ứng dụng phương pháp proper generalized decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN LƯU CHẤT NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 S KC 0 4 Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN LƯU CHẤT NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY – 605204 Hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC HUYNH Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 / 2013 LÝ LỊCH KHOA HỌC I LÝ LỊCH SƠ LƢỢC Họ & tên: NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM Giới tính: Nữ Ngày, tháng, năm sinh: 08/10/1984 Nơi sinh: T-T-Huế Quê quán: Xuân Thủy, Lệ Thủy, Quảng Bình Dân tộc: Kinh Chỗ riêng địa liên lạc: 41A Chu Văn An, Hiệp Phú, Q.9, tp.HCM Điện thoại: 016 587 787 08 Email: lovelytram84@gmail.com II.QUÁ TRÌNH ĐẠO TẠO 1.Đại học: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo: từ 09/2003 đến 02/2008 Nơi học ( trường, thành phố): trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Ngành học: Kỹ thuật công nghiệp Tên đồ án, luận án môn thi tốt nghiệp:Công nghệ gia công gỗ máy cưa Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hay thi tốt nghiệp: ĐH Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Người hướng dẫn: Th.S Thái Th 2.Thạc sĩ: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đạo tạo: từ 02/2011 đến 02/2013 Nơi học ( trường, thành phố): trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Ngành học: Công nghệ chế tạo máy i Tên đồ án, luận án môn thi tốt nghiệp:Ứng dụng phương pháp Proper Generalized Decomposition phương pháp phần tử hữu hạn cho toán lưu chất Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hay thi tốt nghiệp: trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Người hướng dẫn: TS Phan Đức Huynh Ngày 18 tháng 09 năm 2013 Người khai ký tên ii LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng 09 năm 2013 NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM iii CẢM TẠ Trong suốt trình nghiên cứu đề tài hướng dẫn cua thấy Phan Đức Huynh, nhận hướng dẫn chu đáo từ phía thầy đặc biệt quan tâm tận tình vô chân quý từ phía anh Lê Quốc Cường thông qua giới thiệu thầy Phan Đức Huynh, theo nghiên cứu bậc Tiến sĩ trường Đai học Sư phạm Kỹ thuật Tôi xin chuyển đến dòng biết ơn chân thành lòng kính trọng sâu sắc đến thầy Phan Đức Huynh anh Lê Quốc Cường Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật mà gắn bó suốt quãng đời sinh viên học viên, với đội ngũ giảng viên-giáo viên-nhân viên Trường mà theo học hỗ trợ nhiệt tình,cuối gửi lời thân thương đến người anh chị,người bạn mà quen biết, trao đổi giúp đỡ iv ABSTRACT Nowadays, numerical techniques become the effective tools to solve the problems in science and engineering Eventhough the impressive recent progresses attained in computer technologies and computational simulation techniques, numerous models intractable when the usual and well-experienced discretization techniques are applied for their numerical simulation due to their high complexity and requirements One of the typical difficulties is highly multi-dimensional models arising from quantum mechanics or kinetic theory descriptions of solids and complex fluids,… When one applies standard mesh based discretization techniques the number of degrees of freedom involved scales exponentially with the dimension of the space concerned In order to overcome the drawbacks above, one lastest technique in recent years proposed to support, activate in using the mesh-based discretization techniques -FEM -is called Proper Generalized Decomposition (PGD) This is a powerful model reduction technique by means of successive enrichment a separated representation of the unknown field, so the computational complexity of the PGD scales linearly with the dimension of the space And a coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method – PGD-FEM briefly – will open a new approach in searching a powerful kind of simulation techinique in both terms of computing time and accuracy Therefore, the topic “ Coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method for fluid problem” was born here Eventhough the topic just started to invest PGD-FEM for fluid problem in a small term of the pressure Poisson equation from 2D unsteady imcompressive Navier-Stokes flow, the comparative results speaked out the outstanding innovative property of PGD-FEM in both computing time and accuracy from the traditional v discretization technique (FEM) Moreover, in order to overcome its remaining drawbacks and enlarge, develop further research trends, I also provided to solve unsteady imcompressive Navier-Stokes equations by FEM based on the ChorinTemam projection method vi TÓM TẮT Ngày phương pháp số công cụ đắc lực giúp giải hầu hết toán khoa học kỹ thuật Mặc dù với tiến bộ, phát triển vượt bậc đạt công nghệ máy tính, kỹ thuật t nh toán khó khăn để giải nhiều toán bị thách thức mà phương pháp rời rạc truyền thống bị hạn chế tính phức tạp mức độ yêu cầu đòi hỏi ngày cao toán Có thể nêu khó khăn điển hình, cộm toán có số chiều không gian lớn thường gặp lượng tử, thuyết động học lưu chất phức tạp,…Khi sử dụng phương pháp rời rạc thông thường độ phức tạp toán tăng theo tỉ lệ hàm mũ với số chiều không gian toán Để nhằm khắc phục tính hạn chế trên, phương pháp đời vài năm gần góp phần bổ trợ, thúc đẩy trình phối hợp với phương pháp rời rạc, cụ thể phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) mà nghiên cứu đây, với tên gọi phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) Đây công cụ giảm bậc mô hình toán dựa sở tách biến giúp độ phức tạp toán giảm xuống với tỉ lệ tuyến tính theo số chiều toán Vì kết hợp phương pháp PGD FEM (gọi tắt PGD-FEM) bước đầu mở hướng tiếp cận việc tìm kiếm loại hình phương pháp số với tính ưu việt mặt thời gian xử lí mà đảm bảo độ xác so với phương pháp rời rạc truyền thống có Và “ứng dụng phương pháp PGD-FEM cho toán lưu chất” đời đề tài nghiên cứu Mặc dù đề tài bước đầu khái thác phương pháp PGD-FEM cho lĩnh vực toán lưu chất khía cạnh hẹp giải phương trình Poisson áp suất 2D cho toán Navier-Stokes dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc vào thời gian hai trường hợp điều kiên biên Dirichlet đồng điều kiện biên vii hỗn hợp ( Dirchlet-Neumann) kết đạt cho thấy ưu việt giải phương pháp PGD-FEM mặt thời gian t nh toán độ xác so với phương pháp rời rạc truyền thống (FEM) Đồng thời với mong muốn tạo thuận lợi việc hoàn thiện mở rộng, phát triển cho đề tài tương lại, tác giả đề cập đến việc giải phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian với điều kiện biên lid-driven cavity phương pháp FEM dựa kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam viii CHƢƠNG  cv   ΨT  ΨU  .