BM ) Giải: A1 C1 B1 M A C B + Ta có A M = A C12 + C1 M = 9a2 , BC = AB2 + AC − AB.AC cos 1200 = 7a2 ; BM = BC + CM = 12a2 ; A B2 = A A + AB2 = 21a2 = A M + MB2 ⇒ MB vuông góc với M A + Hình chóp M ABA C ABA có chung đáy tam giác ABA đường cao nên thể tích 1 A A S ABC = a3 15 3 6V a = = MB.M A ⇒ V = VM ABA = VC ABA = ⇒ d (a, ( MBA ) ) = 3V S MBA http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net Bài 2.4 Cho lăng trụ tam giác ABC.A B1 C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt đáy 300 Hình chiếu vuông góc H đỉnh A mặt phẳng ( A B1 C1 ) thuộc đường thẳng B1 C1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B1 C1 tính khoảng cách hai đường thẳng A A B1 C1 theo a Giải: B A D C B1 A1 H C1 a A A H = 300 , AH = A A sin 300 = Thể tích khối lăng trụ ABC.A B1 C1 : V = AH.dt( A B1 C1 ) = ∆ A A H vuông, A H = a.cos300 = a3 a a Do ∆ A B1 C1 cạnh a, H thuộc B1 C1 A H = 2 nên A H ⊥B1 C1 Có AH ⊥B1 C1 B1 C1 ⊥( A A H ) Kẻ đường cao HK ∆ A A H HK khoảng cách A A B1 C1 Ta có A A HK = AH.A H , ⇒ HK = A H.AH a = A A1 Bài 2.5 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P ) chứa BC vuông góc với A A , cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C theo a Giải: C A B H A C O M B Gọi M trung điểm BC, gọi H hình chiếu vuông góc M lên A A , Khi (P ) ≡ (BCH ) Do góc A AM nhọn nên H nằm A A Thiết diện lăng trụ cắt (P ) tam giác BCH http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net a a , AO = AM = 3 a2 a a2 ⇒ HM.BC = ⇒ HM = , Theo S BCH = 8 a2 a2 a AH = AM − HM = − = 16 A O HM Do hai tam giác A AO M AH đồng dạng nên = AO AH AO.HM a a a suy A O = = = AH 3a 1aa a3 a= Thể tích khối lăng trụ: V = A O.S ABC = A O.AM.BC = 23 12 Do tam giác ABC cạnh a nên AM = - Khối tròn xoay Bài 3.1 Cho hình trụ có bán kính đáy a đường cao a a) M N hai điểm lưu động hai đáy cho góc MN đáy α Tính khoảng cách từ trục đến MN b) Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ tam giác ngọai tiếp hình trụ Giải: C N O B A C O N H B M A a) Kẻ đường sinh N N ta có N MN = α, kẻ OH ⊥ MN OH khỏang cách trục OO MN Ta có: MN = N N cotα = a cot α ∆OMH vuông : OH = OM − MH = a2 − ⇒ OH = a a2 a2 cot2 α = (2 − cot2 α) 2 − cot2 α b) Gọi x cạnh tam giác ngọai tiếp đường tròn đáy hình trụ 1x x 6R 6a = ⇒x= = 3 3 x2 36a2 = OO = a = 3a2 12 Ta có: O N = R = AN = VABC.A B C http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net S xq = x.OO = 18a a = 6a2 Bài 3.2 Cho hình nón đỉnh S có đường sinh a, góc đường sinh đáy α a) Tính thể tích diện tích xung quanh hình nón b) Một mặt phẳng hợp với đáy góc 600 cắt hình nón theo hai đường sinh S A SB Tính diện tích tam giác S AB khoảng cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng Giải: S K B O H A a) Tính V S xq ∆S AO vuông : SO = a.sinα, AO = a.cosα 1 V = π.AO SO = π.a3 cos2 α sin α 3 Sxq = π.AO.S A = π.a2 cos α b) + Tính S S AB Kẻ OH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ AB, SOH = 600 ∆SOH vuông :OH = SO.cot.600 = a sin α AOH vuông : AH = AO − OH = a2 cos2 α − ⇒ AH = a 3a2 sin α cos2 α − sin2 α 2a2 sin α cos2 α − sin2 α Vậy S S AB = AB.SH = + Tính d (O, (S AB)) Kẻ OK ⊥SH ⇒ OK ⊥(S AB) OKH vuông : OK = OH.sin600 = a sin α a sin α = 2 Bài 3.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh bên S A vuông góc với đáy a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S ABCD b) Gọi (P ) mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt AB, SC, SD B , C , D Chứng tỏ bảy điểm A, B, C, D, B , C , D nằm mặt cầu Giải: http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 10 Bài 8.5 Diễn đàn onluyentoan.vn Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, S A = 2a S A vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCN M ĐS: V = a3 50 Bài 8.6 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên S AD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP ĐS: V = a3 96 Bài 8.7 Diễn đàn onluyentoan.vn Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm S A , M trung điểm AE , N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ĐS: HQ Bài 8.8 Diễn đàn onluyentoan.