HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 TRƯỜNG THPT LÊ Q ĐƠN TP.HCM PHẦN – HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A – TĨM TẮT LÝ THUYẾT: Vị trí tương đối hai đường thẳng: SONG SONG CẮT NHAU c t { TRÙNG NHAU CHÉO NHAU đường thẳng không nằm { mặt phẳng (khơng có điểm chung) Tính chất: ① Ba mặt phẳng phân biệt cắt theo giao tuyến phân biệt giao { [ tuyến đồng qui song song ② Hai mặt phẳng cắt chứa đt song song giao tuyến chúng song { [ song trùng với hai đt ③ Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba { song song với B – CÁC DẠNG BÀI TẬP: VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Chỉ đường thẳng đồng phẳng, dùng chứng minh song song hình học phẳng (đường trung bình, định lý Thalets đảo,…) Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba Áp dụng định lý giao tuyến song song ĐỊNH LÝ THALES ĐẢO Áp dụng 1: Cho tứ diện Áp dụng 2: Cho hình chóp ① Chứng minh: Gọi trọng tâm tam giác , đáy ② Trong GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 hình thang, đáy lớn gọi Chứng minh Gọi điểm đối xứng trung điểm qua Chứng minh: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 Bài 1: Cho hình chóp TRƯỜNG THPT LÊ Q ĐƠN TP.HCM , có đáy hình thang với đáy lớn ① Chứng minh: Gọi Bài 2: Cho hình chóp Chứng minh ② Gọi Tìm điểm chung hai mặt phẳng với với Gọi Bài 1: Cho hình chóp và trọng tâm ② trọng tâm với Xác định giao tuyến của: ③ , có đáy hình thang với đáy lớn Gọi trung điểm ② Xác định thiết diện hình chóp với mp Thiết diện hình gì? Tìm điều kiện Bài 2: Cho hình chóp , có đáy để thiết diện hình bình hành hình bình hành Gọi Tìm ② Gọi Bài 2: Cho hình chóp , có đáy hình bình hành Gọi trung điểm Gọi trung điểm ② Gọi Bài 4: Cho hình chóp Gọi ① Chứng minh: trọng tâm Lấy ; gọi Tìm trọng tâm ; trung điểm ② Xác định thiết diện hình chóp giao điểm Bài 5: Cho hình chóp với cạnh có đáy hình bình hành tâm Gọi cắt Chứng minh trung điểm ② Tính tỉ số VẤN ĐỀ 3: GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG { (̂) (̂) GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 ; Tìm Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ① Tìm giao điểm , ① Tìm giao tuyến Bài 3: Cho tứ diện hình bình hành Xác định giao tuyến của: ② ③ Gọi Chứng minh: có đáy Áp dụng 2: Cho tứ diện ① CM: , Kết luận trung điểm hình gì? VẤN ĐỀ 2: GIAO TUYẾN SONG SONG chứa hai đường thẳng song song Áp dụng 1: Cho hình chóp và Tìm giao điểm Sử dụng định lý: { ① Gọi điểm nằm giao điểm vẽ đường thẳng Chỉ hai mặt phẳng và ① Chứng minh: ① Tứ giác , có đáy hình bình hành Gọi cho ① trung điểm ② Tìm ③ Qua Gọi (̂) ( ̂ ) HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM Áp dụng: Cho hình chóp có đáy hình thoi, ② cặp đường thẳng sau: đều; vuông cân Hãy tính góc BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 1: Cho tứ diện thẳng gọi trung điểm cạnh biết Tính góc hai đường √ Bài 2: Cho hình chóp đáy hình thang cân; vng ( ̂ ) Gọi trung điểm ① Tính góc cặp đường thẳng: ② Gọi trọng tâm và Tính góc hai đường thẳng “đừng nói xấu ai, ta khơng tốt đẹp gì…” GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 TRƯỜNG THPT LÊ Q ĐƠN TP.HCM PHẦN – ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Định nghĩa: Tính chất ① Nếu đường thẳng phẳng nằm song song với đường thẳng { song song ② Nếu đường thẳng mặt phẳng không nằm mặt song song với chứa mà cắt thì cắt theo { giao tuyến song song với ③ Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng { song song với đường thẳng ④ Nếu hai đường thẳng