phân tích kết cấu tường cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn (fem)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG PHÂN TÍCH KẾT CẤU TƯỜNG CỨNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) S K C 0 9 MÃ SỐ: T2011 - 74 S KC 0 Tp Hồ Chí Minh, 2011 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA XÂY DỰNG VÀ CƠ HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG PHÂN TÍCH KẾT CẤU TƯỜNG CỨNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) Mã số: T2011-74 Chủ nhiệm đề tài: Ths TRANG TẤN TRIỂN TP HCM, 01/2012 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc KHOA XD&CHƯD Tp HCM, ngày 15 tháng 02 năm 2012 THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thơng tin chung: - Tên đề tài: PHÂN TÍCH KẾT CẤU TƢỜNG CỨNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) - Mã số: T2011-74 - Chủ nhiệm: ThS TRANG TẤN TRIỂN - Cơ quan chủ trì: Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: Mục tiêu:      Tìm hiểu kết cấu tường cứng phương pháp tính toán khả ứng dụng tường cứng kết cấu nhà cao tầng công trình chống động đất Xây dựng mô hình toán học để phân tích tường cứng phương pháp số Xây dựng thuật toán, viết chương trình phân tích mô trường ứng suất, biến dạng mode dao động tường cứng ngôn ngữ lập trình Matlab Viết chƣơng trình tính tốn trường ứng suất, biến dạng mode dao động tƣờng cứng ngôn ngữ lập trình Matlab Đánh giá kết so với lời giải khác đề xuất biện pháp để nâng cao độ xác tốc độ hội tụ lời giải Tính sáng tạo: Trong nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với giải thuật chỉnh lý lưới sử dụng để phân tích kết cấu tường chòu cắt để nâng cao độ xác tốc độ hội tụ lời giải Kết nghiên cứu: Trong đề tài này, tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để xây dự ng chương trình phân tích tónh học động học toán tường cứng, chương trình cho kết tin cậy so với lời giải Ansys Các giải thuật chia lưới tự động cho kết cấu tác giả thực để có lời giải với mật độ lưới khác Sản phẩm: Một giao diện lập trình cho phép thay đổi thông số để khảo sát toán với thông số khác Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: Chƣơng trình tính tốn ngơn ngữ Matlab sử dụng cho giảng dạy mơn phƣơng pháp FEM Trưởng Đơn vị Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên, đóng dấu) (ký, họ tên) iv MỤC LỤC Tóm tắt i Mục lục ii Giới thiệu 1.1 Tổng quan 1.2 Mục tiêu đề tài 1.3 Tính cấp thiết đề tài 2 Lý thuyết đàn hồi 2.1 Ứng suất 2.1.1 Các thành phần ứng suất 2.1.2 Các phương trình vi phân cân 2.1.3 Điều kiện biên 2.2 Biến dạng 2.2.1 Các thành phần biến dạng Tensor biến dạng 2.2.2 Quan hệ biến dạng chuyển vò 2.3 Quan hệ ứng suất biến dạng 11 2.4 Bài toán phẳng hệ trục tọa độ vuông góc 13 2.4.1 Khái niệm toán phẳng 13 2.4.2 Thiết lập phương trình chủ đạo 14 2.5 Lý thuyết 15 Phương pháp phần tử hữu hạn 3.1 Phương trình phần tử 22 3.2 Phần tử chữ nhật 25 3.3 Tính ứng suất biến dạng FEM 34 3.4 Phương pháp tích phân số 35 Ví dụ số 4.1 Giới thiệu 37 4.2 Bài toán phân tích tónh học động học 37 4.2.1 Mô hình thông số phân tích 37 4.2.2 Kết phân tích tónh học 39 4.2.3 Kết phân tích dao động tự 42 4.3 Phân tích độ cứng vách cứng kết hợp với khung 43 4.4 Kết luận 46 Kết luận hướng phát triển 5.1 Kết luận 48 5.2 Hướng phát triển 48 Tài liệu tham khảo 50 Chương 1: Giới Thiệu Chương MỞ ĐẦU 1.1 TỔNG QUAN Ngày nhiều phương pháp tính số phát triển mạnh mẽ trở thành công cụ hữu hiệu thiếu giải toán Khoa học – Kỹ thuật (phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên, phương pháp không lưới) Trong phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) trở thành công nghệ phần mềm phổ biến hiệu Một chứng cụ thể, nhiều phần mềm ứng dụng đời dựa sở phương pháp phần tử hữu hạn Sap, Nastran, Abaqus, Samcef, Ansys,… Với phương pháp PTHH bước tiến hành để phân tích:  Rời rạc hóa miền toán thành số hữu hạn miền liên kết với điểm nút  Xây dựng lưới phần tử hữu hạn  Xây dựng hệ toạ độ đòa phương toàn cục  Đònh nghóa tính chất hình học đặc tính vật liệu cho mô hình (tọa độ nút, tiết diện mặt cắt ngang, ứng xử vật liệu,…)  Xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử  Xây dựng công thức biến phân từ phương trình vi phân tắc  Chọn hàm xấp xỉ nghiệm phần tử  Xác đònh hàm dạng cho nút phần tử  Thiết lập ma trận độ cứng cho phần tử  Lắp ghép phương trình phần tử để thu phương trình toàn cục  Xây dựng điều kiện liên tục biến phần tử với biến sở quan hệ nút đòa phương với nút toàn cục  Xây dựng điều kiện cân biến thứ cấp  Lắp ghép phương trình phần tử dựa vào bước  Đưa vào toán điều kiện biên  Xác đònh bậc tự toàn cục cho biến sơ cấp  Xác đònh bậc tự toàn cục cho biến thứ cấp  Giải hệ phương trình đại số tuyến tính  Phân tích đánh giá kết Chương 1: Giới Thiệu  Tính đại lượng dẫn xuất  Tính sai số tốc độ hội tụ lời giải  So sánh với lời giải giải tích có Tường cứng phận quan trọng kết cấu chống động đất nhà cao tầng Tường cứng đặt công trình để giảm chuyển vò ngang tải trọng động đất gây chống lại tải ngang Từ năm 1960 phương pháp tính cho tường cứng tác giả giới đưa Tuy nhiên, phương pháp sử dụng giả thuyết trình mô hình hóa kết cấu nên lời giải hạn chế Ngày với phát triển máy tính, phương pháp số ứng dụng rộng rãi để phân tích kết cấu tường cứng hiệu thông qua độ xác lời giải dễ dàng áp dụng cho mô hình 2D 3D Trong nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với giải thuật chỉnh lý lưới sử dụng để phân tích kết cấu tường chòu cắt để nâng cao độ xác tốc độ hội tụ lời giải 1.2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI  Tìm hiểu kết cấu tường cứng phương pháp tính toán khả ứng dụng tường cứng kết cấu nhà cao tầng công trình chống động đất  Xây dựng mô hình toán học để phân tích tường cứng phương pháp số  Xây dựng thuật toán, viết chương trình phân tích mô trường ứng suất, biến dạng mode dao động tường cứng ngôn ngữ lập trình Matlab  Viết chương trình tính tốn trường ứng suất, biến dạng mode dao động tường cứng ngôn ngữ lập trình Matlab  Đánh giá kết so với lời giải khác đề xuất biện pháp để nâng cao độ xác tốc độ hội tụ lời giải 1.3 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Tường cứng phận quan trọng kết cấu chống động đất nhà cao tầng Tường cứng đặt công trình để giảm chuyển vò ngang tải trọng động đất gây chống lại tải ngang Từ năm 1960 phương pháp tính cho tường cứng tác giả giới đưa Tuy nhiên, phương pháp sử dụng giả thuyết trình mô hình hóa kết cấu nên lời giải hạn chế Ngày với phát triển máy tính, phương pháp số ứng dụng rộng rãi để phân tích kết cấu Chương 1: Giới Thiệu tường cứng hiệu thông qua độ xác lời giải dễ dàng áp dụng cho mô hình 2D 3D Trong nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với giải thuật chỉnh lý lưới sử dụng để phân tích kết cấu tường chòu cắt để nâng cao độ xác tốc độ hội tụ lời giải Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi Chương LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 2.1 ỨNG SUẤT 2.1.1 Các thành phần ứng suất Khi vật thể chòu tác động từ bên tải trọng thay đổi nhiệt độ, vật thể phát sinh ứng suất Với giả thiết vật liệu liên tục ứng suất toàn phần điểm vật thể mặt (H.2.1) đònh nghóa phương trình: p  lim A0 F A F vi phân hợp lực tác động vi phân diện tích A bao quanh điểm phần vật thể xét F A Hình 2.1 Đònh nghóa ứng suất điểm Về mặt toán học, ứng suất điểm mô tả tensor hạng hai gọi tensor ứng suất kí hiệu T Nếu tách từ vật thể phân tố hình hộp vô bé có mặt song song với mặt tọa độ phân tích ứng suất toàn phần mặt ba thành phần y theo phương ba trục tọa độ thành y phần ứng suất tác động mặt phân tố thể hình 2.2  yx  yz  xy Có tất chín thành phần ứng suất: x  Ba ứng suất pháp:  x ,  y  z  zy  xz  Sáu ứng suất tiếp:  zx x  xy ,  yx ,  yz ,  zy ,  zx  xz z z Mỗi thành phần ứng suất có hai số:  Chỉ số thứ thể pháp tuyến bề mặt mà ứng suất tác dụng Hình 2.2 Các thành phần ứng suất Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi  Chỉ số thứ hai thể phương tác dụng Trong kỹ thuật thường dùng kí hiệu  để ứng suất pháp  để ứng suất tiếp Theo đònh luật đối ứng ứng suất tiếp :  xy  yx ;  yz  zy ;  zx   xz Vì vậy, có sáu thành phần ứng suất độc lập viết dạng ma trận sau:  x  xy  xz   11  12  13    T   yx  y  yz    21  22  23   zx  zy  z   31  32  33    2.1.2 Các phương trình vi phân cân Trước hết xét toán phẳng hệ trục tọa độ xOy Trong hệ tọa độ thành phần ứng suất gồm:  x ,  y ,  xy  yx chúng hàm số phụ thuộc hai tọa độ x, y không phụ thuộc tọa độ z Điều kiện cân mặt phẳng xOy không phụ thuộc vào bề dày t vật thể, chọn t  để đơn giản hóa việc thiết lập phương trình cân Xét phân tố vô bé ABCD có kích thước dx.dy.1 , với thành phần ứng suất thành phần lực thể tích X Y theo phương trục tọa độ hình 2.3   y  y dy  y  yx  yx dy y D A x Y dy  xy B  xy  X dx  yx  xy dx x   x  x dx x C y Hình 2.3 Phân tố ứng suất phẳng Vì phân tố vô bé nên mặt lấy trò số ứng suất trung bình Sự thay đổi ứng suất theo tọa độ xét tới số hạng vô bé bậc một, tức ngắt bỏ số hạng vô bé bậc cao phân tích chuỗi Taylor Xét hàm f  x, y  bất kì, giá trò hàm điểm lân cận x  dx, y  dy khai triển theo chuỗi Taylor điểm x, y sau: f  x  dx, y  dy   f  f f dx  dy  Vô bé bậc cao x y Chương 4: Ví Dụ Số 38 1.8 1.8 1.8 1.8 P 3 4.8 Hình 4.1 Tường cứng với bốn lỗ Hình 4.2 mô tả nút thuộc điều kiên biên chuyển vò điều kiện biên lực Figure 4.2 Các điều kiện biên Chia lưới tứ giác bốn nút tám nút hình 4.3 Chương 4: Ví Dụ Số 39 Figure 4.3 Chia lưới cho miền toán 4.2.2 Kết phân tích tónh học Bảng 4.1 So sánh chuyển vò ngang điểm có tọa độ 10,8;17,  Số lưới 17  31 25  39 29  43 29  55 45  97 Chuyển vò phương ngang theo FEM 3.2548.10-4 3.2248.10-4 3.1718.10-4 3.1748.10-4 3.1748.10-4 Chuyển vò phương ngang theo Ansys 3.012.10-4 3.147.10-4 3.112.10-4 3.1648.10-4 3.1728.10-4 Sai số (%) 7.459752 2.412553 1.885365 0.31498 0.062996 Bảng 4.1 so sánh chuyển vò theo phương ngang điểm bên phải 10,8;17, 4 lời giải FEM lời giải Ansys Từ kết cho thấy, số lưới miền phân tích tăng lên độ xác lời giãi tăng theo Với số lưới 29  43 ta có lời giải xác theo yêu cầu Bảng 4.2 so sánh ứng suất  y điểm có tọa độ  0,  với nghiệm giải từ Ansys Từ hai bảng so sánh ta thấy kết thu từ phương pháp FEM đáng tin cậy Bảng 4.2 So sánh ứng suất  y  0,  Chương 4: Ví Dụ Số 40 Số lưới ứng suất  y theo ứng suất  y theo 17  31 25  39 29  43 29  55 45  97 FEM 276.6 280.2 282.3 289.6 286.6 Ansys 258.1 259.6 276.3 283.6 287.6 Phần trăm sai số 6.688359 7.351892 2.125399 2.071823 0.34892 Hình 4.4 đến hình 4.7 lượt mô trường chuyển vò ứng suất phát sinh tường cứng lời giải FEM Figure 4.4 Chuyển vò nút Chương 4: Ví Dụ Số 41 Figure 4.5 Trường ứng suất x Figure 4.6 Trường ứng suất  y Chương 4: Ví Dụ Số 42 Figure 4.7 Trường ứng suất  xy -4 3.5 x 10 chuyen vi ngang (m) 2.5 EFG FEM 1.5 0.5 -0.5 10 12 chieu cao so voi dat 14 16 Hình 4.8 So sánh chuyển vò hai phương pháp FEM EFG 18 20 Chương 4: Ví Dụ Số 43 4.2.3 Kết phân tích dao động tự Bảng 4.3 Tần số giao động tự tường cứng Mode  (rad/s) FEM ANSYS 2.073 2.090 7.096 7.126 7.625 7.629 11.938 12.118 15.341 15.437 18.345 18.321 19.876 19.849 22.210 22.236 Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Hình 4.8 Dạng giao động tường cứng Hình 4.8 biểu diễn tám Mode giao động tường cứng Mode Chương 4: Ví Dụ Số 4.3 44 PHÂN TÍCH ĐỘ CỨNG CỦA TƯỜNG CỨNG KẾT HP VỚI KHUNG Xét kết cấu tường cứng 20 tầng chòu tải trọng ngang, toán xét đến ảnh hưởng tương tác tường cứng khung Ansys hình 4.9 Figure 4.9 Các dạng kết cấu tường Kết phân tích Ansys có Chương 4: Ví Dụ Số Figure 4.10 Tường cứng 45 Chương 4: Ví Dụ Số Figure 4.11 Khung 46 Chương 4: Ví Dụ Số 47 Figure 4.12 Tường cứng với khung Từ kết phân tích cho thấy:    200  1, 264 158,18 200  7,3126 Độ cứng khung: k  27,35 Độ cứng tường: k  Độ cứng tường kết hợp với khung: k  200  15, 7978 12, 66 Từ ta thấy độ cứng kết cấu khung tường khác với tổng độ cứng khung độ cứng tường Kết đòi hỏi phân tích kết cấu cần phân tích kết cấu thực tế có kết tin cậy 4.4 KẾT LUẬN Từ ví dụ trên, với kết có phương pháp FEM so với lời giải ANSYS cho thấy chương trình phân tích tường cứng ngôn ngữ lập trình Chương 4: Ví Dụ Số 48 Matlab FEM cho kết tin cậy có hiệu tốt phân tích toán đàn hồi Mật độ nút số điểm Gauss phân bố miền toán vấn đề cần quan tâm phép nội suy Zienkiewicz (1989) [25, 36] số quan hệ độc lập có từ tất điểm tích phân nhỏ số ẩn số chưa biết (chuyển vò tất nút) ma trận độ cứng K suy biến Với toán 2D số ẩn số chưa biết N u tính: Nu  2nt  n f Trong nt tổng số nút miền toán n f tổng số nút bò ràng buộc Số phương trình độc lập sử dụng cho tất điểm đa thức N Q tính: NQ  3nQ Trong nQ tổng số điểm đa thức miền phân tích Do N Q phải lớn N u để tránh suy biến NQ  Nu  2nt  nQ  nt Vì số điểm đa thức Gauss phải lớn hai phần ba số nút phân bố miền toán Đây điều kiện cần thiết để không suy biến nghiệm Theo G.R.Liu [11], ông tiến hành khảo sát kết luận rằng: hiệu phân tích cao số lượng điểm đa thức Gauss phải gấp ba lần số nút phân bố miền phân tích ( nQ  3nt ) Chuẩn lượng xác đònh theo công thức: 1  Le _ energynorm    ( num   exact ) D( num   exact )d   2   T Trong đó:  num ,  exact kết biến dạng phương pháp số phương pháp giải tích D ma trận ứng xử vật liệu Chương 5: Kết Luận Hướng Phát Triển 48 Chương KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 5.1 KẾT LUẬN Mục tiêu đề tài Tìm hiểu kết cấu tường cứng phương pháp tính toán khả ứng dụng tường cứng kết cấu nhà cao tầng công trình chống động đất Xây dựng mô hình toán học để phân tích tường cứng phương pháp số Xây dựng thuật toán, viết chương trình phân tích mô trường ứng suất, biến dạng mode dao động tường cứng ngôn ngữ lập trình Matlab Viết chương trình tính tốn trường ứng suất, biến dạng mode dao động tường cứng ngôn ngữ lập trình Matlab Đánh giá kết so với lời giải khác đề xuất biện pháp để nâng cao độ xác tốc độ hội tụ lời giải tác giải thực cho kết tin cậy so với lời giải Ansys Trong đề tài này, tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để xây dựng chương trình phân tích tónh học động học toán tường cứng, chương trình cho kết tin cậy so với lời giải Ansys Các giải thuật chia lưới tự động cho kết cấu tác giả thực để có lời giải với mật độ lưới khác Một giao diện lập trình cho phép thay đổi thông số để khảo sát toán với thông số khác 5.2 KIẾN NGHỊ Bên cạnh kết đạt ưu điểm bậc, phương pháp FEM tồn số vấn đề cần phải nghiên cứu:  Để có lời giải xác tốc độ hội tụ cao đòi hỏi phải có giải thuật sinh lưới tốt  Trong toán biến dạng lớn, toán nứt lưới phần tử bò méo làm cho điều kiện liên tục phần tử bò điều dẫn đến sai số phương pháp lớn khó hội tụ  Trong toán cắt gọt kim loại, miền hình học biên toán thay đổi sau bước tính ta phải tiến hành chia lại lưới, điều làm nhiều thời gian công sức  Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) không giữ tính liên tục cho biến thứ cấp (chẳng hạn ứng suất) biên tiếp giáp phần tử Chương 5: Kết Luận Hướng Phát Triển 49 Sở dó hàm dạng PTHH tuyến tính khúc sử dụng để xây dựng hàm thử Cùng với việc nghiên cứu để hạn chế nhược điểm phương pháp, hướng cần phát triển ứng dụng phương pháp vào giải toán tương tác kết cấu khung tường cứng 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hoài Sơn, Vũ Như Phan Thiện, Đỗ Thanh Việt Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn với Matlab NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2001 [2] Nguyễn Hoài Sơn, Đỗ Thanh Việt, Bùi Xuân Lâm Ứng dụng matlab tính toán kỹ thuật NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2000 [3] Nguyễn Hoài Sơn, Lê Thanh Phong, Mai Đức Đãi Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính toán kết cấu NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2006 [4] Nguyễn Hoài Sơn, Lê Thanh Phong, Mai Đức Đãi Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính toán Kỹ thuật NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2006 [5] Đỗ Kiến Quốc Đàn Hồi Ứng Dụng NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2002 [6] Jaan Kiusalaas Numerical Methods in Engineering with Matlab Cambridge University Press 2005 [7] O C Zienkiewicz, R L Taylor The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics Sixth edition, Elsevier 2005 [8] Zienkiewicz and R.L Taylor The Finite Element method Fifth edition published by Butterworth-Heinemann 2000 [9] Oztorun, N.K., Citipitioglu, E., Akkas, N., “Three-dimensional finite element analysis of shear wall buildings”, Computes and Structures, 68, 41-55, 1998 [10] Kim, H.S., Lee, D.G., “Analysis of shear wall with openings using super elements”, Engineering Structures, 25, 981-991, 2003 [11] Bahadır ALYAVUZ “Stress Distribution In a Shear Wall – Frame Structure Using Unstructured – Refined Finite Element Mesh” G.U Journal of Science 20(1): 7-14 (2007) [12] Shear Wall Analysis – New Modelling, Same Answers by Kenneth Arnott, CSC (UK) Ltd, Product Manager for CSC’s S-Frame and Orion 2008 [...]...  0 22 Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn Chương 3 PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả trong việc giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng, bằng cách rời rạc hóa các phương trình này theo các khơng gian nghiên cứu Việc rời rạc hóa sẽ chia miền khảo sát thành những miền con (phần tử) đơn giản với hình... và giải quyết bằng phương pháp phần tử hữu hạn Ngày nay, phương pháp này đã trở thành một cơng cụ tính tốn số mạnh mẽ và được sử dụng rộng rãi[7] Do giới hạn của đề tài, phương pháp phần tử hữu hạn được trình bày ngắn gọn, dựa trên cơ sở lý thuyết đàn hồi cho bài tốn ứng suất phẳng và lý thuyết tấm của Reissner-Mindlin cho bài tốn tấm chịu uốn 3.1 PHƢƠNG TRÌNH PHẦN TỬ 3.1.1 Ma trận độ cứng Chuyển vị...  N i   y  (3.13) với, i là số nút phần tử 3.1.2 Vector tải Cơng của ngoại lực tác động lên phần tử, We  1 qT udV  1  qT N d dA  2A 2A (3.14) We  1 T d   N T qdV  1 d T p 2 2 A (3.15) Hay, Trong đó, 24 Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn p   N T qdV 25 (3.16) A được gọi là vector tải phần tử 3.1.3 Phƣơng trình phần tử Người ta chứng minh được rằng, lời giải... độ (s, t) có gốc đặt tại tâm phần tử được gọi là hệ đòa phương (hệ cục bộ), hệ quy chiếu của bài toán Oxy còn được gọ i là hệ toàn cục Nếu gọi (xc, yc) là tọa độ tâm phần tử trong hệ toàn cục khi đó ta có mối quan hệ: s  x  x c , t  y  y c  ds  dx , dt  dy 25 26 Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn (b) (a) Hình 3.1 (a )Phần tử chữ nhật bốn nút cho bài toán 2DVP (b) Pháp tuyến và các tọa độ biên... chúng tôi sẽ sử dụng nội suy Lagrange Các tích phân diện tích và các tích phân biên cũng có thể tính toán một cách dễ dàng Tuy nhiên, do có các cạnh thẳng nên nó không hữu dụng trong việc mô hình các bài toán có biên phức tạp nhưng do tính đơn giản trong việc lấy tích phân nên nó được trình bày trước tiên trong chương này 3.2.1 Phần tử chữ nhật bốn nút Cho phần tử chữ nhật có kích thước 2a  2b trong... ngoại lực tác dụng Thay các phương trình (3.9) và (3.16) vào (3.17) ta được: 1 T d  [k ]d   1 d T p 2 2 (3.18) Rút gọn hai vế ta được, [k ]d   p (3.19) Đây là phương trình phần tử 3.2 PHẦN TỬ CHỮ NHẬT Phần tử chữ nhật bốn nút là phần tử đơn giản nhất có thể sử dụng cho việc giải bài toán trò biên hai chiều Thật vậy, lời giải giả đònh có thể viết một cách dễ dàng bằng cách sử dụng các hàm...   u  T N 4  2   N  d u  3  u4   26 27 Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn (3.24b) ở đây N1  (a  s)( b  t ) (a  s)( b  t ) , , N4  4a b 4a b được gọi là các hàm nội suy Mỗi hàm nội suy Ni này có giá trò bằng 1 tại nút thứ i và bằng không tại các nút khác Hơn nữa, biên được đònh nghóa bởi bốn cạnh của phần tử, pháp tuyến ngoài n và tọa độ biên c của mỗi cạnh như hình 3.1 Lúc... s)( b  t )[ b s  a(b  t )] 4a 2 b 2 , (a  s)( b 2  t 2 )    2ab 2 (3.38) 29 30 Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn Tương tự các hàm nội suy ở đây cũng có giá trò bằng 1 tại nút đó và bằng 0 tại mọi nút khác Sử dụng các hàm nội suy này chúng ta có thể dễ dàng tìm được các phương trình phần tử BT  (b  t )( 2b s  at )  4a 2b 2   (a  s)( b s  2a t )  4a 2b 2  kk    a b s(t... hợp phân tố ở trạng thái ứng suất khối, có tất cả sáu phương trình cân bằng độc lập Các phương trình cũng được thiết lập tương tự như đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng Lấy phương trình cân bằng hình chiếu theo ba trục tọa độ dẫn tới hệ phương trình sau đây:  x  yx  zx x  xy x   y  y y  yz   z  zy z X 0 Y  0 (2.3)  xz    z Z 0 x y z Phương trình cân bằng. .. cứng Chuyển vị (u, v ) trong phần tử phẳng được nội suy từ các chuyển vị nút (ui , vi ) sử dụng hàm dạng Ni như sau, u   N1   v   0 0 N1 N2 0 0 N2  u1  v    1  u    2  v  2    (3.1) Hay, u  N d  (3.2) 22 23 Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn Trong đó, N  mà ma trận hàm dạng, Ni là hàm dạng ở nút thứ i được tính tốn từ phương pháp nội suy Lagrange[7]; u