Bai tap lon cao hoc on dinh ket cau thep

I. Nén đúng tâm: Bài 1. Cho thanh chịu nén đúng tâm (h1) liên kết khớp hai đầu, l=1000mm=100cm. Tiết diện 20x100mm. Mô đun đàn hồi của vật liệu thanh E = 2,0.104 KNcm2. a) Tìm lực tới hạn Euler Neu? b) Cho N, xác định độ võng lớn nhất fmax và ứng suất lớn nhất max Biết + N=1,0005 Neu + N=1,001 Neu + N=1,0015 Neu

I Nén đúng tâm:

Bài 1.

Cho thanh chịu nén đúng tâm (h1) liên kết khớp hai đầu, l=1000mm=100cm Tiết diện

20x100mm Mô đun đàn hồi của vật liệu thanh E = 2,0.104 KN/cm2

a) Tìm lực tới hạn Euler Neu?

b) Cho N, xác định độ võng lớn nhất fmax và ứng suất lớn nhất σmax

Biết + N=1,0005 Neu

+ N=1,001 Neu

+ N=1,0015 Neu

Giải:

Neu=π2EJmin/(àl)2

Jmin=10.23/12=6,67 (cm4)

Thanh hai đầu khớp à=1

Neu=3,142.2.104.6,67/1002=131,5 (KN) suy ra: σeu=131,5/(10.2)=6,575 (KN/cm2)

b) Cho N, xác định độ võng lớn nhất fmax và ứng suất lớn nhất σmax

Với N=1,0005 Neu

Theo công thức gần đúng của tích phân elliptic f (của Grashop)

f=l/π 8 (N/Neu− 1 )= l00/3,14 8 ( 1 , 0005Neu/Neu− 1 )= 2,014 (cm)

Tính σmax:

N=1,0005.Neu=1,0005.131,5=131,566 (KN)

M= N.f= 131,566.2,014=264,97 (KN.cm)

Diện tích tiết diện A= 2.10= 20 cm2

Mô men kháng uốn: 10.22/6=6,667 cm3

σmax=N/A+M/W= 131,566/20+264,97/6,667=46,322 (KN/cm2)

So sánh: N/Neu=1,0005 ⇒σmax/σeu= 46,322 /6,575=7,05

Tơng tự:

- Với N=1,001.Neu

Độ võng: f=l/π 8 (N/Neu− 1 )= l00/3,14 8 ( 1 , 001Neu/Neu− 1 )= 2,848 (cm)

Tính σmax:

N=1,001.Neu=1,001.131,5=131,632 (KN)

M= N.f= 131,632.2,848=374,888 (KN.cm)

σmax=N/A+M/W= 131,632/20+374,888/6,667=62,81 (KN/cm2)

So sánh: N/Neu=1,001 ⇒σmax/σeu= 62,81/6,575=9,553

- Với N=1,0015.Neu

Độ võng: f=l/π 8 (N/Neu− 1 )= l00/3,14 8 ( 1 , 0015Neu/Neu− 1 )= 3,489 (cm)

Tính σmax:

N=1,001.Neu=1,0015.131,5=131,70 (KN)

M= N.f= 131,70 3,489 =459,5 (KN.cm)

σmax=N/A+M/W= 131,70/20+459,5 /6,667=75,51 (KN/cm2)

So sánh: N/Neu=1,0015 ⇒σmax/σeu= 75,51/6,575=11,48

Bài 2.

Cho thanh chịu nén đúng tâm sơ đồ và tiết diện nh hình (h2) Biết:

+ Giới hạn ứng suất tỷ lệ: σtl =20 KN/cm2 ;

+ Giới hạn chảy: σc =25 KN/cm2 ;

+ Mô đun đàn hồi: E =2,1.104 KN/cm2 ;

Khi σtl < σ < σc ; Et=σ.(σc -σ )2/0,0238 KN/cm2

Tính ứng suất tới hạn?

