phát triển một bài toán hình 8

Khai th¸c vµ ph¸t triÓn mét bµi to¸n h×nh häc líp 8 1 Phần I : đặt vấn đề 1. Lý do chọn đề tài: Qua những năm trực tiếp giảng dạy, bản thân tôi thấy một thực tế hầu hết các em học sinh sau khi giải xong một bài toán là tỏ ra thoả mãn yêu cầu. Thậm chí, cả đối với một số học sinh khá giỏi, có năng lực học toán cũng vậy. Điều đó thật đáng tiếc. Chính nó làm tôi suy nghĩ và tìm tòi biện pháp để hớng các em hãy dành một l- ợng thời gian vừa đủ để suy xét tiếp mỗi bài toán mà mình vừa giải xong. Việc hớng dẫn các em học sinh theo hớng khai thác, phát triển ở một bài toán để trỏ thành một họ của bài toán đó tâm đắc bởi các em đã đợc tha hồ phát huy trí sáng tạo của mình, tìm tòi mọi góc độ xung quanh một bài toán ban đầu , qua đó các em khắc sâu đợc kiến thức. Và điều quan trọng hơn cả là cách hớng dẫn này phù hợp với ph- ơng pháp dạy học cải cách mới hiện nay, các em học sinh là ngời chủ động sáng tạo trong việc tiếp thu kiến thức, làm chủ tình huống, từ đó càng yêu thích môn toán hơn. Chính vì thế tôi đã chọn: " Khai thác và phát triển một bài toán" là kinh nghiệm của bản thân và mạnh dạn đa ra cùng đồng nghiệp trao đổi nhằm nâng cao chất lợng dạy và học. 2. Mục đích: Xuất phát từ một thực tế đáng tiếc của học sinh nh vậy nên việc chọn: " Khai thác và phát triển một bài toán" nhằm giải quyết thực tế đó. Nghĩa là làm thế nào để ngời thầy đúng là ngời tổ chức chỉ đạo và dạy học sinh cách t duy để thực hiện. Dạy học sinh biết cách từ kiến thức vốn có, học sinh phải biết tự mình phát triển ra thành nhiều bài toán mới. Việc tạo cho học sinh biết cách việc suy xét tiếp một bài toán sau khi đã giải sẽ có tác dụng. - Tìm ra hớng giải khác (Và từ đó sẽ có phơng pháp hay hơn). - Tìm ra những bài toán là "họ hàng" của bài toán đã giải. - Tìm ra những bài toán "hay hơn" khó hơn từ bài toán đã giải .v.v. Với giáo viên thì chắc chắn ngoài việc tìm ra một "họ" các bài toán ra còn có phơng pháp "thiết kế" một bài toán mới từ một bài toán quen thuộc. Việc làm ấy chẳng tạo cho giáo viên một "ngân hàng" bài tập sao ? Đó chính là mục đích của kinh nghiệm. Ngoài ra để có thêm các bài toán mới bài toán A ta có thể làm nh sau: 2 + Đặc biệt hoá một số điều kiện để từ bài toán A có bài toán mới. + Thay đổi một số điều kiện trong giả thiết để có bài toán mới. Tóm lại: Nếu sau khi giải một bài toán, hãy dành một lợng thời gian đủ để suy xét nó nhìn nhận lại những gì đã làm và thực hiện theo 3 hớng trên tôi nghĩ sẽ "Khai thác và phát triển " ra một "họ" các bài toán mới rất hay và có giá trị Phần II : giải quyết vấn đề 1 - Cơ sở lý luận, thực trạng và phơng pháp nghiên cứu Chúng ta biết rằng mỗi một sự việc, hiện tợng đều do một số nguyên nhân sinh ra. Nên khi điều kiện trong nguyên nhân thay đổi thì kết quả sẽ thay đổi theo. Và cũng có thể từ những nguyên nhân ấy cũng có thể tạo ra đợc kết quả mới. Điều ấy trong toán học thì rất dễ xảy ra. Từ một số điều kiện (giả thiết - gt) hoặc những cái đã biết ta phải chỉ ra những kết quả thu đợc (kết luận - kl). Nhng việc chỉ ra đợc