Bài tập nguyên hàm, tích phân

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.    x   Cx xx ++−           x x +  C x x +−         x x −  x       x x −  C x x x ++−        xxx ++  C xxx +++                xx −  Cxx +−      x x   −   Cxxx ++−     x x −  Cxx +−         x        Cxx ++            xx       xx x       Cx +−      Cxx +−−    !  !   Cee xx +−     !      x e x − !        C a a xx ++      !   Ce x + +    2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng "#$   "  #$%     +− x x  " xx − #$      −− xxx "     + x #$       −++ x x x  "    #$      6" &&'&  =−== fff x b      ++ x x II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. ()*+ ∫ dxxuxuf ',- ./01*234  34 dxxudt ' =⇒  + ∫ ∫ = dttfdxxuxuf ',- BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:  ∫ − dxx   ∫ −   x dx  dxx ∫ −   ∫ − x dx  ∫ + xdxx    ∫ + dxxx    xdxx   ∫ +  ∫ + dx x x    ∫ + dx x x      ∫ +   xx dx  dx x x ∫    ∫ + dxex x     ∫ xdxx    ∫ dx x x     ∫ gxdx  ∫ x tgxdx    ∫ x dx   ∫ x dx   ∫ tgxdx  ∫ dx x e x  ∫ −  x x e dxe  ∫ dx x e tgx    ∫ − dxx    ∫ −   x dx  ∫ − dxxx    ∫ +   x dx  ∫ −    x dxx  ∫ ++   xx dx  ∫ xdxx    dxxx  ∫ −  ∫ +  x e dx  dxxx   ∫ + 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. 5644&#$**$7892:*$7;<=;+ ∫ ∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu '' >? ∫ ∫ −= vduuvudv #@A44"A&A##"A Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:  ∫ xdxx   ∫ xdxx   ∫ + xdxx    ∫ ++ xdxxx    ∫ xdxx   ∫ xdxx   ∫ dxex x   ∫ xdx  ∫ xdxx   dxx ∫    ∫ x xdx  ∫ dxe x  ∫ dx x x    ∫ xdxxtg   ∫ dxx  ∫ + dxx    ∫ xdxe x   ∫ dxex x    ∫ + dxxx    ∫ xdx x   ∫ xdxx 0  ∫ + dxxx   ∫ + dx x x    ∫ xdxx   TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:      x x dx+ + ∫ 2.        e x x dx x x + + + ∫ 2.   x dx− ∫ 3.   x dx+ ∫ 4.     x cosx x dx π π + + ∫ 5.     x e x dx+ ∫ 6.     x x x dx+ ∫ 7.     x x x dx+ − + ∫ 8.      x cosx dx x π π + + ∫ 9.      x e x dx+ + ∫ 10.      x x x x dx+ + ∫ 11.     x x x dx− + + ∫ 12.      A( ). − + ∫ 13.  2 2 -1 x.dx x + ∫ 14.  !      A  − − ∫ 15.   5 2 dx x 2+ + − ∫ 16.      A    ( ). ln + + ∫ 17.      A  cos . sin π π ∫ 18.    0 A  . cos π ∫ 19.       ! ! ! ! dx − − − + ∫ 20.      ! A ! ! . − + ∫ 21.    A  + ∫ 22.     A ! ! ln . − + ∫ 22.   A  sin π + ∫ 24. ∫ − ++     dxxx 25. ∫ −−        dxxx 26. ∫ − −    dxxx 27. ∫ − −     dxx 28. dx xx ∫       +     29. ∫ −      dx x xx 30. ∫ e e x dx   31. ∫   dxx 32. dx x xx e ∫ −+    33. dx x x ∫         −        II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:  1.      xcos xdx π π ∫ 2.      xcos xdx π π ∫ 3.      x dx cosx π + ∫ 3.   tgxdx π ∫ 4.    