Khai thác ác nội dung cơ bản từ một bài toán HHKG 11

GV NGUYỄN THỊ CHÍNH KHAI THÁC CÁC NỘI DUNG CƠ BẢN THÔNG QUA MỘT BÀI TẤP HÌNH Đề bài: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD J hình chiếu B SC Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, AD, BC, SC S H I E K Q N' N M A B J P O D' D C 1) BC ⊥ ( SAB) 6) BD ⊥ (SAC) 11) BC ⊥ (OPQ) A Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 2) CD ⊥ ( SAD) 3) AH ⊥ ( SBC) 4) AK ⊥ ( SCD) 7) SC ⊥ ( AIK) 8) HK ⊥ (SAC) 9) OM ⊥ (SAB) 12) AB ⊥ (OMQ) 13) AD ⊥ (ONQ) 14) SC ⊥ ( JBD) 5) SC ⊥ ( AHK) 10) ON ⊥ ( SAD) 1) BC ⊥ SB 6) AK ⊥ SC B Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 2) CD ⊥ SD 3) BD ⊥ SO 4) BD ⊥ SC 7) AI ⊥ HK 8) DJ ⊥ SC 5) AH ⊥ SC 1) (SBC) ⊥ ( SAB) 6) (AHK) ⊥(SAC) 11) (SBC) ( JBD) C Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 2) (SCD) ⊥ ( SAD) 3) (AHK) ⊥ (SBC) 4) (AHK) ⊥ ( SCD) 7) (OQM) ⊥(SAB) 8) (OQN) ⊥(SAD) 9) (OPQ) ⊥ ( (SBC) 12) (SCD) ⊥(JBD) 5) (SBD) ⊥ (SAC) 10) (SAC) ⊥ ( JBD) 1) C; (SAB) 6) O; (SAB) 11) S; (JBD) D Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2) C; (SAD) 3) A; (SBC) 4) A; (SCD) 7) O; (SAD) 8) O; (SBC) 9) O; (SCD) 12) Q; (ABCD) 5) A; (SBD) 10) S; (AHK) 1) A; SC E Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 2) O; SC 3)O;SB 4)O;SD 5) GV NGUYỄN THỊ CHÍNH 1) AD; SC 6) CD; SO F Tính khoảng cách đường thẳng 2) AB; SC 3) BC; SA 4) CD; SA 7) BC; SD 8) AD; SB 1) SB; (ABCD) 6) SC;( SAD) G Tính góc đường thẳng mặt phẳng 2) SC; (ABCD) 3) SD; (ABCD) 4) SO; (ABCD) 7)SO;(SAB) 8)SO;(SAD) 9) SA;(SCD) 1) (SBC); (ABCD) 6) (SCD); (SAB) H Tính góc mặt phẳng 2) (SCD); (ABCD) 3) (SBD); (ABCD) 4) (SBC); (SAB) 7) (SBC); (SCD) 8) (SBD); (SCD) 9) (SBD); (SBC) 5) AB; SO 5) SC; (SAB) 10)SA;(SBC) 5) (SCD); (SAD) K.Các câu hỏi mang tính tổng hợp Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi H, I, K, hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD J hình chiếu B SC Chứng minh 1) AH,AK,AI nằm mặt phẳng b) Tứ giác AKIH có hai đường chéo vuông góc 2)Tính diện tích thiết diện cắt hình chóp mặt phẳng qua A vuông góc với SC 3) Tính thể tích khối chóp S.AKIH 4)Tính diện tích thiết diện cắt hình chóp mặt phẳng qua BD vuông góc với SC