LỜI NÓI ĐẦU
Tàu thủy và các công trình nồi có kết cấu rất phức tạp, do
điều kiện khai thác khác biệt nhiều so với những công
trinh trên bộ Các phương pháp phân tích kết cấu cồ điền
áp đụng tính độ bần kết cấu tàu thủy còn nhiều hạn chế và
một: trong những bạn chế lớn nhất là mâu thuẫn giữa mơ
hinh tốn và phương pháp tốn : mơ hĩnh đơn giản, đễ giải
thì chưa khái quát hết được các đặc điềm làm việc của hệ
thực ; ngược lại; mô hình phức tạp thị khó giải được chính
xác và hạn chế độ tin cay
Phương pháp phần tử- hữu hạn (pp PTHH) với công cụ là
‘may tính điện tử '(MTĐT) giải quyết được những mâu thuẫn nêu trên và ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực kĩ thuật, trọng đó có cơ học tàu thủy- Tuy nhiên ở nước ta chưa có một tài liệu nào lrinh bày một cách hệ
thống việc áp dụng pp PTHH phân tích kết cấu tàu thủy cũng
như các công trình nồi Cuốn sách được chia làm 9 tập
— Tập † giới thiệu những vấn đề sử dụng pp PTHH phân ` tích (ah học) kết cấu và phân tích độ bền (tinh học) kết
cấu tàu thủy theo mô hình ước định ;
— Tập 2.gồm những vấn đề về phân tích độ bền (tĩnh học] kết cấu tàu thủy theo mô hình tồng thề; phân tích độ bền
một số công trình biền; sử dụng pp PTHH phân tích động
Trang 4“ro
Nhân dịp cuốn sách được ra mắt bạn đọc; chúng tôi xin
chân thành cảm ơn Nhà xuất bản Giao thông vận tải và các bạn đồng nghiệp đã (ạo điều kiện, động viên và cho nhiều ý kiến quý báu đề chúng tơi hồn thành bản thảo
Do-trinh độ chuyên môn có bạn, chắc chắn cuốn sách không tránh khỏi những sai sót Chúng tôi rất mong nhận
được những ý kiến đóng gop của bạn đọc
Trang 5
Chương 1
St} DUNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỪ
HỮU HẠN PHÂN TÍCH TĨNH HỌC KẾT CẤU - 1.1 KHÁI QUÁT VỀ PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN
Phân tích trạng thái ứng suất biển dạng của kết cấu là một bài toán khó Các phương pháp phân tích kết cấu cồ điển thường xem kết cấu là một môi trường liên tục
Lời giải của bài toán thường được thể biện đười dạng các phương trình vi phân phúc tạp, khỏ đưa ra được
lời giải chính xác cũng như lời giải gần đúng*ở mức độ chấp nhận được Cách giải bài toán sẽ càng khó khăn
nếu kết: cấu có hình đáng bất kỳ, chịu lực'phúc tạp và
được chế tạo bằng nhiều loại vật liệu, không đồng nhất
Phương pháp phần tử hữu hạn (viết tắt là pp PTHH}
phân tích kết cấu trên cơ sở thay thế kết cấu thực bằng
_một,n.ô hình ,tính rời rạc Mô hình tính bao gồm một số lrữu hạn các phần tử riêng biệt liên kết với nhau bằng một số hữu hạn các điềm nut, còn ngoại -lực được đưa về các lực tương đương tac dung tại “nút.'Phương trình chính tắc được viết cho các nút của mô hình tỉnh Kết :
ử
Trang 6quả tỉnh sẽ là các trường ứng suất, biến đạng và chuyền vị tại: các điềm nút,
Xét một yật thể nằm trong trạng thái cân bằng, theo
nguyên lỷ chuyền vị khả đỉ có thề viết : [ s#.e.dy - | 3UT Fy.dV —
VY
— f OUT F,.dS=0 (1.1)
trong dé,8; o; U; F, ; Fs— lan lượt là véctơ- biến
dạng, véctơ ứng suất, véctơ chuyền vị, véctơ lực phân
bố thể tích và véctơ lực phân bố điện tích của vật thê
-_ Khi vật thề được tách thành các phần tử hữu hạn, mỗi phần tử sẽ chịu tác đụng của ngoại lực và chịu các ứng lực tương tác giữa các phần tử với nhau Do vật
thé nim trong trang thai cân bằng, nên một phần tử thứ - @'bấtkỳ của-vật thể cũng nằm trong trạng thái cân bằng - thường trình (1.1) viết cho phần tử e bất kỳ có đạng: bee J Be de dV — [ oct Fv av —
Ve to, Ve
— Ƒ ong dS — | ð07.Fg„.dSẴ=0 (12)
Se os : Se’ sẽ ¬
Trong, biên thức (1.2) điện tích xung quanh Sa của- phần tử được chia thành hai thành : phần: Sẽ — phần ' diện tích rhặt 'ipoài:của phần tử, đồng thời là mặt ngơài
của - vật thể ; ‘$2’ — điện tích mặf ngoài của è phần "tử
nhưng: nằm bên P trong vật thể, mo ea
+ wie |
6
`
Trang 7Lấy lồng các phần tử, ta có : » J des oe dV — > [ 202 -Fve av — e Ve e Ve mì f OU Fs, dS — )* US Fav’ dS = 0 c oe SO (i 3)
So với phương trình (1.1) trong 'phương trình (1.3) xuẾt hiện thêm một thành phần bồ sung Đối với vật -
thể liên tục, bên trong val thé điều kiện cân bằng và điều kiện liên tục phải được thỏa mẩn, đo đó thành phần bồ sung sẽ được triệt tiêu Mỗi số hạng thử e của ,
thành phần thử nhất chính là biến phân của thể năng „
ÔVa của phần tử thứ e, còn mỗi số hạng thứ e trong hai thành phần tiếp theo tương ứng bằng số gia công khả dĩ của các lực thể tích tương tác và các lực điện tích
tương tác trên các chuyển vị khả di cha phần tử thử e Sử dụng biều thức của ôV¿ và các công thửc quy đồi các lực thề tích và các lực điện tích về các lực Lương
đương đặt tại nút (xem mục 1.4,1) có thé đưa (1.3) xề dạng :
» ðqa Ka qe— en SỐ d4)-
Trang 8Phươn, trình (1.4) có thể đưa về đạng :
ôqT.Kg.q — ôqT.R=0 - (1.7
trong đó, q — véclo chuyên vị nút của toàn bệ cho biết chuyền vị nút của tùng phần tử Sử đụng mối liên hệ
giữa q và véclơ q— là véetơ chuyền vị nút của toàn hệ,
qua ma trận biến đôi H — : q=H.q (1.8) Phuong trình (1.7) được đưa về đạng : éq? HT Kz.H.q—ég™.H™.R==0 = (1.9) Từ đó : — K=q.P (1-10)
trong đó, K—HT.K,.H là ma trận độ cửng của toàn kết cấu ; P=— HT R — véclo tai trong put cia toàn kết cấu fo ages oa
Phương trinh (1 10) 1 la à phương trình chỉnh tắc của hệ viết theo pp PTHH với an số là các chuyển vị núi Điều
này thê hiện tính chất tổng quát của PP PTHH va phương pháp biến phân Ritz0!
Qua các phép biến đôi trên có thề nhận thấy rằng thực chất pp PTHH là một phương pháp sai biến phân gồm
hai nội dung chỉnh 'sau đây :
_— Phân tích trạng thái ứng suất biến dạng trong nội
bộ từng phần tử Nội dung này thực chất là xác định ma trận độ cứng Ke cua phần tử :
(1) Đặc điềm khác nhau chủ yếu giữa bai phương pháp
này là vấn đề các hàm tọa độ Đối với pp PTHH, sự thay
đồi bất kỳ của một chuyền vị nút nào đó cũng chỉ gây I2 Sự thay đồi trường các chuyền vị của các phần tử quy tụ vào
nút đó Ngược lại, trong phương pháp Ritz, chinh su thay
đồi bất kỳ hàm tọa độ nào cũng gây ra sự thay đồi chuyền
vi trén toàn bộ kết cấu 4 -
Trang 9
— Phân tích trạng thái ứng suất, biển đạng của toàn
hệ gồm nhiều phần tử l;ên kết với nhau lại một số hữu hạn các điềm nút Trong nội dung này, điều cơ bản cũng -
là xác định ma irận độ cửng E của toàn hệ
So với các phương pháp phân tích kết cấu cô điền, pb PTHII và các dạng khác của phương pháp này cớ nhiều ưu điềm nỏi bật Có thể khái quát các ưa điềm chủ yếu của pp PTHÍI' thay cho những lời giải thích
tại sao phương pháp này ngày càng được áp đụng rộng: rãi trong cơ học
LE Kha néng ty déng héa
Tất cả các bài toán cơ học nói chung, xác định ma tran K, va ma tran K đều được thực hiện bằng các phép-
tính sơ cấp của lý thuyết ma trận Trong thực tế tính £ “00n KE=4,M I Nhgp thing tin ve pte t
Xdy dung moran a cry
vẹc #6; trong cua phan ty
4
Xgomea rand củng, veld tei Wrong
Trang 10oán, việc xác định ma tran K thường không liển hành thẻo ma trận biến đồi H Thuật toán có nhiều hiệu quả ‘on được ding là véclơ ma trận chỉ số cộng đồn cát _ phần lử của ma trận K của toàn bộ các phần tử: (mục
1.5.2) Trén hinh (1.1) giới thiệu một đoạn lưu đồ thuật
toán của pp PTHH, trong đó quá trình xác định ma trận
® và véctơ P được thực hiện bằng một toán tử chu trình
° Rõ rảrng là việc xác định các đại lượng cần thié¢ bằng
-các phép tính sơ cấp của lý thuyết ma trận và các toaa
tử chu trình thề hiện khả năng tự động hóa ` cao của
pp PTHH
1.1.2 D8 tin cay
Un điềm thứ hai của pp 'PTHH là cho kết quả tính -
đảm bảo độ tin cậy
Trong pp PTHH, thay thế kết vấu thực (là một hệ liên
dục) bằng một hệ rời rạc bao gồm một số các phần tử riêng biệt liên kết với nhau ở một số bữu hạn các điềm ` nút được dựa trên cơ sở là thừa nhận năng lượng bên 4rong của mô hình thay thế bằng năng lượng bên trong
.của kết cấu thực
Nếu trên biên của các phần tử, điều kiện liên lục về,
lực và chuyền vị được thỗa mãn (tức là xác định được chính xác các lực tương tác giữa các phần tử lân cân), 4hị mô hình thay thế làm việc hoàn toàn giống kết” cấu thực Lúc đó, thành phần thứ tử của phương trỉnh
(1.3) sẽ triệt tiêu Trái lại, nếu việc xác định lực tương -
tác giữa các phần tử lân cận phải đựa vào các giả (thiết gần đúng, hoặc điều kiện liên tục về lực và về chuyển
vị ở trên biên các phần tử không thỏa mãn, thì một SỐ thành phần chuyển vị hoặe ứng suất nằm trên biển đó .sề có giới hạn và thành phần thứ tư tr ong phương trình
(1.3) sẽ không triệt tiêu Lúc đó mô hình thay thế làm việc không giống hệ thực
40
Trang 11
Trong thực tể, đề don giản tínb, chỉ cần thỏa mẫn
điều kiện liên tục về chuyền vị, về lực ở một sốtCác
điểm nút Điều này đựa lrên một : gia thiết gần đúng về
quy luật chuyển vị, lực bên trong phần tử: khi các điều kiện chuyển vị, lực liên tục tại một số các điềm nút
thỏa mẩn thì trên biên chung của các phần tử, điều kiện Ârên cũng được thỏa mãn Các phần tử thỏa mãn điều
kiện này gọi là các phần tử tro ng thich Tóc nền Nhưng việc xác định các hàm tương thích mô tả quy - luật biến đồi chuyên vị, ứng suất rất khó khăn, nên
trong thực tế thường được giải quyết một cách gần đúng
- Việc lựa chọn các biểu thức mô tả một cách gần đúng
quy luậi biến đổi chuyền vị hoặc ứng suất bên ireng phần tử hết sức quan trọng, ảnh hưởng khá nhiều điện
mức độ chỉnh xác của kết quả tính
Theo ý nghĩa vật lý của các bàm xấp xi bitu diễn quy luật biến thiên chuyền vị hoặc ứng suất bên Lrong phần dir, trong cdc bài toán kết cấu người I la chia mô hình : làm ba loại sau: ‘
— Mo hinh tương thích — biểu dién gần đúng quy Ỉ luật biến thiên chuyền vị trong phần tử Ở đây các hệ số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trêu tơ sở nguyên lý biến phân ÌÙagrange:
— Mô hình cân bằng — biều điễn gần đúng quy thật : biển thiên lực (hay ứng suất) trong phần tử Ở đây các hệ số được xác định từ hệ phương trình thiết ae t trên „ cơ sở nguyên lý biến phân Castigliano
— Mô hình hỗn hop — biêu điển gần đúng quy luật
biến thiên chuyển vị và ứng suất trong phần tử Ở đây coi chuyỀn vị và ứng suất “là hai 'yếu tố độc lập tiếng ˆ
biệt Các hệ số được xác định từ hệ phương trình thiết
lập trên cơ sở nguyên lý biến _phân Raixne e — Helinge*’
Trang 12Một vấn đề được đặt ra là chọn những hàm xấp xi
này như thế nào cho hợp lý? Giả thiết về quy luật biến đôi chuyển vị hoặc ứng suất bên trong phần tử chỉ hợp lý' khi nó thỏa mãn các phương trình cân bằng tỉnh học và các phương trình liên tục về biến đạng bên trong phần tử, Đồng thời với giả thiết này phải đảm bảo không xuất hiện sự gián đoạn về chuyền vị cũng như về ứng suất
trên biên giữa các phần tử
Cho đến nay, chưa tìm ra được một tiêu chuẩn đề làm cơ sở-lựa chọn một cách tối ưu các biều thức biều thị
gần đúng quy luật biến thiên chuyền vị hoặc ửng suất: bên.trong phần tử Thông thường, đề biều thị quy luật
này, người ta thường dùng các đa thức Hermite, Lagrange {1}, [5], Két qua tính trong các trường hợp này (cũng theo các tài liệu trên) đảm bảo độ tin cậy, _ Vị đụ (hình 1.2) kết quả tính độ võng của tấm mỏng
consol hinh vuông, chịu tải phân bồ đều q theo pp PTHH
(ding ham x&p xi dang đa thức Hermite biểu thị quy luật biến thiên của chuyền vị bên trong phin tir) khong
sai khác so với kết quả của thực nghiệm,
Tuy vay theo V A Pastnov [7] tiêu chuẩn tối thiểu
đề chọn quy luật biến thiên chuyển vị bên trong phần
tử, nhằm đảm bảo kế quả lính chắc chắn bội tu tới lời giải chính xác là:
- + Nếu xem phần tử là một vật rắn tuyệt đối thì các gia số của các chuyền VỊ nút không được gây ra sự thay
đồi trạng thái ứng suất bên trong phần tử,
— Việc giảm bớt.kich thước của phần tử phải dẫn
đến kết quả là trạng thái ửng suất, biến đạng bên trong
phần tử phải là hằng số
"_—: Quy luật biến thiên chuyền vị phải lựa chọn sao cho biến đạng đọc tFeo biên phân giới qua các phần tử có
n
Trang 13giá trị hữu hạn Điều kiện này đòi hỏi phải thỏa man điều k ¢n liên tục về chuyển vị giữa cáo phần tử ” D 912 w Digit ớ ¢) | : if | 9/30 „2/47 “Bich 1.2 Kết quả chuyền vị của tẩm consol chịu tab ; phân bế đều hộ
_ Á —pp PTHH lưới 3x3; [5] — pp PTHH lưới 5x5 (Livst 2
sya Birtrel, 1956); O — két qua thyc nghiém (Del If 1948) ©
© g) So dd ludi chia phần tử; b) Chuyền vị trên trực A=A;
Trang 14ae ‡ *.S- ~~—m~ —_ Tk "ấy: HỆ, tết "_ 4k 248
'Nến từng thêm ø F lượng phần tử, gai s đo: sự xời tạC hóa sơ đồ tỉnh sẽ tiệm cận tới giá trị 0 Cần lưu ý rằng
trong thực tế người ta .hay sử dụng ma trận độ cứng
thiết lập dựa theo giả thiết quy luật biến đồi chuyền vị trong phần tử không thốa mãn điều kiện 3 vừa nêu trên
Thực ra điều kiện này - chỉ được thỏa mãn khi điều kiện 2 được thỏa mãn, đờng thời phải tăng số lượng phần tử lên rất nhiều 5 7
Có thề chứng minh được rằng, đối với những bài loắn mà quy luật chuyền vị được biều thị bằng một phương
trình cấp 2m, nếu dùng pp PTHH đề giải và biều thị quy - luật biển thiên chuyển vị bên trong phần tử bằng đa
thức bậc p thì sẽ mắc phải một lượng sai số tương đối
sau đây : :
$= (9m I .11
trong đó, a — kích thước đặc trưng của phần tử;
“ ey, sql— kích thước của kết cấu
That vậy gid sử bên trong phần tử quy luật biến thiên chuyên ¥i duoc biểu điễn bằng đa thức bậc p Lúe dé theo dink" ly Taylor, két qua tinh theo pp PTHH sẽ : gin đúng Với nghiệm chính xác của H thuyết đàn hồi (TBH) vợ số tương đối bằng (+ rr Trong
“ge những bài; Toda „mà, quy luật chuyển vị được biều thị ng một phương a.trink cấp: 2m thì, biều thức của! xăng "Tượng SẼ shia đo hàn! cấp m Những giả trị của đạo
hàm này được tính một dách gần đúng với sai số tương _ đói lễ TẢ) ea và đo trong ` "miêu tiữt P tổng, ,quảt
ms cha năng lrợng có chứa - cáo xế” hạng bình phương của
ˆ, dao ham đó nên sai số tương đối khi xác định năng lượng
sáu i Ị
Trang 15sẽ HỆ ì ot —m), Thực chất việc xác định năng lượng Bb ade dinh - ma trận độ cứng, có thé ndi ring kết quả: - tính đã được xác định với sai số tương đối ` bằng,
a Z(p+i~m)
D Nha way, bằng cách giảm Ì bot Kích thước của các - ph
tử tới mức đủ nhỏ, về mặt tly thuyết có thể đạt được m„ độcchỉinh xác lùy ý |
= Một điều quan trọng cần lưu y trong khi ap dung Pp Mik 1a voi cùng một gố điềm núi giống nhau việc sử
ˆ“ đng lướt chia phần tử khác nhau sẽ cho kết quả tính ¡ * khác mau điếc rằng chưa có cách nào đề lựa chọn trong’ 5ố*Eáossơ đồ tỉnh eó cùng điềm nút như nhau, sờ-
1 đồ: nào? sẽ,cho kết quả tỉnh: :chính xác hơn Việc phân: ` “chia phần Ì ir trên.sơ đồ tế (Ẫhuộc vào kinh nghiệm ai -Hìmh 143 - -
Cần tuu ý là trong ba mô hình nêu trên thì môihinh
bằng và mô hình hỗn hợp chỉ sử dụng có hiệu quả trong: một số bài toán nhất định Giữa mô hinh tong, thich và mô hình cân bằng có tính chất đối ngẫu Hình, (1 3 : 1ã
sao cho tỉnh toán đơn -
`Theomơ đàb ương Miố, „ SE S94”
Trang 16thé hiện xu hướng hội tụ của “hai mô hình trong bài'
doin uốn tấm mỏng Khi sử dung mé“hinh titong ‘thich, độ võng thu được nhỗ hơn độ vống thực Điều đó co nghĩa là mô hình thay thể « cứng » hơn kết cấu thực Ngược-lại *khi.đùng n-ô hình cân bằng, thu được độ ' Võng lớn hơn độ võng Lhực, nghĩa là mô hình thay thế «mềm hơnkếf cấu
thực Nói một cách khác, mỏ hình tương thích che cận dưới và mô hình cân: bằng cho cận: trên của chuyền, wi
:1:3 Khả năng 4p dyng 5 ‘
_ Cổ thể xem pp PTHH là mội phương pháp vạn văng Đó là ưu điểm thứ bà Áp dụng pp PTHÍI có thể giải ;
^Š sự được những bài toán hết sức phức tạp, thậm chí trước
đây dùng các phương pháp khác không giải được, : 31: Trong lĩnh vực cơ học môi trường liên Lục, người fa
áp dụng pp PTHH bằng cách sử dụng phối hợp các phần
tử bhác nhau (các phần tử điềm, phần tử đường,::phần tử mặt và phần tử khối, ) và theo nguyên lý cộng tác dung, dé dang phân tích được các bài toán kết cấu hỗn, hợp, kết cấu có sườn bất kỳ, kết cấu có hình dáng phức đạp Với bài toán kết cấu có khoét lỗ, một số tác giả
sử dụng khái niệm phần tử ảo để plan tích và đã cho -
ra kết quả đảm bảo độ tin cậy
f+ Kbi giải bài toản động lực học theo pp PTHH, một thuật toán có tính chất tồng quát được áp đụng là chỉa
quing thời gian khảo sát đao động của hệ thành nhiều khoảng thời gian nhỗỏ hữu bạn, và sử dung các công thức tính truy hồi Bằng cách xác định trạng thái ứng suất trước
Trang 17
Phương pháp PTIHH làm cho bài tốn ên định cơng _trình đơn giản đi rất nhiều, vì trong phương trình chỉnh
tắc, ma trận độ cứng của tồn hệ sé khơng chứa các giá
trị chưa biết của ngoại lực tới hạn Việc áp dụng pp
PTHH trong các bài toán động lực học và ồn định công trình được trình bày trong các tài liệu [7], [9]
Co thé xây dựng toàn bộ lý luận của pp PTHH đề giải các bài loán của LTPH không cần xuất phát từ việc khảo sát các phương trình cân bằng tỉnh học, mà xuất phát từ nguyên lý cực tiều hóa thế năng của (toàn bộ kết
cấu Các bài toán của lý thuyết trường (bao gồm bài
toán truyền nhiệt, bài toán chảy tầng của các chất lông
lý tưởng, bài toin thấm qua môi trường rỗng, bài toán
phân bố điện thế, bài toản uốn đầm lăng trụ, bài loán xoắn thanh lăng trụ ) thường đẫn đến việc cực liều hỏa một đại lượng đưởi đấu tích phân, kèm theo một số điều kiện nhất định gọi là?phiểm hàm Các phiém ham
này liên quan ít nhiền với khải niệm năng lượng và khái niệm công,
Phương pháp PTHH xuất phát từ nguyên lý cục tiều
hóa thể năng của toàn hệ khi giải các bài toán lý thuyết
trường cho ẳn số là các đại lượng vô hướng
Với bai loin phi tuyến, thường gặp bai loại: bài toán phi tuyến về phương điện vật lý và bài toán phi tuyến về
phương điện hình học Bài loán phi tuyến về phương
điện vật lý khi vật liệu có tỉnh chất đàn đẻo hoặc khi vật liệu có tính chất thay đồi theo thời gian, quan hệ giữa ủng suất và biển đạng là quan hệ phi tuyến
o = a(e) (1.13)
Bài totn phi tuyến về phương điện bình học khi kết cấu
€ó chuyển vị lớn làm: thay đổi một cách đáng kề hình
dạng hìuh học ban đầu của hệ, Khi thiết lập phương trình
Trang 18cân bằng tĩnh học của hệ trong trạn; (hái hệ bị biến
đạng, ta sẽ được các phương trình có đạng phi tuyển Cả hai loại bài toán này đều đưa về việc giải các phương ` trình chứa những số hạng phi tuyến đối với ẩn số của bái toán, Phương pháp PTHH khi giải hai loại bài toán ray dẫn đến phương trình chỉnh tắc có dang sau:
K,-q=P, (1.14)
trong đó, ma trận độ cửng TK, không những phụ thuộc vào các thông số hình học của kết cấu, các thông số vật lý của vật liệu, mà còn phụ thuộc vào trạng thái ứng suất và biến đạng của hệ Việc giải phương trình (1.14) hết sức phức tạp Thông thường không thề giải một cách - chính xác đưới dạng hiền, mà phải dùng các thuật toán
đúng dần Các phương pháp đúng dần thường là phương
pháp đúng đần trực tiếp (direct-iteralive process) va
phương pháp số gia từng bước (ineremantal process)
Tom lai, pp PTHH ap dung trong lĩnh vực cơ học môi trường liên tục, phân tích bài toán kết cấu có hình dáng phức lạp, kết cấu có khoét lỗ, kết cấu có sườn những
bài toán phí tuyến về phương diện vật lý, hình học, những bài toán ồn định động lực học công trình, là rất có hiệu quả
1.2 TRÌNH TỰ GIẢI BÀI TỐN PHÂN TÍCH
ĐỘ BỀN KẾT CẤU BẰNG pp PTHH
Đề phân tích kết cấu là một hệ liên tục có bậc tự đo
vô hạn, người la đi phân tích mô hình thay thể là một
hệ rời rạu có bậc tự do là hữu hạn Các đại lượng tinh
của phần tử trong mô hỉnh thay thế được xác định theo nguyên lý biến phân năng lượng và dựa vào các hàm
xấp xi đồ mô tả quy luật biến thiên về chuyền vị và
Trang 19
Trong thực tế tính toán kết cấu bằng pp PTHH thong sử đụng mô hình tương thích, và phương pháp tương
ứng gọi là phương pháp chuyên vịt,
Trình tự một bài toán phân tích độ bền kết cấu theo
phương pháp chuyền vị được thề hiện qua các bước sau :
1 Xây dựng mô hình tính: chọn hệ tọa độ, chọn phần tử mẫu, rời rạc hóa kết cấu bằng một mạng lưới
phần tử thích hợp, đánh số các phần tử và các điềm
nút của mạng lưới Dạng của phần tử, số điểm nút của phần tử và số thành phần chuyển vị tại một nút có liên quan loi dạng của đa thức xấp xỉ, đồng thời ảnh hưởng đến chất lượng của kết quả tính
2 Xác định phương trình của phần tử :
Ke qo = Re (1.15)
Tức là xác định ma trận độ cứng K và véctơ wng
lực nút tương đương R¿ của phần tử, Nội đung này ảnh hưởng khá nhiều tới kết quả tính Đề xác định ma trận K¿ và véctơ Rc, phải giả thiết quy luật biến thiên của chuyển vị bên trong phần tử Đôi khi việc tính toán xác
định K; và R; thường được áp dụng các kết quả tính
sẵn Có thể tìm thấy ma trận K¿ và véctơ R„ cửa một
số phần tử đơn giản trong cdc tai liéu [1], [5], [7] 3 Xác định phương trình của toàn hệ :
K.q=R (1.16)
Tức là xác định ma trận độ cứng R là véclo Lai trong P của toàn hệ, Trong nôi dung này phải chú ý tới điều kiện biên của toàn kết cấu đề khử sự suy biển của ma
trận K va viéc id chức lưu trữ ma trận R đề tiết kiệm
ô nhớ của MTĐT (vì kích thước của ma trận này thường khá lớn), (1) Phương pháp tương ứng với mô hình cân bằng gọi là phương pháp lực‹ 19 mm
toán phức tạp hơn 'Trong quá trich | ựa chẹn lrên đây,
Trang 20
trong phân tích kết cấu vỏ mỏng đã coi trạng thai img suất, biến dạng màng độc lập với trạng thái ứng suất biến dạng uốn ngang Sử dụng phần tử cong (hoặc có
biên cong) khắc phục được những hạn chế về độ chính xác nêu trên, Tuy vậy việc sử dụng phần tử cong là rất
phức tạp, mức độ chính xác của kết quả tinh chưa chắc tương xứng với công sức bổ ra Trong khi đỏ có những
phương pháp khác làm tăng độ chính xác của kết quả tính mà không đòi hỗi công sức quá nhiều,
Trong việc lựa chọn phần tử mẫu còn gặp một trường hợp khó khăn nữa đòi hỏi trình độ và kinh nghiệm của
người thực hiện, đó là việc dùng phần tử có số điềm
nút Ít hay dùng phần tứ có sổ điểm nút chiều sẽ có.lợi
hơn Ví đụ trường bợp đầu có thề là phần tử tam giác
3 điềm núi, trường hợp sau có thể là phần tử tam giác 6 điềm nủt hoặc nhiều hơn nữa (ngoài ba điềm nút ở |
đỉnh của tan giác còn có các điểm nút ó trên biên nhự «| hình 1.4) Phần tử tam giác 3 điềm núi tương ủng với |
Trang 21
- đùng phần tử này cho kết quả tính chính xác bơn Tuy
nhiên trong trường hợp này số lượng tọa độ khải quát phải xác định tăng lên, do đó khối lượng tinh lon hơn
Việc sử dụng loại phần tử có sỐ điềm rút nhiều cần
phải có MTĐT với công suất lớn vì chuong trinh nh
toán phức tạp hơn Trong quả trì.h lựa cbẹn trên đây, không thề có kết luận chắc.chắn vỀ việc nên dùng phần tử có số điểm nút it hơn với lưới chia phần tử mau hơn hay ding phần tử có số điềm nút nhiều với lưới chia
phần tử thưa hơn, Tất cả đều phụ thuộc vào turg bai
toán cụ thể với kinh nghiệm của người tính Xét nột thí dụ khác về hệ thanh Thông (hường để phân tích hệ
khung phẳng (hình 1.5), tọa độ khái quảt chọn cho một
nút có 3 bậc tự do: hai thành phầu chuyên vị thẳng theo hướng ox và oy, một (hành phần chuyền vị xoay trong mặt phẳng của khung Hình (15b) thề hiện sơ
đồ tính của hệ Như vậy phương trìrh của bệ kết cấu có 27 ần số Trường hợp các phầu tử trong hé khung có
- độ cứng kéo nén EF không quá nhỏ so với độ cứng
chống uốn EJ thì biến đạng dọc chung của các phần tử
sẽ quá bẻ so với các biến dạng khá, có thể bổ qua được, Do bỏ qua các biến dạng đọc, phương trình của hệ kết cấu chỉ còn 12 Ẩn số, như sơ đồ lính trên hình (1.5c) mô tả Hình 1.5 Hệ khung phẳng
a) Sơ đồ chịu lực; b) Sơ đồ tính trường hợp 1 nút
3 bậc tự do ; c) Sơ đồ tính che trường hợp bỏ qua
Trang 22Như đã trình bày trong mục 1.1.2 xây dung lưới chia
phần tử hợp lý là đảm bảo cho tính toán đơn giản và cho ra kết quả chính xác
Trong việc chọn lưới chia phần tử thích hợp cũng đòi
hỏi sự lựa chọn giữa các phương án đề xuất khác nhau
Thí dụ trong bài toán phân tích vỗ mông hyperbolic
paraboloid, nếu dùng phần tử mẫu là phần tử tứ giác phẳng thì có thể sử dung lưới chia:phần tử như trên
hình 1.6a Ở đây, các biên của phần tử song song với các trục tọa độ ox, oy Dùng lưới chia phần tử này, việc quy chuyển hệ tọa độ địa phương của phần tử sang
hệ tọa độ chung của toàn hệ rất tiện lợi Nhược điểm của hệ lưới chia này cũng là nhược điềm chung của hệ lưới chia đùng phần tử phẳng xấp xỉ mặt cong Cụ thể
là trong nội bộ phần tử, cũng như trên biên phân cách giữa các phần tử độ cong của mặt cong bỏ qua Tuy
Hình 1.6, Sơ đồ tính của vỏ mỏng hy-pa
nhiên cỏ thì hạn chế bớt bhược điềm đó bằng cách sử đụng lưới chia phần tử trên hình 1.6 Theo lưởi chia
phần tử này, đường biên phân cách giữa các phần tử `
trùng với 2 hệ đường sinh thẳng của mặt vỏ hyperbolie paraboloid Độ cong của mặt Vỏ khi xét trong nội bộ
Trang 23
phần tử vẫn bị bỏ qua Nhưng khi xé! toàn hệ, điều kiện lương thích về mặt hình học của mặt vỗ không những được thỏa mãn tại các điềm nút của hệ, mà cả
trên biên phân cách giữa các phần tử cũng được thỏa man Tuy nhiên, cách làm như trên phải chú ý với
trường họp vỏ có độ cong lớn Khi này các phần xa
điềm gốc của vỏ có thề có góc (lập giữa hai cạnh liền nhau) quá nhỏ, điều này ảnh hưởng tới tiêu chuẪn hội
tụ của phương pháp
Đối với kết cấu có hiện tượng tập trung ứng suất,
hoặc có hiện tượng thay đổi ứng suất đột ngột (tại chỗ có độ cứng đột ngột thay đồi, tại chỗ có khoét lỗ ,) đề có được kết quả tính có độ chính xác cao, thể hiện được các hiệu ứng biên về ứng suất biến dang thì nên dùng
lưới chia phần tử mau hơn (dùng các phần tử có kích thước bé hơn) Hình (1.7) giới thiệu mô hình tính của
vỏ trụ có lỗ khoét Theo mô hình này để có kết quả tính chỉnh xác tại gần vùng có lỗ khoét, lưới chia phần
tử mau hơn vùng xa lỗ khoẻt
Lựa chọn phần tử mẫu cũng như lựa chọn lưới chia
phần tử để xây đựng mô hình tính phụ thuộc vào chủ quan của người tính khó có thể đưa ra một đường lối
chung cho việc xây đựng mô hình tính đối với mọi kết cấu bất kỳ Tuy vậy cũng có thê đánh giá chất lượng - của mội mỏ hình tính theo các liêu chuẩn sau:
1 Sự bảo toàn các đặc tính về trạng thái làm việc
của kết cấu, Đặc tỉnh này bao gồm tính chất đặc trưng
và các tính chất cá biệt Số lượng các tính chất cá biệt của hệ kết cấu được thể hiện trên mô hình tính nhiều
thì chất lượng của mô hình tính tối
2 Việc giảm bét bậc tự do của kết cấu, đề giảm bớt
Trang 24kết quả trạng thái ứng suất và biến đạng của toàn hệ
kết cấu không thay đồi : v a - Hinh 1.7 a) Vỏ trụ có lỗ khoét; b) Lưới chia phần tử 14 hệ điềm,
Trong nội dung xây dựng mô hình tỉnh còn có -một vấn đề khác quan trọng là mã hóa, tức là đánh số cáo phần tử và đánh số các điềm nút trong lưới chia.phần
tử Việc mã hóa nhim giúp cho việc tự động hóa tính toản các đại lượng lính của từng phần tử và từng nút NẾu mã hóa tốt thì quá trình tính toán sau nay sé don
giản Hơn nữa, nếu mã hỏa tốt sẽ giảm được ô nhớ của
của các chương trình tự động hóa trong MTĐT Đây 26
Trang 25
chính là đặc điềm quan trọng của việc mã hóa Nhự phần trước (mục 1.1.1) đã trình bày, kháe với các phương pháp biến phân khác, theo pp PTHH trên mô hình tính
nếu có sự thay đổi bất kỳ của một chuyền vị nút nào đó cũng chỉ gây ra sự thay đôi trường các chuyền vi của các phần tử quy tụ vào nút đó, Trong ma trận độ cứng R cửa toàn bệ có rất nhiều phần tử bing 0 Xét một hàng bất kỳ của ma trận độ cúng E, chỉ số của
hàng này tương ứng với chỉ số một nút nào đó của mô hình tỉnh Các phần tử của ma trận nằm trên hàng
ray sẽ bằng khóng khi co chỉ số khác với các chỉ số chuyỀn vị nút của tất cả các phần lử quy tụ vào nút dang x¢l Ma (ran RK là nột ma trận thưa Tiển hành
tỉnh nghịch đảo ma trận K trên MTĐT không cần thiết
phải nhớ các phần tử bằng 0 Nếu đánh số các chỉ số chuyển vị nút sao cho mọi hiệu số giữa các chỉ số chuyền vị nút cửa tùng phần tử là nhỏ, thì các phần tử khác không của ra trân độ cứng K sé co Jai Ma tran được
đưa về đạng băng Thực hiện nghịch đảo ma trận K chỉ
đưa vào bộ nhớ của MTĐT các phần tử nằm trong băng; còn các phần tử nằm ngoài băng mang giá trị 0 không
đưa vào bộ nhớ "
Hinh (1.8) trình bày 4 cách đánh số các chỉ số chuyển vị nút khác phau của một hệ khung phẳng Theo 4 cách đánh số này, ma trận độ cửng K cho ra 4 bề rộng băng
khác nhau
Nếu gọi hJ) là bề rộng một nửa băng, thì h được tính như sau:
h=u-l l (1.19)
với u z= max(Jemav — J€min) °
(1) Ma trận K là ma trân đối xứng, nên việc lưu trữ trong
bộ nhớ của MTĐT chỉ cần đưa vào một nửa
27
—— Như vậy nửa bề rộng băng h của ma trận K phụ
Trang 26ow Cà 3G nộ @ ©i0ie@lie@li~: arene hon + @ nạ + 9 e i e/ele) 1.4 PHƯƠNG TRÌNH CỦA PHAN TO 1.4.1 Phương trình cơ bản
Như đã trình bày trong mục (1.1) theo nguyên lý
| công khả đdỉ của Lagrange, một phần tử e bất kỳ nào đó nằm trong trạng thái cân bằng đều có:
Trang 27
E —ma trận đàn hỏi, phy thuc vào tính chất vật lý của vật liệu Ta có: SUT = 3qt BT (1.24) SeT == gq? DT (1.25) ø® =E.c° (1.26) Thay các đẳng thức (1.24) ; (125) và (1.26) vào (1.207 và biến đồi ta có : Sq? Ko qe = 8qu Re (1.27F trong đó, Kạ — ma trận độ cứng của phần tử e: K,= | P*,E,D dV (1.28) v h : - 4 Ra — véctơ ứng lực nút của phần tử tử e: Re = Py, + Pg; + Pg» + Poo (1.29) Với Br.Ey dV=Ðv, Ve BT Fs, dV = Pg; Š, (1.29) Br ` Fo» ` dv = Đẹp › sĩ DrT,.E.ec°.dVY=Po | Ỷ
Ở đây, P a> Psi Pgs va Peo — lần lượt là các lực quy đồi tương đương với các lực phân bố Fy; Fs); Fe sẽ
31
Trang 28và biến đạng cưỡng bức ban “đầu s„ của phần tử e Cần © chú ý rằng Pg» chính là ứng lực tương tác giữa các
phần tử ¬
—_ Trên mô hình tính, tại một nút ¡ bất kỳ có nhiều phần tử đồng quy (irên mỗi phần tử có thể có các lực phân
bố thề tích, lực phân bố điện tích và biến dạng cưởng
bức ban đầu) thì tông lực P¡ tác dụng lại nút đó sẽ lài
T
Pị = » (Py, + Pg, + Peo) + Pi (1.30) k=]
trong đó, P¡ — giá trị ngoại lực tập trung đặt tại nút i,
dấu Š lấy đối với tất cả các phần tử đồng quy tại nút ¡ - (giả sử gồm r phần tử) Trong công thức này chấp nhận
quy luật biến thiên chuyền vị bên trong phần tử là đúng, các thành phần ứng lực tương tác giữa các phần tử bị triệt tiêu, Biều thức (1.28), (1.29) và (1.30) là ba biểu thức quan trọng dùng để xác định ma trận độ cửng của phần tử và lồng lực tương đương tác dụng tại nút có trên sơ đồ tính I.4.2 Xóáe lập mơ trận Ke Xác lập ma trận K‹ và các véctơ thành phần Py Ps; ,
P¿s có thể được tích phân trực tiếp theo công thức giải tích thông thường khi hàm xấp xỉ quy luật biển thiên
chuyền vị là các đa thức bậc thấp Trong nhiều trường hợp, việc tích phân được thực hiện sau phép ánh xạ
phần tử e trong hệ tọa độ chung xyz lên phần tử đơn
vị e nào đó trong hệ tọa độ riêng š»
Hệ tọa độ chung xyz đùng đề xác định tất cả các tọa
Trang 29+ Te d sẻ sẽ — vứt by a hệ {tọa độ vuông goes" ` Mông một số trường hợp đặc biệt thì đùng hệ tọa độ ức a x Tà co ; y L4 5 Lz2 b) ) 09 6 § GA 3q Hình 1.10, Hệ tọa độ tự nhiên của các phần tử,
Hệ tọa độ riêng €n¢ lưưng xưng với :uỗi một phần tử,
Hệ thống này được sử dụng dưởi hình thức là hệ tọa -
Trang 30“độ tự nhiên Trong trường hợp đó, tọa độ các điềm thuộc
- phần tử cần xét được biều điễn bằng các đại lượng _không thứ nguyên, biến thiên từ 0 đến 1 hay từ —k ˆ đến 1 Trên hình (1 10) là hệ tọa độ lự nhiên của các phần tử thanh phẳng và khối 2 a) Thanh: x( = Š” [q — §) — (1 —2#l#u]ãt ‘L=1 | | 3 ˆẾ) Thánh: x() = Š` —d + tui ‘L=1 ”“ð} Tấm chữ nhật; 4 XŒ, 9) = 3) ~( + 6É) Œ + mua)Ấu; X=x,y 8) Khối hộp chữ nhật ; “XE nt) = V+ Be) + an) + G0) ‘L=1 x ome x,y,z
“e) Khdi iw dién;
Xx X = EX, + aXe + OK; X=x,y
Trang 31
Phương trình biến đồi giữa tọa độ tự nhiên và tọa độ chung trong trường hợp phi tuyến có đạng :
X=X@; š=§X) _ (181
Mối liên hệ giữa đạo hàm bậc nhất trong hệ tọa độ
tự nhiên với tọa độ chung viết theo Jacobien: a 9 OX; h —- =l-c: 2 aX Jij li=—_-: Ej (1.32) 1.32 với ox ty me | ` 8Š BE gE ja] 2 2% 22 7 (1.33) an an an ox ay 3z —— —— ĐC cứ Ó Mối liên hệ lrên là duy nhất nên tương ứng với (1.32) CÓ : , a a 4 ; ——=R.— Ox mE R=] =Trt, (1.34) 1.34)
SỬ dụng các mối liên hệ (1.31), (1 32) và (1.33), công
thức xác định K, va Py,; Pg ; P.s được viết lại như sau:
Trang 32Trong một số trường | hợp, biểu thức (1.31) là hắm
hà xạ luyến tính và đề tích phân được thuận tiện, có
iB dùng thủ thuật sau:
Thay biều thức (1.21) bằng:
U = q.tE, m9 (1.37)
là quy luật giả thiết sự biến thiên chuyển vị bén trong phần tử đơn vị, tương ứng với hệ tọa độ tự nhiên ÉxÈ
của nó Ma trận B được giả thiết lương tự như ma
trận B Giữa B với B và giữa qe (; +) với qe(x, y, z)
có mối liên hệ sau:
B=.B (1.38)
‘ de (Š, ? Ö = Ù qe(Œ%,Y, Z) (1.39)
trong đó, — ma trận của phép biến đồi, luôn có ws = 0 khi # =È Jj
Trang 33
và
Pye =J 97 ( |{[ 8 ve a8-an ae) 9 Ve
Pa at.or.([ (Bra de.dn).4 (1.42)
Po atigt.([[[B.B a8 -an at) 9
Ve
Qua trình tính K¿ đưới đạng 41) sẽ đơn giản đi rất nhiều Đệ chọn B sao cho D chỉ là đơn thức, K¿ được viết lại đưới dạng:
e=1.\jT.lạ j (1.43)
Với :)
1= [[[ Õr- Ba, Bae an dt (1.44)
Ve
Goi D;, Dj 1a cdc hang thr i, hang thir j cha ma tran
DE, 0, ¢) va E@,, là phần tử thứ ij của Eạ, ta có: r 8
k=) Y Bo,;: [[ [BF By ean a (1.45)
: Ve
i=1j=1
Tích phân trong biểu thức (1.45) để đàng thực hiện vì hàm đưới đấu tích phân là đơn (hức và miền lẩy tích
phần là phần tử đơn vịc ,- cac
Bi tính tốn theo các cơng thức (1.35) và (1.36), nếu phần tử đơn vị là hình lập phương với các mặt biên có
tọa độ : 1 Mộ Z ca
Trang 34các tích phân có thề tính bằng số, theo công thức Gauss: 1 1 1 i} Ị J t6 9.9 06 dn ae = 1-1-1 n n a : = > > > H;.H¡ H¿.f(6,nu,E¡) (1.48) - i=1j=1 k=1 trong đó, n — số điềm nút lấy mẫu đối với một biên ; : Hi, Hj va TH‹ — các hệ số ghi ở bảng (1.1)
Bảng 1.1, Giá trị he số H ứng với tọa đọ trong
Trang 3515, PHƯƠNG TRÌNH CỦA TOÀN HỆ
I: 54: Phương trình cơ ban
Nếu giả thiết sé chuyén vị nút của mỗi phần tử là K, tồng số chuyền vị nut của mạng lưới phần tử trong toàn “`
kết cấu là n, thị véctơ chuyên vị nút của phần tử qe là
vềctơ K chiều, cỏn véctơ chuyền vị nút của toàn kết cấu ˆ q làvẻc(ơ n chiều, Các thành phần của véctơ chuyền vị
nút phần tử nằm trcng các thành phần của véctơ chuyển vị nủt toàn kết cấu Trong 1.1.1 đã cho mối liên hệ toán :
học, giữa hai đại lượng này như sau:
q=H.g (1.47)
Trong đó, q — véctơ chuyển vị nút của toàn hệ, qua
đó có (hề biết chuyền vị nút của tất cả các phần tử cớ ”
trong hệ Với hệ kết cấu có m phan tir, vécto nay co dang:
q™= (aida + + + Gal (1.48)
Ma trận biến đồi H, còn gọi, là ma trận định vị của các phần tử, cho biết cách sắp xếp các thành phần của , véc tơ qe trong véctơ q Vì vậy, các phần tử của mã ˆ
trận H sẽ chỉ lấy một trong hai Bia trị 1 va 0, và được ` I xác định như sau: Ú nếu đai #* đj; (1.48) “Luển qei= qj - co trong đó, Hi(e_+) +ijj — biều thị phần tử ở hàng thứ ke ~1)+1, cột thử j của ma trận H; Hey 45>
qei — biéu thi thanh phần thir i của véctơ Ie qi — biều thị thành phần thứ j của vécto q
- Người ta đã:cHứng minh được rằng, ma trận độ cứng ® được xác định thong qua ma trận định vị H và các
Bi,
ae
Trang 36ma lrận độ cứng K¿ của tửng phần tử (mục 1.11) như sau: ÄK=H?.R,.H | (1.50) trong dé, Kg — ma tran tia chéo, có dạng: Ky Ka 0 Kg= ¬ (1.51 ) Km LTP được xác định; P=Hr.R q 52)
sới R— véclơ ứng lực quy đồi tương đương lại nút của ˆ tất cả các phần tử có trong hệ Véctơ R có dang:
RT = [Ry Ra Rul (1.53)
1.5.2 Ty dgng héa xde lép ma tran K và véctơ P
Việc xác lập ma Irận K và véctơ P đưởi dạng (1,59), {1.52) cho khả năng tự động bỏa ở mức độ cao Tuy nhiện, trong thực tế người ta không áp dung cách này Có nhiều tác giả kiến nghị những cách khac nhau [3], [7]
Tất cả các cách này đều nhằm mục đích nâog cao kh} năng tự động hóa, tiết kiệm ô nhớ và giảm thời gian tỉnh
cổa MTDT,
Một trong nhiều cách được dp dung kha rộng rãi là
cách lập ma trận độ cứn,¿ và véctơ tải trọng Ð của toàn
kết cấu theo ma trận chỉ số (Indexmarix) của Ý À Pa tnov [9] Theo cách này dé nhan dang các j bần tử, ngoài việc đánh số các phần tử còn phải tiến hành dành số
các chỉ số chuyển vị nủt của toàn kết cấu Đề minh họa, hãy ‘xét vi dự trên hình (1.11) cho một bài toán phẳng
Véctơ tải trọng núi
Trang 37
của LTĐH Ở đây, sử dụng lưới chia phần tử 2< 2phầm tử, phần tử mẫu là phần tử hữu hạu hình chữ nhật Đánh số các phần tử đùng các chỉ số (1), (2), theo thir:
tự từ đưới lên, từ trái sang phải; đánh số: các chỉ: số chuyển
vị nút dùng các chỉ số 1, 2, theo thử tự từ dưới lên,
từ trái sang phải Khi đánh số các chuyển vị nút cớ
giá trị Pang 0 (tai ete nút có liên kết cứng ngăn cẩn
chuyền vị) chỉ số chuyền vị nút này mang giá trị 8 Trong
bảng (1.2) thề hiện các chỉ số chuyển vị nút của các phần tử trong hệ theo cách đánh số trên Hàng trên cùng của-
bảng này được ngăn cách với hàng khác bằng hai ¡ đường kẻ, thề hiện chỉ số chuyển vị nủt của phần tử mẫu Cột
đầu tiên ngăn cách với các cột khác bằng hai đường kẻ, thể hiện các chỉ số phần tử của các phần tử có trong:
"hệ Kích thước của ma trận này là m hàng (tương ứng
với m phần tử), k cột (tương ứng với k bậc tự do của phần tử mẫu) Trong tướng hợp cụ thể đang xét, kích thước của ma trận chỉ số là 4 x 6, tk 8 7 Oy get Sự Bang:4.2 me? 7| 2‡2|+|2|21r }9 F; lololzl2|sl|e|r L8 2 J2|2]13|4|7|819 12 4 |2|6|y|ag |2 | 12 173 i 7 8 9 | 2| 12| 8 c'|/4
Hioh 1.11 Bài toán phẳng của LTĐH
Trang 38
"Ma trận chỉ số và ma trận! định ; vị H thực chất là
một, đều th hiện cách SẮp xếp các thành phần của:
vécto qe trong véclơ q nhưng khác nhau ở hình thức mô tả thông tin Dùng ma trận chỉ số kích thước m Xk da thay thé ma trận định vịH có kích thuéc nk x< n Tuy nhiên, trong thực tế tính toán, trong các chương trình tự động hóa không cần đưa cả ma trận chỉ số vào trong bộ nhớ của MTĐT Lúc đó, độ giảm ô nhớ chỉ đưa vào ` _MTBT từng hàng và gọi đó là vécto-chi sé của phần tử.”
Điều này sẽ được trình bày ở phần đưới
Việc thiết lập ma trận độ cứng R của toàn kết cấu
theo ma trận chỉ số được thực biện theo công thức sau: `
Ka= Bh " (1.54)
trong ä dé, Ks: — phan tr bàng thứ s, cột thử 1 của ma trận K (chỉ số s, Í được lấy trong ma trận chỉ số, đồ
là giá trị chỉ số chuyển vị nút) “ ‘K, ej phần tử hàng thứ i, cột thứ j của ma trận K
(chỉ số ï, j là chỉ số chuyền vị nút trương ứng với chỉ số 8,1 va lay theo cách đánh số của phần tử mẫu) =
"Theo công thức (Í.54), phần tử K,; (hàng 7, cột 7) - : trong ma trai “K được tính như sau :
Ro = Ky, ot Bass + Rs, + Sea
Tương tự, phần tử Tạ được tính :
1 Rịa =k, + Ky,
Trong qua trình tự động hóa thuật toấn trên, đề xác /
đập ma trậ ân độ cứng Lẻ thường không đưa cả ma trận
Trang 39
IF(JKE EQ 2) GOTO 112
JKE = JKE +1—IKE
DKK(IKE, JKE) = DKK(IKE, JKE) + »DKE(IK, 3K) 119 CONTINUE 121 CONTINUE Cc RETUR N END SUBROUTINE FUTI2 Cree
CTC XEP CAC PHAN TU CUA DKE VAO DKK
Cc NVET: BE RONG BANG CUA MA TRAN K
c NSOVI: CAP CUA MA TRAN | K Case / COMMON/FUTI/MTCS(12), DKE(12; 12), «DKK(192@02), NVET, NSOVI DO 122 1K = 1,12 IKE = MTCS(IK) IF(IKE EQ.) GOTO 132 DO 106 JK=e1,2 0 JKE-= MTCSK) -
IF(JKE EQ.:2) GOTO 1ØØ
LCHAN = NSOVI + 1 - NVET IF(IKE GT LGHAN) GOT0-†Ø8
IDK = (IKE ~ 1)sNVET + (KE + 1— IKE)
GOTO 128
126 IKK = IKE — LCHAN
` IDK = LCHANSNVET + (IKK — 1)yNVET— al KKy (IKK — 1)/2 + JKE +1 —- IKE
128 DKK(IDK) = DKK(IDK) + DKE(IK, JK)
12@ CONTINUE
Trang 40thứ KEI, Bước thử năm là một bước quan trọng,
- thường được thực hiện bằng một chương trình con đưới đạng là một SUBROUTINE
Dwéi day giéi thiéu SUBROUTINE FUTI! — chương - trình con thực hiện việc xếp các phần tử của ma trận
_ DKE (của phần tử thứ KE) vào ma trận DKK của toàn
hệ — là ma trận chữ nhật
Ma trận độ cứng K thuộc loại ma trận thưa, Với mot: cách đánh số các chỉ số chuyền vi nut hợp lý, ma trận
K e6 dang bang va bé rong bang kha hep Cac phan tir của ma trận K ở ngoài phạm vi băng mang giá trị bằng 0 ĐỀ tiết kiệm ô nhớ, chỉ đưa vào MTBT các phần