CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài Chứng minh bất đẳng thức sau a a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca b a² + b² + ≥ ab + a + b c a²/4 + b² + c² ≥ ab – ac + 2bc d a²(1 + b²) + b²(1 + c²) + c²(1 + a²) ≥ 6abc e a² + b² + c² + d² + e² ≥ ab + ac + ad + ae 1 1 1 + + ≥ + + với a, b, c > a b c ab bc ca g a + b + c ≥ ab + bc + ca với a, b, c ≥ f Bài Chứng minh bất đẳng thức sau a a + b3 a+b ≥( ) với a, b ≥ 2 c a4 + ≥ 4a e a + b ≤ a b2 b a4 + b4 ≥ a³b + ab³ d a³ + b³ + c³ ≥ 3abc, với a, b, c > + b a2 ; với a, b ≠ f 1+ a + 1+ b ≥ ; với ab ≥ 1 + ab g (a + b )(a + b) ≥ (a + b )(a² + b²); với ab > Bài Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức sau a a a +c < < (1) Áp dụng (1) chứng minh b b b+c a b c + + thỏa mãn x + y + z = Chứng minh: + b2 + x2 + (1) a2 x2 + y2 + y2 + z2 + d Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 223 + x + 223 + y + 223 + z Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh z2 ≥ 82 a ab + bc + ca ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca) b abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) c 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² – (a4 + b4 + c4) > d a(b – c)² + b(c – a)² + c(a + b)² > a³ + b³ + c³ HD: a Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a > |b – c| → a² > b² – 2bc + c² b Gợi ý a² > a² – (b – c)² c Phân tích thành nhân tử (a + b + c)(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > d Phân tích thành nhân tử Bài Cho a, b, c > Chứng minh a (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc bc ca ab + + ≥a+b+c a b c a b c + + ≥ f b+c c+a a+b c (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + abc)3 e d ab bc ca a +b+c + + ≤ a+b b+c c+a Bài Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau a b c a (a³ + b³ + c³) ( + + ) ≥ (a + b + c)² b 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²) c 9(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³ a b3 HD: a Chú ý: + ≥ 2ab b a b Chú ý: a³ + b³ ≥ ab(a + b) c Áp dụng 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²) Bài 10 Cho a, b > Chứng minh 1 + ≥ (1) Áp dụng chứng minh a b a+b 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) với a, b, c > a b c a +b b+c c+a 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) với a, b, c > b a+b b+c c+a 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 1 1 1 + + ≤1 c Cho a, b, c > thỏa + + = Chứng minh: a b c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c ab bc ca a +b+c + + ≤ d ; với a, b, c > a+b b+c c+a 2xy 8yz 4xz + + e Cho x, y, z > thỏa mãn x + 2y + 3z = 12 Chứng minh: ≤6 x + 2y 2y + 4z 4z + x a f Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) p−a p−b p−c a b c HD: Biến đổi tương đương chứng minh (1) d (1) ab ≤ (a + b) a+b e Áp dụng câu d với a = x, b = 2y, c = 4z a + b + c = 12 f 1 4 + ≥ = p−a p−b p−a+p−b c Bài 11 Cho a, b, c > Chứng minh a (a² + b² + c²) ( 1 + + ≥ (1) Áp dụng (1) chứng minh bất đẳng thức a b c a +b+c 1 + + ) ≥ 3(a + b + c)/2 a+b b+c c+a b Cho x, y, z > thỏa x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x y z + + x +1 y +1 z +1 c Cho a, b, c > thỏa a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= a + 2bc + b + 2ac + c + 2ab d Cho a, b, c > thỏa a + b + c = Chứng minh a + b2 + c2 + 1 + + ≥ 30 ab bc ca Bài 12 Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị nhỏ biểu thức sau x 18 + ; với x > x x + ; với < x < c y = 1− x x x + ; với x > x −1 2x − 2x + d y = với x > x2 a y = b y = Bài 13 Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị lớn biểu thức sau a y = (x + 2)(12 – 3x) với –2 ≤ x ≤ b y = (2x + 5)(11 – 3x) với –5/2 ≤ x ≤ 11/3 c y = |x | x + 3x + d y = x2 (x + 2)3 Bài 14 Chứng minh bất đẳng thức sau a a² + b² ≥ với a + b = b 3a² + 5b² ≥ 735 , với 2a – 3b = 47 c a² + b² ≥ 4/5, với a + 2b = d (x – 2y + 1)² + (2x – 4y + 5)² ≥ 9/5 Bài 15 Chứng minh bất đẳng thức sau a a² + b² ≥ 1/2, với a + b ≥ b a³ + b³ ≥ , với a + b ≥ c a4 + b4 ≥ 1/8, với a + b ≥ d a4 + b4 ≥ 2, với a + b = Bài 16 Cho x, y, z