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, góc ABC = BAD = 90o , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên S A vuông góc với đáy S A = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD ) ĐS: d (H ; (SCD )) = a Bài 8.9 Diễn đàn boxmath.vn Cho lăng trụ ABC.A B C có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A , AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc đỉnh A mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ABC tính cosin góc hai đường thẳng A A , B C ĐS: ϕ = B BH, cos ϕ = Bài 8.10 Diễn đàn onluyentoan.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, S A = a, SB = a mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN ĐS: ϕ = SME, cos ϕ = Bài 8.11 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên độ dài a 5, mặt bên tạo với mặt đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp S.ABCD bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp S.ABCD theo a http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 61 ĐS: R = a 3 Bài 8.12 Diễn đàn boxmath.vn Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C Biết ABC vuông B AB = a; BC = b; A A = c(a2 + b2 < c2 ) Gọi (P ) phẳng qua A vuông góc với A C Xác định thiết diện lăng trụ bị cắt phẳng (P ) Tính diện tích thiết diện theo a, b, c ĐS: S = ab a2 + b2 + c2 2c Bài 8.13 Diễn đàn boxmath.vn Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C có cạnh đáy 2a chiều cao a Dựng thiết diện lăng trụ tạo mặt phẳng qua B vuông góc với cạnh A C Tính diện tích thiết diện ĐS: S = 15 a Bài 8.14 Diễn đàn onluyentoan.vn Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P ) chứa BC vuông góc với A A cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ a3 ĐS: V = 36 Bài 8.15 Diễn đàn onluyentoan.vn Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên A A = 3a, Q, I trung điểm đường thẳng DD , OB mặt phẳng α qua IQ song song với AC chia hình hộp ABCD.A B C D thành phần Tính tỉ số thể tích phần ĐS: 25 V1 = V2 119 Bài 8.16 Diễn đàn onluyentoan.vn Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA = 3a M điểm cạnh A A cho A A = AM Tính thể tích khối tứ diện MB BC Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (C BM ) ĐS: d (B , (BC M )) = a Bài 8.17 Diễn đàn onluyentoan.vn Cho lăng trụ ABC.A B C có A A = A B, đáy ABC tam giác vuông B, BC = a, AB = a Mặt bên ( ACC A ) vuông góc với đáy, góc tạo mặt phẳng ( A BC ) ( ACC A ) α cho tan α = Tính thể tích khối chóp A BCC B khoảng cách A B B C theo a ĐS: d ( A B; B C ) = http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net a 62 Bài 8.18 Diễn đàn onluyentoan.vn Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy tam giác vuông B, BAC = 30o , cạnh AC 2a Cạnh bên A A tạo với đáy góc 60 o chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A B C khoảng cách hai đường thẳng B C A A ĐS: a Bài 8.19 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vuông B BA = BC = a Góc đường thẳng A B với mặt phẳng ( ABC ) 60o Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C theo a ĐS: a3 Bài 8.20 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình nón đỉnh S nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính R đáy đường tròn giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OS H cho SH = x(0 < x < 2R ) Tính theo R x thể tích V diện tích xung quanh S hình nón đó; từ tìm hệ thức liên hệ ba đại lượng V , S R ĐS: S2 = 6πR V Bài 8.21 Diễn đàn onluyentoan.vn Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A B C D có đáy ABCD hình thang cân có đáy lớn AD = a Biết góc hợp BC ( ABCD ) 60o , góc hợp A D với ( ABCD ) ϕ cho tan ϕ = , CD ⊥( ABB A ), A B ⊥(CDD C ) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A B C D khoảng cách hai đường thẳng chéo AB CD ĐS: V = a3 16 d (( AB ), (CD )) = 78a 26 Bài 8.22 Toán học tuổi trẻ số 400 Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác vuông A , AB = a, AC = a 3, D A = DB = DC Biết DBC tam giác vuông Tính thể tích tứ diện ABCD ĐS: V = 3 a Bài 8.23 Toán học tuổi trẻ số 401 Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC có đáy a khoảng cách cạnh bên cạnh đối diện m ĐS: V = a3 m a2 − m2 ĐK m < a Bài 8.24 Toán học tuổi trẻ số 402 Trong mặt phẳng (P ) cho hình vuông ABCD có cạnh a S điểm nằm đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P ) A Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD S A = 2a http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 63 ĐS: V = πa3 Bài 8.25 Toán học tuổi trẻ số 403 Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD hình vuông, đường cao S A Gọi M trung điểm SC ; N, P nằm SB SD cho SP SN = = Mặt phẳng ( MNP ) chia hình SB SD chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần ĐS: Bài 8.26 Toán học tuổi trẻ số 404 o Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = a; ABC = 90 ; S A ⊥( ABC ); số đo góc nhị diện cạnh SC 60 o Kẻ AM ⊥SB, AN ⊥SC Tính thể tích hình chóp S.AMN ĐS: V = a3 36 Bài 8.27 Toán học tuổi trẻ số 405 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , cạnh BC = a ABC = 30o Hai mặt phẳng (S AB) (S AC ) tạo với đáy góc 60o Biết hình chiếu đỉnh S mặt đáy thuộc cạnh BC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a ĐS: V = (3 − 3)a3 32 Bài 8.28 Toán học tuổi trẻ số 406 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B Hai mặt phẳng (S AB) (S AD ) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết AB = 2a, S A = BC = a, CD = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ACD ĐS: V = 2a3 , R = a 26 Bài 8.29 Toán học tuổi trẻ số 408 Cho hình chóp tam giác có góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60o Khoảng cách mặt bên đỉnh đổi diện Hãy tính thể tích hình chóp ĐS: V = 26 39 Bài 8.30 Toán học tuổi trẻ số 412 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy ABCD hình bình hành, AD = 4a, cạnh bên hình chóp a Tìm cosin góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD ) thể tích khối chóp S.ABCD lớn ĐS: cos ϕ = 10 Bài 8.31 Toán học tuổi trẻ số 413 Cho hình chóp S.ABC có S A = 3a (với a > 0); S A tạo với đáy ( ABC ) góc 60o Tam giác ABC vuông B, ACB = 30 o G tâm tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB) (SGC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 64 ĐS: V = 243 a 112 Toán học tuổi trẻ số 414 Bài 8.32 Cho hình trụ với đáy hai đường tròn (O ; R ); (O ; R ); có chiều cao OO = 2R đường sinh AB Tính thể tích tứ diện ABCD biết C, D nằm mặt trụ ĐS: V = 2R (3 + 2) 81 Bài 8.33 Toán học tuổi trẻ số 415 Cho hình hộp ABCD.A B C D M N hai điểm thuộc cạnh AB AD cho AB; AN = AD E F hai điểm thuộc cạnh B N A M cho EF AC EB Hãy xác định tỉ số NB EB 12 ĐS: = NB 29 AM = Bài 8.34 Toán học tuổi trẻ số 416 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC = 120 o Cạnh S A vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) S A = a Gọi C trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (α) qua AC song song với BD cắt cạnh SB, SD B , D Tính thể tích khối chóp S.AB C D ĐS: V = a3 18 Toán học tuổi trẻ số 417 Bài 8.35 a Cho hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có cạnh AB = cạnh lại a Tính thể tích hình cầu ĐS: V = 13 13 πa 162 Bài 8.36 Toán học tuổi trẻ số 418 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên (S AB) tam giác vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) Tính thể tích khối nón có đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đỉnh khối nón nằm mặt phẳng (SDC ) ĐS: V = 2π a 27 Bài 8.37 Toán học tuổi trẻ số 419 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B1 C1 , đáy ABC tam giác vuông có C A = CB = a, góc đường thẳng BA mặt phẳng ( ACC1 A ) 30o Gọi M trung điểm cạnh A B1 Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( A BC ) ĐS: http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net