Vận dụng lý luận dạy học môn Toán vào dạy học một số định lý của giải tích ở THPT

Giả thuyết khoa học và ý nghĩa của việc nghiên cứu 5.1 Giả thuyết khoa học Nếu xác định được những biện pháp phù hợp thực hiện việc vận dụng lý luận dạy học môn Toán vào thực tiễn dạy

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong công cuộc đổi mới đất nước, Đảng và Nhà nước ta đã nhấn mạnh yếu tố con người, phát triển con người toàn diện để đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa-hiện đại hóa đất nước và thích nghi với xu thế toàn cầu Vì thế, con người Việt Nam trong thời kì mới là người có tri thức, có tính độc lập và sáng tạo, có khả năng học tập suốt đời Đảng và Nhà nước ta đã đề ra mục tiêu đổi mới giáo dục là phải đổi mới một cách toàn diện về tất cả các mặt theo hướng tạo ra những cơ hội thuận lợi nhất cho người học hoạt động một cách tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân Nghị quyết trung ương VIII khóa XI của Đảng đã khẳng định:Giáo dục đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng và Nhà nước và của toàn dân Đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho phát triển Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn đề lớn, cốt lõi, cấp thiết, từ quan điểm đến tư tưởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội dung, phương pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện đảm bảo thực hiện, đổi mới từ sự lãnh đạo của Đảng, sự quản lí của Nhà nước đến hoạt động chính trị của các cơ

sở giáo dục đào tạo và việc tham gia của gia đình, cộng đồng xã hội và người học Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực bồi dưỡng nhân tài Phát triển giáo dục và đào tạo phải gắn với nhu cầu phát triển kinh tế xã hội và bảo vệ Tổ quốc; với tiến bộ khoa học và công nghệ phù hợp với quy luật khách quan Đổi mới hệ thống giáo dục theo hướng mở, linh hoạt, liên thông giữa các bậc học, trình độ và giữa các phương thức giáo dục đào tạo chuẩn hóa hiện đại hóa giáo dục và đào tạo chủ động phát huy mặt tích cực, hạn chế mặt tiêu cực của cơ chế thị trường, đảm bảo định hướng xã hội chủ nghĩa trong phát triển giáo dục và đào tạo Chủ động tích cực và hội nhập quốc tế phát triển giáo dục và đào tạo đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu của hội nhập quốc tế để phát triển đất nước

Xuất phát từ nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học được nhấn mạnh trong nghị quyết trung ương VIII khóa XI cho thấy việc dạy học không

chỉ đơn giản là cung cấp tri thức có sẵn mà phải là giúp học sinh tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thức với tinh thần sẵn sàng ứng dụng vào thực tiễn Toán học có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học công nghệ cũng như trong đời sống sản xuất Nó có vai trò rất quan trọng thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu của mọi ngành khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát triển Nếu các kỹ năng được rèn luyện tốt thì hiệu quả học tập của môn Toán được nâng cao, ngược lại nếu các kỹ năng bị hạn chế thì học tập sẽ mắc phải nhiều khó khăn trong việc chiếm lĩnh kiến thức Toán học

Các định lý cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất đạo đức Hưởng ứng cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học, trong nhiều năm qua việc dạy và học môn Toán nói chung và việc dạy học định lý nói riêng có nhiều chuyển biến theo hướng tích cực Tuy nhiên, đâu đó vẫn còn tình trạng thầy cung cấp định lý, ra bài tập áp dụng, trò vận dụng định lý vào giải định lý như một cái máy mà không hiểu bản chất của định lý là gì, nói về cái gì

và do đó không có khả năng ứng dụng vào thực tiễn (thực tiễn Toán học và thực tiễn đời sống)

Vì lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “ Vận dụng lý luận dạy học môn Toán vào dạy học một số định lý c giải tích ở THPT”

2 Mục đích và phạm vi nghiên cứu

Mục đích và phạm vi nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu quá trình dạy học định lý giải tích ở trường THPT, từ đó đề xuất giải pháp thực hiện việc vận dụng

lý luận dạy học môn toán vào thực tiễn dạy học định lý giải tích ở THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu trên luận văn có các nhiệm vụ sau:

- Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học

- Nghiên cứu lý luận về dạy học định lý

- Nghiên cứu nội dung và chương trình môn học giải tích ở trường THPT

- Tìm hiểu về thực trạng việc dạy học các định lý giải tích ở trường THPT hiện nay

- Đề xuất giải pháp thực hiện việc vận dụng lý luận dạy học môn Toán vào thực tiễn dạy học định lý giải tích ở trường THPT

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm, nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi của giải pháp đã đề xuất trong luận văn

- Viết luận văn

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lý luận

- Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH hiện nay

- Nghiên cứu lý luận về dạy học định lý

- Nghiên cứu một số phương pháp dạy học không truyền thống

4.2 Điều tra khảo sát

- Điều tra khảo sát tìm hiểu nội dung giải tích trong phân bố chương trình môn Toán trong THPT

- Điều tra về thực trạng dạy và học các định lý giải tích ở trường THPT hiện nay

5 Giả thuyết khoa học và ý nghĩa của việc nghiên cứu

5.1 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được những biện pháp phù hợp thực hiện việc vận dụng lý luận dạy học môn Toán vào thực tiễn dạy học các định lý giải tích ở trường THPT thì việc dạy học các định lý giải tích sẽ đạt hiệu quả hơn; học sinh không chỉ nắm được định lý mà còn có khả năng vận dụng định lý vào giải quyết các bài tập và

xa hơn nữa HS được chuẩn bị tinh thần sẵn sàng ứng dụng vào thực tiễn

5.2 Ý nghĩa khoa học của việc nghiên cứu

- Nếu đề xuất được những biện pháp phù hợp thực hiện vận dụng lý luận dạy học môn Toán vào thực tiễn dạy học nội dung giải tích ở trường THPT, thì học sinh sẽ chủ động hơn trong việc lĩnh hội tri thức khi học những nội dung này Từ đó góp phần cao nâng cao hiệu quả dạy học định

lý giải tích nói riêng

- Nếu việc nghiên cứu thành công thì kết quả nghiên cứu có thể áp dụng cho việc dạy học các định lý thuộc các nội dung khác trong môn Toán ở trường THPT

- Kết quả nghiên cứu đề cập đến vấn đề đang được nhiều giáo viên dạy môn Toán ở trường THPT quan tâm và có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp

6 Vấn đề đặt ra mà luận văn cần giải quyết

Trên cơ sở lý luận về dạy học định lý, từ thực trạng việc dạy và học định lý giải tích ở trường THPT hiện nay, nghiên cứu để đề ra những biện pháp có thể thực hiện được nhằm nâng cao hiệu quả dạy học các định lý giải tích ở trường THPT

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận luận văn gồm 3 chương

- Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Nội dung chủ yếu của chương này trình bày những vấn đề về lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu

- Chương II: Vận dụng lý luận dạy học môn Toán vào dạy học một số định

lý của giải tích ở trường THPT

Chương này trình bày qui trình 6 bước dạy học định lý thể hiện việc vận dụng lý luận dạy học môn Toán vào thực tiễn dạy học định lý giải tích ở trường THPT

- Chương III: Thực nghiệm sư phạm

Chương này trình bày nội dung và cách thức tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi của giải pháp đã nêu trong luận văn

Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học

(Phần này được viết dựa trên việc tham khảo các tài liệu:[8]; [9] và [10] )

