XÂY DỰNG MỘT SƠ ĐỒ TÍNH TRUYỀN CHẤT D TRÊN CƠ SỞ HÀM SPLINE BẬC GS TSKH NGUYỄN ÂN NIÊN (1), THS NCS BÙI VIỆT HƯNG (2) (1) Viện Khoa học Thuỷ lợi Miền Nam (2) Công ty Tư vấn xây dựng Thủy lợi Tóm tắt : Trong việc giải toán truyền chất chiều, phương pháp sai phân hữu hạn có nhiều lợi Sau việc giải toán thủy lực độc lập để xác định đặc trưng dòng chảy ( lưu lượng, mực nước,.,) ta giải phương trình truyền chất cách phân rã thành phương trình tải phương trình khuếch tán Nghiệm phương trình tải đóng vai trò phương trình khuếch tán giải nghiệm này, nói chung vi chỉnh lại nghiệm lời giải cuối Chúng đề xuất việc giải phương trình tải dùng hàm spline bậc để khắc phục số nhược điểm sơ đồ dùng I MỞ ĐẦU Phương trình truyền chất chiều với nồng độ c đơn vị thể tích chất lỏng có dạng c c c q (1) v AD c q c c t x A x x A Trong : v – vận tốc trung bình mặt cắt A – diện tích mặt cắt ướt phụ thuộc mực nước Z mặt cắt D – hệ số khuếch tán vật lý ( phân tử + rối) q – lưu lượng bổ sung ngang đơn vị chiếu dài dọc dòng chảy cq – nồng độ chất dòng bổ sung ngang - cường độ ( thể tích ) tăng / giảm nồng độ chất - hệ số mô men phân bố không nồng độ chất c’ lưu tốc u’ điểm mặt cắt uc dA (2) vAc A Để có tốc độ v, diện tích mặt cắt ướt A(x,z) hệ số khuếch tán D (phụ thuộc vào yếu tố thủy lực, chẳng hạn công thức Fisher [1]) ta cần giải toán thủy lực trước để nhận đặc trưng mực nước z, lưu lượng Q mặt cắt lớp thời gian sơ đồ quen biết VRSAP, TLUC, KOD01, MIKE 11 ,v,v [2] Để giải phương trình truyền chất (1) ta phân rã thành phương trình tải : c c q v c q c c t x A phương trình khuếch tán c c DA t A x x (3) (4) Nghiệm phương trình tải đóng vai trò nghiệm toán giải phương trình khuếch tán (4) nghiệm phương trình tải tu chỉnh nghiệm nghiệm cuối Vì việc giải phương trình khuếch tán phải bàn thêm nên, tập trung vào việc giải phương trình tải (3) Phương trình có đặc trưng : C = v (5) Không làm giảm tích chất tổng quát ta xem q=0 (tập trung lưu lượng bên thành nguồn tập trung đổ vào đoạn dòng chảy) ta có : c c dc (6) v c c0 t x dt C Trong đó, đạo hàm toàn phần đường đặc trưng dx C v dt Nghiệm phương trình (6) đường đặc trưng : (7) t dt tO c co e (8) C Trong trường hợp = nghiệm (8) : c const (9) C Để giải sai phân ta chia dòng chảy thành đoạn mặt cắt có toạ độ xj cách đoạn xj Để giải nghiệm c*j phương trình tải khử khuếch tán số phép nội suy tuyến tính, phương pháp hay dùng gọi phương pháp nội suy dùng hàm Largrange, tóm tắt sau : (xem hình ) [3] L Lj t+t N Lj-1 Lj+1 C t j-1 M x j j-1 j+1 Hình x j j+1 Để tìm c*j = cN ta vẽ đường đặc trưng tới điểm N theo (9), ta có (khi =0) : c j L j 1 x c j 1 L j x c j L j 1 x c j 1 (10) Biến thiên hàm nội suy L hình vẽ Cách nội suy có hai nhược điểm : + Huy động trị số cj+1 đứng phía hạ lưu ( hình vẽ xem v>0) không với tính chất đặc trưng phương trình tải + Các hàm L có trị số âm (Lj-1, Lj+1) lớn (Lj), nên gặp nhiều tình trị số c*j = cM vượt giới hạn cj-1, cj, cj+1 chí có trị số âm [1] Trong trường hợp ≠ ta có : c j c M e t L j 1 c j 1 L j c j L j 1 c j 1 e t (11) Trong trị số trung bình đoạn MN Như vậy, rõ ràng cần phải tìm phương pháp giải phương trình tải cách khác, để khắc phục nhược điểm Đó lý đề xuất sơ đồ giải II SƠ ĐỒ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TẢI SỬ DỤNG HÀM NỘI SUY SPLINE BẬC Để đảm bảo nội suy trị số nồng độ mặt cắt thượng lưu (ảnh hưởng theo đường đặc trưng truyền xuống) mặt cắt xét, ta sử dụng sơ đồ động sau (hình 2) : E N x G H S K=-1 t+t x’j-1 x’j K=0 Sj K=1 Sj-1 t j-1 xj-1 j xj j+1 K=-1 j-1 K=1 K=0 j Hình Ta dựng đường đặc trưng qua mặt cắt j-1, j cắt lớp t+t E G Ta ký hiệu : xj 1 EG x j 1 v j v j 1 t x NG v j t ; v v v v’ : lưu tốc mặt cắt lớp t+t Ta có hàm Spline sau (x’ khoảng cách đến điểm G) : ≤ x’ ≤ x’j-1 x x x S j 1 k j 1 1 x j 1 x j 1 x j 1 S j S j 1 (12) với kj-1 hệ số liên quan đến đạo hàm bậc hàm c, huy động điểm phía thượng lưu hạ lưu, đây, ta lấy điểm H hình Ta có biểu thức tính kj-1 sau [4] : cG c E x j c H c G x j 1 x j 1 k j 1 cG c E (13) x j 1 x j x j Nếu | c*G – c*E | > | vế phải (13) | tính kj-1 thông thường ( chia vế phải cho c*G – c*E ) Ngược lại, ta lấy kj-1 sau : (14) k j 1 sign cG* c E* c G* c *E x j c H* c G* x j 1 Như ta có : -1 ≤ k ≤ (15) điều kiện đảm bảo trị số S nằm * Công thức (13) biến đổi sau : Nếu ta ký hiệu c H ngoại suy tuyến tính cG* cE*, ta có : x j * c H cG* cG* c E* x j 1 ta ký hiệu : c H* c *H c H* để tính kj-1 dùng biểu thức : x j 21 * k j 1 cG c E c H (16) x j x j 1 x j tương tự, | cG* - cE* | > | vế phải (16) | tính kj-1 thông thường (chia vế phải cho cG* - cE* ), trường hợp ngược lại, ta lấy: * (17) (18) k j 1 sign c H c G* c E* Sau có trị số kj-1 , ta tính cj* = cN* c *j S j 1 x c *E S j x c G* Trong (12) với x v j t , ta nhân tỷ số ướt ) ta thay tỷ số : x A v j t Q j t x j 1 A x j 1 wj 1 : x x j 1 với A’(diện tích mặt cắt (19) wj 1 w j 1 Q j Q j 1 t (20) thể tích chứa nước khối EG wj-1 thể tích nước mặt cắt j-1 j lớp thời gian t Cần lưu ý giới hạn kj-1 = ± trường hợp | cj – cj-1 | nhỏ nên sai số phạm phải tính hệ số có bậc sai số tính toán, nửa hệ số kj-1 nằm phần chỉnh bậc phép nội suy tuyến tính Các trị số c* E, G, H ứng với ≠ 0, tức c* = c e t với III TÍNH TOÁN NỒNG ĐỘ CHẤT TẠI NÚT SÔNG Nút sông chỗ nhánh sông giao Trong sơ đồ tính truyền thống xem có xáo trộn hoàn toàn nút sông, đó, nồng độ nhánh Cụ thể (xem hình 3) Hình – nút sông Các mặt cắt lấy sát nút sông ta có : c vao c Qra Qvao Qra ; Qvao (21) Nếu ta ký hiệu mặt cắt liên quan đến nút j jK ( K=1,2,3,.,.,n) ta viết (dấu phẩy để đặc trưng lớp thời gian tính toán t+t) : n d K 1 n jK Q jK d jK Q j K c j K c j d j K Q jK d jK Q jK (22) K 1 Trong đó, djK thông số hướng chảy vào nút djK = chiều dương QjK trùng hướng vào nút djK = -1 trường hợp ngược lại Giả thiết xáo trộn hoàn toàn nút sông chưa phù hợp với thực tế số liệu đo đạc nồng độ chất (chẳng hạn độ mặn) nhánh không Cũng sơ đồ truyền thống ta giải toán tải tìm cjK* cho nhánh chảy đến ( khác huy động nồng độ cD* mút đường đặc trưng đứng trước để tính k jK , xem [4]) tuỳ thuộc vào việc phân chia nước nhánh vào nhánh Trước tiên ta phân biệt nhánh chảy vào theo dấu d jK Q jK xếp lại sau : - Nhánh vào đánh số ji - Nhánh đánh số jo j ,j Ta ký hiệu i O với i (1,2,.,.,n) có n1 nhánh với o (1,2,.,.,n) có n – n1 nhánh Q ji , jO (23) Q ji Đó tỷ lệ lưu lượng nhánh ji đổ vào nhánh jO d ji Q ji d ji Q ji d ji Q ji ji n Ta ký hiệu d ji Q ji d jK Q jK d jK Q jK (24) K 1 Đó tỷ lệ lưu lượng đổ vào nhánh ji , tất nhiên, nhánh vào có hệ số ji ≠ Bây giờ, ta tính cjo* sau : c *jO ji ji , jO c *ji (25) ji Việc tìm giá trị ji , jO có viết riêng Trường hợp sơ đồ tính có mặt cắt không sát nút ( ví dụ sơ đồ KODWQ) xử lý gần giống ( hệ số ,) với việc có nội suy hàm spline (25) – xem thêm [5] ) IV KẾT LUẬN Sơ đồ giải toán tải hàm Spline đưa hướng mới, hoàn chỉnh sơ đồ xáo trộn cưỡng mà trước đề [6] nhằm khắc phục nhược điểm sơ đồ tính dùng phát triển ứng dụng rộng rãi TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn An Niên – Một số cải tiến sơ đồ tính truyền chất ( toán chiếu) – Tuyển tập KH Cong nghệ – Viện KH Thủy Lợi Miền Nam – NXB Nông Nghiệp – 1999 [2] Nguyễn An Niên – Phân tích mô hình tính toán thủy lực sử dụng cho Đồng sông Cửu Long – Tuyển tập KH CN – Viện KH Thủy Lợi Miền Nam – NXB Nông Nghiệ – 2001 [3] Nguyễn Tất Đắc – Mô hình toán học không dừng chiều cho truyền triều xâm nhập mặn cho hệ thống sông kênh – Luận án Tiến sỹ Cơ học – 1987 [4] Nguyễn An Niên, Bùi Việt Hưng – Cải tiến sơ đồ tính truyền chất chiều Phần I – Sơ đồ tính nhánh sông Tuyển tập KH CN – Viện KH Thủy lợi Miền Nam – NXB Nông nghiệp – 2003 [5] Nguyễn An Niên, Bùi Việt Hưng – Cải tiến sơ đồ tính truyền chất chiều Phần II – Sơ đồ tính mạng sông – Tuyển tập KH CN – Viện KH Thủy lợi Miền Nam – NXB Nông Nghiệp – 2003 [6] Nguyễn An Niên, Tăng Đức Thắng – Computation of mass transmission by a forced – mixed model ( One-dimensional problem) Proc of International colloquium in Mechanics of Solids Fluids, Structures and Interactions – Nha Trang – 2000 SUMMARY Creation of an one-dimensional mass transmission mathematical scheme base on second degree Spline Prof Dr of Sci Nguyen An Nien - Southern Institute for Water Resources Research MEng Bui Viet Hung - Hydraulic Construction Consultant Company When solving one-dimensional mass transmission problem, the finite difference method has more priority After solving one – dimensional hydraulic problem for receiving hydraulic characteristics (discharge, water level ,.,.,) we resolute mass transmission equation by separating into transport equation and diffussion one Solutions of transport problem, as well known, has dominant role and solutions of diffusion one based on solution of transport one only adjust these solutions We present a scheme for solving transport equation based on secondary degree spline, that can overcome defects of currently used computational schema Người phản biện: PGS.TS Phó Đức Anh