a 6 65 Bài 8.38 Toán học tuổi trẻ số 420 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = 2a Mặt bên (SBC ) tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết góc hai mặt phẳng (S AB) ( ABC ) 30 o Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SC AB theo a ĐS: V = a3 , d ((SC ), ( AB)) = a Đề dự bị I khối A-2006 Bài 8.39 a Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có cạnh AB = AD = a, A A = góc (BAD ) = 60o Gọi M N trung điểm cạnh A D A B Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (BDMN ) Tính thể tích khối chóp A.BDMN ĐS: V = a3 16 Bài 8.40 Đề dự bị II khối B-2006 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có A ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên A A = b Gọi α góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( A BC ) Tính tan α thể tích khối chóp A BB CC ĐS: tan α = a2 b − a2 b − a2 ;V = a Bài 8.41 Dự bị khối A-2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với đáy góc 60o Trên S A lấy điểm M cho AM = a Mặt phẳng mặt BCM cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.BCN M ĐS: V = 10 3a3 27 Bài 8.42 Đề dự bị khối A-2007 Cho hình chóp S.ABC có góc (SBC, ABC ) = 60o , ABC SBC tam giác cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (S AC ) ĐS: 3a 13 Bài 8.43 Đề thi hsg tỉnh Bình Phước -2012 Cho hình lập phương ABCD.A B1 C1 D cạnh a Gọi E F trung điểm BC CD a Dựng thiết diện tạo mặt phẳng ( A EF ) hình lập phương b Tính thể tích hai phần hình lập phương mặt phẳng ( A EF ) cắt tỉnh tỉ số thể tích hai phần ĐS: V = http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 47a3 25a3 &V= 72 72 66 Bài 8.44 Đề thi hsg vòng tỉnh Bình Phước-2011 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Trên cạnh AB lấy điểm M , OC lấy điểm N , A D lấy điểm P cho AM = CN = D P = x (0 ≤ x ≤ a) a Chứng minh rắng tam giác MNP Tính diện tích tam giác MNP theo a x Tìm x để diện tích nhỏ a b Cho x = , tính thể tích khối tứ diện B’MNP tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ĐS: a V = a a2 x = b V = a3 5a ,R = 16 12 Bài 8.45 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng AK cắt SB, SD M, N Đặt V = VS AMNK V = VS ABCD Chứng minh: V ≤ ≤ V HD: Dùng đạo hàm bảng biến thiên để chứng minh Bài 8.46 Đề thi thử THPT Phan Bội Châu – Phú Yên Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi; hai đường chéo AC = 3a; BD = 2a cắt O ; hai mặt phẳng (S AC ) (SBD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) theo a a Tính thể tích hình chóp S.ABCD ĐS: V = a3 3 Bài 8.47 Đề thi thử THPT Lê Lợi-Thanh Hóa Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật , với AB = 3a, AD = 2a Cạnh bên S A vuông góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC ) đáy 60o Gọi M trung điểm CD Tính thể tích khối chóp S ABM khoảng cách đường thẳng SB AM 3 a3 ĐS: V = Bài 8.48 Đề thi thử THPT Hồng Quang-Hải Dương Cho lăng trụ ABC.A B C , biết A ABC hình chóp có cạnh đáy a Góc hai mặt phẳng ( A BC ) (BCC B ) 90o Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C khoảng cách hai đường thẳng A A B C theo a ĐS: V = a3 a Khoảng cách Bài 8.49 Đề thi thử THPT Minh Khai – Hà Tỉnh Cho hình trụ có đáy đường tròn (O ), (O ) Mặt phẳng (α) qua trung điểm I đoạn thẳng OO tạo với đáy góc 60o cắt đáy theo dây cung AB, cắt đáy theo dây cung CD biết ABCD hình vuông cạnh a Tính diện tích toàn phần hình trụ theo a ĐS: S = http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 2π a (2 + 5) 16 67 Bài 8.50 Đề thi thử THPT Trần Hưng Đạo- Hưng Yên Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a Mặt phẳng (S AD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) ,tam giác S AD vuông S S AD = 60o Điểm M trung điểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp M.BCD cosin góc tạo hai đường thẳng AC DM ĐS: V = a3 14 , cos α = 28 Bài 8.51 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Biết đường thẳng BD chia mặt phẳng ( ABCD ) thành hai mặt phẳng, hình