ba số dương x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức A = − x2 + − y2 + − z2 Bài 17 Cho ba số dương x, y, z thỏa x + y + z ≤ Chứng minh x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Bài 18 Cho a, b, c ≥ –1/4 a + b + c = Chứng minh < 4a + + 4b + + 4c + ≤ 21 Bài 19 Cho x, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau a A = + , với x + y = x 4y b B = x + y, với + =6 x y Bài 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x + y + y + x , với x, y thỏa mãn x² + y² = Bài 21 Tìm GTLN, GTNN biểu thức a A = − x + + x , với –2 ≤ x ≤ b B = x − + − x , với ≤ x ≤ c C = y – 2x + 5, với x, y thỏa 36x² + 16y² = Bài 22 Giải bất phương trình sau a 3x − < − 2x b 2x + 14 >x+ Bài 23 Giải biện luận bất phương trình sau: m(x − 2) x − m x + + > Bài 24 Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm a m²x + ≥ m + (3m – 2)x b mx – m² > mx – Bài 25 Giải hệ bất phương trình sau 3x + ≥ 2x + a 4x + > 2x + 19 − 5x ≤ x + 14 c 3x − 11 − x < 4x − < 3(x − 2) b 3x + 13 > 4(2x − 3) Bài 26 Tìm nghiệm nguyên hệ bất phương trình sau 6x + > 4x + a 8x + < 2x + 25 15x − > 2x + b 2(x − 4) < 3x − 14 Bài 27 Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm 7x − ≥ −4x + 19 2x − 3m + < b x + 4m ≤ 2mx + 3x + > 2x − d a c x −1 > mx − > mx − > (3m − 2)x − m > Bài 28 Giải bất phương trình a (x + 1)(x – 1)(x – 2) > b (2x – 7)(5 – x) ≥ d x³ + 8x² + 17x + 10 < Bài 29 Giải bất phương trình (x + 1)(x + 2) >0 −x + 2x + d ≤x+1 x −1 a x −3 x +5 > x +1 x − 2x + x e ≥1–x − 2x b c x² – x – 20 – 2(x – 11) > c Bài 30 Giải bất phương trình a |5x – 12| < b |3x + 15| ≥ c |x – 2| > x + Bài 31 Giải biện luận bất phương trình a 2x + m − >0 x +1 b mx − m + Bài 32 Xét dấu biểu thức sau a 3x² – 2x + b (x² – 4x + 3)(x – 5) Bài 33 Giải bất phương trình a –2x² + 5x < b 5x² – 4x < 12 d x² – x – ≤ e −3x − x + x + 3x + >0 Bài 34 Giải hệ bất phương trình sau x + 6x + > a x + x − < 4x − < x d x − 2x − ≥ 2x + x − > b 3x + ≥ 10x e –4 ≤ x − 2x − ≤1 x2 + c 2x² – 7x + d (3x − x)(3 − x ) 4x + x − c –2x² + 3x ≥ f 4x + 3x − x + 5x + >0 2x + 5x > c x + 3x < 10 f 1/13 ≤ x − 2x − ≤1 x − 5x + Bài 35 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x a 3x² + 2(m – 1)x + m + > b x² + (m + 1)x + 2m + > c mx² + 9m – 1)x + m – < d (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > e |3(m + 6)x² – 3(m + 3)x + 2m – 3| – > Bài 36 Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm a (m – 3)x² + (m + 2)x – > b (m² + 2m – 3)x² + 2(m – 1)x + < c mx² + 2(m – 1)x + ≥ d (3 – m)x² – 2(2m – 5)x – 2m + > Bài 37 Giải bất phương trình a 2x² < |5x – 3| b x – > |x² + 3x – 4| c |x – 3| – |x + 1| < d |x² + 4x + 3| > |x² – 4x – 5| f x−2 ≥3 x − 5x + e |x² – 3x + 2| + x² – 2x > x − 4x g x +x+2 ≤1 h 2x − +1 > x −3 Bài 38 Giải phương trình sau a x + + x + = 2x + 11 b x + + 3x + = x − c x + + x + = − x + Bài 39 Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) a 3x + 5x + − 3x + 5x + = b 5x + − 5x − 13 − = c − x + + + x + = e 47 − 2x + 35 + 2x = d f 24 + x − + x = x + 4356 + x − x x + 4356 − x = x Bài 40 Giải bất phương trình sau a x + x − 12 < − x b x − x − 12 < − x c − x − 4x + 21 < x + d x − 3x − 10 > x − e 2x + 6x + > x + f 2x + + x + ≤ g x + − − x − 2x − > h − x > − x − −3 − 2x Bài 41 Giải bất phương trình sau a (x − 3)(8 − x) + x² – 11x + 26 > b (x + 5)(x − 2) + x(x + 3) > c (x + 1)(x + 4) – x + 5x + 28 < Bài 42 Giải bất phương trình sau a x − 4x ≤ 3− x b d 3x + 5x + − 3x + 5x + ≥ −x + x + −x + x + ≥ 2x + x+4 Bài 43 Giải bất phương trình sau a x + ≤ x + b x + > x − Bài 44 Giải bất phương trình sau a |x² – 4x – 5| < 4x – 17 b |x – 1| + |x + 2| < c 2|x – 3| – |3x + 1| – x – ≤ d |x² – 5x + 4| ≤ |x² – 4| e |x – 6| > |x² – 5x + 9| f |x² – 2x – 3| – – |2x – 1| > + với < x < x 1− x Bài 46 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x − + − x với ≤ x ≤ Bài 45 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = Bài 47 Giải bất phương trình a (x² + x + 1)(x² + x + 3) ≥ 15 c (x − 3) x + ≤ x² – b (x + 4)(x + 1) – x + 5x + < d x² – 4x – ≥ 2x − 8x + 12