Tích phân Phơng pháp tính Tích phân I. Tính tích phân bằng ph ơng pháp đổi biến: Những phép đổi biến phổ thông: - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất. - Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số. - Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức. - Nếu tích phân chứa x dx thì đặt xlnt = . - Nếu tích phân chứa x e thì đặt x et = . - Nếu tích phân chứa x dx thì đặt xt = . - Nếu tích phân chứa 2 x dx thì đặt x 1 t = . - Nếu tích phân chứa xdxcos thì đặt xsint = . - Nếu tích phân chứa xdxsin thì đặt xcost = . - Nếu tích phân chứa xcos dx 2 thì đặt tgxt = . - Nếu tích phân chứa xsin dx 2 thì đặt gxcott = . Bài tập minh hoạ: 1. ( ) ( ) ++ 1 0 3 2 dx1x2x1x 2. dxx1.x 1 0 3 3. e 1 2 xln1.x dx 4. 1 0 x x 1e dxe 5. + 1 0 x1x dx 6. + 2 0 2 6xsin5xsin xdxcos 7. + 2 0 3 xcos1 xdxsin4 8. 4 0 2 tgx xcos dxe 9. 2 4 4 xsin dx 10. dxx1.x 1 0 23 II. Tính tích phân bằng ph ơng pháp tích phân từng phần: Công thức: = b a b a b a vduuvdx)x(f . Nh vậy việc chọn đợc u và dv có vai trò quyết định trong việc áp dụng phơng pháp này. Ta th ờng gặp ba loại tích phân nh sau: Loại 1: )x(Pu dx.e).x(P dx).x(fcos).x(P dx).x(fsin).x(P n b a )x(f n b a n b a n = : Trong đó )x(P n là đa thức bậc n. -N2C- 1 Tích phân Ta phải tính n lần tích phân từng phần. Loại 2: = b a nn )x(flnudx).x(fln).x(P : Tính n lần tích phân từng phần. Loại 3: b a x b a x dx.xcos.e dx.xsin.e Đây là hai tích phân mà tính tích phân này phải tính luôn cả tích phân còn lại. Thông thờng ta làm nh sau: - Tính b a x dx.xsin.e :Đặt x eu = . Sau khi tích phân từng phần ta lại có tích phân b a x dx.xcos.e .Ta lại áp dụng TPTP với u nh trên. - Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ giữa hai tích phân và dễ dàng tìm đợc kết quả. Bài tập minh hoạ: 1. ( ) + 2 0 2 dx.xsin.1xx 2. e 1 23 dx.xln.x 3. 0 2 dx.x3cos.x 4. 2 0 x3 dx.x5cos.e 5. 2 0 x2003 dx.x2004sin.e 6. 2 0 2x2 dx.xsin.e Ngoài ra ta xét thêm một vài bài tích phân áp dụng phơng pháp TPTP nhng không theo quy tắc đặt ở trên: 1. ( ) e 1 dx.xlncos 2. ( ) 2 0 3 4 8 1x dx.x 3. e 1 3 dx. x xln 4. ( ) + 1 0 2 x2 2x dx.ex 5. + + 2 0 x dxe. xcos1 xsin1 III. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ: Phần 1: Tích phân hữu tỷ cơ bản. 1. a.Dạng: Cbaxln a A dx bax A ++= + b.Dạng: + += + + dx dcx A dx c a dx dcx bax c. Dạng: ( ) + ++= + ++ dx edx C dxBAxdx edx cbxax 2 2. a.Dạng: ++ cbxax dx 2 - Nếu 0 > : ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) . xxxxa dxxxxx xx 1 xxxxa dx 21 21 1221 = = - Nếu 0 = : . a2 b xa dx 2 = - Nếu 0 < : ( ) + 2 2 x dx Đặt ( ) tgt.x = 3. Dạng: ++ + = dx cbxax BAx I 2 -N2C- 2 Tích phân Phân tích: ( ) ++ + ++ ++ = ++ + = cbxax dx .ndx cbxax 'cbxax .mdx cbxax BAx I 22 2 2 ++ +++= cbxax dx .ncbxaxln.m 2 2 Bài tập minh hoạ: 1. + 1 0 dx 2004x2003 2003x2004 2. ++ 2 1 2 x5x6 dx 3. + 4 0 2 9x6x dx 4. ++ 1 0 2 1xx dx 5. ++ + 2 1 2 dx x5x6 3x2 6. ++ 1 0 2 dx 1xx x34 Phần 2: Tích phân hữu tỷ tổng quát. b a dx )x(Q )x(A - B ớc 1: Nếu bậc của A(x) lớn hơn bậc của B(x): Chia chia A(x) cho B(x). Ta phải tính tích phân: b a dx )x(Q )x(P - B ớc 2: + Nếu Q(x) chỉ toàn nghiệm đơn: ( ) ( ) ( ) n21 ax .axax)x(Q = , ta tìm n21 A .A,A sao cho : n n 2 2 1 1 ax A ax A ax A )x(Q )x(P ++ + = + Nếu Q(x) gồm cả nghiệm đơn và nghiệm bội: ( )( )( ) 2 cxbxax)x(Q = , ta tìm 21 C,C,B,A sao cho : ( ) ( ) cx C cx C bx B ax A )x(Q )x(P 2 2 1 + + + = + Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai đơn: ( ) ( ) qpxxax)x(Q 2 ++= , ta tìm C,B,A sao cho : qpxx CBx ax A )x(Q )x(P 2 ++ + + = + Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai bội: ( ) ( ) 2 2 qpxxax)x(Q ++= , ta tìm 2211 C,B,C,B,A sao cho : ( ) qpxx CxB qpxx CxB ax A )x(Q )x(P 2 22 2 2 11 ++ + + ++ + + = Bài tập minh hoạ: 1. dx x4x 8x16x4 3 2 3 2 + 2. dx 2x3x 3x3x3 2 1 3 2 + ++ 3. dx xx 1x 5 2 23 + IV. Tích phân hàm vô tỷ đơn giản: 1.Dạng: + + b a n b a n bax dx ;dx.bax : Đổi ( ) n 1 n baxbax +=+ 2.Dạng: ++ b a 2 dx.cbxax - Nếu a>0 : Tích phân có dạng duau b a 22 + đặt u=atgt Hoặc chứng minh ngợc công thức: Cauuln 2 u au 2 u duau 22 2 2222 +++++=+ -N2C- 3 Tích phân -- Nếu a<0 : Tích phân có dạng duua b a 22 đặt u=asint 3.Dạng: ++ b a 2 cbxax dx - Nếu 0 > : ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) . xxxxa dxxxxx xx 1 xxxxa dx 21 21 12 21 = = - Nếu 0 = : = = a2 b xa dx a2 b xa dx 2 - Nếu 0 < : Với a>o: ( ) + 2 2 x dx Đặt ( ) tgt.x = Hoặc chứng minh ngợc công thức: Cauuln au du 22 22 +++= + Với a<0: ( ) 2 2 x dx Đặt ( ) tsin.x = Bài tập minh hoạ: 1. + = 3 0 2 2x3x dx I 2. ++ = 1 0 2 1x2x dx I 3. ++ = 1 0 2 1xx dx I 4. + = 1 0 2 3x2x dx I 5. ++= 1 0 2 dx.1xxI 6. += 1 0 2 dx.3x2xI 4.Dạng ( ) +++ b a 2 cbxaxx dx Đặt ( ) t 1 x =+ BTMH: 1. ( ) +++ 1 0 2 1xx1x dx 2. ( ) ++ 1 0 2 x2x4x2 dx 5.Dạng: ( ) ( ) ( ) dx.bax;baxR q p n m ++ Đặt ( ) s 1 baxt += với s là BCNN của n và q. BTMH: ( ) ( ) ++ 1 0 3 2 1x21x2 dx ( ) ( ) 1 0 4 x21x21 dx + 1 0 3 6 dx x1 x V. Tích phân hàm số l ợng giác: 1.Dạng: ( ) b a dxxcos;xsinf - Nếu f là hàm lẻ theo sinx: Đặt t=cosx. - Nếu f là hàm lẻ theo cosx: Đặt t=sinx. - Nếu f là hàm chẵn theo sinx và cosx: Đặt t=tgx. Bài tập minh hoạ: 1. 2 0 3 3 dx xcos xsin 2. + 6 0 3 dx xsin4 xcos 3. 4 0 3 xcos.xsin dx 4. ( ) + 4 0 2 xcosxsin dx 2.Dạng: b a nm dx.xcos.xsin - Nếu m và n chẵn: Hạ bậc. - Nếu m lẻ: Đặt t=cosx. - Nếu n lẻ: Đặt t=sinx. -N2C- 4 Tích phân Bài tập minh hoạ: 1. 2 0 23 dx.xcos.xsin 2. 2 0 24 dx.xcos.xsin 3. 2 0 2 4 dx xcos xsin 4. 2 0 44 xsin.xcos dx 3.Dạng: ( ) b a dx.xcos;xsinR trong đó R là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx. Đặt 2 x tgt = 2 t1 dt2 dx + = ; 2 t1 t2 xsin + = ; 2 2 t1 t1 xcos + = ; 2 t1 t2 tgx = Cụ thể là hàm: ++ = b a cxcosbxsina dx I Bài tập minh hoạ: 1. ++ = 4 0 1xcosxsin dx I 2. ( ) ( ) dx 1xcos.xsin xsin1 I 2 0 + + = 3. ( ) + = 2 0 2xcos dx I 4.Dạng: + + = b a dx xcosdxsinc xcosbxsina I Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số) ( ) + + += + += + + = b a b a b a b a b a xcosdxsinc xcosdxsincd .BdxAdx xcosdxsinc xsindxcosc .BdxAdx xcosdxsinc xcosbxsina I Bài tập minh hoạ: + = 2 0 dx xcos3xsin4 xcos2xsin3 I 5.Dạng: ++ ++ = b a 222 111 dx cxcosbxsina cxcosbxsina I Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số) +C ( ) J.C cxcosbxsina cxcosbxsinad BdxA cxcosbxsina dx Cdx cxcosbxsina xsinbxcosa BdxAI b a 222 222 b a b a 222 b a 222 22 b a + ++ ++ += ++ ++ ++ += J là tích phân tính đợc. Bài tập minh hoạ: 1. ++ + = 2 0 dx 3xcos2xsin 1xcosxsin I 2. + + = 2 0 dx 5xcos4xsin3 1xsin I VI. Phép đổi biến đặc biệt: = b a dx)x(fI Khi sử dụng các cách tính tích phân mà không tính đợc ta thử dùng phép đổi biến: ( ) xbat += .Thực chất của phép đổi biến này là nhờ tính chất chẵn lẻ của hàm số f(x). Bài tập minh hoạ: 1. + = 2 2 x dx 1e xcos I 2. ( ) ++= 1 1 23 dx1xxlnI 3. + = 0 2 dx xcos1 xsinx I 4. + = 1 1 x dx 12003 x2004sin I Chứng minh rằng: 1. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên [ ] a;a thì: = a 0 a a dx)x(f.2dx)x(f -N2C- 5 TÝch ph©n 2. NÕu f(x) lµ hµm sè lÎ vµ liªn tôc trªn [ ] a;a − th×: 0dx)x(f a a ∫ − = 3. ∫∫ ππ = 2 0 2 0 dx)x(cosfdx)x(sinf 4. ∫∫ ππ π= 2 0 2 0 dx)x(sinfdx)x(sinf.x -N2C- 6