Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học Lời nói đầu Phát triển t duy cho học sinh trong việc học hình là công việc cần thiết của các thày cô giáo . Nhng con đờng đi đến đích thì lại thật là gian nan , khó nhọc . Đối với học sinh lớp 8 , một khối lợng kiến thức hình thật là nặng với các em . Hình học phẳng : nhận biết , chứng minh các loạị tứ giác , Các bài toán về định lý Ta lét , tam giác đồng dạng Hình học không gian dù mới làm quen song khá phức tạp . Vậy con đờng hình thành t duy thế nào đây ? Trong quá trình tự học, tự bồi dỡng hay trong quá trình dạy học , tôi luôn luôn định hớng cho các em cách t duy thông qua phân tích một bài toán rồi từ đó tìm ra phơng pháp giải quyết nó trong các trờng hợp cụ thể , trong một hình vẽ cụ thể . Rồi từ đó hớng dẫn cách tổng quát hoá các bài bằng cách làm lỏng một vài giả thiết rồi xem kết quả ra sao ? Các bài toán mới chắc chắn làm cho các em thích thú khi có lời giải trong tay . Con đờng hình thành bài toán tổng quát là nh thế đấy ! Sau đây là nội dung chuyên đề : hớng phát trển một bài toán hình học lớp 8 , hy vọng sẽ giúp cho các bạn đồng nghiệp. các em học sinh có cách nhìn thoáng hơn với bộ môn hình học. Hớng phát triển của một bài toán hình học Con đờng đi đến bài toán tổng quát đối với môn hình học rất gian nan bởi tính chặt chẽ của nó . Chỉ cần thay đổi nhỏ thôi trong giả thiết chắc chắn lời giải sẽ khác .Thậm chí đi đến bế tắc . Thế nhng , muốn vợt qua chớng ngaị vật lớn cần phải có những bớc nhảy vọt qua những vật cản nhỏ . Sự tự tin , sáng tạo sẽ Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 1 Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học giúp bạn vợt qua đấy ! Khi bạn cha bằng lòng với một kết quả của một bài toán hình thì bạn thử nghĩ xem : Nếu mình làm lỏng một chi tiết thì kết quả của nó có gì sáo trộn không? Hãy dũng cảm tấn công vào một hệ thức hình học hay một phơng pháp chứng minh nó , chắc chắn bạn sẽ gặt hái đợc những kết quả khá thú vị . Bài toán 51 trang 130 sách bài tập toán 8 là một ví dụ nh vậy . Bài toán 1 : (bài 51 trang 130 sách bài tập toán 8 ) Cho ABC nhọn với ba đờng cao AA 1 , BB 1 ,CC 1 . Gọi H là trực tâm của tam giác đó . CMR : )1(1 1 1 1 1 1 1 =++ CC HC BB HB AA HA Giải : gọi S HBC = a , S HAC = b , S HAB = c và S ABC = x Vì ABC nhọn nên trực tâm H nằm ở miền trong tam giác . Bởi thế ta có : S HBC + S HAC + S HAB = S ABC hay a +b+c=x . Dễ thấy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ++ =++== ==== x cba CC HC BB HB AA HA CC HC x c CC HC S S BB HB x b BB HB S S AA HA x a AA HA S S ABC HAB ABC HAC ABC HBC *) H ớng phát triển : Với H là trực tâm ABC thì ta có hệ thức (1) . Nếu thay đổi giả thiết : trực tâm H bằng trọng tâm G thì hệ thức (1) còn đúng không ? Ta đi tới bài toán 2 . Bài toán 2 : Cho ABC với ba đờng trung tuyến AA 1 , BB 1 ,CC 1 . Gọi G là trọng tâm của tam giác đó . CMR : 1 1 1 1 1 1 1 =++ CC GC BB GB AA GA Giải : Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 2 A B 1 B C A 1 C 1 H Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học Cách 1 : ( Dựa vào tính chất trọng tâm G ) Do G là trọng tâm của ABC nên : 3 1 1 1 1 1 1 1 === CC GC BB GB AA GA Bởi thế : 1 1 1 1 1 1 1 =++ CC GC BB GB AA GA Cách 2 : Gọi AN là đờng cao của ABC . GM là đờng cao của GBC. Khi đó : x a AN GM = ( cùng đáy BC ) Vì GM//AN ( cùng vuông góc với BC ) nên x a AA GA AA GA NA GM == 1 1 1 1 á (Định lý Talet) Tơng tự ta cũng có : x c CC GC x b BB GB == 1 1 1 1 , Suy ra : 1 1 1 1 1 1 1 = ++ =++=++ x cba x c x b x a CC GC BB GB AA GA *) H ớng phát triển : Trong cách chứng minh thứ 2 , ta không hề nhắc đến dữ kiện của giả thiết đó là : Trọng tâm G . Phải chăng đây là lỗ hổng" của bài toán và để ý trong cách chứng minh hệ thức (1) ta đi đến bài toán tổng quát . Bài toán 3: Gọi M là điểm nằm trong ABC . Các tia AM , BM , CM cắt các cạnh BC,AC, AB lần lợt tại A 1 , B 1 , C 1 . CMR : )1(1 1 1 1 1 1 1 =++ CC MC BB MB AA MA */ H ớng dẫn : chứng minh tơng tự nh bài toán 2 ( cách 2 ) *) H ớng phát triển : Quan sát kỹ phơng pháp chứng minh công thức (1) ở bài toán 2 ta thấy : tỉ số khoảng cách từ M đến BC và từ A đến BC phụ thuộc vào các diện tích tam giác nhận các khoảng cách các khoảng cách đó làm đờng cao . Bởi thế dễ dàng tấn công vào công thức (1) để có hệ thức mới . Bài toán 4: Gọi M là điểm nằm trong ABC . Các tia AM , BM , CM cắt các cạnh BC,AC, AB lần lợt tại A 1 , B 1 , C 1 . CMR : Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 3 A B C B 1 C 1 A 1 G N M Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học )6( 2 9 )5 )5(9)4)4( 2 3 )3 )3(6)2)2(2)1 111 1 1 1 1 1 1111 111111 ++ ++++ ++=++ MC CC MB BB MA AA MC CC MB BB MA AA MC MC MB MB MA MA MC MC MB MB MA MA CC MC BB MB AA MA H ớng dẫn giải : 1) Ta có x cb AA MA x ax AA MAAA x a AA MA + = = = 11 11 1 1 Tơng tự : x ba CC MC x ca BB MB + = + = 11 ; 2 )(2 111 = ++ = + + + + + =++ x cba x cb x ca x cb CC MC BB MB AA MA 2) Từ x a AA MA = 1 1 và a cb MA MA x cb AA MA + = + = 11 Tơng tự : c ba MC MC b ca MB MB + = + = 11 , Nhờ bất đẳng thức Côsi ta có : 6222 111 =++ ++ ++ += + + + + + =++ c b b c c a a c b a a b c ba b ca a cb MC MC MB MB MA MA 3) Từ phơng pháp chứng minh câu 2 , ta đợc : cb c MC MC ca b MB MB cb a MA MA + = + = + = 111 ,, Nhờ bất đẳng thức Nasơnít , ta có : 2 3 111 + + + + + =++ ac c ac b cb a MC MC MB MB MA MA */ Các bất đẳng thức (4) ,(5) chứng minh tơng tự nhờ các bất đẳng thức (2), (3). */ Với các bất đẳng thức trên dấu = xẩy ra M là trọng tâm của ABC */ H ớng phát triển : Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 4 A C 1 B 1 M C B A 1 Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học - Sự lật đi, lật lại các tỉ số trong hệ thức (1) giúp ta có những hệ thức mới . Trấn tĩnh lại : quan sát phơng pháp chứng minh hệ thức (1) ta đi tới bài toán 5 . Bài toán 5 : Tìm tập tập điểm M nằm trong ABC sao cho : S MAB + S MAC = S MBC (Bài 23 trang 123 