kết quả chỉ là một vấn đề yêu cầu trớc mắt của bài toán. Mà rèn luyện cho học sinh có thói quen suy xét thêm những gì sau khi giải đợc bài tập là hết sức quan trọng. Chẳng hạn: * Giải xong bài tập đó các em còn có thể chứng minh thêm đợc những gì ? ** Hãy thay đổi một số điều kiện trong giả thiết thì thu đợc những bài toán mới nào ? *** Hãy đặc biệt hoá một vài điều kiện trong (gt) thì đợc (kl) gì ? **** Nếu đảo lại thì bài toán đó có gì thay đổi . vân vân và vân vân . Cứ nh vậy sau mỗi bài tập hãy rèn cho học sinh có thói quen làm đợc một số công việc ấy. Tôi nghĩ đó là một phơng pháp tự học cực kỳ quan trọng. 2. nội dung và Biện pháp thực hiện: Bài toán ban đầu. Ta hãy bắt đầu từ một bài toán quen thuộc Cho xOy = 90 0 . Trên Ox lấy điểm A cố định sao cho OA = a. Điểm B di động trên Oy. Vẽ trong góc xOy một hình vuông ABCD. a) Tính khoảng cách từ D đến Ox. b) Tìm tập hợp (qũy tích) điểm D khi B di động trên Oy. H ớng dẫn: 3 a) Kẻ DH Ox H. Có AHD vuông tại H nên D 1 + A 1 = 1v . Mà A 2 = 1v A 1 + A 3 = 1v. Suy ra: A 3 = D 1 . Xét DHA và AOB Có: H = O = 1v, A 3 = D 1 , DA = AB (cạnh hình vuông) Vậy DHA = AOB = (T/h. Bằng nhau đặc biệt thứ nhất của tam giác vuông) Vậy: DH = OA = a b) Theo chứng minh trên DH = a (const) Hình 1 Khi B di động trên Oy thì D di động theo nhng luôn cách Ox một khoảng DH = a. Vậy quỹ tích của D thuộc đờng thẳng song song với Ox và cách Ox một khoảng bằng a. Giới hạn: Khi B O thì H A và D D'. D' là một điểm thuộc đờng thẳng song song với Ox và cách Ox một khoảng bằng a, do A cố định suy ra D' cố định. Kết luận: Khi B di động trên Oy thì quỹ tích của D là 1 tia D'z // Ox, D' cách A một khoảng bằng a. Khai thác 1: Từ lời giải trên ta thấy hình vuông OAD'C' là nhỏ nhất trong tập các hình vuông ABCD khi B di động trên Oy. Và đơng nhiên trong tập các hình vuông ấy thì diện tích hình vuông OAD'C' là có giá trị nhỏ nhất. Từ suy xét đó ta có bài toán mới. Bài toán 1: 4 y x 1 3 2 1 H D' C' D C O A B y x 1 3 2 1 I' I H D' C' D C O A B Trong góc xOy vuông tại O lấy A thuộc tia Ox sao cho OA = a. Một điểm B di động trên Oy. Vẽ trong góc xOy hình vuông ABCD. Xác định vị trí điểm D để S ABCD là nhỏ nhất. Chứng minh Thật vậy S ABCD = AB 2 Trong OAB có O = 1v AB > OA Do A cố định, B di động nên AB OA = a S ABCD a 2 Do đó S ABCD = a 2 là nhỏ nhất khi ấy B O Khai thác 2: Hình 2 Từ kết quả trên ta suy ra hình vuông OAD'C' là cố định bằng cạnh a. Thế thì OD' cố định nên trung điểm I' là cố định. Vấn đề đặt ra là: Nếu B chuyển động trên Oy thì D chuyển động trên tia D'D. Khi đó trung điểm I của OD chuyển động trên đ- ờng nào và ta có bài toán mới. Bài toán 2: Cho góc xOy bằng 90 0 . Lấy A trên Ox sao cho OA = a, một điểm B di động trên Oy. Trong góc xOy vẽ hình vuông ABCD. Gọi I là trung điểm của OD. Tìm tập hợp (qũy tích) điểm I. H ớng dẫn: (Hình 2) Theo kết quả trên D' là giới hạn của D và D' cố định. Gọi I' là trung điểm OD' I' cố định. Trong OD'D có I'I là đờng trung bình I'I // D'D. Nên quỹ tích I là tia I'I // Ox cách Ox một khoảng = 2 a Khai thác 3: 5 Suy xét: (hình 3) Qua C kẻ đờng thẳng // Ox cắt Oy tại Q cắt DH tại P Theo trên ta đã chứng minh đợc AOB = DHA (Cạnh huyền góc nhọn) OA = DH = a OB = AH Nhng CQ // Ox CQB = 1v CP = OA PD = OB Hình 3 Vậy OA + AH = DH + PD = CP + CQ = BQ + OB hay OH = HP = PQ = QO Mà QOA = 1v Ta có bài toán mới. Bài toán 3: Cho góc xOy, trên tia Ox lấy A sao cho OA = a, trên Oy điểm B di động. Dựng trong góc xOy hình vuông ABCD; qua C kẻ đờng thẳng // Ox, qua d kẻ đờng thẳng // Oy. Hai đờng thẳng này cắt nhau tại P và lần lợt cắt Oy tại Q, cắt Ox tại H. a) Chứng minh OHPQ là hình vuông b) Gọi I là trung điểm AC, chứng minh O, I, P thẳng hàng. Từ suy xét trên dễ dàng suy ra điều chứng minh. Khai thác 4: Suy xét tiếp ta thấy. Ta có thể chuyển hớng bài toán dới dạng khác. Nếu ta coi hình vuông OHPQ là cố định cạnh = a Trên các cạnh HO, OB, PQ, PH lần lợt lấy A, B, C, D sao cho OA = QB = PC = DH. Tiếp tục: Nếu cho A di động trên OH và vẫn cha thoả mãn ABCD 6 y x P Q I H D C O A B y x P Q I H C' D C O A B OHPQ là hình vuông y x P Q I H D C O A B là hình vuông thì chu vi của AOB có giá trị thay đổi nh thế nào. Cụ thể có quan hệ gì với a cạnh hình vuông OHPQ. Hình 4 Thật vậy dễ chứng minh đợc AOB = DHA = CPD = BQC Từ đó ABCD là hình vuông AOB luôn có: AB < OA + OB Nhng OB = AH AB < OA + AH = OH = a Do A, B cũng chuyển động và thoả mãn ABCD là hình vuông. Nên khi A H, B O AB = OH = a Do đó: OA + OB + AB OH + OH = 2a Vậy C AOB 2a (C AOB : chu vi AOB ) (Chu vi của AOB có giá trị lớn nhất bằng 2a). Ta có bài toán mới. Bài toán 4: Cho hình vuông OHPQ cạnh là a. Trên các cạnh HO, OQ, QP, PH lần lợt lấy A, B, C, D sao cho OA = QB = PC = HD. a) Chứng minh: ABCD là hình vuông. b) Khi A chuyển động trên OH và thoả mãn ABCD là hình vuông và (A O, A H). Chứng minh C AOB < 2a. Từ suy xét ta dễ chứng minh đợc điều này. Khai thác 5: 7 Tiếp tục không dừng lại ta suy xét tiếp. Ta luôn có OB + OA = OH = a không đổi (vẫn nội dung bài tập 4). Nh vậy OA + OB = a (const) Suy ra OA.OB lớn nhất khi OA = OB (Tổng 2 số dơng không đổi tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau). Để ý thì thấy rằng: OA. OB = 2S AOB (S AOB diện tích AOB ) Mà hình vuông OHPQ có S OHPQ = a 2 (S OHPQ là diện tích OHPQ) Và S OHPQ = S ABCD + 4S AOB Hay S ABCD = a 2 - 4 S AOB Nếu S AOB lớn nhất thì S ABCD nhỏ nhất là S AOB nhỏ nhất thì S ABCD lớn nhất. Mà S AOB lớn nhất khi OA.OB lớn nhất vì lý luận trên OA.OB lớn nhất khi OA = OB. Từ đó OA = OB = 2 OH = 2 a . Hay A là trung điểm OH, B là trung điểm OQ ? Ta có bài toán mới. Bài toán 5: Cho hình vuông OHPQ cạnh là a. Trên OH, OQ, QP, PH lần lợt lấy A, B, C, D sao cho OA = QB = PC = HD. a) Chứng minh ABCD là hình vuông. b) A chuyển động trên OH (vẫn thoả mãn ABCD là hình vuông). Xác định vị trí A để S ABCD là nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. H ớng dẫn: a) Dễ chứng minh đợc: AOB = DHA (c.g.c) AB = AD Hình 5 Tơng tự CB = CD = AB 8 P Q I H D C O A B P Q I H D C O A B A 1 Vậy ABCD là hình thoi (1) Lại có: A 1 = D 1 mà D 1 + A 2 = 1v A + A 2 = 1v (2) Từ (1) (2) ABCD là hình vuông. b) Ta có S OHPQ = a 2 Theo kết quả trên AOB = BQC = CPD = DHA (c.g.c) S ABCD = a 2 - 4 S AOB = a 2 - 2.OA.OB Do OA + OB = OA + AH (vì OB = AH) OA + AH = OH = a Không đổi nên tích OA.OB lớn nhất khi OA = OB = 2 a Nghĩa là OA.OB 2 a . 