phát triển bài toán

Phần I Đặt vấn đề Đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin và hứng thú học tập cho học sinh. Dạy học Toán là dạy hoạt động Toán học, học sinh cần phải đợc cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự khám phá điều mình cha biết. Để đảm bảo tiết học có hiệu quả, có chất lợng đòi hỏi ngời thầy giáo phải đầu t thời gian và trí tuệ vào nội dung của từng tiết học, biết cách vận dụng tốt các phơng pháp đặc biệt hoá, tổng quát hoá, t- ơng tự để từ những kiến thức đã có giúp học sinh mở rộng, đào sâu hệ thống hoá kiến thức hoặc mò mẫm, dự đoán, tìm lời giải cho bài toán Điều đó cũng làm cho ngời thầy giáo có cái nhìn sâu hơn, rộng hơn một vấn đề, một bài toán, tự trau dồi cho mình những kiến thức chuyên môn. Qua đó có những phơng pháp hợp lý trong giảng dạy, giúp học sinh biết cách suy luận, biết cách tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi đề phát hiện những kiến thức mới hoặc biết cách tìm lời giải của một bài toán khó hoặc cao hơn là đề ra những bài toán mới tơng tự. Phạm vi của đề tài đề cập đến một vấn đề: Phát huy trí tuệ của học sinh qua việc khai thác một bài toán ./. Phần II Nội dung A- số học: Xét bài toán trong Sách giáo khoa lớp 6: Tính tổng: S = 2.1 1 + 3.2 1 + 4.3 1 + + 100.99 1 Ta có: S = 1 1 - 2 1 + 2 1 - 3 1 + 3 1 - 4 1 + + 99 1 - 100 1 = ( 1 1 + 2 1 + 3 1 + + 99 1 ) ( 2 1 + 3 1 + + 99 1 + 100 1 ) = 1 - 100 1 = 100 99 Trên cơ sở của bài toán trên ta có thể phát triển thành nhiều bài toán khác: 1- Bài toán 1: Cho A = 2 2 1 + 2 3 1 + 2 4 1 + + 2 100 1 Chứng minh rằng: A < 1. Lời giải: A = 2.2 1 + 3.3 1 + + 100.100 1 A < 2.1 1 + 3.2 1 + + 100.99 1 A < S = 1 - 100 1 = 100 99 < 1 A < 1 Ta có bài toán tổng quát: Cho B = 2 2 1 + 2 3 1 + 2 4 1 + + 2 1 n Với n N * Chứng minh rằng: B < 1 2- Bài toán 2: 2 Cho C = 4 5 + 9 10 + 16 17 + + 000.10 10001 Chứng minh rằng C < 100. Lời giải: C = 2 2 5 + 2 3 10 + + 2 100 10001 Do từ 2 đến 100 có 99 số nên tổng C có 99 số hạng. Khi đó: C = (1 + 2 2 1 ) + (1 + 2 3 1 ) + (1 + 2 100 1 ) = 99 + ( 2 2 1 + 2 3 1 + + 2 100 1 ) = 99 + ( 2.2 1 + 3.3 1 + + 100.100 1 ) < 99 + ( 2.1 1 + 3.2 1 + + 100.99 1 ) C < 99 + S = 99 + (1 - 100 1 ) = 100 - 100 1 C < 100 Ta có bài toán tổng quát: Cho D = 2 2 5 + 2 3 10 + 2 4 17 + + 2 2 1 n n + Chứng minh rằng: D < n (n N * ). Lời giải tơng tự lời giải bài toán 2. 3- Bài toán 3 : Cho E = 4 3 + 9 8 + 6 15 + + 10000 9999 Chứng minh rằng: E > 98. Lời giải: Ta có: E = (1 - 4 1 ) + (1 - 9 1 ) + + (1 - 10000 1 ) = (1 - 2 2 1 ) + (1 - 2 3 1 ) + (1 - 2 100 1 ) = 99 ( 2 2 1 + 2 3 1 + + 2 100 1 ) = 99 ( 2.2 1 + 3.3 1 + + 100.100 1 ) E > 99 ( 2.1 1 + 3.2 1 + + 100.99 1 ) 3 ⇒ E > 99 – (1 - 100 1 ) = 98 + 100 1 ⇒ E > 98 Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t: Cho F = 2 2 3 + 2 3 8 + 2 4 15 + + … 2 2 1 n n − Chøng minh r»ng: F > n – 2 4- Bµi to¸n 4: Cho G = 2 2 1 + 2 4 1 + 2 6 1 +… 2 200 1 Chøng minh r»ng: G < 2 1 Lêi gi¶i: Ta cã: G = 1.2 1 2 + 22 2.2 1 + 22 3.2 1 + + … 22 100.2 1 = 2 2 1 . (1 + 2 2 1 + 2 3 1 + + … 2 100 1 ) ⇒ G < 4 1 + 4 1 . ( 2.1 1 + 3.2 1 + + … 100.99 1 ) ⇒ G < 4 1 + 4 1 . (1 - 100 1 ) G < 2 1 - 100 1 < 2 1 VËy G < 2 1 Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t: Cho H = 2 2 1 + 2 4 1 + + … 2 )2( 1 n Chøng minh r»ng: H < 2 1 5- Bµi to¸n 5: Cho P = 5 1 + 13 1 + 25 1 + + … 19801 1 Chøng minh r»ng: P < 2 1 Lêi gi¶i: P = 14 1 + + 112 1 + + + … 119800 1 + 4 ⇒ P < 4 1 + 12 1 + 24 1 + + … 19800 1 P < 2.2 1 + 6.2 1 + 12.2 1 + + … 9900.2 1 P < 2 1 . ( 2.1 1 + 3.2 1 + + … 100.99 1 ) P < 2 1 . (1 - 100 1 ) = 2 1 - 100 1 ⇒ P < 2 1 6- Bµi to¸n 6: Cho Q = 5 3 + 13 11 + 25 23 + + … 19801 19799 Chøng minh r»ng: Q > 98. Lêi gi¶i: Ta cã: Q = (1 - 5 2 ) + (1- 13 2 ) + + (1- … 19801 2 ) ⇒ Q > (1 - 4 2 ) + (1- 12 2 ) + + (1 - … 19801 2 ) ⇒ Q > (1 - 2 1 ) + ( 1 - 6 1 ) + + (1 - … 9900 1 ) ⇒ Q > (1 - 2.1 1 ) + (1 - 3.2 1 ) + + (1 - … 100.99 1 ) ⇒ Q > 99 – (1 - 100 1 ) = 98 + 100 1 VËy Q > 98. 7- Bµi to¸n 7: Cho M = 2001 - ( 1 1 + 21 1 + + 321 1 ++ + + … 99 .21 1 +++ ) Chøng minh r»ng: M > 1999 Lêi gi¶i: Ta cã: 1 = 2 2.1 ; 1 + 2 = 2 3.2 1 + 2 + 3 = 2 4.3 5 … 1 + 2 + 3 + + 99 = … 2 100.99 ⇒ M = 2001 – ( 2 2.1 1 + 2 3.2 1 + + … 2 100.99 1 ) = 2001 – 2 . ( 2.1 1 + 3.2 1 + + … 100.99 1 ) = 2001 – 2. (1 - 100 1 ) = 2001 – 2 + 100 2 = 1999 + 50 1 >1999 VËy M > 1999. Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t: Cho N = ( 11 1 + + 21 1 + + 321 1 ++ + + … ) .21 1 n +++ Chøng minh r»ng: N < 2 8- Bµi to¸n 8: Cho E = !2 1 + !3 1 + !4 1 + + … !100 1 Chøng minh r»ng: E < 1 Ta cã: E = ( 2.1 1 + 3.2.1 1 + + … 100 .3.2.1 1 ) Do: 4.3.2.1 1 < 4.3 1 ; 5.4.3.2.1 1 < 5.4 1 …. 100 .3.2.1 1 < 100.99 1 ⇒ E < ( 2.1 1 + 3.2 1 + 4.3 1 + … 100.99 1 ) ⇒ E < 1 - 100 1 < 1 VËy E < 1 9- Bµi to¸n 9: 6 Cho F = !2.5 3 + !3.5 3 + + !100.5 3 Chứng minh rằng: F < 0,6 Ta có: F = 5 3 . ( !2 1 + !3 1 + + !100 1 ) F < 5 3 . E < 5 3 . 1 Vậy F < 0,6 10- Bài toán 10: Chứng minh rằng: 1 + !1 1 + !2 1 + !3 1 + + ! 1 n < 3 Đặt Z = 1 + !1 1 + !2 1 + !3 1 + + ! 1 n Z = 1 + 1 1 + 2.1 1 + 3.2.1 1 + .+ n .3.2.1 1 Z < 2 + 2.1 1 + 3.2 1 + 4.3 1 + + nn ).1( 1 Z = 2 + 1 1 - 2 1 + 2 1 - 3 1 + + 1 1 n - n 1 Z = 3 - n 1 < 3 Vậy Z < 3 11- Bài toán 11: Cho B = 3.1 1 2 + 5.3 2 2 + + 193.191 96 2 Chứng minh rằng: B < 25 Lời giải: Ta có : B = 2 2 1 . ( 3.1 2.1 22 + 5.3 2.2 22 + 7.5 3.2 22 + + 193.191 96.2 22 ) B = 4 1 . ( 3.1 2 2 + 5.3 4 2 + 7.5 6 2 + + 193.191 192 2 ) B = 4 1 [1+ 3.1 1 + 1+ 5.3 1 + + 1+ 193.191 1 ] 7 B = 4 1 [96 + ( 3.1 1 + 5.3 1 + + … 193.191 1 )] B = 24 + 8 1 . (1 - 193 1 ) B = 24 + 8 1 - 193.8 1 < 24 8 1 < 25 VËy B < 25. 12- Bµi to¸n 12: Cho C = 3 1 + 15 13 + 35 33 + + … 36099 36097 Chøng minh r»ng: C > 94 Lêi gi¶i: Ta cã: C = (1 - 3 2 ) + ( 1- 15 2 )+ + (1 - … 36099 2 ) = (1 - 3.1 2 ) + ( 1 - 5.3 2 )+ + … 191.189 2 ) = 95 – ( 3.1 2 + 5.3 2 + + … 191.189 2 ) = 95 – ( 1 - 191 1 ) = 94 + 191 1 > 94 VËy C > 94. 13- Bµi to¸n 14: Cho D = 17 11 + 37 31 + 65 59 + 101 95 + 145 139 Chøng minh r»ng: D > 4. Lêi gi¶i: Ta cã: D = 1 - 17 6 + 1 - 37 6 + + 1 - … 145 6 = 5 – ( 17 6 + 37 6 + 45 6 + 101 6 + 145 6 ) = 5 – 3 ( 17 2 + 37 2 + 65 2 + 101 2 + 145 2 ) > 5 – 3 ( 15 2 + 35 2 + 63 2 + 99 2 + 143 2 ) 8 = 5 – 3 ( 5.3 2 + 7.5 2 + 9.7 2 + 11.9 2 + 13.11 2 ) = 5 – 3 ( 3 1 - 13 1 ) = 5 – 1 + 13 3 > 4 VËy D > 4 14- Bµi to¸n 14: Cho E = !2 1 + !3 2 + !4 3 + … !2001 2000 Chøng minh r»ng: E < 1 Ta cã: E = !2 12 − + !3 13 − + !4 14 − + + … !2001 12001 − = !2 2 - !2 1 + !3 3 - !3 1 + .+ … !2001 2000 - !2001 1 = 1 - !2001 1 < 1 VËy E < 1 15- Bµi to¸n 15: T×m x biÕt: 21 1 + + 321 1 ++ + + … x ++++ .321 1 = 2003 2001 Lêi gi¶i: Ta cã: VT = 2 3.2 1 + 2 4.3 1 + + … 2 )1.( 1 + xx = 3.2 2 + 4.3 2 + + … )1( 2 + xx = 2. ( 2 1 - 3 1 + 3 1 - 4 1 + + … x 1 - 1 1 + x ) = 2 . ( 2 1 - 1 1 + x ) = 1 - 1 2 + x ⇒ 1 - 1 2 + x = 2003 2001 ⇒ x = 2002 . 16- Bµi to¸n 16: Cho F = 4 3 + 36 5 + 144 1 + + … 22 )1( 12 + + nn n 9 Chøng minh: F < 1 Lêi gi¶i; Ta cã: F = 22 2.1 1 + 22 3.2 5 + + … 22 )1( 12 + + nn n = 2 1 1 - 2 2 1 + 2 2 1 - 2 3 1 + + … 2 1 n - 2 )1( 1 + n = 1 - 2 )1( 1 + n < 1 VËy F < 1. 17- Bµi to¸n 17: Cho M = )!1( 1 . !4 11 !3 5 !2 1 2 + −+ ++++ n nn Chøng minh r»ng: M < 2 Lêi gi¶i: Ta cã: )!1( 1 2 + −+ n nn = )!1( )1( + + n nn - )!1( 1 + n = )!1( 1 − n - )!1( 1 + n ⇒ M = !2 1 + !1 1 - !3 1 + !2 1 - !4 1 + + … )!1( 1 − n - )!1( 1 + n = 2 – ( ! 1 n + )!1( 1 + n ) < 2 VËy M < 2 18- Bµi to¸n 18: Cho N = !2 1 + !3 2 + !4 3 + + … ! 1 n n − Chøng minh r»ng: N < 1 Lêi gi¶i: Ta cã: ! 1 n n − = )!1( 1 − n - ! 1 n ⇒ N = !1 1 - !2 1 + !2 1 - !3 1 + + … )!1( 1 − n - ! 1 n 10 [...]... viên dễ dàng cho các em chứng minh đợc hằng đẳng thức sau: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (*), a,b,c R Từ bài toán trên, theo các hớng khai thác khác nhau mà ta có thể đề xuất các bài toán tuỳ theo mức độ khó, dễ Sau đây là một số bài toán xuất phát từ bài toán trên Bài toán 1: Chứng minh rằng a,b,c R, abc 0 và a + b + c = 0 thì ta luôn có: 1 1 1 + 2 + 2 2 a b c = 1 1 1 + + a b c (1)... 1 1 1 + + a b c Q ta có bài toán sau: Bài toán 3: Cho a, b, c là các số hữu tỷ đôi một khác nhau Chứng minh rằng: 12 1 1 1 s = ( a b) 2 + ( b c) 2 + ( c a ) 2 là số hữu tỷ (3) Nhận xét: (a b) + (b c) + ( c a) = 0 áp dụng đẳng thức (1) với a,b,c là các số: (a b); (b c); (c a) ta có: s= 1 1 1 + + a b b c c a Q (đpcm) áp dụng bài toán 2a, ta lại có bài toán sau: Bài toán 4: Rút gọn biểu thức:... Chứng minh rằng : 1 1 1 + hb hc ha = 1 R * Nhận xét: Trên đây ta xét các bài toán trong phạm vi hẹp là mặt phẳng Mở rộng bài toán trong không gian (học sinh đã học ở SGK 9) Ta có các bài toán sau với ý tởng lời giải tơng tự Với khái niệm diện tích ở hình học phẳng, học sinh sẽ mở rộng cho khái niệm thể tích trong không gian * Bài toán 9: 22 Trong không gian cho tứ diện ABCD, một điểm I bất kỳ nằm trong... (2) * Từ các kết quả trên, khai thác tiếp cho điểm bất kỳ trong tam giác, ta có bài toán sau: * Bài toán 4: 18 Cho ABC và một điểm I bất kỳ trong tam giác AI, BI, CI lần lợt cắt BC, CA, AB tại M, N, P Chứng minh rằng : IM IN IP + + AM BN CP AI BI CI + + AM BN CP =2 =1 (5) (6) Khai thác lời giải bài toán 3 Ta có lời giải toán này nh sau: Kẻ AH, IK vuông góc với BC S IK BIC = Ta có: S AH ABC Theo Định... áp dụng bài toán 2b ta có: Sn = 1 +10 n 1 = 10n 1 + 10 n 1 10 n 1 10 n = 10 n 1 + 1 10 n Q , n Z+ b- Với cách biểu diễn trên ta có: Sn = 10 n 10 n 1 10 n 1 2 - 1 n Q Z (vì n 2 < 2n, n 3) Sn Z Bài toán 6: Đặt 1 n 3996999 2000 Ta có: Khi n 3 thì Sn = (n 2) + Nhng khi đó: - 1 n Vậy S2000 = (2000 2) + b- 1 n 1 = 99 9 0,99 9 = 99 98,00 0,1 (n-1) c.số 9 (n-1) c.số 0 14 áp dụng bài toán 2 ta... (n-1) c.số 9 (n-1) c.số 0 14 áp dụng bài toán 2 ta có thể đa ra một cách giải phơng trình qua bài toán sau: Bài toán 7: Giải phơng trình: a- 1 1 3 + = 2 2 (2 x 1) (3 x + 1) ( x + 2) 2 b- x + 6x + 6 + x +3 x +4 2 Giải: a - (1) 2 (1) = 0 (2) 1 1 1 4 + + = 2 2 2 (1 2 x) (3x + 1) ( x + 2) ( x + 2) 2 áp dụng bài toán 2a: Vì (1 2x) + (3x + 1) + [-(x + 2)] = 0 Ta có: 1 1 1 + + 2 2 (1 2 x) (3 x + 1) (... 5 2 Vì 1 1 ( x + 3) 1 + + x+3 1 x+3 x + 3 =0 áp dụng bài toán 2b ta có: (2) x + 3 +1 ( x + 3).1 ( x + 3) +1 x 2 + 7 x +13 x +4 =2 =2 x 2 + 7 x + 13 =2 x+4 x 2 + 7 x + 13 = 2 x+4 Giải các phơng trình trên và đối chiếu với tập xác định ta có nghiệm của phơng trình (2) là: x1 = 5 + 5 2 16 ; x2 = 5 5 2 C Hình học Bài toán: * Xét Bài toán 1: Cho ABC nhọn, trọng tâm G, các đờng trung tuyến lần... của trọng tâm tam giác học sinh đã học ở Hình học 7 Tơng tự ta chứng minh đợc bài toán sau: * Bài toán 2: Cho ABC, trọng tâm G, các trung tuyến lần lợt là AM, BN, CP Chứng minh rằng : GA GB GC + + AM BN CP =2 (2) Học sinh chứng minh tơng tự với: GA = 2 3 AM, GB = 2 3 BN, GC = 2 3 CP Kết quả (2) * Nhận xét: Trong hai bài toán trên, ta xét điểm G là trọng tâm của tam giác, ở bên trong tam giác Đặt ra... kết quả (1) và (2) còn đúng không ? Trớc hết hãy thay trọng tâm G bằng trực tâm H ta có bài toán sau: 17 * Bài toán 3: Cho ABC nhọn, H là trực tâm, ba đờng cao tơng ứng là: AM, BN, CP Chứng minh rằng : HM HN HP + + AM BN CP HA HB HC + + AM BN CP =1 (3) =2 (4) ở đây H là trực tâm nên không thể áp dụng lời giải bài toán trên: HM là đờng cao BHC AM là đờng cao ABC C Vậy ta có lời giải sau: Ta có S BHC... 1 1 1 2( a + b + c ) + 2 + 2 + 2 abc a b c Với giả thiết : a + b + c = 0 ta suy ra : 1 1 1 + + a b c 2 = 1 1 1 + 2 + 2 2 a b c 1 1 1 + 2 + 2 2 a b c = 1 1 1 + + a b c (đpcm) Từ bài toán (1) ta có bài toán 2 sau đây: Bài toán 2: Chứng minh các đẳng thức sau: 11 thì 1 1 1 + 2 + 2 a b ( a + b) 2 ab- a + b2 + a 2b 2 ( a + b) 2 = = 1 1 1 + a b a +b a +b ab a +b (2a) (2b) Lời giải: a- Từ nhận xét: a . 100 1 ) = 1 - 100 1 = 100 99 Trên cơ sở của bài toán trên ta có thể phát triển thành nhiều bài toán khác: 1- Bài toán 1: Cho A = 2 2 1 + 2 3 1 + 2 4 1 + +. Từ bài toán trên, theo các hớng khai thác khác nhau mà ta có thể đề xuất các bài toán tuỳ theo mức độ khó, dễ. Sau đây là một số bài toán xuất phát từ bài