Nền kinh tế nước ta đang chuyển đổi từ cơ chế kế hoạch hóa tập trung sang cơ chế thị trường có sự quản lý của nhà nước theo định hướng xã hội chủ nghĩa Công cuộc đổi mới đất nước, xây dựng xã hội công nghiệp hóa, hiện đại hóa đang đòi hỏi cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Công cuộc đổi mới này đề ra những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục, điều đó đòi hỏi chúng ta, cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản

về phương pháp dạy học Trước nhu cầu đó, đáng tiếc là trong tình hình hiện nay, phương pháp dạy học ở nước ta tuy đã có nhiều cải cách song đâu đó vẫn còn những nhược điểm:

- Thầy thuyết trình tràn lan

- Kiến thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện

- Thầy áp đặt, trò thụ động

- Thiên về dạy, yếu về học đặc biệt là việc tự học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo của người học

- Không kiểm soát được việc học

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công nghiệp hóa, hiện đại hóa với thực trạng còn lạc hậu của phương pháp dạy học đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành Giáo dục và Đào tạo từ một số năm nay với những tư tưởng chỉ đạo như “ phát huy tính tích cực”, “ phương pháp dạy học ( hoặc giáo dục ) tích cực”, “ tích cực hóa hoạt động học tập”, “ hoạt động hóa người học” Tuy các cách phát biểu có khác nhau về hình thức nhưng đều ngụ ý đòi hỏi phải làm cho học sinh đảm bảo vai trò chủ thể, tích cực hoạt động trong quá trình học tập Đòi

hỏi này đã được phản ánh trong những văn bản pháp quy của nhà nước Luật giáo dục nước cộng hòa xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định

“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,

tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh” theo ( Luật Giáo dục 1998, chương I, điều 24)

Quy định này đã trở thành định hướng cho việc đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay, có thể gọi tắt là định hướng hoạt động mà tinh thần cơ bản là:

"Phương pháp dạy học cần tạo cơ hội cho người học học tập trong hoạt động

và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, và sáng tạo." (xem [10])

Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định Đó trước hết

là những hoạt động đã được tiến hành trong quá trình lịch sử hình thành và ứng dụng những tri thức được bao hàm trong nội dung này, cũng chính là những hoạt động để người học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri thức trong nội dung

đó Trong quá trình dạy học, ta còn phải kể tới cả những hoạt động có tác dụng củng cố tri thức, rèn luyện những kĩ năng và hình thành những thái độ có liên quan

Phát hiện được những hoạt động như vậy trong một nội dung là vạch được một con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được những mục tiêu dạy học khác, cũng đồng thời là cụ thể hóa được mục tiêu dạy học nội dung đó

và chỉ ra được một cách kiểm tra xem mục tiêu dạy học có đạt được hay không

và đạt được đến mức độ nào Cho nên điều căn bản của phương pháp dạy học là khai thác những hoạt động như trên tiềm tàng trong mỗi nội dung để đạt được mục tiêu dạy học Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục học cho rằng con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động

Hoạt động liên hệ với các yếu tố: Chủ thể, đối tượng, mục tiêu, phương tiện, kết quả; riêng hoạt động học còn liên hệ với một yếu tố nữa, đó là thầy giáo Cụ thể hóa định hướng trên liên hệ với những yếu tố này, ta thấy rõ những hàm ý sau đây đặc trưng cho phương pháp dạy học hiện đại

Người học là ch thể hoạt động học tập độc lập hoặc hợp tác

Thứ nhất, người học là chủ thể hoạt động học tập tự giác, tích cực chủ động và

sáng tạo

Người học là chủ thể kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành thái độ chứ không phải là nhân vật bị động hoàn toàn làm theo lệnh của thầy giáo Với định hướng “ hoạt động hóa người học”, vai trò chủ thể của người học được khẳng định trong quá trình họ học tập trong hoạt động và bằng hoạt động của bản thân

mình

Tính tự giác, tích cực của người học từ lâu đã trở thành một nguyên tắc của giáo dục học xã hội chủ nghĩa Nguyên tắc này bây giờ không mới, nhưng vẫn chưa được thực hiện trong cách dạy học thầy nói, trò nghe vẫn còn đang rất phổ biến

hiện nay

Thứ hai, người học được khuyến khích hoạt động học tập độc lập hoặc hợp tác

Mặc dầu trong quá trình học tập vẫn có cả những pha học sinh hoạt động dưới

sự dẫn dắt của thầy hoặc có sự hỗ trợ của bạn, nhưng hoạt động độc lập của học sinh là thành phần không thể thiếu để đảm bảo việc học thành công Mặt khác,

do bản chất xã hội của việc học tập, phương diện hợp tác, giao lưu ngày càng được quan tâm và nhấn mạnh trong phương pháp dạy học, những yếu tố như học

theo nhóm, theo cặp, học sinh trình bày, tranh luận, ngày càng được tăng cường

Hoạt động học tập diễn ra một cách độc lập trong hợp tác không có nghĩa là hai hình thức này phải được cân bằng trong không gian và thời gian một cách máy móc Tùy theo mục tiêu và hoàn cảnh cụ thể, học sinh khi thì hoạt động độc lập, khi thì hợp tác giao lưu, có khi thực hiện xen kẽ, nhưng trong toàn bộ quá trình

dạy học thì cả hai hình thức đều rất quan trọng

Tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư phạm

Tri thức là đối tượng của hoạt động học tập Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo thường không thể trao ngay cho học sinh tri thức đó; cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích cực và hoạt động sáng tạo của bản thân

Theo thuyết kiến tạo trong tâm lý học, học tập là một quá trình trong đó người học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách thích nghi với môi trường sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và những sự mất cân bằng Tuy nhiên, như nhiều nhà lí luận dạy học của Pháp đã khẳng định, một môi trường không có dụng ý sư phạm là không đủ để chủ thể kiến tạo được tri thức theo đúng yêu cầu

mà xã hội mong muốn

Dạy việc học, dạy tự học thông qu toàn bộ quá trình dạy học

Thứ nhất, mục tiêu dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình

học tập, ở tri thức và kĩ năng bộ môn, mà điều quan trọng hơn là ở bản thân việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quá trình học tập một cách hiệu quả

Thứ hai, một mặt đặc biệt quan trọng của việc dạy học là dạy tự học Nếu đặt

mục tiêu dạy một lần đủ tri thức để người học có thể sống và hoạt động suốt đời thì sẽ không bao giờ đạt được Để có thể sống và hoạt động suốt đời thì phải học suốt đời Để học được suốt đời thì phải có khả năng tự học Khả năng này cần được rèn luyện ngay trong khi còn là học sinh ngồi trên ghế nhà trường Vì vậy quá trình dạy học phải bao hàm cả dạy tự học Việc dạy tự học đương nhiên chỉ

có thể thực hiện được trong một cách dạy học mà người học là chủ thể, tự họ hoạt động để đáp ứng nhu cầu của xã hội đã chuyển hóa thành nhu cầu của chính bản thân

Thứ ba, việc nhấn mạnh vai trò của tự học và dạy tự học không có nghĩa làphủ

nhận bản chất xã hội của việc học tập Biết tự học cũng có nghĩa là biết kế thừa

di sản văn hóa của nhân loại, biết khai thác những phương tiện mà loài người

cung cấp cho mình để thực hiện quá trình học tập Để hiểu nghĩa của một số thuật ngữ trong một bài văn, học sinh có thể và cần biết cách tra từ điển Trong điều kiện công nghệ thông tin và truyền thông phát triển mạnh, biết tự học cũng

có nghĩa là biết tra cứu những thông tin cần thiết, biết khai thác những ngân hàng dữ liệu của những trung tâm lớn, kể cả trên Internet để hỗ trợ cho nhiệm vụ học tập của mình

Thứ tư, dạy việc học, dạy tự học không thể tách rời dạy đánh giá và tự đánh giá

Biết đánh giá và tự đánh giá là một tiền đề quan trọng để học tốt Trong dạy học hiện đại, đánh giá không còn là “độc quyền” của giáo viên Giáo viên cần hướng dẫn học sinh “ tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học”, “ tạo điều kiện thuận lợi

để học sinh được tham gia đánh giá lẫn nhau”, bởi vì “ tự đánh giá đúng và điều chỉnh hoạt động kịp thời” là một năng lực rất cần cho quá trình dạy học, giáo dục của nhà trường và “ cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trường phải trang bị cho học sinh” ( Trần Bá Hoành,2003, tr 17- 18)

Tự tạo và kh i thác những phương tiện dạy học để tiếp nối và gi tăng sức mạnh c con người

Phương tiện dạy học, từ tài liệu in ấn và những đồ dung dạy học đơn giản tới những phương tiện kĩ thuật tinh vi như: thiết bị nghe nhìn, công nghệ thông tin

và truyền thông, giúp thiết lập những tình huống dụng ý sư phạm, tổ chức những hoạt động và giao lưu của thầy và trò

Tạo niềm lạc qu n học tập dự trên l o động và thành quả c bản thân người học

Hoạt động học tập tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo một mặt đòi hỏi và mặt khác tạo ra niềm vui Niềm vui này có thể có được bằng nhiều cách khác nhau như động viên, khen thưởng, nhưng quan trọng nhất vẫn là niềm lạc quan dựa trên lao động và thành quả học tập của bản thân người học Nếu dạy học không sát trình độ, luôn luôn ra bài quá khó trên sức học sinh, để học sinh thất bại liên tiếp trong quá trình giải bài tập thì sẽ giết chết niềm lạc quan học tập của họ, cho nên tổ chức cho học sinh học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo gắn liền

với việc tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân người học

Xác định v i trò mới c người thầy với tư cách người thiết kế, y thác, điều khiển và thể thức hó

Về yếu tố thầy giáo đối với hoạt động học, hoạt động hóa người học dễ dẫn tới việc ngộ nhận về sự giảm sút vai trò của người thầy

Cần phải hiểu rằng hoạt động hóa người học, sự xác lập vị trí chủ thể của người học không hề làm suy giảm, mà ngược lại còn nâng cao vai trò, trách nhiệm của người thầy Đối với học sinh diện phổ cập, không có vai trò của người thầy thì người học không thể đảm nhiệm vị trí chủ thể, không thể hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo trong quá trình học tập

- Thiết kế là lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học và mặt mục tiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức

- Uỷ thác là biến ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ học tập tự nguyện tự giác của trò, là chuyển giao cho trò không phải những tri thức dưới dạng

có sẵn mà là những tình huống để trò hoạt động và thích nghi

- Điều khiển, kể cả điều khiển về mặt tâm lí, bao gồm sự động viên, hướng dẫn trợ giúp và đánh giá

- Thể thức hóa là xác nhận những kiến thức mới phát hiện, thống nhất những kiến thức riêng lẻ mang màu sắc cá thể phụ thuộc hoàn cảnh và thời gian của từng học sinh thành tri thức khoa học của xã hội, chuẩn hóa chương trình về vị thế, mức độ yêu cầu và cách thức diễn đạt tri thức trong hệ thống tri thức đã có, hướng dẫn vận dụng và ghi nhớ hoặc giải phóng khỏi trí nhớ nếu không cần thiết

1.1.2 Lý luận về dạy học định lý

(Phần này được viết dựa trên việc tham khảo các tài liệu:[9] và [10] )

a Hai con đường dạy học định lý

Trong việc dạy học những định lý Toán học, người ta phân biệt hai con đường: Con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn

Sự khác biệt căn bản giữa hai con đường đó là ở chỗ: theo con đường có khâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lí, còn ở con đường suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bước

Con đường có khâu suy đoán

Các bước dạy học định lý theo con đường có khâu suy đoán:

- Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học

- Dự đoán và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp nhận thức mang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến xét mối liên hệ và phụ thuộc

- Chứng minh định lí dựa vào việc gợi động cơ chứng minh và gợi cho học sinh thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phương pháp suy

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lý

Chứng minh định lý

Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề đặt

ra Củng cố định lý

Suy diễn dẫn tới định lý

Phát biểu định lý

luận, chứng minh thông dụng và những quy tắc kết luận logic thường dùng Tùy theo yêu cầu của chương trình, trong những trường hợp nhất định, việc chứng minh một số định lí có thể không đặt ra cho chương trình phổ thông

- Vận dụng định lí vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi động cơ

- Củng cố định lí

Mặc dù tốn nhiều thời gian, con đường co khâu suy đoán có các ưu điểm sau đây:

- Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn

đề, khuyến khích học tập tri thức Toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức Toán học

Con đường này thường được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện định

lí mà học sinh có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện được tới mức độ nhất định Tuy nhiên, điều kiện đó không phải bao giờ cũng được thỏa mãn

Con đường suy diễn

Các bước dạy học định lý theo con đường suy diễn:

- Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học

- Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, dung suy diễn logic dẫn tới định lí

- Phát biểu định lí

- Vận dụng định lí vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi động cơ

- Củng cố định lí

Tuy nhiên, con đường suy diễn có ưu điểm là ngắn gọn và tạo cơ hội cho học sinh tập dượt theo những sách báo Toán học Trong quá trình dạy học, nó thường được dùng khi chưa thiết kế được một cách dễ hiểu để học sinh có thể tìm tòi, phát hiện định lí, hoặc khi quá trình suy diễn tới định lí là ngắn gọn và đơn giản

sin(a b).sin(a b) [sin a cos b cosa sin b][sin a cos b cosa sin b]

=sin a.cos b cos a.sin b sin a.(1 sin b) (1 sin a).sin b

sin a sin a.sin b sin b sin a.sin b sin a sin b

(1 cos a) (1 cos b) cos b cos a

thói quen và thái độ

Củng cố không chỉ giúp người học hiểu sâu tri thức mới mà còn giúp họ nắm vững các tri thức đó, đặc biệt là các tri thức phương pháp Củng cố còn giúp người học rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo, phát triển tư duy, giúp người học có thể phát hiện và giải quyết những vấn đề liên quan đến những phương diện khác nhau của tri thức, bổ sung hoàn thiện và mở rộng tri thức Từ đó, thúc đẩy và rèn luyện khả năng vận dụng, liên kết những tri thức và kĩ năng mới với những tri thức và kĩ năng đã biết vào giải quyết những vấn đề mới trong nội bộ Toán học

cũng như trong thuc tiễn cuộc sống

Phương pháp dạy học cần tạo cơ hội cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo Vì vậy, để HS làm chủ được tri thức nên củng cố dưới các hoạt động và bằng hoạt động Đồng thời, củng cố phải được diễn ra thường xuyên để đảm bảo HS không bị hổng kiến thức Củng cố chỉ có thể thực hiện dựa vào các nội dung cụ thể và được diễn ra dưới các hình thức như: luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hóa và ôn tập

Củng cố thường được thực hiện bằng các hoạt động sau:

Nhận dạng và thể hiện định lí

- Nhận dạng và thể hiện định lí là hai dạng hoạt động theo chiều trái ngược

nhau, có tác dụng củng cố định lí, tạo tiền đề cho việc vận dụng định lí

- Nhận dạng một định lí là xem xét một tình huống cho trước có ăn khớp với định lí đó hay không, còn thể hiện một định lí là xây dựng một tình

huống ăn khớp với định lí cho trước

VD: Khi dạy học tính chất của nguyên hàm (Giải tích 12)

Từ các câu hỏi sau:

- Cho f(x)=2sinx cosx Trong các hàm số sau, hàm số nào là nguyên hàm của f (x)

- Cho f(x)=2x-2 Trong các hàm số sau, hàm số nào là nguyên hàm của

Hoạt động ngôn ngữ

Hoạt động ngôn ngữ là một trong những biện pháp dùng để củng cố định lí và

nó được tiến hành sau khi kết thúc việc dạy học một định lí Hoạt động ngôn ngữ tức là HS phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình, biết thay đổi cách phát biểu, diễn đạt định lí dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau của Toán học Ngôn ngữ Toán học bao gồm các kí hiệu, thuật ngữ (từ, cụm từ), biểu tượng và các quy tắc kết hợp chúng dùng làm phương tiện để biểu diễn chữ số, chữ cái, dấu các phép Toán, dấu quan hệ và các dấu ngoặc được dùng trong Toán học Biểu tượng gồm hình ảnh, hình vẽ, sơ đồ hoặc mô hình của đối tượng cụ thể

Hiệu quả mà củng cố định lí thông qua hoạt động ngôn ngữ có thể mang lại: Các hình thức củng cố truyền thống như: Luyên tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hóa

và ôn tập cùng với các biện pháp củng cố khác nhau như nhận dạng và thể hiện, kiểm tra, đánh giá giả thiết, đóng một vai trò hết sức quan trọng trong việc rèn luyện kĩ năng kĩ xảo và bồi dưỡng khả năng tư duy cho học sinh; giúp HS ghi nhớ, khắc sâu kiến thức cũng như các tri thức phương pháp vừa được học, từ đó

có thể áp dụng vào thực tiễn Toán học và đời sống Ngoài những hiệu quả đó, hoạt động ngôn ngữ còn có thể mang lại những hoạt động sau:

- Khi HS phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình sẽ giúp cho HS phát triển ngôn ngữ, tăng khả năng giao tiếp đồng thời góp phần phát triển tư duy HS

- Khi HS chuyển định lí từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ Toán học, sử dụng các kí hiệu Toán học sẽ giúp HS hiểu rõ hơn công dụng, ý nghĩa của các kí hiệu Toán học, giúp HS linh hoạt trong việc sử dụng các kí hiệu Toán học

- Khi HS chuyển định lí từ ngôn ngữ tự nhiên sang các hình vẽ Dùng hình

vẽ, biểu tượng để thể hiện nội dung định lí sẽ giúp HStăng khả năng tưởng tượng, khả năng đọc hình

Một số lưu ý khi sử dụng biện pháp hoạt động ngôn ngữ

- Không phải tất cả định lí đều có thể phát biểu được dưới nhiều dạng khác nhau Do đó GV cần cân nhắc, xem xét kĩ lưỡng xem định lí đó có thể phát biểu được những dạng nào

- Tùy từng đối tượng HS mà ta áp dụng

VD: Định lí về điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị (giải tích 12)

"Gia sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm xo và có đạo hàm trên các khoảng (a;xo) và (xo;b) Khi đó

- Nếu với f'(x) <0 mọi x thuộc ( a; xo) và f'(x) > 0 với mọi x thuộc (xo;b) thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo

- Nếu với f'(x) <0 mọi x thuộc ( a; xo) và f'(x) < 0 với mọi x thuộc (xo;b) thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo"

Sau khi dạy học xong định lí này, GV có thể đặt ra câu hỏi sau: Dấu của f'

(x) thay đổi như thế nào khi x đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số? Với câu hỏi này, HS suy nghĩ và có thể phát biểu lại định lí như sau:

- Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm xo thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xo

- Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm xo thì hàm số đạt cực đại tại điểm xo ."

Sau khi HS phát biểu lại định lí bằng lời, GV có thể đặt ra câu hỏi tiếp theo: Em

có thể phát biểu định lí này dưới dạng bảng biến thiên không? Với câu hỏi này học sinh khá, giỏi sẽ vẽ được bảng biến thiên thể hiện nội dung định lí

Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tượng tự hóa và hệ thống hóa những định lí

Hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa cho phép củng cố ban đầu định lí, vì nó cho phép hiểu rõ hơn các đặc trưng của định lí, mối quan hệ của định lí với các định lí đã học, với định lí mới mà ta công nhận hay sắp chứng minh và cả với

những mệnh đề dự đoán mà ta mong muốn HS đi sâu nghiên cứu

Khái quát hóa tức là từ những kết quả cụ thể có thể đưa ra những kết quả tổng

quát hơn, từ những cá thể riêng lẻ đưa cái chung cho mọi cá thể Với biện pháp này sẽ giúp HS có tầm nhìn rộng hơn

VD: Khi dạy học về bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Đại

Đặc biệt hó tức là từ kết quả đã tìm được ta áp dụng vào những trường hợp đặc

biệt để được kết quả mới

Tương tự hó là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ

của những đối tượng Toán học khác nhau Với sự tương tự hóa, HS thấy được các thành phần của Toán học có mối liên hệ gần gũi với nhau

Hệ thống hó là sắp xếp định lí mới vào hệ thống định lí đã học, nhận biết mối

quan hệ giữa các định lí khác nhau trong một hệ thống định lí Qua đó, HS sẽ thấy được một định lí có thể là một trường hợp đặc biệt hay một sự mở rộng của định lí khác hay từ một số định lí suy ra một định lí nào đó

Việc vận dụng định lí để giải bài tập toán, kể cả những bài tập chứng minh, và giải quyết những vấn đề nảy sinh trong Toán học và trong đời sống không những có tác dụng củng cố định lì mà còn chính là mục tiêu sâu xa của việc học tập định lí

c Phát triển năng lực chứng minh toán học

Gợi động cơ chứng minh

Những lần đầu chứng minh một định lí hay giải một bài tập chứng minh theo yêu cầu của thầy giáo, học sinh thường chưa thấy rõ sự cần thiết phải làm việc này Lên bậc trung học phổ thông, câu hỏi đặt ra về nhu cầu chứng minh tuy có bớt căng thẳng hơn, nhưng thật ra học sinh cũng không dễ gì ý thức được một cách chính xác lí do của việc làm này.Vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh thấy rõ sự cần thiết phải chứng minh một mệnh đề Toán học Có giải đáp được câu hỏi này thì mới phát huy được tính tự giác, tích cực của học sinh trong học tập

Hướng dẫn HS tri thức phương pháp trong chứng minh định lí

Trong quá trình dạy học chứng minh, cần hướng dẫn cho học sinh những tri thức phương pháp trong chứng minh toán học

Thứ nhất, là những tri thức về các quy tắc kết luận logic nhưng ở trường phổ

thông chúng chỉ được truyền thụ theo con đường không tường minh: tập luyện cho học sinh những hoạt động ăn khớp với những quy tắc đó

Thứ h i, cần giúp học sinh hình thành những tri thức về những phương pháp

suy luận, chứng minh như suy ngược (suy ngược tiến, suy ngược lùi), suy xuôi, quy nạp toán học và chứng minh bằng phản chứng, theo con đường thông báo những phương pháp đó ở những cơ hội thích hợp trong quá trình hoạt động

Thứ b , cần làm cho học sinh thấy rõ ba bộ phận cấu thành và ba yêu cầu đảm

bảo chứng minh

Một chứng minh bao gồm ba bộ phận:

- Luận đề là mệnh đề cần chứng minh

- Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa, định lí đã biết

- Luận chứng là những phép suy luận được sử dụng trong chứng minh Liên hệ với ba bộ phận cấu thành của chứng minh người ta nhấn mạnh ba yêu cầu sau đây để đảm bảo chứng minh là đúng:

- Luận đề không được đánh tráo

- Luận cứ phải đúng

- Luận chứng phải hợp logic

Thứ tư, người giáo viên cần hình thành ở học sinh những tri thức phương pháp

về chiến lược giải toán chứng minh theo con đường tập luyện những hoạt động

ăn khớp với những tri thức này

Ở trình độ thấp, ngay đối với một số quy tắc, phương pháp được quy định trong chương trình, nhiều khi người ta không yêu cầu dạy cho học sinh phát biểu tổng quát mà chỉ cần họ biết cách thực hành quy tắc, phương pháp đó nhờ một quá trình làm việc theo mẫu

Đối với những tri thức phương pháp không quy định trong chương trình mà chỉ thỏa mãn tiêu chuẩn thứ nhất chứ không thỏa mãn tiêu chuẩn thứ hai, ta có thể

đề cập ở mức độ thấp nhất chỉ tập luyện những hoạt động ăn khớp với nhứng tri thức phương pháp đó Những tri thức như thế cần được thầy giáo vận dụng một

cách có ý thức trong việc ra bài tập, trong việc hướng dẫn và bình luận hoạt động của học sinh

Phân bậc hoạt động chứng minh

Trong dạy học là phải xác định được những mức độ yêu cầu thể hiện ở những hoạt động mà học sinh phải đạt được hoặc có thể đạt vào lúc cuối cùng hay ở những thời điểm trung gian Ở đây thuật ngữ “mức độ”, và do đó cả thuật ngữ

“phân bậc”, có thể được hiểu vừa theo nghĩa “vĩ mô” vừa theo nghĩa “vi mô” Theo nghĩa vĩ mô, ta nói tới những mức độ của một hoạt động trong những giai đoạn khác nhau của toàn bộ thời gian học ở trường phổ thông, của một lớp hay một cấp học nào đó Theo nghĩa vĩ mô, những mức độ hoạt động được hiểu là những mức độ khó khăn hay mức độ yêu cầu trong một khoảng thời gian ngắn, trong một tiết học

Sự phân bậc theo một tiêu chí bao quát là căn cứ vào tính độc lập của hoạt động của học sinh thể hiện ở ba mức độ:

1.1.3 Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học định lí

a Một số khái niệm cơ bản

toán đối với chủ thể Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra

mục tiêu tìm phần tử chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước

ở trong khách thể thì ta có một bài toán Một bài toán được gọi là vấn đề nếu

chủ thể chưa biết một thuật giải nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán

Tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề, còn gọi là tình huống vấn đề, là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật giải mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có Như vậy tình huống gợi vấn đề là một tình huống thỏa mãn các điều kiện sau:

Trong tình huống gợi vấn đề, học sinh phải thấy cần thiết, thấy có nhu cầu cần giải quyết vấn đề tồn tại trong tình huống đó

Khơi dạy niềm tin ở khả năng bản thân

Tình huống cần khơi dậy ở học sinh cảm nghĩ là tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số tri thức, kĩ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hi vọng giải quyết được vấn đề đó

Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề, được hiểu là sự tổ chức quá trình dạy học bao gồm việc tạo ra những tình huống gợi vấn đề trong giờ học, kích thích ở học

sinh nhu cầu cần giải quyết vấn đề nảy sinh, lôi cuốn các em vào hoạt động nhận thức, tự học, nhằm nắm vững kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mới, phát triển tính tích cực của trí tuệ và hình thành cho các em năng lực tự mình thông hiểu, học cách

tự khám phá và lĩnh hội tri thức mới

Đặc điểm c phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề, thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn

luyện kĩ năng và đạt được những mục tiêu học tập khác Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc điểm sau đây:

- Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn

- Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động

- Mục tiêu dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy Nói cách khác,

học sinh được học bản thân việc học

b Những hình thức và cấp độ dạy học phát triển và giải quyết vấn đề

Người học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề

Đây là một hình thức dạy học mà tính độc lập của người học được phát huy cao

độ Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, người học tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó tức là người học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này

Người học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề

Hình thức này chỉ khác hình thức thứ nhất ở chỗ quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề không diễn ra một cách đơn lẻ ở một người học, mà có sự hợp tác

giữa những người học với nhau, chẳng hạn dưới hình thức học nhóm, học tổ, làm dự án…

Thầy trò vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong hình thức này, học trò làm việc không hoàn toàn độc lập mà có sự dẫn dắt

của thầy khi cần thiết

- Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề và đưa ra câu hỏi

- Học trò trả lời câu hỏi hoặc hành động đáp lại

Giáo viên thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Ở hình thức này, mức độ làm việc độc lập của học sinh thấp hơn

- Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó tự bản thân giáo viên phát hiện vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ, giải quyết Trong quá trình

đó, có việc tìm tòi, dự đoán, có lúc thành công, có lúc thất bại, phải điều chỉnh phương hướng mới đi đến kết quả

- Học sinh được đặt trong tình huống gợi vấn đề, trong quá trình mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thực sự

c Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học định lí

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do giáo viên tạo

ra Có thể liên tưởng những cách suy nghĩ tìm tòi, dự đoán như đã được trình bày trong phần gợi động cơ mở đầu

- Giải thích và chính xác hóa tình huống ( khi cần thiết ) để hiểu đúng vấn

đề được đặt ra

Bước 2: Tìm giải pháp

- Tìm một cách giải quyết vấn đề Việc này thường được thực hiện theo sơ

đồ sau:

Kết thúc Khâu này có thể được làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng đi hợp lí Từ đó, hình thành được một giải pháp và kiểm tra giải pháp xem nó có đúng đắn hay không, nếu đúng thì kết thúc còn sai thì quay lại khâu phân tích vấn đề

- Sau khi tìm ra một giải pháp có thể tìm thêm các giải pháp khác, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày giải pháp

Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì có thể không cần phát biểu lại vấn đề Trong khi trình bày, cần tuân thủ các chuẩn mực đề ra trong nhà trường như ghi rõ giả thiết, kết luận đối với bài toán chứng minh, phân biệt các phần: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận đối với bài toán dựng hình…

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa lật ngược vấn đề,…và giải quyết nếu có thể

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có nhiều hình thức phong phú, đa dạng quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề được chia thành các bước khác nhau, ở phương pháp dạy học này là sự tổ chức làm xuất hiện tình huống gợi vấn đề, học sinh nhận thức được vấn đề, chấp nhận giải quyết và tìm lời giải trong quá trình hợp tác giữa giáo viên và học sinh, phát huy tính độc lập, tích cực nhận thức của học sinh dưới sự hướng dẫn của giáo viên

1.2 Cơ sở thực tiễn

1.2.1 Vị trí vai trò của các định lí về giải tích trong chương trình môn Toán

ở THPT

 Có thể nói môn giải tích ở bậc phổ thông gồm 2 trụ cột chính là: Giới hạn

và liên tục, phép tính vi phân và tích phân Giải tích là môn học có nhiều ứng dụng trong Toán, trong các môn học khác và trong thực tế đời sống