Giải:

KIểm tra giới hạn ứng dụng của công thức Euler:

Tiết diện vuông có:

λ=l/(0,289.b)=1010/(0,289.35)=100

σeu= π2E/λ2= 3,142.2,1.104/1002=20,71 > σtl =20 KN/cm2

Nên phải kiểm tra ngoài giới hạn đàn hồi:

Lời giải 1: Theo mô đun tiếp tuyến

σt =π2Et/λ2=3,142.σt.(σc -σt )2/(0,0238.1002) ⇒ 25-σt= 4,91 ⇒σt=20,1 KN/cm2

Lời giải 2: Theo mô đun quy đổi (giải đúng dần)

Chọn σr=20,15 KN/cm2

Et=20,15.(25-20,15)2/0,0238=19915 (KN/cm2) Tiết diện chữ nhật, vuông có

T=4.E.Et/( E + E t)2=4.2,1.104.19915/( 21000 + 19915 )2=2,04447.104 (KN/cm2)

Tính lại σr =π2T/λ2=3,14.2,0447.104/1002=20,16 (KN/cm2) Coi nh đã hội tụ

Nhận xét: Do ví dụ có λ lớn (gần với λo) nên σt và σr chênh lệch nhau rất ít Nếu λ<4 sẽ có

σt << σr

II Nén uốn (Nén lệch tâm):

A) Bài toán bền ổn định

Bài 1

Cho thanh chịu nén uốn (h3)

Biết + l=120cm;

+ P=1000 daN; N=72000 daN;

+ Tiết diện thanh 12x12cm

+ E= 2,0.106 daN/cm2;

- Viết phơng trình đờng đàn hồi theo phơng pháp thông số ban đầu?

- Tính độ võng δmax?

Giải:

Từ điều kiện liên kết có: x=0, yA=0, y'A=0 MA=P.l+N δ; PA=-P

y(x)=

N

P

.

α sinαx +

(-N

P -δ) cosαx +

N

1 (P.l+N.δ-P.x) Tại B có x=l, yB= δ

δ=

N

P

.

α sinαl +

(-N

P

-δ) cosαl +

N

1

.(P.l+N.δ-P.l)

δ= (tg l l)

N

α

α

trong đó α=

1728 10 0 , 2

72000

6

=

EJ

N

=0,004564

α.l=0,004564.120=0,5477

δ=0,1894 (cm)

So sánh với công thức gần đúng:

δ=δ0/(1- )

Neu

N

δ0=P.l3/(3.E.J)=1000.1203/(3.2,0.106.1728)=0,1667 cm

Neu=π2.E.J/(à.l)2=3,142.2,0.106.1728/(2.120)2=591576 daN

591576

72000

=0,1898 (cm) Nhận xét: Hai kết quả xấp xỉ nhau

B) Bài toán ổn định loại 2

Bài 1

Kiểm tra ổn định của thanh dàn cầu: L=1750 cm, N=-57T, enn=0,005.L

A=117,6cm

Ix=16098 cm4

σc=2100 daN/cm2

E=2,1.106 daN/cm2

Kiểm tra theo công thức gần đúng của Jesek?

Giải:

Theo công thức gần đúng của Jesek

λ2=π2

th

E

σ (1-m1.ν

th c

th

σ σ

σ

− )(1-m2.ν

th c

th

σ σ

σ

Với hình dáng tiết diện có m1 =0,9; m2= 0,1

rx= A

J x

= 117,6

16098

=11,7 cm

λx= lx/ rx=1750/11,7=150

e=0,005.1750=8,75 cm

ρ=W/A= 2.Ix/(h.A)= 2.16098/(30.117,6)=9,13 cm

ν= e/ρ = 8,75/9,13 =0,958

Thay vào phơng trình:

1502=3,142

th

σ

6

10 1 ,

th

th

σ

σ

−

th

th

σ

σ

−

Giải đúng dần bằng đồ thị ta đợc nghiệm σth=590 daN/cm2

Kiểm tra σ=N/A=57000/117,6 = 485 daN/cm2<σth=590 daN/cm2

Bài 3

Cho khung ngang nh hình vẽ, biết N=93 T; M=31,9 T.m,

lx=1,5.H; ly=360cm tiết diện ngang có A=144,2 cm2

Jx =69300cm4; Jy =12800cm4; rx =21,9cm; ry =9,41 cm

Kiểm tra ổn định tổng thể của cột theo TCVN 5575-1991?

Giải:

lx=1,5.H=1,5.1040=1560

λx= lx/ rx=1560/21,9=71,23

ly=360cm, λy= ly/ ry=360/9,41=38,26

10 93

10 9 ,

ρ=W/A=2.J/(h.A)=2.69300/(50.144,2)=19,22 cm

m=e/ρ=34,3/19,22=1,785

λ=λ

E

R

10 1 , 2

2100

=2,25

Ac/Ab=

8 ,

0

.

2

,

47

4

,

1

.

38

=1,4 Tra bảng: ϕlt=0,318

Kiểm tra: σ=N/(ϕlt.A)=93000/(0,318.144,2)=2028 < γ.R=2100 daN/cm2;

III ổn định của dầm thép:

Bài 1:

Kiểm tra ổn định tổng thể của dầm thép nhịp 12m (H.7 ); q =11 t/ m ; mômen quán tính

Jx=659186 cm4 ; Jy = 18290cm4 ; thép CT3

Cùng nh trên khi có 3 dầm đặt lên cánh trên của dầm chính?

Giải:

σ=Mmax/( ϕd Wx)=≤0,95.R

Wx=2.Jx/h=2.659186/120=10986 cm2

ϕ1=

x

y

J

J

.(

o

l

h

)2

R

E

= 

659186

18290

.(

1200

120

)2 63

10 1 , 2

10 1 , 2

=0,2683 

=8.(

c

c

c

b

h

l

.

.

0 δ

)2.(1+ 3

3

.

.

c c

b

a b

δ

δ

); a=0,5.hc

=8.(

38

.

118

2

.

1200 )2.(1+ 3

3

2 38

1 118 5 , 0

)=2,737 Tra bảng = 1,6+0,08 =1,6+0,08.2,737=1,819

ϕ1=0,2683 1,819=0,488 < 0,85 Mất ổn định trong giai đoạn đàn hồi

⇒ϕd=ϕ1

Mmax=ql0/8=11000.122/8=198000 daN.m

σ=

10986

.

488

,

0

1980000.10 2

=3693 daN/cm2> 0,95.R= 1995 daN/cm2

Dầm mất ổn định tổng thể

Bài 2:

Cùng nh trên khi có 3 dầm đặt lên cánh trên của dầm chính

Giải:

l1=l0/4=3m

ϕ’

1 =0,2683 .42=4,2928 

’=/42=2,737/16=0,171

Tra bảng = 2,25+0,07  =2,25+0,07 0,171= 2,262

ϕ1=4,2928.2,262 =9,71 > 0,85 Mất ổn định ngoài giai đoạn đàn hồi

⇒ϕd=0,68+0,21 ϕ1=0,68+0,21.9,71=2,72>1 Lấy ϕd=1

Kiểm tra:

σ=

10986

.

1

1980000.10 2

=1802 daN/cm2< 0,95.R= 1995 daN/cm2

Bài 3

Kiểm tra ổn định cục bộ của dầm đơn giản theo TCVN 5575-1991; nhịp L=12m q= 13,5 T/m; thép CT3, Tiết diện ngang của dầm nh hình vẽ, Wx=7960cm2:10986cm2

Giải:

Bản cánh: l0/≤0,5

R

10 1 , 2

10 1 , 2

= 15,8 Kiểm tra cánh rộng: l0/=(38-1)/(2.2)=9,25<15,8 Đảm bảo ổn định cục bộ bản cánh

Bản bụng:

λ b=

b

b

h

δ E R = 1

116

6

10 1 , 2

2100 =3,67>3,2 Mất ổn định cục bộ bản bụng, phải đặt sờn ngang; Khoảng cách các sờng ngang:

amax=2h0=2 (m)

Điểm kiểm tra bụng A:

xA=2-h0/4=1,42 m thuộc đoạn dầm cánh hẹp

M1=q.l.x/2- q.x2/2 = 13,5.12.1,42/2-13,5.1,422/2=101,4 Tm

Q1=

6

) 42 , 1 6 ( 2

12 5 ,

σ1=

120

116 7960

10 4 , 101

.

5

=

h

h

W

M b

=1231,4 daN/cm2

=

116

1

61830

.

Q1 =

b

b

σth=Ckp.R/λb2 Trong đó Ckp là hệ số phụ thuộc t= 3 3

0

) 1

2 ( 116

25 8 , 0 ) (

δc

h

b

= 1,379 Tra bảng Ckp=32

σth=32.2100/3,672 =4989 daN/cm2

th=10,3.(1+0,76/2).Rc/λb trong đó =a/h0=200/116=1,724

th=10,3.(1+0,76/1,7242 ).1200/3,672= 1152 daN/cm2

2

)

(

th

τ

σ

1152

533 ( ) 4989

4 , 1231

Vậy sau khi đặt sờn ngang đảm bảo ổn định bụng dầm

IV Bài tập về toạ độ quạt:

1) Vẽ biểu đồ toạ độ quạt cho biết chữ C cho 2 trờng hợp :

+ chọn cực A ở giữa bản bụng

+ chọn cực A nằm trên trục chính x

2) Tìm cực quạt của thanh thành mỏng tiết diện chữ C nh bài tập 1 trục ox,oy là các trục chính trung tâm

3) Xác định bán kính ban đầu và điểm quạt chính M0 (điểm không chính) của tiết diện thành mỏng chữ C nh bài 1 và 2

Giải:

1) Vẽ biểu đồ toạ độ quạt cho biết chữ C:

Trờng hợp chọn cực A ở giữa bản bụng

Theo công thức =∫ r.ds

Tại các điểm trên bụng có =0

Tại các điểm nằm trên cánh có r=h/2 nên cực đại = b.h/2

Trờng hợp chọn cực A nằm trên trục chính x cách bụng khoảng x

Theo công thức =∫ r.ds

Tại các điểm trên bụng có r= x nên  tăng từ =0 đến =x.h/2

Tại các điểm nằm trên cánh có r=h/2 nên  biến thiên bậc nhất từ =x.h/2 đến =h/2(b- x) 2) Tìm cực quạt của thanh thành mỏng tiết diện chữ C nh bài tập 1 trục ox,oy là các trục chính trung tâm

Chọn điểm B nh hình vẽ (giữa bụng thanh)

ax=bx+ x

ay=by+ y

Trong đó x=JWBx/ Jx và y=JWBy/ Jy

JWBx=∫ F .WB y.dF = ∫ S WB .y..ds = y ds

s B

0

3

Tơng tự:

s B

0

3

Vẽ biểu đồ toạ độ theo x:

Nhân biểu đồ WB và X ta đợc JWBx= -2.(

2

2

2

.h b x

b )/= -b2.h2./4

2 12

) 2 ( 2 12

b h b h b h

x= JWBx/ Jx=

b h

b b

h h

h b

6

3 ) 6 ( :

12 4

.

2

2 2

+

= + δ

δ

y=0 vì biểu đồ B đối xứng, biểu đồ y phản xứng

Vậy ax= Z0+

b h

b

6

.

3 2

+

ay=0+ 0=0

3) Xác định bán kính ban đầu và điểm quạt chính M0 (điểm không chính) của tiết diện thành mỏng chữ C nh bài 1 và 2

Chọn A và M1 bất kỳ, theo định nghĩa =∫ F 1F dF

ω

∫ W1.ds= δ

2 2

b h

b

2

h-x.h..2x./2+h.(b-2x)..(b-2x)/4=-x.h.(2..b+.h)/2

F=2.b.+.h suy ra =

2

)

2 (

2

) 2 (

h b

h b

δ δ

δ δ

+ +

Điểm gần nhất M0( giữa bụng thanh)

Hình 2 vùng diện tích bản cánh dới phảI là dấu âm mới đúng