gxdx π π ∫ 5.     xcosxdx π + ∫ 6.    x x dx+ ∫ 7.    x x dx− ∫ 8.     x x dx+ ∫ 9.      x dx x + ∫       x x dx− ∫        dx x x + ∫       dx x+ ∫         dx x x − + + ∫        dx x + ∫           dx x+ ∫      x e cosxdx π π ∫      cosx e xdx π π ∫  18.     x e xdx + ∫ 19.      xcos xdx π π ∫ 20.    x e cosxdx π π ∫ 21.    cosx e xdx π π ∫ 22.     x e xdx + ∫        xcos xdx π π ∫        xcos xdx π π ∫        x dx cosx π + ∫     tgxdx π ∫      gxdx π π ∫       xcosxdx π + ∫     x x dx+ ∫ 30.    x x dx− ∫ 31.     x x dx+ ∫ 32.      x dx x + ∫ 33.     x x dx− ∫ 34.      dx x x + ∫ 35.    e x dx x + ∫ 36.    e x dx x ∫ 37.     e x x dx x + ∫ 38.    e x e dx x + ∫ 39.      e e x dx x x + ∫ 40.       e e dx cos x+ ∫ 41.     x dx x+ − ∫ 42.     x dx x + ∫ 43.   x x dx+ ∫ 44.     dx x x+ + ∫ 45.     dx x x+ − ∫ 46.   x dx x + ∫      e x dx x + ∫ 47.    e x dx x ∫ 48.     e x x dx x + ∫ 49.    e x e dx x + ∫ 50.      e e x dx x x + ∫ 51.       e e dx cos x+ ∫ 52.     + ∫ x x dx 53. ( )      + ∫ x xdx π 54.     x dx− ∫ 55.     x dx− ∫ 56.     dx x+ ∫ 57. dxe x ∫ − +    58. ∫ −   dxe x  1 3 0 x dx (2x 1)+ ∫   1 0 x dx 2x 1+ ∫   1 0 x 1 xdx− ∫   1 2 0 4x 11 dx x 5x 6 + + + ∫   1 2 0 2x 5 dx x 4x 4 − − + ∫   3 3 2 0 x dx x 2x 1+ + ∫   6 6 6 0 (sin x cos x)dx π + ∫   3 2 0 4sin x dx 1 cos x π + ∫   4 2 0 1 sin 2x dx cos x π + ∫   2 4 0 cos 2xdx π ∫   2 6 1 sin 2x cos2x dx sin x cos x π π + + + ∫   1 x 0 1 dx e 1+ ∫   dxxx     ∫ − π   ∫ +     π dx x x   ∫ +     π dx x x   ∫ −     π dx x x   ∫ − −+ +       dx xx x   ∫ ++ −    xx dx  2 3 2 0 cos xsin xdx π ∫   2 5 0 cos xdx π ∫  4 2 0 sin 4x dx 1 cos x π + ∫  1 3 2 0 x 1 x dx− ∫  2 2 3 0 sin 2x(1 sin x) dx π + ∫   4 4 0 1 dx cos x π ∫   e 1 1 ln x dx x + ∫   4 0 1 dx cos x π ∫  e 2 1 1 ln x dx x + ∫   1 5 3 6 0 x (1 x ) dx− ∫   6 2 0 cos x dx 6 5sin x sin x π − + ∫   3 4 0 tg x dx cos 2x ∫  4 0 cos sin 3 sin 2 x x dx x π + + ∫   ∫ +      π dx xx x   ∫ −+ −    xx ee dx   ∫ +      π dx x x   ∫     π π dx x tgx   ∫ −     π dxxtg   ∫ + −     π π dx x xx   ∫ + +     π dx x xx   ∫ +     π dx x xx   ∫ +     π xdxxe x   ∫ −+    dx x x   ∫ + e dx x xx     ∫ + −      π dx x x  1 2 0 1 x dx− ∫   1 2 0 1 dx 1 x+ ∫   1 2 0 1 dx 4 x− ∫   1 2 0 1 dx x x 1− + ∫  1 4 2 0 x dx x x 1+ + ∫   2 0 1 1 cos sin dx x x π + + ∫   2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫  2 2 2 1 x 4 x dx− ∫  2 3 2 2 1 dx x x 1− ∫   3 2 2 1 9 3x dx x + ∫   1 5 0 1 (1 ) x dx x − + ∫   2 2 2 3 1 1 dx x x − ∫  2 0 cos 7 cos 2 x dx x π + ∫   1 4 6 0 1 1 x dx x + + ∫   2 0 cos 1 cos x dx x π + ∫   ∫ ++ −    xx dx  ∫ ++    x dx   ∫ − −     dx x