2 a = 4 2 a Vậy S ABCD a 2 - 2. 4 2 a = a 2 - 2 2 a = 2 2 a Do đó S ABCD = 2 2 a là giá trị nhỏ nhất khi đó: OA = OB = 2 OH Chứng tỏ A là trung điểm của OH. Khai thác 6: (Hình 6) Tiếp theo suy xét 4 ta có C AOB 2a Vậy nếu C AOB = 2a thì điều gì sẽ xảy ra ? Thật vậy: Nếu cạnh hình vuông OHPQ là a và A, B chuyển động trên OH, OQ sao cho C AOB = 2a. Thì: OA + OB + AB = 2a (1) Nhng OQ + OH = 2a Hay OB + BQ + OA + AH = 2a (2) Từ (1) (2) AB = BQ + AH Trên tia đối QB lấy E sao cho QE = AH BQ + QE = BQ + AH hay BE = BA Lại có PQE = PHA (c.g.c) 9 Ê C P D B Q H A K O 1 2 4 3 1 2 Suy ra: PE = PA Do vậy PBE = PBA (c.c.c) Nên B 1 = B 2 . Trên AB lấy K sao cho BK = BQ (Vì BA > BQ) KA = AH Suy ra PBQ = PBK (c.g.c) (1) Nên PQB = PKB (= 1v) Hình 6 PQB = PHA = 1v và PK = PQ ( PBQ = PBK ) Nên PK = PH PAK = PAH (c.c.c) (2) Từ (1) P 1 =P 2 (2) P 3 = P 4 Nh thế thì: Không cần những yếu tố trên mà chỉ cần một hình vuông OHPQ cạnh bằng a. Một xPy quay quanh P, Px cắt OH ở A; Py cắt OQ ở B. Sao cho C AOB = 2a thì xPy = 45 0 Ta có bài toán mới. Bài toán 6: Cho hình vuông OHPQ cạnh bằng a, một góc xPy quay quanh P. Tia Px, Py lần lợt cắt OH, OQ tại A, B thoả mãn chu vi AOB là 2a. Chứng minh xPy = 45 0 (Từ suy xét trên dễ chứng minh đợc bài này). Đặc biệt hoá bài toán ta có bài toán sau: Cho hình vuông ABCD, cạnh là 2 1 , tia Px cắt OH tại A, tia Py cắt OQ tại B, sao cho chu vi AOB là 1. 10 P 2 + P 3 = P 1 + P 4 = 2 QPH = 45 0 [...]... đi đến bài toán mới: Bài toán 13: Trong hình vuông OHPQ cạnh bằng a Trên OH lấy trung điểm A, một góc APx = 450 Tia Px cắt OQ tại B Chứng minh: OQ = 1 3 a 18 Hớng dẫn: Bằng suy luận trên ta dễ chứng minh đợc điều này Cứ tiếp tục suy xét nh vậy ta còn có thể phát triển thêm đợc những bài toán mới từ bài toán quen thuộc.Vậy với bài toán sau các bạn hãy suy xét và phát triển mà xuất phát từ bài toán ban... tiếp một bài toán sau khi đã giải sẽ có tác dụng: - Tìm ra hớng giải khác (Và từ đó sẽ có phơng pháp hay hơn) - Tìm ra những bài toán là "họ hàng" của bài toán đã giải - Tìm ra những bài toán "hay hơn" khó hơn từ bài toán đã giải v.v 2 Kết quả cụ thể, đối chứng Trên đây là một số hớng giải quyết khai thác và phát triển của một bài toán Qua thực tế giảng dạy, khi kiểm tra 10 em học sinh khá, giỏi lớp 8. .. phơng pháp giải toán nói trên không qua khó đối với học sinh khá, giỏi mà điều quan trọng nhất là rèn cho các em một thói quen tìm tòi khoa học, có thái độ hào hứng, say mê phát triển và khai thác triệt để mội bài toán Ngoài ra để có thêm các mối quan hệ của một bài toán nào đó với bài toán A ta có thể làm các phép: + Đặc biệt hoá một số điều kiện để từ bài toán A có bài toán mới + Thay đổi một số điều... mỗi vế là diện tích của một hình 40% 80 % Tìm đợc lời giải các bài toán có nội dung đặc biệt, có nội dung phức hợp, vận dụng cách giải linh