SGK Toán 8 - Tập 1) Giải : Giả sử M là điểm nằm trong ABC sao cho S MAB +S MAC = S MBC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =++ +=+= CC MC BB MB AA MA Do CC MC BB MB AA MA S S S S S S ABC MAC ABC MAB ABC MBC Bởi thế 2 1 1 1 = AA MA sử dụng kết quả bài toán 2, ta có : khoảng cách từ M đến cạnh BC bằng khoảng cách từ A đến BC . Vậy M thuộc đoạn thẳng song song với BC cách BC một khoảng bằng1/2 đờng cao hạ từ A xuống BC. Hay M thuộc đờng trung bình EF của ABC. */ H ớng phát triển : Cách chứng minh bài 5 là sự kết hợp giữa hệ thức (1) với mối quan hệ diện tích của một tam giác bằng tổng hai tam giác còn lại . Nh vậy nếu điểm M trong tam giác chia thành ba tam giác sao cho một tam giác có diện tích bằng k lần tổng diện tích hai tam giác còn lại . Khi đó phơng pháp chứng minh có gì thay đổi không ? Ta đi tới bài toán 6 . Bài toán 6 : Cho ABC , hãy chỉ ra tập hợp của điểm M nằm trong tam giác đó sao cho : S MBC = k. (S MAB +S MAC ) Giải : Giả sử M là điểm nằm trong ABC sao cho S MBC = k. (S MAB +S MAC ) Khi đó ta có : Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 5 A B C C 1 B 1 A 1 M E F A B C C 1 B 1 A 1 M E F Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + = ==++ += + = k k AA MA AA MA k AA MA CC MC BB MB AA MA Do CC MC BB MB k AA MA S Sk S Sk S S ABC MAC ABC MAB ABC MBC Vậy M thuộc đờng thẳng (d) song song với BC cách BC một khoảng bằng 1+k k đờng cao hạ từ A xuống BC . Giới hạn : đoạn thẳng EF ( E , F là giao của đờng thẳng d với cạnh AB,AC ) */ H ớng phát triển : Dễ thấy từ phơng pháp chứng minh ở bài toán 2 ta thấy rõ : Nếu S MAB = S MAC = S MBC thì 3 1 1 1 1 1 1 1 === CC GC BB GB AA GA và M phải là trọng tâm của tam giác . Và ta có bài toán 7 : Xác định vị trí của điểm M nằm trong ABC sao cho S MAB = S MAC = S MBC Tiếp tục tấn công vào hệ thức ta có bài toán tổng quát hơn . Bài toán 8 : Xác định vị trí của điểm M nằm trong ABC sao cho S MAB = 2 . S MAC = 3 . S MBC Giải : Giả sử điểm M nằm trong ABC sao cho S MAB = 2 . S MAC = 3 . S MBC 11 6 6 236 1 3 1 2 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 32 32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ++ = ++ == ++ =++=++ == = = AA MA AA MA AA MA AA MA AA MA CC MC BB MB AA MA Do CC MC BB MB AA MA S S S S S S ABC MAC ABC MAB ABC MBC Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 6 A B C C 1 B 1 A 1 M d 2 d 1 Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học Vậy M thuộc đờng thẳng (d 1 ) song song với cạnh BC và cách BC một khoảng bằng 11 6 đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC . Tơng tự ,ta cũng có 11 3 1 1 = BB MB Vậy M thuộc đờng thăng (d 2 ) song song với cạnh AC cách AC một khoảng bằng 11 3 đờng cao hạ từ B xuống AC. Vậy điểm M chính là giao của (d 1 ) và (d 2 ) . Nhận xét : Thuật toán không thay đổi khi ta thay đổi tỉ số giữa các tam giác . Bởi thế ta đi tới bài toán tổng quát . Bài toán 9 : Xác định vị trí của điểm M nằm trong ABC sao cho S