xx   8 2 3 1 1 dx x x + ∫   7 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫   3 5 2 0 1x x dx+ ∫   ln2 x 0 1 dx e 2+ ∫   7 3 3 0 1 3 1 x dx x + + ∫   2 2 3 0 1x x dx+ ∫   ∫ +    xx dx  II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: B0*C)*D*EF0D*GH 4 #'        '  b b b a a a x d u x v x v x u x dx= − ∫ ∫                IDa ̣ ng 1    ax ax f x cosax dx e β α           ∫    '     ax ax u f x du f x dx ax ax dv ax dx v cosax dx e e = =           ⇒       = =                   ∫ IDa ̣ ng 2:   f x ax dx β α ∫ J K        dx du u ax x dv f x dx v f x dx  = =   ⇒   =   =  ∫ IDa ̣ ng 3:         ∫ ax ax e dx cosax β α  LM N A4 K HM N * N M N *D*E4 %       x x e dx x + ∫ 2J K      x u x e dx dv x  =   =  +  .%        x dx x − ∫ 2J K        u x x dx dv x  =   =  −  %                             dx x x dx x dx dx I I x x x x + − = = − = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ (M N *+      dx x = + ∫ .J O 0D*PQ0D* N D2B R .; N B N (M N *+          x dx x+ ∫ .J O 0D*PQ0D* N DP O 0D*E O H2J K      u x x dv dx x =    =  +  Bài tập      e x dx x ∫     e x xdx ∫      x x dx + ∫      e x xdx ∫       e x dx x ∫     e x xdx ∫       x x dx + ∫      e x xdx ∫     x c dx π + ∫       e x xdx x + ∫       x x dx + ∫      x xdx π π ∫ 13.     x dx x ∫ 14.   x xdx π ∫ 15.   x xe dx ∫ 16.    x e xdx π ∫ Tính các tích phân sau 1) ∫     dxex x 2) ∫ −    π xdxx 3) ∫ −    π xdxx 4) ∫    π xdxx 5) ∫ e xdxx   6) ∫ − e dxxx    7) ∫    dxxx 8) ∫ +     dxxx 9) ∫ +     dxex x 10) ∫ π   dxxx 11) ∫     π dxxx 12) ∫ +     π dxxxx 13) 2 5 1 ln x dx x ∫ 14) 2 2 0 x cos xdx π ∫ 15) 1 x 0 e sin xdx ∫ 16) 2 0 sin xdx π ∫ 17) e 2 1 x ln xdx ∫ 18) 3 2 0 x sin x dx cos x π + ∫ 19) 2 0 x sin x cos xdx π ∫ 20) 4 2 0 x(2 cos x 1)dx π − ∫ 21) 2 2 1 ln(1 x) dx x + ∫ 22) 1 2 2x 0 (x 1) e dx+ ∫ 23) e 2 1 (x ln x) dx ∫ 24) 2 0 cos x.ln(1 cos x)dx π + ∫ 25) 2 1 ln ( 1) e e x dx x + ∫ 26) 1 2 0 xtg xdx ∫ 27) ∫ −     dxex x 28) ∫ +     dxxx 29) ∫ e dx x x   30) ∫ +     π xdxxx 31) ∫ ++    dxxx 32) ∫ −     dxxx III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:  ∫ +− −      dx xx x  ∫ ++ b a dx bxax    ∫ + ++      dx x xx  dx x xx ∫ + ++        ∫ +      dx x x  ∫ ++      dx xx  ∫ + −       dx xx x  ∫ − +− ++−       dx xx xxx  ∫ −      dx x x  ∫ + −      dx x x n n  ∫ ++ −       dx xxx x  ∫ +      dx xx  ∫ +      dx x  ∫ +     dx x x  dx xx ∫ +−       ∫ +     dx x x  ∫ +−      dx xxx  ∫ +− ++       dx xx xx  ∫ + −       dx x x  ∫ +      dx x  ∫ + +++       dx x xxx  ∫ + −       dx x x  ∫ + +       dx x x         x dx x x + + + ∫ [...]... = 2 Bài 1: Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau x x3 Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi y = o x 1 y= 0 Có hai phần diện tích bằng nhau Bài 4:... = o x 1 y= 0 Có hai phần diện tích bằng nhau Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần x 2 + 2ax + 3a 2 y = 1+ a4 Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Tìm a để diện a 2 ax y= 1 + a 4 tích lớn nhất Bài 6: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng sau: x2 y = 4 4 1) (H1): 2 y = x 4 2 4) 7) y = x 2 (H4): 2 x = y ln x y = 2 x ... ln( x + 1 1 + x 2 )dx 2 cos x ln( x + 2 1 + x 2 )dx , a Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: f ( x)dx = 2 a a f ( x)dx 0 1 Ví dụ: Tính x 2 x dx 4 1 x 2 +1 2 x + cos x dx 4 sin 2 x a Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: (1 b>0, a) 3 x +1 1 + 2 Ví dụ: Tính: 2 2 x 3 Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; Ví dụ: Tính sin x... sin 2009 x + cos 2009 x dx 0 sin x sin x + cos x 0 dx Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: xf (sin x)dx = 2 f (sin x)dx 0 0 Ví dụ: Tính b 0 a 2 0 b 0 f (b x)dx = f ( x)dx x sin x 1 + cos b 0 f (a + b x)dx = f ( x)dx Ví dụ: Tính x sin x 2 + cos x dx b a Bài toán 6: x 1 + sin x dx 0 dx x 4 sin 4 x ln(1 + tgx)dx 0 Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu... 3 x 3 dx cos xdx 1 + cos 2 x 2a 40 dx x 2 + a 2 dx 0 VI MT S TCH PHN C BIT: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: a a a f ( x)dx = [ f ( x) + f (x)]dx 0 Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 3 3 ; 2 2 ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2 2 cos 2 x 3 2 Tính: f ( x)dx 3 2 1 +) Tính x 4 + sin x 1 1 + x 2 dx a Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: f ( x)dx =... toán 6: x 1 + sin x dx 0 dx x 4 sin 4 x ln(1 + tgx)dx 0 Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì: a +T a T f ( x )dx = f ( x )dx Ví dụ: Tính 0 2008 1 cos 2 x dx 0 Các bài tập áp dụng: 1 1 1 1 x dx 1+ 2x 2 1 3 (1 + e 1 x dx )(1 + x 2 ) 4 2 4 2 4 x7 x5 + x3 x + 1 dx cos 4 x x + cos x dx 2 x 4 sin 2 nT 0 T f ( x )dx = n f ( x ) dx 0 1 2 2 1 x ) dx 5 cos 2 x... x 42) 0 x (a>0) y 2 = 2 x 43) x2/25+y2/9 = 1 và hai tiếp 2 27 y = 8( x 1) 2 tuyến đi qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất 45) y = x 3 2x 2 + 4x 3 y= 0 TNH TH TCH VT TH TRềN XOAY Cụng thc: O y x=a a x=b (C ) : y = f ( x ) y=0 b b x y b x=0 a y=b (C ) : x = f ( y ) y=a x . ∫ + dx x x    ∫ xdxx   TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:      x x dx+ + ∫ 2 diện tích bằng nhau Bài 4: (p): y 2 =2x chia hình phẳng giới bởi x 2 +y 2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích