Đang tải... (xem toàn văn)
Nh vËy nÕu ®iÓm M trong tam gi¸c chia thµnh ba tam gi¸c sao cho mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng k lÇn tæng diÖn tÝch hai tam gi¸c cßn l¹i.[r]
(1)Lời nói đầu
Phỏt triển t cho học sinh việc học hình công việc cần thiết thày cô giáo Nhng đờng đến đích lại thật gian nan , khó nhọc Đối với học sinh lớp , khối lợng kiến thức hình thật nặng với em Hình học phẳng : nhận biết , chứng minh loạị tứ giác , Các toán định lý Ta lét , tam giác đồng dạng Hình học khơng gian dù làm quen song phức tạp Vậy đờng hình thành t ?
Trong trình tự học, tự bồi dỡng hay q trình dạy học , tơi ln ln định hớng cho em cách t thông qua phân tích tốn từ tìm phơng pháp giải trờng hợp cụ thể , hình vẽ cụ thể Rồi từ hớng dẫn cách tổng qt hố cách làm “lỏng” vài giả thiết xem kết ? Các toán chắn làm cho em thích thú có lời giải tay
Con đờng hình thành toán tổng quát nh ! Sau nội dung chuyên đề : hớng phát tốn hình học lớp 8 , hy vọng giúp cho bạn đồng nghiệp em học sinh có cách nhìn “thống” với mơn hỡnh hc
Hớng phát triển toán h×nh häc
Con đờng đến tốn tổng qt mơn hình học gian nan
(2)giúp bạn vợt qua ! Khi bạn cha lòng với kết tốn hình bạn thử nghĩ xem : Nếu làm “lỏng” chi tiết kết có sáo trộn khơng? Hãy dũng cảm cơng vào hệ thức hình học hay phơng pháp chứng minh , chắn bạn gặt hái đợc kết thú vị Bài toán 51 trang 130 sách tập tốn ví dụ nh
Bài toán : (bài 51 trang 130 sách tËp to¸n 8 )
Cho ABC nhọn với ba đờng cao AA1 , BB1 ,CC1 Gọi H trực tâm tam
giác
CMR : (1)
1
1 1
CC HC BB
HB AA HA
Gi¶i : gäi SHBC = a , SHAC = b , SHAB = c SABC = x
Vì ABC nhọn nên trực tâm H nằm miền tam gi¸c Bëi thÕ ta cã : SHBC + SHAC + SHAB = SABC
hay a +b+c=x DÔ thÊy :
1
1 1 1
1
1
1 1
1
1
1
x c b a CC HC BB HB AA HA CC
HC x c CC HC S
S
BB HB x b BB HB S
S AA
HA x a AA HA S
S
ABC HAB
ABC HAC ABC
HBC
*) H íng ph¸t triĨn :
Với H trực tâm ABC ta có hệ thức (1) Nếu thay đổi giả thiết : trực tâm H trọng tâm G hệ thức (1) cịn khơng ? Ta i ti bi toỏn
Bài toán 2 :
Cho ABC với ba đờng trung tuyến AA1 , BB1 ,CC1 Gọi G trọng tâm
của tam giác
CMR : 1 1
CC GC BB GB AA GA
A
B1
B
C A1
C1
(3)Do G trọng tâm cđa ABC nªn : 31 1
1
1
CC GC BB
GB AA
GA
Bëi thÕ :
1 1
1
1
CC GC BB
GB AA GA
Cách 2 : Gọi AN đờng cao ABC GM đờng cao GBC Khi :
x a AN GM
( đáy BC )
V× GM//AN ( cïng vuông góc với BC ) nên
x a AA GA AA
GA N A GM
1 1
1
á (Định lý Talet) Tơng tự ta có : GBBB bx GCCC cx
1 1
1 ,
Suy :
1 1 1
x c b a x c x b x a CC GC BB GB AA GA
*) H ớng phát triển : Trong cách chứng minh thứ , ta không nhắc đến kiện giả thiết : Trọng tâm G Phải “lỗ hổng" toán để ý cách chứng minh hệ thức (1) ta n bi toỏn tng quỏt
Bài toán 3: Gọi M điểm nằm ABC Các tia AM , BM , CM cắt