J 5) Tính thể tích khối chóp S.BDJ 6) Gọi G giao điểm BN AC.Tính thể tích khối chóp QAGB 8)Tính thể tích tứ diện C.JDB 9) Giả sử mặt phẳng (ASB),(ASD) (ABD) tạo với mặt phẳng (SBD) góc a,b.c Chứng minh rằng: a )cos a + cos 2b + cos c = b) S ∆2SBD = S∆2ASB + S ∆2ASD + S ∆2ABD LỜI GIẢI 1) BC ⊥ ( SAB) 6) BD ⊥ (SAC) 11) BC ⊥ (OPQ) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) A Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 2) CD ⊥ ( SAD) 3) AH ⊥ ( SBC) 4) AK ⊥ ( SCD) 7) SC ⊥ ( AIK) 8) HK ⊥ (SAC) 9) OM ⊥ (SAB) 12) AB ⊥ (OMQ) 13) AD ⊥ (ONQ) 14) SC ⊥ ( JBD) 5) SC ⊥ ( AHK) 10) ON ⊥ ( SAD) BC ⊥ AB ( g/t hình vuông), BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD),BC ⊂ ( ABCD)) ⇒ BC ⊥ ( SAB) CD ⊥ AD ( g/t hình vuông), CD ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD),CD ⊂ ( ABCD)) ⇒ CD ⊥ ( SAD) AH ⊥ SB ( gt), AH ⊥ BC ( BC ⊥ ( SAB) (câu 1)) ⇒ AH ⊥ ( SBC) AK ⊥ SD ( gt), AK ⊥ CD ( CD ⊥ ( SAD) (câu 2)) ⇒ AK ⊥ ( SCD) AH ⊥ ( SBC) (do câu 1) ⇒ AH ⊥ SC,AK ⊥ ( SCD) ( câu 2) ⇒ AK ⊥ SC⇒ SC ⊥ ( AHK) BD ⊥ AC ( g/t hình vuông), BD ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD),BD ⊂ ( ABCD)) ⇒ BD ⊥ ( SAC) AK ⊥ ( SCD) ( câu 2) ⇒ AK ⊥ SC, AI ⊥ SC (GT) ⇒ SC ⊥ ( AIK) GV NGUYỄN THỊ CHÍNH 8) ∆ SAB = ∆ SAD ( c.g.c) ⇒ SB = SD ·ASB = ·ASD , AH ⊥ SB AK ⊥ SD ( cmt) ⇒ có ∆ SAH = ∆ SAK ( cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ SH = SK ⇒ SH SK = ⇒ HK // BD.Mặt khác ta lại SB SD có BD ⊥ ( SAC) ( câu 6) nên HK ⊥ ( SAC) 9) OM đường trung bình tam giác ABC nên OM // BC, BC ⊥ ( SAB) (cmt) ⇒OM⊥(SAB) 10) ON đng trung bình tam giác ABD nên ON// AB //CD, CD ⊥ ( SAD) (cmt) ⇒ON⊥(SAD) 11) OP đng trung bình tam giác BDC ⇒ OP // CD,BC ⊥ CD (gt hình vuông) ⇒ BC ⊥ OP OQ đng trung bình ∆ SAC ⇒ OQ // SA,SA ⊥ ( ABCD) ⇒ OQ ⊥ ( ABCD) ⇒ BC ⊥ OQ BC ⊥ ( OPQ) Hoặc chứng minh: OQ PQ đường trung bình tam giác SAC SBC nên đồng thời có OQ // SA VÀ PQ // SB ⇒ ( OPQ ) // ( SAB) mà BC ⊥ ( SAB ) (câu 1) ⇒ BC ⊥ ( OPQ) 12) AB ⊥ AD ( gt hv), AB ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD) ⇒ AB ⊥ ( SAD) OQ OM đường trung bình tam giác SAC ABC nên đồng thời có OQ // SA VÀ OM // BC//AD ⇒ ( OMQ ) // ( SAD) lại có AB ⊥ ( SAD) ( cmt) ⇒ AB ⊥ ( OMQ) 13) AD ⊥ AB ( gt hv), AD ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD) ⇒ AD ⊥ ( SAB) OQ ON đường trung bình tam giác SAC ABD nên đồng thời có OQ // SA VÀ ON//AB ⇒ ( ONQ ) // ( SAB) lại có AD ⊥ ( SAB) ( cmt) ⇒ AB ⊥ ( OMQ) 14) SC ⊥ ( AHK) ( câu 5)) ⇒ A,H,I,K đồng phẳng ⇒ ( AHIK) ⊥ SC ⇒ SC ⊥ IH ⇒Trong mp (SBC) có HI ⊥ SC, BJ ⊥ SC ⇒ BJ // HI, lại có BD // HK ⇒ ( JBD) // ( AHIK), ta lại có ( AHIK) ⊥ SC ( cmt) nên SC ⊥(JBD) B Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 1) BC ⊥ SB 2) CD ⊥ SD 3) BD ⊥ SO 4) BD ⊥ SC 6) AK ⊥ SC 7) AI ⊥ HK 8) DJ ⊥ SC 1) BC ⊥ (SAB) ( câu phần A), SB ⊂ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB 2) CD ⊥ (SAD) ( câu phần A), SD ⊂ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD 3) BD ⊥ (SAC) ( câu phần A), SO ⊂ (SAC) ⇒ BD ⊥ SO 4) BD ⊥ (SAC) ( câu phần A), SC ⊂ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC 5) AH ⊥ (SBC) ( câu phần A), SC ⊂ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC 6) AK ⊥ (SCD) ( câu phần A), SC ⊂ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC 7) AI ⊂ ( SAC) , HK ⊥ ( SAC ) ( câu phần A) ⇒ HK ⊥ AI 8) SC ⊥ ( JDB) ( câu 14 phần A), DJ ⊂ ( JDB) ⇒ DJ ⊥ SC C Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 1) (SBC) ⊥ ( SAB) 2) (SCD) ⊥ ( SAD) 3) (AHK) ⊥ (SBC) 4) (AHK) ⊥ ( SCD) 6) (AHK) ⊥(SAC) 7) (OQM) ⊥(SAB) 8) (OQN) ⊥(SAD) 9) (OPQ) ⊥ ( (SBC) 11) (SBC) ( JBD) 12) (SCD) ⊥(JBD) 1) BC ⊥ (SAB) ( câu phần A), BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥(SAB) 2) CD ⊥ (SAD) ( câu phần A), CD ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥(SAD) 3) AH ⊥ (SBC) ( câu phần A), AH ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥(SBC) 4) AK ⊥ (SCD) ( câu phần A), AK ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥(SCD) 5) BD ⊥ (SAC) ( câu phần A), BD ⊂ (SBD) ⇒ (SBD) ⊥(SAC) 6) SC ⊥ (AHK) ( câu phần A), SC ⊂ (SAC) ⇒ (AHK) ⊥(SAC) 7) OM ⊥ ( SAB) ( câu phần A), OM ⊂ (OQM )⇒ (OQM) ⊥( SAB) 5) AH ⊥ SC 5) (SBD) ⊥ (SAC) 10) (SAC) ⊥ ( JBD) GV NGUYỄN THỊ CHÍNH 8) ON ⊥ ( SAD)( câu 10 phần A), ON ⊂ (ONQ) ⇒( ONQ) ⊥ (SAD) 9) BC ⊥ ( OPQ)( câu 11 phần A) , BC ⊂ (SBC) ⇒ ( OPQ) ⊥ (SBC) 10) SC ⊥ ( JBD)( câu 14 phần A) , SC ⊂ (SAC) ⇒ ( SAC) ⊥ (JBD) 11) SC ⊥ ( JBD)( câu 14 phần A) , SC ⊂ (SBC) ⇒ ( SBC) ⊥ (JBD) 12) SC ⊥ ( JBD)( câu 14 phần A) , SC ⊂ (SCD) ⇒ ( SCD) ⊥ (JBD) D Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2) C; (SAD) 3) A; (SBC) 4) A; (SCD) 7) O; (SAD) 8) O; (SBC) 9) O; (SCD) 12) Q; (ABCD) 1) C; (SAB) 6) O; (SAB) 11) S; (JBD) 5) A; (SBD) 10) S; (AHK) 1) CB ⊥ ( SAB) ( câu phần A) ⇒ d( C,(SAB) = CB = a 2) CD ⊥ ( SAD) ( câu phần A) ⇒ d( ,(SAD) = CD = a 3) AH ⊥ ( SBC) ( câu phần A) ⇒ d( A,(SBC) = AH 1 1 1 a = 2+ ⇔ = + = ⇔ AH = 2 2 AH SA AB AH 3a a 3a 4) AK ⊥ ( SCD) ( câu phần A) ⇒ d( A,(SCD) = AK AK = SA2 + AD ⇔ AH = 3a + a2 = 3a ⇔ AK = a phần C.) (SAC) ∩ ( SBD) = SO , hạ AE ⊥ SO ⇒ AE ⊥ (SBD) ∆ SAO vuông A nên có d( A,(SBD) = AE = AE = SA2 + AO = 3a + a2 = 5) (SAC) ⊥( SBD) (câu 3a ⇒ a 21 a a 7)ON ⊥ (SAD) ( câu 10 phần A) ⇒ d( O,(SAB) ) = ON = 6)OM ⊥ (SAB) ( câu phần A) ⇒ d( O,(SAB) ) = OM = 8)(OPQ) ⊥ ( (SBC) ( câu phần C), (OPQ) ∩ ( (SBC) = PQ, ∆OPQ vuông O nên hạ AF ⊥ PQ AF ⊥ (SBC) ⇒ d( O,( SBC) ) = AF 1 4 16 a = + = + = ⇒ AF = , AF2 OP OQ a 3a 3a 9)Dễ thấy d( O,(SCD) = d( O,(SBC) = a 10) • Câu phần A có BC ⊥ (SAB) ⇒ ( SBC) ⊥ (SAB) mà ( SAB) ∩ (SBC ) = SB Trong mặt phẳng ( SAB) có AH ⊥ SB ⇒ ( SAB) ⊥ ( SBC) ⇒ AH ⊥ SC • Câu phần A có CD ⊥ (SAD) ⇒ ( SCD) ⊥ (SAD) mà ( SAD) ∩ (SCD ) = SD Trong mặt phẳng ( SAD) có AK ⊥ SD ⇒ ( SAD) ⊥ ( SCD) ⇒ AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ ( AHK) GV NGUYỄN THỊ CHÍNH • SC ⊥ AK, SC ⊥ AI ⇒ SC⊥ ( AKI) ⇒ SC ∩ ( AHK ) = I ⇒ d( S, (AHK) ) = SI • Tam giác SBC vuông B, tam giác SHI vuông I, hai tam giác đồng dạng SA2 + AB = 2a , SC = Tính toán SB = *)SH.SB = SA2 ⇒ SH = SA2 + AC = 3a + 2a = a SA2 3a 3a = = SB 2a 3a 2a 3a SI SH SH SB *)∆ SIH∼∆ SBC nên ta có = ⇔ SI = = = SB SC SC a 3a Vậy d( S,(AHK) = 11)Tính d(S,(JBD)? SB 4a 4a •∆ SJB∼∆SBC nên có SJ = = = SC a 5 12) OQ đường trung bình ∆ SAC nên OQ = SA = a E Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 2) O; SC 3)O;SB 4)O;SD 1) A; SC 5) 1) Ta có AI ⊥ SC (gt) ∆ SAC vuông A nên hạ AI ⊥ SC ⇒ AI = SA2 + = AC 3a a 30 Vậy d( A,SC) = AI = + 2a = 6a 2) Vì O trung điểm AC nên d( O,SC ) = OJ = 1d(A, SC ) = a 30 10 3) SO = SA2 + AO = OS.OB a 15 5a a ⇒ d(O,SB) = = OB = SO + OB 2 4) d(O,CD) = d(O,SB) = a 15 F Tính khoảng cách đường thẳng 1) AD; SC 2) AB; SC 3) BC; SA 4) CD; SA 6) CD; SO 7) BC; SD 8) AD; SB 5) AB; SO 1) AD// BC (gt hình vuông) ⇒(SBC) //AD ⇒ d( AD,SC) = d( A , (SBC)) = AH = = a ( Câu phần A) 2) AB // CD ⇒ (SCD) // AB ⇒ d( AB,SC) = d( A, (SCD)) = AK = 3) AB ⊥ SA,AB ⊥ BC nên d( BC,SA) = AB = a a GV NGUYỄN THỊ CHÍNH 4) AD ⊥ SA,AD ⊥ CD nên d( CD,SA) = AD = a 5) NP//AB⇒ SO ⊂ ( SNP) //AB ⇒ d( AB,SO) = d( A, ( SNP)) ⇒ Hạ AN’ ⊥SN ,NP // CD mà DC ⊥ (SAD) nên NP ⊥ ( SAD) ⇒ AN’ ⊥NP ⇒ AN’ ⊥ (SNP) ⇒ d( AB,SO) = d( A, ( SNP) = AN’ 1 1 13 = + = + = ⇒ AN= a 39 ⇒ Tính 2 AN ' SA AN 3a a 3a 6)Hạ DD’ ⊥ SN ⇒ DD’ // AN’ nên ∆DND’ = ∆ ANN’ ⇒ DD’ = AN’ a 39 7)BC//AD ⇒ BC // ( SAD ) chứa SD ⇒d( BC,SD ) = d( BC,(SAD) = d( C,(SAD) ) = CD = a ⇒ d( CD,SO ) = DD’ = AN’ = 8)AD// BC (gt hình vuông) ⇒(SBC) //AD ⇒ d( AD,SB) = d( A , (SBC)) = AH = = a ( Câu phần A) G Tính góc đường thẳng mặt phẳng 2) SC; (ABCD) 3) SD; (ABCD) 4) SO; (ABCD) 7)SO;(SAB) 8)SO;(SAD) 9) SA;(SCD) 1) SB; (ABCD) 6) SC;( SAD) 5) SC; (SAB) 10)SA;(SBC) 1) SA ⊥ (ABCD) (gt) ⇒ AB hình chiếu SB ( ABCD) ⇒ (· SB,(ABCD )) = SA · · · SBA Þ tan SBA = = Þ SBA = 600 AB 2) SA ⊥ (ABCD) (gt) ⇒ AC hình chiếu SC ( ABCD) ⇒ (· SC ,(ABCD )) = SA · · SCA Þ tan SCA = = AC 3) SA ⊥ (ABCD) (gt) ⇒ AD hình chiếu SD ( ABCD) ⇒ (· SD,(ABCD)) = SA · · · SDA Þ tan SDA = = Þ SDA = 600 AD 4) SA ⊥ (ABCD) (gt) ⇒ AO hình chiếu SO ( ABCD) ⇒ (· SO,(ABCD)) = SA · · SOA Þ tan SOA = =a AO · ,(SAB )) = (SC · , SB = CSB · 5) BC ⊥ ( SAB) ⇒ SB hình chiếu SC ( SAB) ⇒ (SC · tanCSB = BC a = = SB 2a · ,(SAD)) = (SC · , SD) = CSD · 6) CD ⊥ ( SAD) ⇒ SD hình chiếu SC ( SAD) ⇒ (SC · tanCSB = CD a = = SD 2a · ,(SAB )) = (SO · , SM ) = OSM · 7) OM ⊥ ( SAB) ⇒ SM hình chiếu SO ( SAB) ⇒ (SO · tanOSM = OM a , OM = ,SM = SM SA + AM = 3a2 + a2 a 13 = GV NGUYỄN THỊ CHÍNH · ,(SAD)) = (SO · , SN ) = OSN · 8)ON ⊥ ( SAD) ⇒ SN hình chiếu SO ( SAD) ⇒ (SO ON a , OM = ,SN= SN a2 a 13 = · · , AK ) = ASK · 9) AK ⊥ ( SCD) ⇒ SK hình chiếu SA ( SCD) ⇒ (SA,(SCD)) = (SA · tanOSN = SA + AN = 3a2 + AK · · AK 3a = Þ ASK = 300 , SK= ,AK = a Þ tan ASK = SK SK · ,(SBC )) = (SA · , AH ) = ASH · 10) AH ⊥ ( SBC) ⇒ SH hình chiếu SA ( SBC) ⇒ (SA · tan ASK = · tan ASH = AH · · AH 3a = Þ ASH = 300 , SH= ,AH = a Þ tan ASH = SH SH H Tính góc mặt phẳng 1) (SBC); (ABCD) 2) (SCD); (ABCD) 3) (SBD); (ABCD) 4) (SBC); (SAB) 5) (SCD); (SAD) 6) (SCD); (SAB) 7) (SBC); (SCD) 8) (SBD); (SCD) 9) (SBD); (SBC) 1) • (SBC) ∩ (ABCD) = BC ,BC⊥ AB ( gt hv) (1) •BC⊥ SA(do SA ⊥ ( ABCD) ,BC ⊥AB ( gthv) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB (2) SA · · · = = ⇒ SBA = 600 • Từ (1) (2) ta có ((· tan SBA SBC ), ( ABCD)) = ( ·AB, SB) = SBA AB 2) • (SCD) ∩ (ABCD) = CD ,CD⊥ AD ( gt hv) (1) •CD⊥ SA(do SA ⊥ ( ABCD) ,CD ⊥AD ( gthv) ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD (2) SA · · · = = ⇒ SDA = 600 • Từ (1) (2) ta có ((· tan SDA SCD), ( ABCD)) = ( ·AD, SD) = SDA AD 3) • (SBD) ∩ (ABCD) = BD ,BD⊥ AC ( gt hv) (1) • ∆ SAB = ∆SAD ( c.g.c) ⇒ ∆ SBD cân S O trung điểm BD ⇒ SO ⊥ BD (2) SA · · = = • Từ (1) (2) ta có ((· tan SDA SBD), ( ABCD)) = ( ·AO, SO) = SOA AO 4) • SA⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ BC, BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB) Lại có BC ⊂ ( SBC) ⇒ ( SBC) ⊥ ( SAB) hay ((·SAB), ( SBC )) = 900 5) • SA⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ CD, CD⊥ AB ⇒ CD ⊥ ( SAD) Lại có CD ⊂ ( SCD) ⇒ ( SCD) ⊥ ( SAD) hay ((·SAD), ( SCD)) = 900 6) • SA⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ CD, CD⊥ AB ⇒ CD ⊥ ( SAD) Lại có AK⊥ SD, AK ⊥ CD(do CD⊥ (SAD))⇒ AK ⊥ ( SCD) (1) • SA⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ AD, AD⊥ AB ⇒ AD ⊥ ( SAB)(2) · Từ (1) (2) ta có ((·SCD), ( SAB)) = ( ·AD, AK ) = DAK · · · tan SDA = ⇒ SDA = 600 ⇒ DAK = 300 · · 7) Ta có (SBC) ∩ ( SCD) = SC , SC ⊥ ( JBD) (cmt) ⇒ ((·SBC ), ( SCD)) = BJD = BJO OB 15 · *) Tam giác OBJ vuông J có tan BJO = = JO AE · · 8) AK ⊥( (SCD), AE ⊥ ( (SBD) ⇒ ((·SCD), ( SBD)) = ( ·AK , AE ) = EAK , cos EAK = = AK 7 GV NGUYỄN THỊ CHÍNH AE · · 9) AH ⊥( (SBC), AE ⊥ ( (SBD) ⇒ ((·SBC ), ( SBD)) = ( ·AH , AE ) = EAH , cos EAH = = AH K.Các câu hỏi mang tính tổng hợp Bài 1:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a SA ⊥(ABCD), SA = a Gọi H, I, K, hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD J hình chiếu B SC Chứng minh 1) AH,AK,AI nằm mặt phẳng 2) Tứ giác AKIH có hai đường chéo vuông góc 3)Tính diện tích thiết diện cắt hình chóp mặt phẳng qua A vuông góc với SC 4) Tính thể tích khối chóp S.AKIH 5)Tính diện tích thiết diện cắt hình chóp mặt phẳng qua BD vuông góc với SC J 6) Tính thể tích khối chóp S.BDJ 7) Gọi G giao điểm BN AC.Tính thể tích khối chóp QAGB 8)Tính thể tích tứ diện C.JDB Bài giải: 1)Trong phần A từ câu 1),2) 3),4) cho ta kết luận SC ⊥ AH, SC ⊥ AK nên SC ⊥ ( AHK ) • Từ giả thiết ta có SC ⊥ AK, SC ⊥ AI ⇒ SC ⊥ ( AKI ) , qua A có mặt phẳng vuông góc với SC ( AKH ) ≡ ( AKI) ⇒ AH,AK,AI nằm trêm mặt phẳng qua A vuông góc với SC · 2) Ta chứng minh ∆ SAB = ∆ SAD ⇒ SB = SD ·ASB = DSB sau chứng minh ∆ SHA = ∆ SKA ⇒ SH = SK ⇒ HK // BD Đã chứng minh BD ⊥ (SAC) nên HK ⊥ (SAC), AI ⊂ ( SAC) ⇒HK ⊥ AI 3)Vì qua A có mặt phẳng vuong góc với SC nên (AHK) ∩ SC = I thiết diện tứ giác AKIH 3a 3a • SB = SD = 2a, SH = SK = , SC = a , SI = ,BD = a 2 SH BD 3a HK = = SB 1 a 30 3a a 15 Có diện tích S AKIH = AI HK = = 2 20 4) Cách 1: 3a 3a 15 1 3a 3a 15 3a 3 • SI = , S AKIH = nên VS AKIH = S AKIH SI = = 20 3 20 20 Cách 2: 3a 3a • SB = SD = 2a, SH = SK = , SC = a , SI = VS AHK SA SH SK 9 = = ⇒ VS AHK = VSABD • VS ABD SA SB SD 16 16 VS IKH SI SH SK 27 27 = = ⇒ VS IHK = VSABD VS BCD SC SB SD 20 20 27 a 3 3a 3 VS AKIH = ( + )VS ABD = = 16 80 10 20 5) Diện tích thiết diện JBD tổng diện tích hai tam giác JOB JOD GV NGUYỄN THỊ CHÍNH a 30 a Mà OJ = d (O, SC ) = , OD = 10 a 30 a a 15 S ∆JOD = OJ.OD ⇒ S ∆JBD = OJ.OD = = 10 10 6) Cách 1: 4a 5 1 a 15 4a 2a 3 SJ = ⇒ VS BJD = S ∆JBD SJ = = 3 10 15 7) Dễ thấy G trọng tâm tam giác ABD S 1 a3 Lại có VS ABC = a a = VS AQB SA SQ SB a3 = = ⇒ VS AQB = VS ABC SA SC SB 12 G trọng tâm ∆ ABD nên GO = Q 1 1 AO = AC ⇒ CG = ( + ) AC = AC B A 6 G V CG CQ CB 1 ⇒ C QBG = = = ⇒ VC QBG = VS ABC N VS ABC CA CS CB 3 D' 1 a3 ⇒ VQ ABG = (1 − − )VS ABC = VS ABC = 36 C D 8) S 4a a ,SC = a nên CJ = 5 VC JBD CD CJ CB 1 a3 = = ,V = V = VS BCD CD CS CB S BCD S ABCD a Vậy VC JBD = 30 Ta có SJ = A B J O D C Ta biết AE ⊥ ( SBD) Xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (SBD) ta có S ∆ESB = S ∆ASB cos a (1) S ∆ESD = S∆ASB cos b (2) S ∆EBD = S ∆ASB cos c (3) Mặt