mặt phẳng chứa chéo có song song { ch o B – CÁC DẠNG BÀI TẬP: VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP: áp dụng định lý { Để chứng minh ta thường dùng tính chất đường trung bình (trong tam giác, hình thang), định lý Thales (đảo), tính chất trọng tâm tam giác (thường gặp), kết quả: { { Áp dụng 1: Cho tứ diện gọi Áp dụng 2: Cho tứ diện gọi { { trọng tâm Chứng minh: trọng tâm Chứng minh: BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 1: Cho hình chóp có đáy hình bình hành ① cho: Chứng minh: ② Bài 2: Cho hình chóp ① Xác định có đáy hình bình hành Gọi trọng tâm Chứng minh: ② Gọi Chứng minh: Bài 3: Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung điểm cạnh Chứng minh: Gọi trọng tâm Bài 4: Cho tứ diện trọng tâm GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 Chứng minh: cho Chứng minh: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 Bài 5: Cho hình chóp TRƯỜNG THPT LÊ Q ĐƠN TP.HCM có đáy hình bình hành Gọi ① Chứng minh: ② Gọi Bài 6: Cho hình chóp Gọi trung điểm trọng tâm có đáy hình bình hành Gọi Chứng minh: trọng tâm điểm cho trung điểm ① Tìm giao tuyến ② Đường thẳng qua Chứng minh rằng: song song Bài 7: Cho hình chóp cắt Chứng minh: có đáy hình bình hành Gọi trọng tâm ① Xác định giao điểm: trung điểm ② Chứng minh: Bài 8: Cho hình chóp có đáy hình bình hành tâm Gọi trọng tâm cho Chứng minh: Bài 9: Cho hình chóp Gọi trọng tâm trung điểm ① Xác định giao điểm: ② Chứng minh: Bài 10: Cho tứ diện trung điểm Gọi trọng tâm Chứng minh: Bài 11: Cho hình chóp trung điểm Gọi trọng tâm Chứng minh: Bài 12: Cho hình chóp có đáy hình bình hành tâm trọng tâm trung điểm gọi Chứng minh: Bài 13: Cho hình chóp có đáy hình bình hành ① Chứng minh: trung điểm ② Gọi Bài 14: Cho hình chóp có đáy gọi trọng tâm Chứng minh: hình bình hành tâm trung điểm gọi trọng tâm ① Xác định giao điểm: ② Chứng minh: Bài 15: Cho tứ diện ① Tìm giao điểm ② Qua kẻ Gọi trung điểm cạnh đường thẳng cắt với Chứng minh thẳng hàng ③ Chứng minh Qua ĐIỂM VẤN ĐỀ 2: THIẾT DIỆN HÌNH CHĨP song song với ĐƯỜNG Qua ĐƯỜNG song song với ĐƯỜNG d ng { d ng { [ Ta trình bày tất giao tuyến, giao tuyến khép kín thành đa giác thiết diện cần tìm Áp dụng 1: Cho tứ diện thiết diện qua mặt phẳng qua song song Xác định với tứ diện Áp dụng 2: Cho hình chóp phẳng trung điểm song song có đáy hình thang đáy lớn Xác định thiết diện GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 với hình chóp trung điểm Mặt HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM Áp dụng 3: Cho hình chóp có đáy ① Xác định giao điểm hình bình hành tâm trung điểm ② Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng qua song song BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 1: Cho tứ diện thiết diện điểm nằm điểm thuộc cạnh định thiết diện song song có đáy , định thiết diện qua song song Xác điểm thuộc Mặt phẳng qua với hình chóp điểm nằm Mặt phẳng trọng tâm qua song song Xác Mặt phẳng qua song song Xác định với tứ diện Bài 6: Cho hình chóp có đáy hình thang hai đáy ① Tìm giao tuyến: ② Gọi trung điểm Tìm giao điểm trọng tâm ④ Cho qua Bài 7: Cho hình chóp song song có đáy Mặt phẳng Chứng minh: mặt phẳng Xác định thiết diện hình bình hành, cắt mặt phẳng ② Tìm Chứng minh: qua song song Chứng minh: thẳng hàng Bài 8: Cho hình chóp trung điểm định thiết diện với hình chóp ① Chứng minh: cắt Xác định với hình chóp Bài 5: Cho tứ diện thiết diện Mặt phẳng hình thang, Xác định thiết diện Bài 4: Cho hình chóp ③ song song với hình chóp Bài 3: Cho hình chóp với qua với tứ diện Bài 2: Cho hình chóp ③ Gọi Mặt phẳng Mặt phẳng qua song song Xác với hình chóp Bài 9: Cho tứ diện trung điểm ① Xác định thiết diện Mặt phẳng với Bài 10: Cho hình chóp có đáy ① Tìm ② Bài 11: Cho hình chóp có đáy qua song song ② Xác định vị trí hình bình hành tâm , gọi chứa cắt để thiết diện hbh trung điểm Tứ giác hình bình hành tâm Gọi hình gì? trung điểm trọng tâm ① Tìm giao tuyến ③ Gọi Mặt phẳng ② Tìm giao điểm qua từ suy thiết diện song song cắt cắt hình chóp “vui buồn sướng khổ, phần nhiều thân tạo ra…” GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 Xác định điểm HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM PHẦN – HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A – TĨM TẮT LÝ THUYẾT: Định nghĩa: Tính chất: ① Nếu mặt phẳng thẳng chứa hai đường cắt song song với { mặt phẳng song song với ② Nếu đường thẳng song song với có mp song song với chứa { ③ Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song { với ④ Cho điểm thẳng qua đường song song với nằm mp song với qua song { { ⑤ Nếu mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng giao tuyến chúng { { song song với B – CÁC DẠNG BÀI TẬP: VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẮNG SONG SONG PHƯƠNG PHÁP 1: { PHƯƠNG PHÁP 2: { Áp d ng 1: Cho tứ diện gọi Áp d ng 2: Cho hình chóp trung điểm gọi Chứng minh trọng tâm cho Chứng minh: BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 1: Cho hình chóp gọi Bài 2: Cho hình chóp Bài 3: Cho hình chóp Gọi trung điểm trung điểm có đáy hình bình hành tâm Gọi Chứng minh , điểm cân GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 cách phân giác Chứng minh trung điểm Gọi trung điểm Chứng minh: có đáy hình bình hành tâm Gọi Chứng minh Giả s trọng tâm Chứng minh Chứng minh HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 Bài 4: Cho hình chóp TRƯỜNG THPT LÊ Q ĐƠN TP.HCM có đáy hình thang Gọi trung điểm CM: Tìm Bài 5: Cho hình chóp cho gọi có đáy hình bình hành Gọi trung điểm Tìm giao tuyến CM: qua và c t CM: nằm hai mặt phẳng khác CM: Gọi Bài 7: Cho hai hình bình hành điểm Bài 6: Cho hai hình bình hành trọng tâm trung điểm CM: không đồng phẳng CM: Gọi trung điểm CM: Gọi trung điểm CM: VẤN ĐỀ 2: GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG mà Sử dụng định lí: Nếu Để xác định thiết diện, ta tìm giao tuyến + Tìm đường thẳng + Vì nên với mặt hình chóp, cách: mà cắt mặt chứa Áp dụng 1: Cho hình chóp theo giao tuyến song song với có đáy hình bình hành Gọi mặt phẳng qua ÁP dụng 2: Cho tứ diện Gọi Tìm thiết diện cắt có đáy với hình thang song song với Xác định thiết qua Bài 2: Cho hình chóp có đáy hình bình hành Trên cạnh Thiết diện hình gì? ta lấy điểm Chứng minh rằng: Bài 3: Cho hình chóp Gọi trung điểm ① Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua ② Gọi hình chóp ② Xác định thiết diện tứ diện diện hình chóp cắt cho qua trọng tâm tam giác ① Chứng minh: Bài 1: Cho hình chóp điểm đối xứng với giao điểm hai mặt phẳng với Bài 4: Cho hình chóp ① Chứng minh: Bài 5: Cho hình chóp song song Chứng minh: có đáy hình bình hành tâm Gọi trung điểm ② Xác định thiết diện hình chóp cắt có đáy hình bình hành tâm Gọi qua trung điểm ① Chứng minh: ② Gọi Tìm thiết diện hình chóp cắt Bài 6: Cho hình chóp mặt phẳng qua , có đáy hình bình hành tâm với di động ln song song với mp ① Xác định thiết diện hình chóp với qua điểm đoạn GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 Một ② Tính diện tích thiết diện theo “học con, mơ ước tương