cạnh BC,AC, AB lần lợt A1 , B1 , C1 CMR : (1)
1 1
1
1
CC MC BB
MB AA
MA
*/ H ớng dẫn : chứng minh tơng tự nh toán ( c¸ch )
*) H ớng phát triển: Quan sát kỹ phơng pháp chứng minh công thức (1) toán ta thấy : tỉ số khoảng cách từ M đến BC từ A đến BC phụ thuộc vào diện tích tam giác nhận khoảng cách khoảng cách làm đờng cao Bởi dễ dàng công vào công thức (1) để có hệ thức
Bµi toán 4: Gọi M điểm nằm ABC Các tia AM , BM , CM cắt cạnh BC,AC, AB lần lợt A1 , B1 , C1 CMR :
A
B C
B
1
C
1
A
1
G
(4)) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 MC CC MB BB MA AA MC CC MB BB MA AA MC MC MB MB MA MA MC MC MB MB MA MA CC MC BB MB AA MA H
íng dÉn gi¶i : 1) Ta cã MAAA ax AAAA MA xxa AAMA bxc
1 1 1
T¬ng tù : x
b a CC MC x c a BB MB 1 ;
2( )
1 1 x c b a x c b x c a x c b CC MC BB MB AA MA
2) Tõ MAAA ax
1
vµ MAAA bxc MAMA bac
1
1 T¬ng tù : c
b a MC MC b c a MB MB 1 , Nhờ bất đẳng thức Cơsi ta có :
2
1 1 c b b c c a a c b a a b c b a b c a a c b MC MC MB MB MA MA
3) Từ phơng pháp chứng minh câu , ta đợc : c b c MC MC c a b MB MB c b a MA MA
1
1 , ,
Nhờ bất đẳng thức Nasơnít , ta có :
2 1 a c c a c b c b a MC MC MB MB MA MA
*/ Các bất đẳng thức (4) ,(5) chứng minh tơng tự nhờ bất đẳng thức (2), (3) */ Với bất đẳng thức dấu = xẩy M trọng tâm ABC
*/ H íng ph¸t triĨn :
- Sự lật đi, lật lại tỉ số hƯ thøc (1) gióp ta cã nh÷ng hƯ
(5)Bài toán 5 : Tìm tập tập ®iÓm M n»m ABC cho : SMAB + SMAC = SMBC
(Bài 23 trang 123 SGK Toán - TËp 1)
Gi¶i :
Gi¶ sư M điểm nằm ABC cho SMAB +SMAC = SMBC
1
1
1
1
1 1
1
1
CC MC BB
MB AA
MA Do
CC MC BB
MB AA
MA S
S S
S S
S
ABC MAC ABC
MAB ABC
MBC
Bëi thÕ
2 1
1
AA MA
sử dụng kết tốn 2, ta có : khoảng cách từ M đến cạnh BC khoảng cách từ A đến BC Vậy M thuộc đoạn thẳng song song với BC cách BC khoảng bằng1/2 đờng cao hạ từ A xuống BC Hay M thuộc đờng trung bình EF ABC
*/ H ớng phát triển : Cách chứng minh kết hợp hệ thức (1) với mối quan hệ diện tích tam giác tổng hai tam giác lại Nh điểm M tam giác chia thành ba tam giác cho tam giác có diện tích k lần tổng diện tích hai tam giác cịn lại Khi ph ơng pháp chứng minh có thay đổi khơng ? Ta tới toán
Bài toán : Cho ABC , tập hợp điểm M nằm tam giác cho :
SMBC = k (SMAB +SMAC )
Gi¶i : Giả sử M điểm nằm ABC cho SMBC = k (SMAB +SMAC )
Khi ta có :
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
k k AA MA AA
MA k
AA MA CC
MC BB
MB AA MA Do
CC MC BB
MB k AA MA S
S k S
S k S
S
ABC MAC ABC
MAB ABC
MBC
A
B C
C
1 B
1
A
1
M
E F
A
B C
C
1 B
1
A
1
M
(6)Vậy M thuộc đờng thẳng (d) song song với BC cách BC khoảng
k k
đờng cao hạ từ A xuống BC Giới hạn : đoạn thẳng EF ( E , F giao đờng thẳng d với cạnh AB,AC )
*/ H íng ph¸t triển : Dễ thấy từ phơng pháp chứng minh toán ta thấy rõ