Ψ  d  e 1 6  1 6  11  12 1  12 1  12 6 12 12 12 1 12 12 1 12 12 1 6 1 6 1 12 12 1 12 12   1  u1(b1  c1 ) u1(b1  c1 ) u1(b2  c2 ) u1(b2  c2 ) u1(b3  c3 ) u1(b3  c3 )    12 12  v1(b1  c1 ) v1(b1  c1 ) v1(b2  c2 ) v1(b2  c2 ) v1(b3  c3 ) v1(b3  c3 )   1  u 2(b1  c1 ) u 2(b1  c1 ) u 2(b2  c2 ) u 2(b2  c2 ) u 2(b3  c3 ) u 2(b3  c3 )    12 12  v 2(b1  c1 ) v 2(b1  c1 ) v 2(b2  c2 ) v 2(b2  c2 ) v 2(b3  c3 ) v 2(b3  c3 )  1  u 3(b1  c1 ) u 3(b1  c1 ) u 3(b2  c2 ) u 3(b2  c2 ) u 3(b3  c3 ) u 3(b3  c3 )     12 12  v3(b  c ) v3(b  c ) v3(b  c ) v3(b  c ) v3(b  c ) v3(b  c )  1 1 2 2 3 3   1   6  -Tiến hành lắp ghép ma trận địa phương vào hệ toàn cục có dạng tổng quát đây: M.U  Cv.U  G + K.U = F (3.21) Bước 2: Tính vận tốc trung gian U* (3.21) ( bỏ qua thành phần gradient áp suất G) Ta có (3.21) khuyết G sau: M.U  Cv.U + K.U = F Sử dụng phương pháp Euler để tính U * Tại bước thời gian thứ t= n+1,với Un biết trước ta có: U * U n M  Cv.U n  KU n  F t  M  U * U n    Cv.U n  KU n  t  F.t  Cv  K  n F  U*  1  t  U  t M M   Bước 3: Tính toán trường áp suất từ U * Ta có phương trình Poisson áp suất: 39 CHƢƠNG  n1 *  p  t .U  n1  p   n Chuyển hệ phương trình thành phương trình Poisson tổng quát bước thứ (n+1) là: 2 p  f (3.22) hay 2 p 2 p  f x y Với điều kiện biên: p 0 n Tương tự, ta áp dụng phương pháp FEM để giải (3.22) -Dạng yếu (3.22):  2 p 2 p   Q  x  y  d    Qfd    Q  p  Q  p     d     Qfd   x  x  y  y     (3.23) Với Q hàm trọng số trường áp suất Với kiểu phần tử tam giác nút (tại đỉnh) cho trường áp suất nêu trên, ta có: pe ( x, y )   Φi ( x, y)pi i 1 Với i vec-tơ hàm dạng trường biến áp suất nút; pi vec-tơ giá trị áp suất nút phần tử 40 CHƢƠNG Thay (3.24) vào (3.23) nên:  e  ΦT  Φ  T Φ  T  Φ   p d     Φ fd  y   x x y e Gọi: kp   e  ΦT  Φ  T Φ   Φ   d  x  x  y  y   f p    ΦT f d  e Vậy phương trình tổng quát phần tử: k p p  f p (3.25) Thực phép biến đổi sau: 1   L1  Φ      L     L3  Trong đó:  a1   x2 y3  x3 y2  a   x y  x y   2  1     a3   x1 y2  x2 y1   A (a1  b1 x  c1 y )       L1   1 x1  b1   y2  y  1  L    ( a  b x  c y )  ; b    y  y  ; A  det 1 x 2     2A 2   2     L3    b3   y1  y  1 x3  (a3  b3 x  c3 y )       A  c1   x3  x2   c2   x1  x3     c3   x2  x1  A diện tích miền phần tử a,b,c tọa độ node phần tử Ta có: 41 y1  y  y3  CHƢƠNG b  c  ΦT Φ   ΦT Φ    b2 b1 b2 b3  ;  c2  c1 x x A2   y y A2   b3  c3  b1b1  c1c1  ΦT Φ ΦT Φ   kp     b2b1  c2 c1  d  x x y y  4A  e  b b  c c  31 31  L1  1 A    f p     L f d    1 f e  L  1 c2 c3  b1b2  c1c2 b1b3  c1c3   b 2  c 2 b2b3  c2c3  b2b3  c2 c3 b 23  c 23  -Tiến hành lắp ghép ma trận phần tử vào hệ toàn cục, trường áp suất tính là: P = K p  -1 Fp  (3.26) Đây giá trị trường áp suất bước thời gian thứ (n+1) Tiến hành cập nhập trường vận tốc bước thời gian thứ (n+1)tương ứng sau: Un1  U*  t.Pn1 (3.27) Vậy với vòng lặp thời gian ta nhận cặp áp suất- vận tốc tương ứng hết số lần vòng lặp 3.3.4 Sơ đồ giải thuật tổng quát phƣơng t ình Navier-Stokes 42 CHƢƠNG Khai báo Tính toán ma trận địa phương (3.20) liệu toán Lắp ghép vào ma trận toàn cục (3.21) Thiết lập vận tốc ban đầu U=Un Cài đặt bước thời gian∆t số bước thời gian lặp nt Tại bước thời gian n+1&số bước lặp thời gian t Tính giá trị ma trận Cv U=Un Giải phương trình động lượng(khuyết G) phương pháp Euler Áp đặt điều kiện ràng buột U t [...]... cứu, khách thể và đối tượng nghiên cứu 2 1.3 Xác định nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu của đề tài 3 1.4 Phương pháp nghiên cứu 3 Chƣơng 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4 2.1 Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) 4 2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) 11 ix Chƣơng 3 ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PGD và FEM CHO BÀI TOÁN LƢU CHẤT 16 3.1 Giới thiệu phương trình Navier-Stokes... chiều [13]: ứng dụng phương pháp PGD để giải quyết bài toán Navier-Stokes cho trường hợp lid-driven cavity với các hệ số Reynolds khác nhau và so sánh kết quả với phương pháp giải tích dựa trên hai tiêu chí: thời gian tính toán và độ chính xác Vì thế sự kết hợp giữa phương pháp PGD và FEM (gọi tắt PGD-FEM) đã được bước đầu tiếp cận cho bài toán lưu chất để tìm qui luật ứng xử của dòng chảy lưu chất thông... tích các bài toán tuyến tính, phi tuyến, phân tích mode, động lực học,… Và cũng không qúa khó để tìm thông tin về phương pháp FEM trên các kênh phương tiện hiện nay Như đã trình bày ở nội dung lý thuyết phương pháp PGD, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) được tích hợp khi tính toán giải Fk,Gk ở lưu đồ giải thuật của phương pháp PGD Vì thế nội dung cơ sở lý thuyết của phương pháp FEM sẽ tập trung vào qui... đây, bài toán lưu chất là những vấn đề thuộc lĩnh vực cơ học lưu chất nghiên cứu đến dòng chảy của lưu chất ( chất lỏng, khí và plasma) nhằm tính toán các đặc tính khác nhau của lưu chất như vận tốc, áp suất, khối lượng riêng và nhiệt độ mà được biểu diễn dưới dạng hàm của không gian và thời gian Và hầu hết các hiện tượng của dòng chảy lưu chất đều đặc trưng bởi hệ phương trình Navier-Stokes và được... quá trình thực hiện phương pháp PGD một cách dễ dàng, rõ ràng, bài toán sẽ được khảo sát trong trường hợp không gian 2D, nhưng vẫn đảm bảo tính tổng quát của phương pháp PGD Xét bài toán: L(U)  g trong miền khảo sát Ω=Ωx x Ωy=IR2 với điều kiện biên ∂Ω của bài toán (2.3) Tìm U(x,y) Trong đó: L là toán tử vi phân, g là thành phần thứ hai của bài toán Như đã biết, PGD là một phương pháp giải lặp có điểm... (X) Và  n1 i  L   F ( x)G i ( y)  Fn ( x)G n ( y)  ,G n  i 1   g,G n L2 (Y) L2 (Y) (2.7) Để giải được hàm Fn, Gn ta sẽ phải tính toán cùng lúc công thức (2.6) và (2.7) dựa trên giải thuật lặp có điểm cố định.Ở đây, phương pháp để tính Fn ,Gn có thể được sử dụng bởi hoặc phương pháp sai phân (FDM) hoặc phần tử hữu hạn (FEM) .Và trong đề tài nghiên cứu này, tác giả sẽ sử dụng phương pháp FEM cho. .. cứu Ngày này phương pháp số là một tên gọi đã trở nên quen thuộc và trở thành công cụ đắc lực cho các bài toán trong khoa học và kỹ thuật Mặc dù đã có những tiến bộ, phát triển vượt bậc trong công nghệ máy tính và những kỹ thuật tính toán số nhưng nhiều bài toán vẫn còn bị hạn chế đặc biệt về mặt thời gian tính toán khi mà các phương pháp số rời rạc khó có thể giải quyết bởi tính phức tạp và mức độ yêu... ngày càng cao của bài toán Có thể nêu ra một số vấn đề khó khăn đang gặp phải là: (i )bài toán có số chiều không gian khảo sát lớn mà thường gặp ở lĩnh vực cơ lượng tử, thuyết động học của lưu chất phức tạp [8], hay sinh học, hóa học [16] Với khó khăn này, khi áp dụng phương pháp rời rạc thì độ phức tạp của bài toán tăng theo tỉ lệ hàm mũ với số chiều không gian của bài toán. (ii )bài toán liên quan đến... nghiên cứu này, tác giả sẽ sử dụng phương pháp FEM cho việc tính toán Fn ,Gn Đây chính là điểm mấu chốt để thể hiện tính kết hợp giữa phương pháp Proper Generalized Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn ( tạm gọi tắt PGD-FEM) mà đề tài đang nghiên cứu 2.1.3 Sơ đồ giải thuật tổng quát của phƣơng pháp PGD 7 CHƢƠNG 2 Cho n=1 Khởi tạo G(0) Cho k=1 Tính Fk: Tính Gk: k=k+1 Điều kiện hội tụ của ( Fk Gk)... f(x,y)=x2-y2 cho hai phương pháp: FEM, PGD-FEM tương ứng kiểu lưới 30 x 30 và 80 x 80 Hình 3.4 Đồ thị lưới của phương trình Poisson cho điều kiên biên Dirichlet đồng nhất với hai trường hợp: f(x,y)=1000 và f(x,y)=x2-y2 Hình 3.5 Miền khảo sát và điều kiện biên hỗn hợp Dirichlet và Neumann của phương trình Poisson Hình 3.6 Đồ thị của phương trình Poisson với f(x,y)=1000 cho hai phương pháp: FEM, PGD-FEM tương ứng