lai vẫy gọi” Tam giác HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 TRƯỜNG THPT LÊ Q ĐƠN TP.HCM BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho hình chóp có đáy hình bình hành tâm Gọi ① Tìm giao tuyến ② Tìm giao điểm ③ Cho Chứng minh: Bài 2: Cho tứ diện ③ Chứng minh lấy điểm với ② Tìm giao điểm và với thẳng hàng Bài 3: Cho hình chóp giác thẳng hàng Trên cạnh ① Tìm giao tuyến trung điểm cạnh có đáy hình bình hành tâm Tìm giao điểm với Bài 4: Cho hình chóp trung điểm với với có đáy hình thang, đáy lớn ① Tìm giao điểm Bài 5: Hình chóp đáy hình thang đáy lớn Gọi trung điểm Gọi ② Tìm giao tuyến với giao điểm hai giao tuyến Chứng minh rằng: Bài 6: Cho hình chóp có Gọi ① Tìm giao điểm ② ③ Chứng minh ② Tìm thiết diện hình chóp ① Xác định ③ Gọi trọng tâm tam thẳng hàng trung điểm Chứng minh thẳng hàng đồng qui Bài 7:Cho tứ diện có trọng tâm , lấy ① Tìm ② Cho Chứng minh: thẳng hàng Bài 8: Cho hình chóp Gọi trung điểm điểm cạnh ① Tìm giao tuyến , ② Tìm giao điểm ③ Gọi Chứng minh: thẳng hàng ④ Tìm thiết diện tạo hình chóp Bài 9: Cho hình chóp gọi điểm thuộc miền tam giác ① Giao tuyến ② Giao điểm Bài 10: Cho hình chóp , có đáy ① Xác định giao tuyến của: ② Một mặt phẳng ③ Gọi cắt trọng tâm Lấy điểm và điểm cạnh Bài 11: Cho hình chóp ③ Thiết diện cắt hình bình hành qua Xác định: có đáy Chứng minh: cho Chứng minh hình bình hành Gọi trọng tâm trung điểm cho ① Tìm giao tuyến ② Cho Chứng minh: ③ Chứng minh: Bài 12: Cho hình chóp hình thang đáy lớn trọng tâm tam giác ① Chứng minh: ③ Giả sử có đáy ② Cho cho trung điểm Chứng minh: GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 Chứng minh: Gọi giao điểm HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 Bài 13: Cho hình chóp ① Tìm giao điểm có đáy hình bình hành tâm ② Chứng minh ③ Gọi mp TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM trung điểm và Gọi mặt phẳng chứa Gọi trọng tâm song song với Chứng minh Xác định thiết diện hình chóp cắt Xác định hình tính thiết diện thu Bài 14: Cho hình chóp có đáy ① Tìm giao tuyến ② Gọi hình thang đáy lớn và trọng tâm tam giác ③ mp qua song song với 3.1 Tứ giác Bài 15: Cho hình chóp trọng tâm tam giác hình gì? Chứng minh hình bình hành Gọi trung điểm và ② Chứng minh: Chứng minh điểm thuộc đoạn Cho tam giác 3.2 Chứng minh: Tứ giác ③ Tìm giao điểm mp qua cân , chứng minh: Bài 16: Cho hình chóp điểm cắt cạnh có đáy ① Tìm giao tuyến ④ Gọi Chứng minh hình gì? Chứng minh ④ Gọi giao điểm gấp đôi đáy bé song song cắt hình thang cân co đáy hình thang đáy lớn Gọi trung trọng tâm ① Tìm giao tuyến ② qua và cắt Chứng minh: Tứ giác hình gì? ③ Chứng minh rằng: ④ Tìm giao điểm Bài 17: Cho hình chóp ① Tìm giao tuyến Chứng minh: có đáy hình bình hành tâm Gọi trung điểm và ② Chứng minh rằng: ③ Gọi Chứng minh rằng: “làm tập để tương lai mua hàng khơng cần nhìn giá ” 10 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 ... phẳng hình thang, Xác định thiết diện Bài 4: Cho hình chóp ③ song song với hình chóp Bài 3: Cho hình chóp với qua với tứ diện Bài 2: Cho hình chóp ③ Gọi Mặt phẳng Mặt phẳng qua song song Xác với hình. .. PHẲNG SONG SONG A – TĨM TẮT LÝ THUYẾT: Định nghĩa: Tính chất: ① Nếu mặt phẳng thẳng chứa hai đường cắt song song với { mặt phẳng song song với ② Nếu đường thẳng song song với có mp song song với... phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song { với ④ Cho điểm thẳng qua đường song song với nằm mp song với qua song { { ⑤ Nếu mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng