SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HÀM TRÙNG PHƢƠNG VÀ ĐƢỜNG THẲNG Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c ( với a ≠ 0, a,b, c phụ thuộc tham số) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d (giả sử trục Ox) điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước Phƣơng pháp: Bƣớc 1: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị trục Ox là: ax4 + bx2 + c = (1) Đặt t = x2, (t ≥ 0) Khi ta phương trình at2 + bt + c = (2) Để đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm ( ) dương phân biệt thỏa mãn < t1 < t2 ⇔ { ⇔Giá trị tham số thuộc miền D (*) Nhận xét: Phương trình (2) có hai nghiệm dương (giả sử < t1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ⇔{ ⇔{ Vậy giá trị cần tìm { Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 +2mx2 + m + (Cm) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 < x2 < x3 < < < x4 Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm x4 + 2mx2 + m + = (1) Đặt t = x2, điều kiện t ≥ Phương trình trở thành t2 + 2mt + m + = (2) Giả sử phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn < t1 < t2 phương trình (1) có nghiệm √ √ √ √ Bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt thỏa mãn: t1 < 1< 4< t2 √ [ ⇔{ √ ⇔ √ ⇔{ ( ) { Ta có: ⇔{ ( ⇔{ ( )( )( ) ) ( ( ⇔{ ) ) Thay m từ Định lý Vi-et ta có: { Kết hợp với (*) ta có ⇔{ ⇔ giá trị cần tìm Ví dụ 3: Cho hàm số: y = x4 – (m2 + 10)x2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn|x1|+|x2|+|x3|+|x4| = Giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) Ox là: x4 – (m2 + 10)x2 + = (1) Đặt t =x2 (t ≥ ) Phương trình (1) trở thành: t2 – (m2 + 10)t + = (2) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Để đồ thị (Cm) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn: < t1 < t2 ⇔{ ( ( ) )( ) Vì hàm số cho hàm số chẵn theo giả thiết: |x1|+|x2|+|x3|+|x4| = ⇔ √ ⇔ √ ( ) √ Áp dụng Viet Thay vào phương trình (*) ta được: m2 + 10 = 10 ⇔ m = Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số y = -x4 + 5x2 – (1) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt A, B, C, D cho AB = BC = CD Giải Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số (1) là: -x4 + 5x2 – = m ⇔ x2 – 5x + + m = Đặt t = x2, t ≥ 0, ta phương trình t2 – 5t + + m = (2) Để đồ thị cắt đường thẳng điểm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có nghiệm phân biệt dương thỏa mãn t2 > t1 > ⇔{ ⇔ ( ) Khi điểm tương ứng có tọa độ là: ( √ ) ( √ ) (√ ) (√ √ ⇔ ) với t1; t2 nghiệm phương trình (2) Theo giả thiết AB = BC = CD ⇔ √ √ √ ⇔√ Theo định lý viet ta có: { ⇔{ ⇔ ⇔ thỏa mãn(*) Vậy giá trị cần tìm >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ 5: Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m2 + m + (1) (với m tham số thực) Giả sử đồ thị (1) cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3, x4 Chứng minh rằng: T = x1x2 + x1x3+ x1x4 + x2 x4 + x3 x4 ≤ Giải Phương trình hoành hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) trục Ox là: x4 – 2(m+1)x2 + m2 + m + = Đặt t = x2, t ≥ 0, ta phương trình t2 – 2(m+1)t + m2 + m + = (2) Để đồ thị cắt đường thẳng điểm phân biệt ⇔phương trình (2) có nghiệm phân biệt dương thỏa mãn t2 > t1 > ⇔{ ( ) ⇔ ( ) Gọi t1, t2 hai nghiệm dương phân biệt (2), x2 = t1, x2 = t2 Nhận thấy nghiệm phân biệt đối dấu nên x1 + x2 + x3 + x4 = Mặt khác: (x1 + x2 + x3 + x4 )2 – 2(x1x2 + x1 x3 + x1x4 + x2 x3 + x2x4 + x3x4 ) = =>0 – 2T ≥ =>T ≤ Ví dụ 6: Cho hàm số y = -x4 + 2(m+2)x2 – 2m – (Cm) Định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Giải Phương trình hoành độ giao điểm: -x4 + 2(m+2)x2 – 2m – = (1) Đặt t = x2, t ≥ (1) ⇔ g(t) = -t2 + 2(m + 2)t – 2m – (2) Đồ thị (Cm) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt ⇔ (1) có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 (x1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ta có: x1, x2, x3, x4 lập thành cấp số cộng: ⇔ x2 –x1 = x3 – x2 = x4 – x3 ⇔ √ √ √ √ √ √ ⇔ t2 = 9t1 (c) ( Từ (a) (c), ta có: Thế vào (b), ta được: ( ⇔[ ) ) ( ( ) ) ⇔ (Thỏa mãn (*)) Vây m = giá trị cần tìm Tƣơng tự: Cho hàm số y = (x2 – 1)2 – (m + 1)2 (1 – m)2 (m tham số) Xác định giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ tương ứng lập thành cấp số cộng Giải Phương trình hoành độ giao điểm (x2 – 1)2 – (m + 1)2 (1 – m)2 = ⇔ (x2 – 1)2 = (m2 - 1)2 Đặt t = x2, t ≥ phương trình trở thành ( ) ( ) ⇔ (x2 – 1)2 = (m2 – 1)2 Đặt t = x2, t ≥ phương trình trở thành (t – 1)2 = (m2 – 1)2 ⇔ [ ⇔[ Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt ⇔ { Khi giao điểm có hoành độ theo thứ tự phương trình theo t trên) Để chúng lập thành cấp số cộng ta phải có: √ | | √ √ √ √ ⇔ √ √ ( nghiệm Vậy m2 = 9(2 – m2) – m2 = 9m2 Từ nhận kết √ √ (nhận) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!