MAB = k . S MAC = m . S MBC ( với k , m R + ) Giải : Giả sử điểm M nằm trong ABC sao cho S MAB = k . S MAC = m . S MBC mkkm km km mkkm mk AA MA mkAA MA AA MA mAA MA kAA MA CC MC BB MB AA MA Do CC MC m BB MB k AA MA S Sm S Sk S S ABC MAC ABC MAB ABC MBC ++ = ++ = ++ == ++ =++=++ == = = 1 11 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy M thuộc đờng thẳng (d 1 ) song song với cạnh BC và cách BC một khoảng bằng mkkm km ++ đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC . Tơng tự ,ta cũng có mkkm m BB MB ++ = 1 1 Vậy M thuộc đờng thẳng (d 2 ) song song với cạnh AC cách AC một khoảng bằng mkkm m ++ đờng cao hạ từ B xuống AC. Vậy điểm M chính là giao của (d 1 ) và (d 2 ) Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 7 A B C C 1 B 1 A 1 M d 2 d 1 Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học H ớng phát triển : Trong việc chứng minh hệ thức (1) có một giả thiết rất quan trọng đó là : điểm M nằm trong tam giác ABC . Bây giờ ta làm "lỏng" giả thiết này nhé ! Khi M nằm ngoài tam giác thì hệ thức (1) còn đúng không ? Chắc chắn bạn thấy ngay không có hệ thức (1) nhờ phơng pháp chứng minh nó . Thế nhng sẽ có hệ thức khác mà cách chứng minh nó có nét tơng tự nh nh cách chứng minh hệ thức (1). Ta đi tới bài toán 10 : Bài toán 10 : Cho điểm M nằm ngoài ABC, giả sử M thuộc phần mặt phẳng giới hạn bởi các cạnh CB , cạnh AB và AC kéo dài . Gọi các giao điểm của AM , BM , CM với các cạnh CB , AC , AB lần lợt là A 1 , B 1 , C 1 . Chứng minh rằng : 1 AA MA CC MC BB MB 1 1 1 1 1 1 =+ Gợi ý : hình vẽ trong bài này có 4 trờng hợp xẩy ra nhng cách chứng minh lại cho ta một kết quả . Mời các bạn giải quyết nhé ! Sau đây là 4 hình vẽ cho 4 trờng hợp , ở đó: d 1 // AB; d 2 // AC ( gianh giới chia ra 4 miền ) (1) (2) Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 8 A B C A 1 M C 1 B 1 d 1 d 2 B 1 A B C C 1 M d 2 d 1 A 1 Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học (3) (4) Chú ý : Loại trừ các điểm M nằm trên đờng thẳng d 1 , d 2 Tiểu kết Vì thời gian viết chuyên đề này không nhiều bởi vậy tôi xác định viết nó trong 2 năm . Hy vọng năm học tới sẽ giải quyết bài toán 10 và phát trển nó. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp . Xin trân trọng cám ơn ! Ngô Đức Minh - gv THCS Ngô Gia Tự -Quận Hồng bàng 9 A B C C 1 A 1 M d 1 d 2 B 1 C 1 C B A B 1 M d 1 d 2 A 1 . Hồng bàng 1 Chuyên đề : Hớng phát triển một bài toán hình học giúp bạn vợt qua đấy ! Khi bạn cha bằng lòng với một kết quả của một bài toán hình thì bạn thử nghĩ xem : Nếu mình làm lỏng một chi tiết. một hệ thức hình học hay một phơng pháp chứng minh nó , chắc chắn bạn sẽ gặt hái đợc những kết quả khá thú vị . Bài toán 51 trang 130 sách bài tập toán 8 là một ví dụ nh vậy . Bài toán 1 : (bài. Các bài toán mới chắc chắn làm cho các em thích thú khi có lời giải trong tay . Con đờng hình thành bài toán tổng quát là nh thế đấy ! Sau đây là nội dung chuyên đề : hớng phát trển một bài toán