hoạt 20% 60% Nhận dạng và giải quyết đợc các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng quy, Nhận dạng và giải quyết đợc các bài toán chứng minh một tứ giác là hình vuông, chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng 4 Bài học kinh nghiệm:... cắt PA tại M 1 N cắt PB tại N Ta có thể phát triển bài toán đã cho B M thành bài toán cho học sinh lớp 9 K khi đã học về tứ giác nội tiếp O Bài toán 10: H A Hình 9 Cho hình vuông OHPQ cạnh bằng 1, một góc xPy quay quanh P sao cho CAOB = 2 Gọi QH lần lợt cắt PA ở M, PB ở N Lấy K thuộc AB sao cho BK = BQ Chứng minh: BM, AN, PK đồng qui Hớng dẫn: (Hình 9) Từ các bài toán trên ta đã có kết luận (và đã chứng... của P đến AB là không đổi Ta có thể thay cách phát biểu của bài toán trên Bài toán 8: 12 Cho hình vuông OHPQ cạnh bằng a Một đờng thẳng xy thay đổi luôn cắt OH tại A, cắt OQ tại B a) Chứng minh rằng: APB = 450 khi và chỉ khi CAOB = 2a b) Tìm quỹ tích điểm K là hình chiếu của P trên AB khi AB thay đổi và APB = 450 Hớng dẫn: a) Xem hớng dẫn bài toán 6 và bài toán 7 b) Thuận: chứng minh trên có PK = PH... và giải quyết đợc các bài toán tìm tập hợp 19 30% 70% điểm (quỹ tích) Nhận dạng và giải quyết đợc các bài toán tìm điều kiện để một tứ giác đặc biệt có diện tích lớn nhất hay nhỏ nhất, tam giác có chu vi không đổi, chứng minh một góc bằng một góc cho trớc, đoạn thẳng bằng nhau 30% 80 % 30% 70% 40% 80 % Nhận dạng và giải quyết đợc các bài toán chứng minh một đẳng thức mà mỗi vế là một tích của các đoạn... lại của bài toán 6 vẫn đúng Từ suy xét trên dễ chứng minh đợc bài toán này Hơn nữa ta lại chỉ ra đợc khoảng cách từ P đến AB (độ dài của PK luôn bằng cạnh hình vuông PQ không đổi) Từ đó ta còn có bài toán mới Bài toán 7: Cho hình vuông OHPQ cạnh a Một góc xPy = 45 0 quay quanh P sao cho tia Px, Py lần lợt cắt OH, OQ tại A, B a) Chứng minh AOB có chu vi không đổi b) Cạnh AB luôn là tiếp tuyến của một đờng... mà xuất phát từ bài toán ban đầu Bài toán: Cho hình vuông OHPQ cạnh bằng a Trên OH lấy A là trung điểm trên OQ lấy B sao cho QB = a 3 Chứng minh rằng APB = 450 3 Kết quả đạt đợc 1 Kết quả chung: Sau khi học sinh đợc thực hành giải bài tập theo hớng tích cực Khai thác và phát triển một bài toán, đa số các em học sinh khá, giỏi không những nắm vững cách giải một bài toán mà còn biết khai thác theo nhiều... một số điều kiện trong giả thiết để có bài toán mới Sau khi giải một bài toán, hãy dành một lợng thời gian đủ để suy xét nó nhìn nhận lại những gì đã làm và thực hiện để tìm ra các bài toán mới rất hay và có giá trị 5 Phạm vi áp dụng Trọng tâm của đề tài là tập trung vào đối tợng học sinh khá giỏi lớp 8, các em phải nắm vững kiến thức cơ bản, cần có niềm say mê môn hình học Với giáo viên là 20 ngời đem . có thể phát triển thêm đợc những bài toán mới từ bài toán quen thuộc.Vậy với bài toán sau các bạn hãy suy xét và phát triển mà xuất phát từ bài toán ban. thể phát triển bài toán đã cho thành bài toán cho học sinh lớp 9 khi đã học về tứ giác nội tiếp. Bài toán 10: Hình 9 Cho hình vuông OHPQ cạnh bằng 1, một