 Giải tích ở bậc phổ thông bao gồm những khái niệm và định lý cơ bản nhất về giải tích Việc trang bị cho HS các kiến thức này với mục đích HS

có thêm công cụ để sau này có thể áp dụng vào thực tiễn lao động sản xuất hoặc học tiếp các môn Toán cao cấp ở bậc Đại học sau này

 Môn giải tích HS bắt đầu được học từ lớp 11 Tuy nhiên HS đã được làm quen với các khái niệm của giải tích từ lớp dưới như: Dãy số (hữu hạn), hàm số và đồ thị, khảo sát sự biến thiên của hàm số Dù vậy, giải tích vẫn

là một môn mới đối với học sinh, nó liên quan đến các khái niệm trìu tượng như giới hạn, liên tục, phép tính vi phân và tích phân và liên quan đến các đại lương vô cùng lớn, vô cùng bé Do đó việc dạy cho HS nắm được nội hàm của mỗi khái niệm giải tích là rất khó Điều này kéo theo việc dạy cho HS nắm được nội dung các định lý về giải tích (một cách không khiên cưỡng) lại càng khó hơn Không ít HS và có khi cả GV cũng không hiểu hết nội hàm của mỗi khái niệm giải tích nên chỉ dạy và học đúng (như in) trong SGK

 Giải tích là môn học giúp HS nhìn nhận nhiều vấn đề của Toán học mà học sinh được học ừ các lớp dưới, ở tầm "vĩ mô" Chẳng hạn:

- Hữu hạn sang vô hạn

- Từ rời rạc sang liên tục

- Từ rời rạc sang cấu trúc

 Giải tích là môi trường rất thuận lợi giúp rèn luyện cho HS các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trìu tượng hóa

1.2.2 Thực trạng và khó khăn trong dạy học định lí nói chung và các định lý giải tích nói riêng ở trường THPT hiện nay

a Một số tồn tại trong dạy và học định lý

Hoạt động dạy và học ở các trường THPT đã có nhiều chuyển biến tích cực Tuy nhiên, việc dạy và học định lí Toán học nói chung và việc dạy và học các định lý

về giải tích đâu đó vẫn còn những tồn tại sau:

 Thứ nhất, vẫn còn cách dạy thiên về truyền thụ một chiều cốt sao để HS hiểu định lí và có thể vận dụng được vào các tình huống mẫu đã được lựa chọn

 Thứ hai, trong DH định lí, GV chưa quan tâm tới việc giúp HS tự mình phát hiện, khám phá, đi đến kết luận

 Thứ ba, nhiều định lý giải tích SGK không yêu cầu chứng minh, điều này làm cho GV rất khó giúp HS hiểu nội dung định lý nói gì?

 Thứ tư, với nhiều định lý giải tích, GV rất khó giúp HS tiếp cận theo con đường kiến tạo để phát hiện ra định lý Vì thế không ít HS chấp nhận định

Khó khăn c GV khi dạy định lí giải tích

Trong dạy học định lý nói chung, trong dạy học định lí về giải tích nói riêng giáo viên còn gặp một số khó khăn sau:

- Các định lí giải tích gắn với các khái niệm mới đối với HS đó là: giới hạn, liên tục, phép tính vi phân và tích phân Thời gian dạy trên lớp rất ít mà kiến thức thì nhiều

- Định lí giải tích có nội dung khó, có tính trừu tượng cao nên còn nhiều HS không thích học thậm chí còn thấy sợ khi học chúng

- Vốn tri thức và kỹ năng cần thiết, khả năng nhận thức của các HS quá chênh lệch Để soạn được một giáo án dạy học định lí phát huy tính tích cực của học sinh, đòi hỏi GV rất nhiều thời gian và công sức Vì thế, không phải giáo viên nào cũng đủ điều kiện và năng lực khai thác triệt để

lí luận dạy học định lí để vận dụng vào dạy học mỗi định lý giải tích cụ thể

- Thời lượng dạy trên lớp rất ít mà kiến thức thì nhiều và khó, đặc biệt là các định lý về giải tích, nên việc dạy để học sinh nắm được định lý đã khó, dạy để học sinh có thể vận dụng định lý vào thực tiễn của chính môn Toán, vào các môn học khác và vào thực tiễn đời sống còn khó hơn nhiều!

- Định lí về giải tích có tính trừu tượng cao lại gắn với các khái niệm: Giới hạn, liên tục, vô cực mà học sinh mới được làm quen, nên còn nhiều HS không thích học thậm chí còn thấy sợ khi học chúng - Đó là một khó khăn lớn nhất đối với GV

- Vốn tri thức và kỹ năng cần thiết, khả năng nhận thức của các HS quá chênh lệch, nhất là ở các vùng sâu vùng xa Vì thế giáo viên rất khó lựa chọn phương pháp để dạy các định lý về giải tích

- Để soạn được giáo án dạy học định lí giải tích đòi hỏi GV cần rất nhiều thời gian và công sức, cần các công cụ hỗ trợ về CNTT (nhất là trong dạy học các định lý về giới hạn) Vì thế, không phải giáo viên nào, không phải trường nào cũng đáp ứng đủ các điều kiện nói trên - Đó chính là một khó khăn đối với GV

Khó khăn c HS khi học định lí giải tích

Trong quá trình học định lý nói chung và học các định lí về giải tích nói riêng,

HS còn gặp một số khó khăn sau:

- Nội dung các định lí về giải tích khó, học sinh mới được làm quen; định

lí sau thường bắt nguồn, xuất phát từ định lí trước nên HS rất khó khăn trong việc hiểu các định lý về giải tích ở tầm "vĩ mô" Chẳng hạn: Học về giới hạn của dãy để chuẩn bị công cụ cho việc học về giới hạn của hàm; Học về giới hạn của hàm để chuẩn bị công cụ cho việc học về tính liên tục của hàm; Học về tính liên tục của hàm số để chuẩn bị công cụ cho việc học về đạo hàm, vi phân và tích phân của hàm số

- Do sự định hướng của người thầy về phương pháp học tập định lí về giải tích chưa phù hợp dẫn đến nhiều em không biết học cái gì và học như thế nào Đôi khi cách dạy học định lí về giải tích của giáo viên ảnh hưởng trực tiếp đến tâm lý của học trò Đem đến sự nhàm chán, không phát huy được tính tích cực, độc lập sáng tạo của các em HS chỉ áp dụng định lý

để giải bài tập như một cái máy

- Các em ít được tiếp cận với các phần mềm dạy học khái niệm và định lý

về giải tích (có thể do thầy hoặc do điều kiện về cơ sở vật chất của nhà trường) dẫn đến tính trừu tượng của các khái niệm giới hạn, liên tục, vô cực không được hóa giải Các em chỉ còn biết tiếp thu các kiến thức một cách thụ động và áp dụng các định lý về giải tích trong giải bài tập một cách máy móc

- Thời gian ở nhà của HS thường rất ít nên khó có thời gian để tự học Tài liệu tham khảo phù hợp cho HS chưa nhiều, nhất là ở các vùng sâu , vùng

xa Điều này ảnh hưởng không nhỏ đến khả năng tiếp thu các định lý về giải tích của các em

Kết luận chương

Trong chương 1, luận văn đã phân tích làm rõ các vấn đề bằng lý luận và thực tiễn liên quan đến đề tài Từ sự phân tích trên đây có thể khăng định rằng việc vận dụng lý luận vào dạy học một số định lý của giải tích ở trường THPT là nhu cầu cấp thiết của việc đổi mới PPDH phù hợp với điều kiện hoàn cảnh nước ta trong thời đại hiện đại hóa – công nghiệp hóa hiện nay Đồng thời cũng phù hợp với xu hướng giáo dục của nhiều nước trên thế giới Đây cũng là cơ sở để tiến hành thực hiện nhiệm vụ chương 2 của luận văn

Chương 2: VẬN DỤNG LLDH MÔN TOÁN VÀO DẠY HỌC MỘT SỐ

ĐỊNH LÝ VỀ GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG THPT

(Chương này được viết dựa trên việc tham khảo các tài liệu:[11]; [12] và [13] )

Dạy học định lí là một trong bốn tình huống điển hình trong dạy học môn Toán Các định lý về giải tích trong chương trình môn Toán ở THPT là một trong những nội dung khó đối với cả trò và thầy Không chỉ khó về nội dung, khó về cách tiếp cận định lý mà còn khó về cách thức vận dụng định lý vào thực tiễn của chính môn Toán, vào các môn học khác và vào thực tiễn đời sống Trong dạy học định lí Toán học, người ta phân biệt hai con đường: con đường

có khâu suy đoán và con đường suy diễn Dựa trên hai con đường này, chúng tôi

đề xuất một một quy trình dạy học định lý với 6 bước cụ thể nhằm khắc phục

một phần những khó khăn cho cả thầy và trò trong dạy và học các định lý về giải tích ở THPT Qui trình dạy học định lý gồm 6 bước tác động đến cả 3 giai đoạn dạy và học một định lý cụ thể nào đó về giải tích: Giai đoạn trước khi, trong khi

và sau khi dạy học định lý Tuy nhiên vì đây là qui trình dành cho GV, nên chúng tôi quan tâm nhiều hơn đến các hoạt động của thầy trước, trong và sau khi dạy học một định lý cụ thể nào đó Đặc biệt chúng tôi lưu ý đến các bước chuẩn

bị của Gv trước khi dạy học một định lý

2.1 Quy trình dạy học một định lý cụ thể

2.1.1 ước : Tìm hiểu nội dung, mục tiêu dạy học đinh lý cũng như vai trò

và vị trí của định lý trong tiết học, chương học và trong cả chương trình môn Toán ở THPT

a Nội dung và mục đích của bước

 Tìm hiểu nội dung và mục tiêu dạy học định lý nhằm mục đích:

- Xác định con đường dạy học định lý đó (con đường suy diễn hay con đường có khâu suy đoán)

- Xác định phương pháp dạy học phù hợp

- Xác định dụng cụ dạy học cần sử dụng (máy chiếu, bảng phụ, giáo

- Biết được định lý này được dùng để dạy những kiến thức nào ở phía sau (tiết sau, chương sau, lớp sau ), để khi dạy định lý đó GV

có ý thức chuẩn bị cơ sở (về kiến thức và phương pháp) cho việc dạy các kiến thức có liên quan ở phía sau; để GV tránh mắc phải sai lầm dạy những kiến thức vượt ra khỏi qui định của chương trình

b Ví dụ minh họa

Khi dạy học định lý về giá trị trung bình của hàm liên tục " Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] Nếu f(a) f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b) tồn tại ít nhất một điểm c thuộc (a, b) sao cho f(c) = M." Giáo viên cần nghiên cứu để xác định nội dung, mục tiêu dạy học đinh lý đó cũng như vai trò

và vị trí của định lý đó trong tiết học, chương học và trong cả chương trình môn Toán ở THPT Cụ thể là:

 Nội dung và mục tiêu dạy học định lý này, giúp học sinh hiểu được nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a) và f(b)

 Trước khi học định lý này học sinh đã được học về khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, một đoạn

 Sau khi học định lý này học sinh sẽ được học về hệ quả của nó cùng với những ứng dụng của hệ quả như:

- Phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong một khoảng (a, b) nào đó, nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f (a).f (b)  0

- Chứng minh được mọi phương trình đa thức bậc lẻ và nói riêng phương trình đa thức bậc 3 luôn có ít nhất một nghiệm thực

2.1.2 ước 2: Xác định trình độ xuất phát của học sinh trước khi dạy học một định lý cụ thể

a Nội dung và mục đích của bước 2

Trước khi dạy học một định lý, GV cần xác định trình độ xuất phát của học sinh đối với những kiến thức liên quan trực tiếp đến định lý mới Bởi vì nếu kiến thức cũ có liên quan đến định lý mới học sinh không nắm vững, thì giáo viên dạy định lý mới có giỏi đến mấy cũng trở nên vô nghĩa Vì thế, trên cơ sở của việc thực hiện bước 1: "Tìm hiểu nội dung, mục tiêu dạy học định lý đó cũng như vai trò và vị trí của định lý đó trong tiết học, chương học và trong cả chương trình môn Toán ở THPT", GV biết được những kiến thức nào có liên quan trực tiếp đến định lý mới, từ đó có kế hoạch củng cố bồi dưỡng cho học sinh những kiến thức đó trước khi dạy định lý mới (nếu cần) Việc củng cố bồi dưỡng kiến thức cũ có liên quan trực tiếp đến định lý mới có thể được tiến hành bằng những cách sau:

- Củng cố trong những tiết học từ trước đó

- Tổ chức phụ đạo (nếu khối lượng kiến thức lớn)

- Củng cố bằng hệ thống câu hỏi kiểm tra đầu giờ trước khi dạy định

lý mới

b Ví dụ minh họa

Khi dạy học các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Vì biết rằng những định lý này được chứng minh dựa trên các định lý về giới hạn hữu

hạn của dãy số Giáo viên có thể xác định trình độ xuất phát của học sinh bằng các câu hỏi kiểm tra có tính chất ôn tập sau đây:

- Dãy số un có giới L (hạn hữu) khi nào?

- Phát biểu 2 định lý về giới hạn hữu hạn của một dãy số

- Giả sử (a, b) là một khoảng chứa x0và f(x) là một hàm số xác định trên a, b \ x0 Khi nào ta có thể nói hàm số f(x) có giới hạn bằng

L (hữu hạn) khi x x0 ? hoặc giáo viên có thể tổ chức phụ đạo cho các học sinh yếu kém về giới hạn của dãy số tại một điểm

2.1.3 ước 3: Lựa chọn con đường dạy học định lý và PPDH chủ yếu được

sử dụng khi dạy học định lý đó

a Nội dung và mục đích của bước 3

Theo LLDH, có 2 con đường dạy học định lý: con đường suy diễn và con đường

có khâu suy đoán (xem chương 1, mục 1.1.2) Đối với việc dạy học mỗi định lý

cụ thể, việc chọn con đường nào nhiều khi mang ý nghĩa quyết định đến hiệu quả của tiết dạy Việc lựa chọn cần dựa trên các căn cứ sau:

- Nội dung, mục đích của việc dạy học định lý đó

- Vị trí và vài trò của định lý đó trong tiết học, chương học và cả trong chương trình môn Toán ở THPT

- Trình độ xuất phát của học sinh về mặt kiến thức liên quan trực tiếp đến định lý đó

- Điều kiện dạy học (cơ sở vật chất, máy móc, dụng cụ dạy học ) Dựa trên các căn cứ trên, GV xác định con đường dạy học định lý đó, sau đó mới tiến hành lựa chọn các PPDH Tuy nhiên GV cần chú ý PPDH nào là chủ yếu và kết hợp với những phương pháp nào?

b Ví dụ minh họa

Ví dụ : Dạy học định lý: " Nếu (u )n là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó trong dãy, nghĩa là:

với k ≥ 2 "

Con đường được lựa chọn để dạy học định lý trên

Con đường được lựa chọn để dạy học định lý trên là con đường có khâu suy đoán Việc lựa chọn như vậy là do: Trước khi học định lý này học sinh đã được

học về khái niệm cấp số cộng Trong phần củng cố học sinh đã được biết rằng: Nếu (u )n là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều có thể biểu diễn qua số hạng đứng ngay trước nó bằng cách cộng thêm công sai d và có thể biểu diễn qua số hạng đứng ngay sau nó bằng cách trừ đi công sai d Điều này là một gợi ý để có thể khái quát thành định lý Vì vậy chúng ta có thể lựa chọn con đường có khâu suy đoán

để dạy học định lý này

Tiến trình dạy học định lý trên theo con đường có khâu suy đoán

Câu hỏi và hoạt động của GV Câu trả lời mong muốn và

hoạt động của học sinh

CH1: Cho (u )n là một cấp số cộng với

công sai d Với mỗi u (kk  2), hãy biểu

diễn ukqua uk 1 và qua uk 1 ?

TL1: uk  uk 1  d và uk  uk 1  d

CH2: Hãy biễu ukqua uk 1 và uk 1 ? TL2: Vì uk  uk 1  d, uk  uk 1  d

dưới dạng một định lý? thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số

hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp

số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với

nó trong dãy, nghĩa là:

Phương pháp dạy học được lựa chọn để dạy học định lý trên

Vì con đường được lựa chọn để dạy học định lý trên là con đường có khâu suy đoán Do đó, GV cần có một hệ thống câu hỏi có tính chất dẫn dắt gợi mở để hướng dẫn học sinh phát hiện định lý, phát biểu và chứng minh định lý đó Vì

vậy, phương pháp dạy học được lựa chọn để dạy học định lý trên là: Vấn đáp gợi mở kết hợp với thuyết trình giảng giải

Ví dụ 2: Dạy học định lý: Nếu (u )n là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều bằng tích của hai số hạng đứng kề với nó trong dãy, nghĩa là:

2

u  u .u  . với k ≥ 2 "

Con đường được lựa chọn để dạy học định lý trên

Con đường được lựa chọn để dạy học định lý trên là con đường suy diễn Việc lựa chọn như vậy là do: Trước khi học định lý này học sinh đã được học về khái

niệm cấp số nhân , về một định lý tương tự trong cấp số cộng Trong phần củng

cố học sinh dã được biết rằng: Nếu (u )n là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ

hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có thể biểu diễn qua số hạng đứng ngay trước nó bằng cách nhân với công bội q và có thể biểu diễn qua số hạng đứng ngay sau nó bằng cách chia cho công bội q Điều này là một gợi ý để có thể khái quát thành định lý Vì vậy chúng ta có thể lựa

chọn con đường suy diễn để dạy học định lý này

Tiến trình dạy học định lý trên theo con đường suy diễn

Trong tiết trước ta đã biết rằng: Đối với một cấp số cộng , mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai đều có thể biểu diễn qua số hạng ngay trước và ngay sau nó, dưới dạng trung bình cộng của hai số đó Trong phần này chúng ta sẽ tìm cách biểu

diễn mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai của một cấp số nhân qua số hạng ngay

trước và ngay sau nó

Câu hỏi và hoạt động của GV Câu trả lời mong muốn và

hoạt động của học sinh

CH1: Cho (u )n là một cấp số nhân Hãy

biễu ukqua uk 1 và uk 1 ?

TL1: Vì uk  uk 1 .q, k 1

k

u u q

chứng minh định lý trên trình bầy phép chứng minh định lý

trên vào vở

Phương pháp dạy học được lựa chọn để dạy học định lý trên

Vì con đường được lựa chọn để dạy học định lý trên là con đường suy diễn Nên PPDH chủ yếu được lựa chọn là thuyết trình giảng giải Tuy nhiên để học sinh tiếp nhận tri thức một cách không khiên cưỡng, GV cần có một hệ thống câu hỏi

có tính chất dẫn dắt gợi mở để hướng dẫn học sinh phát hiện định lý, phát biểu

và chứng minh định lý đó Vì vậy, phương pháp dạy học được lựa chọn để dạy

học định lý trên là: dùng vấn đáp gợi mở làm công cụ để thực hiện thuyết trình giảng giải

2.1.4 ước 4: Dự đoán các tình huống sư phạm có thể nảy sinh và các sai lầm, học sinh có thể mắc phải trong DH định lý đó

- GV chuẩn bị giáo án điện tử nhưng lại mất điện

- Học sinh không học bài ở nhà (do mưa lũ, mùa gặt )

 GV phát hiện và sửa chữa kịp thời các sai lầm cho học sinh vì GV đã đoán trước HS sẽ mắc những sai lầm đó

 GV đánh giá chính xác mỗi câu trả lời mỗi lời giải của học sinh, từ đó GV tránh mắc phải sai lầm: HS đúng GV lại bảo sai hoặc HS sai GV lại bảo đúng

b Ví dụ minh họa

Ví dụ

Khi dạy học các định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số tại một điểm GV có thể

dự đoán những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải đó là:

- Học sinh không chú ý đến điều kiện lim un L; lim vn M tồn tại

và là những số hữu hạn là điều kiện để có thể áp dụng định lý

- Khi tính giới hạn của biểu thức có dạng phân thức, học sinh không chú ý đến điều kiên giới hạn của mẫu thức phải khác 0

- Trong trường hợp lim u ; lim vn n không tồn tại hoặc tồn tại nhưng

không hữu hạn học sinh dễ đi đến kết luận không tồn tại

 Không để ý đến điều kiện cho phép áp dụng định lý Chẳng hạn:

- Với điều kiện u(x), v(x) có đạo hàm trên J (một khoảng hoặc hợp của các khoảng) thì ta mới có thể áp dụng định lý để tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích 2 hàm số u(x) và v(x)

- Trong trường hợp u(x), v(x) không có đạo hàm trên J, HS dễ đi đến kết luận: Các hàm số sau đây u(x)  v(x); u(x).v(x) cũng không có đạo hàm trên J

 Khi tính đạo hàm của hàm số u(x)

v(x) , HS không để ý đến yêu cầu hàm v(x) phải khác 0 trên J

 Đối với các hàm số không thỏa mãn các điều kiện của các định lý dẫn đến các công thức tính đạo hàm, HS dễ đi đến kết luận rằng hàm số đó không

có đạo hàm, mà không biết rằng với các hàm số này chúng ta phải tính đạo hàm c nó bằng định nghĩ

2.1.5 ước 5: Điều hành quá trình dạy học định lý

Với mỗi định lý cụ thể, trên cơ sở của Bước 1: "Tìm hiểu nội dung, mục tiêu dạy học đinh lý đó cũng như vai trò và vị trí của định lý trong tiết học, chương học

và trong cả chương trình môn Toán ở THPT" và Bước 2: "Xác định trình độ xuất phát của học sinh trước khi dạy học một định lý cụ thể", GV lựa chọn con đường dạy học định lý đó: Con đường suy diễn hay con đường có khâu suy đoán Tùy thuộc vào con đường đã chọn, GV tổ chức các hoạt động cho học sinh tiếp cận, thâm nhập và chứng minh định lý (nếu cần) phù hợp với con đường đã chọn Cụ thể:

 Với con đường có khâu suy đoán các hoạt động cụ thể gồm:

HS giải các bài tập ứng dụng định lý Với hoạt động này, điều cốt yếu là GV cần