KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO KINH NGHIỆM HỌC TỐT BÀI “KHOẢNG CÁCH” Các em thân mến, khoảng cách thường câu 7đ, nhiều bạn lúng túng việc tính khoảng cách không gian, đặc biệt khoảng cách đường chéo nhau, kinh nghiệm học (rút gọn lại) CÁC EM CÓ THỂ KẾT HỢP VỚI BỘ GIÁO ÁN CHUẨN CHÉP TAY MÀ THẦY ĐÃ GỬI DẠNG HÌNH ẢNH NHÉ 1- Khoảng cách từ điểm đế n mô ̣t mă ̣t phẳ ng và đế n mô ̣t đường thẳ ng 1.1- Khoảng cách từ điể m đế n mô ̣t đường thẳ ng Phầ n này chỉ lưu ý : muố n tính được độ dài của đoạn MH, người ta thường xem nó là chiề u cao của tam giác MAB (với A, B thuộc đường  ) Nế u tam giác MAB vuông ta ̣i M thì tính độ dài MH nào? nhớ la ̣i ̣ thức tam giác vuông: 1   MH MA MB Nế u tam giác cân ta ̣i M? thì H là trung điể m của AB Nế u tam giác thường? thì tin ́ h diê ̣n tić h tam giác và đô ̣ dài AB, từ đó suy đô ̣ dài MH A H M M M B A H A B H B Ví du ̣ 1: Cho hin ̀ h chóp tứ giác đề u S.ABCD có ca ̣nh đáy a, ca ̣nh bên 2a Tin ́ h khoảng cách từ A đế n SC Với ví du ̣ này không khó khăn viê ̣c kẻ AH vuông góc với SC ( H thuô ̣c SC) và nêu hướng tính AH: SO.AC = AH SC CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO S H D C O A B 1.2 - Khoảng cách từ điể m đế n mô ̣t mă ̣t phẳ ng ( trọng tâm nhất, cuối khoảng cách đường chéo quy dạng này) Việc tính khoảng cách , tìm mặt phẳng vuông góc ý bám sát vào điểm cạnh vuông góc với mặt ( thường vuông với đáy) "Các bước xác đinh ̣ khoảng cách từ điể m M đế n mă ̣t phẳ ng (P)" sau: + Tìm mă ̣t phẳ ng (Q) qua M và vuông góc với (P) + Tìm giao tuyế n a của (P) và (Q) + Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a Khi đó d(M;(P)) = MH Ví du ̣ : Cho hin ̀ h hô ̣p chữ nhâ ̣t ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD = b, AA' = c Tin ́ h khoảng cách từ B đế n (ACC'A') B C H A D B' A' C' D' CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO + Tìm mặt phẳ ng qua B và vuông góc với (ACC'A'): đó là mă ̣t phẳ ng (ABCD) vì mp (ABCD) vuông góc với AA' nên vuông góc với (ACC'A')) + Giao tuyế n của (ABCD) và (ACC'A'): là AC + Trong mặt (ABCD), kẻ BH vuông góc với AC (H thuô ̣c AC), thế thì BH vuông góc với (ACC'A') Vâ ̣y d(B; (ACC'A')) = BH + BH là đường cao của tam giác nào? HB là đường cao của tam giác vuông ABC nên: 1 ab    BH  2 2 BH BA BC a  b2 Ví du ̣ 2: Cho hình chóp tứ giác đề u S.ABCD có ca ̣nh bên bằ ng 2a, ca ̣nh đáy bằ ng a Go ̣i M là trung điể m của AB Tính khoảng cách từ M đế n (SCD) + Mă ̣t phẳ ng (Q) qua M và vuông góc với (SCD): Lưu ý chọn mp (Q) cần vuông góc với đường (SCD) Trong đường (SCD) thấy DC có liên quan nhiều đến quan hệ vuông góc Tìm đường vuông góc với CD Từ phát mp (SNM) vuông góc với CD (N trung điểm CD), S hay (SNM) vuông góc với (SCD) + Giao tuyế n của (SCD) và (SMN) là: SN H + Trong (SMN): kẻ MH vuông B góc với SN (H thuô ̣c SN) thì MH vuông góc với (SCD) Từ đó suy N O d(M; (SCD)) = MH + MH là chiề u cao của tam giác C M A D nào? Dựa vào tam giác SMN hướng tiń h: SO.MN = MH SN 2- Khoảng cách giữa mô ̣t đường thẳ ng và mô ̣t mă ̣t phẳ ng song song, giữa hai mă ̣t phẳ ng song song 2.1- Khoảng cách giữa đường thẳ ng và mô ̣t mă ̣t phẳ ng song song "các bước làm để tính khoảng cách giữa đường thẳ ng a và