khác xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (SAB),(SAD), (ABD) ta có GV NGUYỄN THỊ CHÍNH S ∆ASB = S∆SBD cos a (1') S ∆ESB = S∆SBD cos a (1") S ∆ASD = S ∆SBD cos b (2 ') Thế vào hệ ta có S ∆ESD = S ∆SBD cos b (2") S ∆ABD = S∆SBD cos c (3') S ∆EBD = S∆SBD cos c (3") 2 2 2 Cộng vế hệ cuối ta S ∆SBD = S ∆SBD (cos a + cos b + cos c) ⇒ cos a + cos b + cos c = b) Từ câu a) hệ (1’),(2’),(3’) ta có S ∆2ASB = S ∆2SBD cos a S ∆2ASD = S ∆2SBD cos b 2 2 Cộng vế kết câu a) ta có b) S ∆SBD = S∆ASB + S ∆ASD + S ∆ABD S ∆2ABD = S ∆2SBD cos c S H I E K Q N' N A B J P O D' D M C Bài :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = 2a.Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM = x ( 0< x ≤ a ) a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) b) Nếu MH ⊥ AC H.Tìm vị trí M để thể tích khối chóp SMCH lớn 10 GV NGUYỄN THỊ CHÍNH Hạ MH ⊥ AC , SA ⊥ ( ABCD) MH ⊂(ABCD) nên SA ⊥ MH ⇒ MH ⊥ (SAC) ⇒ D( M , ( SAC)) = MH⇒ MH // OD a x AM MH AM OD = ax = ⇒ MH = = AD OD AD a S M A H O B C D VS AHM AM AH x x2 = = ⇒ VS AHM = VS AOD VS AOD AD AO a a VS MCD DS DC DM a − x 2(a − x ) = = ⇒ VS AHM = VS AOD VS ACD DS DC DA a a VS MHC = VS ACD − VS AHM − VS DMC = (2 − x 2(a − x) − )VS AOD a2 a x x +2− ÷  x x a V = (2 − )VS AOD ≤  a ÷ S AOD = VS AOD a a  ÷   Vậy thể tích khối chóp S.MGC lớn 1 a3 VS AOD = a a = 12 x x x = 2− ⇔ =1⇔ x = a ⇔ M ≡ D a a a 11 [...]...  x x a V = (2 − )VS AOD ≤  a ÷ S AOD = VS AOD a a 2  ÷   Vậy thể tích của khối chóp S.MGC lớn nhất bằng 1 1 2 a3 3 khi và chỉ khi VS AOD = a a 3 = 4 3 12 x x x = 2− ⇔ =1⇔ x = a ⇔ M ≡ D a a a 11 ... AKI) ⇒ SC ∩ ( AHK ) = I ⇒ d( S, (AHK) ) = SI • Tam giác SBC vuông B, tam giác SHI vuông I, hai tam giác đồng dạng SA2 + AB = 2a , SC = Tính toán SB = *)SH.SB = SA2 ⇒ SH = SA2 + AC = 3a + 2a =... SCD) ⊥ (JBD) D Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2) C; (SAD) 3) A; (SBC) 4) A; (SCD) 7) O; (SAD) 8) O; (SBC) 9) O; (SCD) 12) Q; (ABCD) 1) C; (SAB) 6) O; (SAB) 11) S; (JBD) 5) A; (SBD) 10)... HK // BD.Mặt khác ta lại SB SD có BD ⊥ ( SAC) ( câu 6) nên HK ⊥ ( SAC) 9) OM đường trung bình tam giác ABC nên OM // BC, BC ⊥ ( SAB) (cmt) ⇒OM⊥(SAB) 10) ON đng trung bình tam giác ABD nên ON//