chiếu đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) thuộc mặt phẳng chứa điểm A Cạnh bên SB vuông góc với BD có độ dài 2a 2, mặt phẳng (SBD ) tạo với mặt đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD SC theo a ĐS: V = a3 a 14 , khoảng cách Bài 8.52 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm S A, SC Biết góc tạo đường thẳng BM ND 60o Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ĐS: 30a3 18 Bài 8.53 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vuông AB = BC = a, mặt phẳng ( AB C ) tạo với mặt phẳng (BCC B ) góc α cho tanα = Gọi M trung điểm BC Tính thể tích khối chóp M A B C xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B ACM theo a ĐS: V = a3 12 Bài 8.54 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a đường chéo BD = a Biết S A vuông góc BD , cạnh bên SB vuông góc AD (SBD ) tạo với mặt đáy góc 60 o Tính thể tích hình chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC SB theo a ĐS: V = a3 30 , K/cách a 20 Bài 8.55 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, B Biết AB = BC = a; AD = 2a, S AC tam giác cân S (S AC ) vuông góc với đáy Gọi O giao điểm AC BD Giả sử mặt phẳng (P ) qua O song song với SC cắt S A M Tính thể tích khối chóp MBCD khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD ) ĐS: V = http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net a3 a , K/cách 54 68 Bài 8.56 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình lặng trụ tam giác ABC.A B C có cạnh đáy a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB A C a 15 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = a3 Bài 8.57 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có cạnh A A = a Đường thẳng B C tạo với đường thẳng AD góc 60o , đường chéo B D tạo với mặt bên (BCC B ) góc 30o Tính thể tích khối chóp ACB D cosin góc tạo AC B D a3 , cos = 27 ĐS: V = Bài 8.58 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, có S A ⊥( ABCD ) Gọi O tâm hình thoi M trung điểm SC Tính khoảng cách hai đường thẳng S A BM Biết SO = 2, AC = 4, AB = ĐS: Bài 8.59 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành với AB = a, AD = 2a, có SC vuông góc ( ABCD ), góc BAD = 60 o ; S A hợp với ( ABCD ) góc 45 o Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách S A BD ĐS: V = a3 21 , K/cách a 77 11 Bài 8.60 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A ( AD BC ), AB = BC = 2a, AD = 3a Gọi M trung điểm AD, N trung điểm CM , biết (SN A ) (SNB) vuông góc với a mặt phẳng đáy khoảng cách hai đường thẳng SB, CD Tính thể tích khối chóp cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD ) ĐS: V = 25a3 236 , K/cách 15a 41 Bài 8.61 Diễn đàn boxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AB = a, AD = 2a, BAD = 60o Cạnh S A = a vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi AM, AN, BP vuông góc với BC, DC, SC tương ứng ( M BC, N DC, P SC ) Tính thể tích khối tứ diện AMNP khoảng cách hai đường thẳng NP, AC theo a ĐS: V = a3 , 64 K/cách 10a 2829 943 Phương pháp tính thể tích trực tiếp http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 69 Bài 8.62 Tính thể tích khối chóp ta giác S.ABC trường hợp sau: a Cạnh đáy a, góc ABC b AB = a, S A = m c S A = m,Góc mặt bên với mặt đáy α ĐS: a VS ABC = a3 a2 ; b VS ABC = 12 12 m2 − a2 m2 sinα ; c VS ABC = 3 sin2 α + 4) sin2 α + Bài 8.63 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đọ dài cạnh bên 2a, tam giác ABC vuông A, AB =a, AC = a Hình chiếu vuông góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính VA ABC ĐS: a2 Bài 8.64 Cho hình chóp S ABC có S A ⊥( ABCD ), SA =a δ ABC vuông cân có AB = BC = a B’ trung điểm SB C’ chân đường cao hạ từ A ∆S AC a Tính VS ABC b Chứng minh AB⊥( AB C ) Tính VS AB C ĐS:a.VS ABC a3 a3 b.VS AB C = 36 Bài 8.65 Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’, đáy ABC tam giác đầu có tâm O Hính chiếu C’ lên (ABC) trùng O TÍnh thể tích khối lăng trụ biết