mă ̣t phẳ ng (P) song song" sau: CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO + Tìm mă ̣t phẳ ng (Q) vuông góc với (P) + Tim ̀ điể m chung M của (Q) và a (nế u a song song với (Q) thì đổ i (Q) thành (Q') chứa a và song song với (Q)) + Tìm giao tuyế n (  ) của (P) và (Q) + Trong (Q): kẻ MH   (H  ) Khi đó MH  (P) và d(a; (P)) = d(M;(P)) = MH Ví du ̣ 3: Cho hình lâ ̣p phương ABCD.A'B'C'D' ca ̣nh a Tính khoảng cách giữa AB’ mp (A'C'D) B C I A D B' C' H O A' D' + Tìm mp vuông góc với (A’DC’): Ta tìm mp vuông góc với A’C’ Đó mp (BDD’B’) Hai mp (A’DC’) (BDD’B’) có giao tuyến DO ( O tâm A’B’C’D’) Trong mp (DBB’) kẻ B’H vuông góc với DO thi B’H vuông góc với (DA’C’) khoảng cách phải tìm B’H Để tính độ dài B’H : 2.dt tam giác DB’O = B’H.OD = DD’.B’O 2.2 - Khoảng cách giữa hai mă ̣t phẳ ng song song Các bước làm đươ ̣c tiế n hành tương tự khoảng cách giữa đường thẳ ng và mă ̣t phẳ ng song song Ví du ̣ 4: Cho hin ̀ h lâ ̣p phương ABCD.A'B'C'D' ca ̣nh a Tiń h khoảng cách giữa hai mă ̣t phẳ ng (ACB') và (A'C'D) CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO B C I A D B' C' H O D' A' + Tim ̀ mă ̣t phẳ ng vuông góc với (A'C'D): đó là mă ̣t phẳ ng (BDD'B') (vì (BDD'B')  A'C') + Giao tuyế n của (A'C'D) và (BDD'B'): là DO + Điể m chung của (BDD'B') và (ACB') thuô ̣c đường B'I + Trong (BDD'B'), kẻ B'H  DO thì khoảng cách phải tim ̀ là B'H + B'H là đường cao của tam giác B'OD Từ đó có hướng tiń h: B’H.OD = DD’.B’O 3- Khoảng cách giữa hai đường thẳ ng chéo Ví du ̣ 5: Cho hin ̀ h chóp S.ABCD có đáy ABCD là hiǹ h vuông ca ̣nh a SA  (ABCD), SA =a Xác định đoạn vuông góc chung SA BC; SA DB; SA d (trong d đường thẳng nằm mp (ABC) không qua A S A D O B C d Dễ dàng tìm đoạn vuông góc chung SA BC, AB CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO Của SA BD AO Vậy muốn dựng đoạn vuông góc chung SA d làm nào? Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d, cắt d H Khi đoạn AH đoạn vuông góc chung SA d Một cách tổng quát, muốn dựng đoạn vuông góc chung hai đường chéo vuông góc với làm nào? 3.1- Nế u hai đường chéo a và b mà vuông góc với nhau: a M N b P) + Tìm mp (P) chứa b và vuông góc với a + (P) cắ t a ta ̣i M + Kẻ MN  b (N thuô ̣c b), MN chiń h là đường vuông góc chung của a và b Ví du ̣ : Cho hin ̀ h chóp S.ABCD có đáy ABCD là hiǹ h vuông ca ̣nh a SA  (ABCD), SA =a Tin ́ h khoảng cách giữa SB và AD; giữa DB và SC *) Khoảng cách giữa SB và AD - Hai đường này có vuông góc không? ta ̣i sao? + AD vuông góc với SB (vì AD vuông góc với (SAB) ) Từ đó suy có mă ̣t phẳ ng chứa SB và vuông góc với SD, đó là (SAB) CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO S H M A D N O C B + AD cắ t (SAB) tai A + Kẻ AM vuông góc với SB.Khi đó AM là đoa ̣n vuông góc chung của AD và SB + dễ dàng tin ́ h đươ ̣c AM vì nó là đường cao của tam giác vuông SAB *) Khoảng cách giữa DB và SC + Có mp chứa SC và vuông góc với BD, đó là (SAC) + (SAC) cắ t BD ta ̣i O là trung điể m của BD + Kẻ OK vuông góc với SC Khi đó OK là đoa ̣n vuông góc chung của SC và BD + OK là đường cao của tam giác SOC nên: OK SC = SA OC 3.2- Nế u hai đường chéo a và b mà không vuông góc với nhau: Viê ̣c xác đinh ̣ đường vuông góc chung không cầ n thiế t cho bài toán tin ́ h khoảng cách này Ta đổ i khoảng cách phải tìm thành khoảng cách giữa a và mp(P) ( đó (P) chứa b và vuông góc với a).(sgk trang 115 -hình học 11 nâng cao) Ví du ̣ : Cho hình chóp tứ giác đề u S.ABCD có ca ̣nh bên bằ ng 2a, ca ̣nh đáy bằ ng a Tính khoảng cách AB đế n SC S CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO H B C M N O A D Trước tiên kiểm tra xem hai đường có vuông góc không? Đổi k/c phải tìm thành k/c đường mặt song song Đó k/c đường AB (SCD) Bài toán làm ví dụ Ví du ̣ 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính k/c AA’ DB; AC’ BD; AI D’C’ ( với I tâm mặt DCC’D’) - kiểm tra xem hai đường có vuông góc không Dễ thấy AA’ BD vuông góc AA’ vg với (ABCD) Kết k/c thứ AO a 2 - AC’ BD có vuông góc BD vg với (ACC’) O Trong (ACC’) kẻ ON vuông góc với AC’ ON đoạn vgc AC’ BD - dựa vào diện tích tam giác AOC’ suy ra: ON.AC’ = AO CC’ a a a  Từ tính k/c cần tìm a CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO A D N B O C P I A' M H D' C' B' - kiểm tra hai đường AI C’D’ không vuông góc Cần đổi k/c thành k/c đường mặt nào? Có thể kẻ đường song song với C’D’ kẻ đường // với AI để tạo mp - Thống đổi k/c phải tìm thành k/c đường C’D’ mp(ABPM) - thực bước toán này: + Mp (BCC’) vuông góc với BA nên (BCC’) vuông góc với (BAPM) +giao tuyến (BCC’) (BAPM) BM +Trong mp (BCC’) kẻ đường C’H vuông góc với BM vuông góc với (BAPM) Khoảng cách phải tìm C’H +Muốn tính độ dài C’H, ta tính nhờ diện tích tam giác BMC’: a a a BM C’H= BC MC’ Từ suy k/c phải tìm là: a 5 Ví dụ 9: Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có AA’ = a, AB’ tạo với (ABC) góc 600 Tính khoảng cách AA’ BC’ CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO A C H B C' A' B' Do lăng trụ nên cạnh bên vuông góc với đáy AB’ có hình chiếu đáy AB nên góc AB’ đáy B’AB = 600 K/c AA’ BC’ k/c AA’ mp(BCC’B’) Mp( ABC) vuông góc với (BCB’) theo giao tuyến BC nên từ A kẻ AH vuông góc với BC AH a a  vuông góc với (BCC’) K/c phải tìm AH 2 4-Mở rộng toán khoảng cách: - Trong toán k/c đường mặt song song ta biết đổi k/c từ A đến mp(P) thành k/c từ B đến mp(P) AB song song với (P) dễ dựng, dễ tính k/c từ B đến (P) nhiều k/c từ A đến (P) - Trong trường hợp AB không song song với (P) có tìm mối liên quan hai k/c không? Yêu cầu h/s so sánh trường hợp đặc biệt sau: CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO A A B M K M H P) H P) K B Trường hợp thứ M trung điểm AB H/s suy hai k/c (hai tam giác AHM BMK nhau) Trường hợp thứ hai AB cắt (P) M AB= 2MB Dựa vào định lí ta lét suy k/c từ A đến (P) lần k/c từ B đến (P) Vậy từ ta tính k/c từ B đến (P) biết k/c từ A đến (P) Ví dụ 10: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với (ABC) Tam giác ABC cạnh a SA =2a Tính k/c từ A, Trọng tâm I tam giác SAB đến mp ( SBC) -Bài toán k/c từ A đến (SBC) h/s hoàn toàn tính Kết độ dài a 2a  19 3a 2 4a  2a đoạn AH CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO S H N I A G C K M B Để dựng k/c từ I đến mp( SBC) trông hình vẽ rối Kiểm tra thử xem có liên quan đến k.c từ A đến (SBC) hay không? AI cắt SBC N trung điểm SB Giả sử IE vuông góc với mp(SBC) Theo định lí talét ta suy ra: IE/ AH= NI/ NA = 1/3 Vậy k/c từ I đến (SBC ) 2a 19