: Nếu SMAB = SMAC = SMBC th× 3
1
1 1
1
1
CC GC BB
GB AA
GA
M phải trọng tâm tam giác
Và ta có bài toán 7 :
Xác định vị trí điểm M nằm ABC cho SMAB = SMAC = SMBC
Tiếp tục công vào hệ thức ta có toán tổng quát
Bài toán 8 :
Xỏc nh v trớ điểm M nằm ABC cho SMAB = SMAC = SMBC
Giải :
Giả sử điểm M nằm ABC cho SMAB = SMAC = SMBC
11 6
2
1
1 1
1
3 1
1
1
1
3
3
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
AA MA AA
MA
AA MA AA
MA AA
MA CC
MC BB
MB AA
MA Do
CC MC BB
MB AA
MA S
S S
S S
S
ABC MAC ABC
MAB ABC
MBC
Vậy M thuộc đờng thẳng (d1) song song với cạnh BC cách BC khoảng
b»ng 11
6
đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC
T¬ng tù ,ta còng cã
11
1
BB MB
Vậy M thuộc đờng thăng (d2) song song với cạnh
A
B C
C
1 B
1
A
1
M
d
2
d
(7)Nhận xét : Thuật tốn khơng thay đổi ta thay đổi tỉ số tam giác Bởi ta tới toán tng quỏt
Bài toán 9 :
Xác định vị trí điểm M nằm ABC cho SMAB = k SMAC = m SMBC
( víi k , m R+ )
Giải :
Giả sử điểm M n»m ABC cho SMAB = k SMAC = m SMBC
m k km
km km
m k km m k AA
MA m
k AA
MA
AA MA m AA MA k AA MA CC
MC BB MB AA MA Do
CC MC m BB MB k AA MA S
S m S
S k S S
ABC MAC ABC
MAB ABC
MBC
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
1 1 1
1 1
1
1
Vậy M thuộc đờng thẳng (d1) song song với cạnh BC cách BC khoảng
b»ng
m k km
km
đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC
T¬ng tù ,ta cịng cã
m k km
m BB
MB
1
Vậy M thuộc đờng thẳng (d2) song song vi
cạnh AC cách AC khoảng
m k km
m
đờng cao hạ từ B xuống AC
Vậy điểm M giao (d1) (d2)
H
ớng phát triển : Trong việc chứng minh hệ thức (1) có giả thiết quan trọng : điểm M nằm tam giác ABC Bây ta làm "lỏng" giả thiết ! Khi M nằm ngồi tam giác hệ thức (1) cịn khơng ? Chắc chắn bạn thấy khơng có hệ thức (1) nhờ phơng pháp chứng minh Thế nhng có hệ thức khác mà cách chứng minh có nét tơng tự nh nh cách chứng minh hệ thức (1) Ta ti bi toỏn 10 :
Bài toán 10 : Cho điểm M nằm ABC, giả sử M thuộc phần mặt phẳng giới hạn cạnh CB , cạnh AB AC kéo dài Gọi giao điểm AM , BM , CM với cạnh CB , AC , AB lần lợt A1 , B1 , C1
A
B C
C
1 B
1
A
1
M
d
2
d
(8)Chøng minh r»ng : AA MA CC
MC BB
MB
1
1
1
Gợi ý : hình vẽ có trờng hợp xẩy nhng cách chứng minh lại cho ta kết Mời bạn gi¶i quyÕt nhÐ !
Sau hình vẽ cho trờng hợp , đó: d1 // AB; d2 // AC
( gianh giíi chia miỊn )
(1) (2)
(3) (4)
Chú ý : Loại trừ điểm M nằm đờng thẳng d1 , d2
TiĨu kÕt
Vì thời gian viết chuyên đề không nhiều xác định viết năm Hy vọng năm học tới giải toán 10 phát Rất mong đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp
Xin tr©n trọng cám ơn !
A
B A C
1
M C
1
B
1
d
1 d2
B
1
A
B C
C
1
M
d
2
d
1
A
1
A
B C
C
1
A
1
M
d
1
d
2 B1
C
1
C B
A B
1
M d
1
d
2
A