khảng cách từ O đến CC’ a góc (ACC’A’) (BCC’B’) 2α ĐS: 27a3 tan3 α tan2 α − Bài 8.66 Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A với AC =a ACB = α Đường chéo BC’ mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) góc β Tính thể tích lăng trụ a3 tanα ĐS: sin(α − β) sin(α + β) cosα sinβ Bài 8.67 Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy hình thoi ABCD cạnh a, Góc A = α chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy (ABCD) trùng với giao điểm O hai đường chéo Cho BB’ =a Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp α α 2 ĐS:V = a3 cos sinα; S xq = 4a2 cos + sin2 α Bài 8.68 Cho lăng trụ đứng ABC A B1 C1 có đáy ABC tam giác vuông AB=AC =a, A A = a Gọi M,N trung điểm đoạn A A BC Chứng minh MN đường vuông góc chưng dường thẳng A A BC1 Tính VM A BC1 ĐS: Bài 8.69 Cho hình nón có đỉnh S, đáy đường trọn tâm O, SA SB hai đường sinh biết SO=3cm, khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) 1cm, diện tích tam giác SAB 18 cm2 Tính thể tích diện tích xung quanh hình nón cho ĐS: http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 70 Bài 8.70 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, canh SA vuông góc với đáy ACB = 600 , BC = a, S A = a Gọi M trung điểm của cạnh SB Chứng minh (S AB)⊥(SBC ) TÍnh thể tích khối tứ diện MABC ĐS: Bài 8.71 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng (α) qua A vuông góc với SC cắt SB, SC B’, C’ biết C’ trung điểm SC, tính tỉ số SB’ B’B ĐS: Bài 8.72 Cho hình chóp S.ABC có đáy AB = AC = a, BC = SB =2 BB a S A = a 3, S AB = S AC = 300 Tính thể tích khối chóp S.S ABC ĐS: a3 16 Bài 8.73 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD =2a Cạnh S A vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên SA lấy M cho AM = a , mặt phẳng (BCM ) cắt cạnh SD N Tính thể tích chóp SBCMN 10 3a3 ĐS: 27 Bài 8.74 Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) AB= SA =a, BC =2a Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC H cắt SB K Tính diện tích tam giác AHK theo a a2 ĐS: 12 Bài 8.75 cho hình chóp SABCD có SB = a cạnh lại a Tính thể tích khối chóp theo a ĐS: Bài 8.76 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật S A ⊥( ABCD ); AB = S A = 1; AD = Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIB ĐS: Bài 8.77 Cho hình hộp ABCD A B C D , đáy ABCD hình thoi cạnh a, A A = BA A = D A A = 600 Tính thể tích khối hộp theo a 36 a BAD = ĐS: a3 6 Bài 8.78 Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’, có AB =a, BC=2a, AA’ =a Lấy M AD cho AM=3MD Tính thể tích khối chóp M.AB’C khoảng cách từ M đến (AB’C) ĐS:VM.AB C = http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net a3 a ; d ( M, ( AB C )) = 71 Bài 8.79 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a BAD = 600 Hai mặt phẳng (SAC) (SBD ) vuông góc với đáy Gọi M, N trung điểm canh BC SD Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh bên SC E Biết MN vuông góc với AN Tính thể tích khối đa diện ADN.MCE theo a ĐS: 5a Bài 8.80 Cho tứ diện ABCD có AB=6, CD =7, khoảng cách AB CD 8, góc AB CD 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD ĐS:28 Bài 8.81 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông với AB=BC=a, −−→ −−→ canh bên A A = a M điểm AA’ cho AM = 13 AA Tính thể tích khối tứ diện MA’BC’ ĐS: a3 Bài 8.82 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên a, đáy ABC tam giác đều, hình chiếu A (A’B’C’) trùng với trọng tâm G tam giác A’B’C’ Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc 600 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a ĐS: VABC.A B C = 9a 32 Bài 8.83 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy tam giác cạnh 2a, điểm A1 cách ba điểm A, B, C Cạnh bên A1A tạo với mặt phẳng đáy góc α Hãy tìm α, biết thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 3a3 ĐS:α = 600 ˜ Bài 8.84 Cho hình chóp S.ABCD có náy hình thang vuông A, AB =AD=a, DC=2a , ,SA=a hai mặt bên (SDC) (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khốichóp S.ABCD theo a G ttrọng tâm tam giác DBC Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) ĐS:1.VS ABCD = a3 a ; 2 Bài 8.85 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, mặt bên SAB tam giác vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách hai đường thẳng AB SC a ĐS: a3 7 18 LĂNG TRỤ XIÊN Lưu ý: Cần nắm vững kĩ thuật xác định chân đường cao học Bài 8.86 Cho lăng trụ ABC A’B’C’có cạnh đáy 13;14;15và biết cạnh bên 2a hợp với đáy ABCD góc 45o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V = a3 http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 72 Bài 8.87 Cho lăng trụ ABCD A’B’C’D’có đáy ABCD hình vuông cạnh a biết cạnh bên hợp với đáy ABC góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V = 336 Bài 8.88 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’có AB =a;AD =b;AA’ = c ∠BAD = 300 biết cạnh bên AA’ hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V = abc Bài 8.89 Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A’ cách A,B,C biết A A = 2a Tính thể tích lăng trụ ĐS: V = a3 Bài 8.90 : Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a , đỉnh A’ có hình chiếu (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC biết mặt bên (BB’C’C) hợp với đáy (ABC) góc60o 1) Chứng minh BB’C’C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ ABC A’B’C’ ĐS: V = a3 Bài 8.91 Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh b CC’ = a hợp với đáy (ABC) góc 60o C’ có hình chiếu ABC trùng với O 1) Chứng minh AA’B’B hình chữ nhật Tính diện tích AA’B’B 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’ ĐS: 1.S = a2 3 a3 , 2.V = Bài 8.92 Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A’ ABC trùng với trung điểm BC AA’ = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ 2) Tính thể tích lăng trụ a3 ĐS: 1.30 ; V = Bài 8.93 Cho lăng trụ xiên ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C’ (ABC) O Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC’ a mặt bên AA’C’Cvà BB’C’C hợp với góc 90o http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 73 ĐS: V = 27a3 Bài 8.94 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có mặt hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc A’ (ABCD) nằm hình thoi,các cạnh xuất phát từ A hộp đôi tạo với góc60o 1) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD 2) Tính diện tích mặt chéo ACC’A’ BDD’B’ 3) Tính thể tích hộp ĐS: S ACC A = a2 2; S BDD B = a2 , V = a 2 Bài 8.95 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A = 60o ,chân đường vuông góc hạ từ B’ xuông ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy biết BB’ = a 1)Tìm góc hợp cạnh bên đáy 2)Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp ĐS: 1.600 , V = 3a4 & S = a2 15 Bài 8.96 B – 2002 : Cho hình lập phương ABCD.A B1 C1 D có cạnh a 1)Tính theo a khoảng cách đường thẳng A B B1 D 2) Gọi M ,N , P trung điểm cạnh BB1 , CD, A D Tính góc đường thẳng MP C1 N ĐS: 1.d ( A B, B1 D ) = a 6 , 2.900 Bài 8.97 B 2009 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600 ; tam giác ABC vuông C ∠BAC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a ĐS: 9a3 /208 Bài 8.98 D-09: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) ĐS: V = 2a a3 ,d = Bài 8.99 (B-11) cho hình lăng trụ ABCD A B1 C1 D có đáy BAC hình chữ nhật, AB=a, AD = a Hình chiếu vuông góc A lên (ABCD) trung với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng ( ADD A ) ( ABCD ) 600 TÍnh thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng ( A BD ) theo a http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 74 ĐS: V = a3 a ,d = 2 Bài 8.100 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Các điểm E F trung điểm C’B’ C’D’ 1.Dựng thiết diện khối lập phương cắt mp(AEF) 2.Tính tỉ số thể tích hai phần khối lập phương bị chia mặt phẳng (AEF) http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 75