Ứng dụng của tích phân

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 09 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ [ĐVH]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: ln x , y = 0, x = , x = e a) y = x − x − 6, y = 0, x = −2, x = b) y = x e Lời giải: a) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường cho Ta có: S = ∫ x − x − dx = −2 − 10 ∫ −2 − 10 ∫ x − x − dx + x − x − dx − 10 x  2− 10  x3  = ∫ ( x − x − )dx − ∫ ( x − x − )dx =  − x −  −  − x2 − x    −2   −2 − 10 Vậy S = 10 10 − ( dvtt ) b) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường cho 4 ( e Ta có: S = ∫ e − 10 ) ln x ln x ln x − ln x ln xdx ln x dx = ∫ dx + ∫ dx = ∫ dx + ∫ =− x x x x x 1 1 e e Vậy S = ( dvdt ) e e 1 e + ln x e =1 Ví dụ [ĐVH]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: + ln x ln x a) y = , y = 0, x = 1, x = e b) y = , y = 0, x = e, x = x x Lời giải: a) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường cho e Ta có: S = ∫ ( + ln x + ln x dx = ∫ dx = ∫ + ln xd (1 + ln x ) = x x 1 e e (1 + ln x ) e = ( ) e S = e −∫ ) ) 2 − ( dvdt ) b) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường cho e e e e e ln x ln x Ta có: S = ∫ dx = ∫ dx = ∫ 2ln xd x = x ln x − ∫ xd ln x x x 1 Vậy S = ( 2 −1 dx = e −2 x x ( ) e = 2− e Vậy S = − e ( dvdt ) Ví dụ [ĐVH]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = ln x, y = 0, x = , x = e b) y = x3 , y = 0, x = −2, x = e Lời giải: a) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường cho Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG e e e e 1 Facebook: LyHung95 e Ta có: S = ∫ ln x dx = − ∫ ln xdx + ∫ ln x = − ( x ln x − x ) + ( x − x ln x ) = − e e ( ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x ) ( dvdt ) e b) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường cho 1 x x 17 Ta có: S = ∫ x dx = ∫ − x3 dx + ∫ x = − + = −2 4 −2 −2 Vậy S = − Vậy S = 17 ( dvdt ) Ví dụ [ĐVH]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: x 1 a) y = , y = 0, x = 0, x = b) y = lg x , y = 0, x = , x = 10 10 1− x Lời giải: a) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường cho Ta có: S = ∫ x dx = xdx ∫ = d ( x2 ) ∫2 Đặt x = sin t ⇒ d ( x ) = cos tdt 1− x 1− x 1− x 0 π π x=0⇒t =0 4 cos tdt dt π Đổi cận: =∫ = π Khi đó: I = ∫ x= ⇒t = − sin t 4 4 π ( dvdt ) b) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường cho Vậy S = 10 Ta có: S = ∫ 10 10 log x dx = − ∫ log xdx + ∫ log xdx 10 Mặt khác: ∫ log xdx = ( ) 1 ln xdx = x ln x − ∫ dx = ( x ln x − x ) ∫ ln10 ln10 ln10 1 Do đó: S = − ( x ln x − x ) ln10 Vậy S = 10 + ( x ln x − x ) ln10 10 =  99 81   ln10 −  ln10  10 10  99 81 − ( dvdt ) 10 10 ln10 Ví dụ [ĐVH]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: −3 x − a) y = , y = 0, x = b) y = e x , y = 2, x = x −1 Lời giải −3 x − a) y = , y = 0, x = x −1 −3 x − −3 x − 1 Hoành độ giao điểm y = y = nghiệm phương trình =0⇔ x=− x −1 x −1 0 −3 x − 3x + Diện tích cần tính S = ∫ − dx = ∫ dx x −1 1 x −1 − − Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 −3 x −   Rõ ràng khoảng  − ;  phương trình = vô nghiệm ⇒ S = x −1   3x + dx = Ta có ∫ x −1 − ⇒ S = − ln ∫ − ( x − 1) + x −1 dx =   ∫1  + x −  dx = ( 3x + ln x − ) − − 3x + dx x −1 ∫ − = − ln 4 = ln − (đvdt) 3 Đ/s: S = ln − (đvdt) b) y = e x , y = 2, x = Hoành độ giao điểm y = e x y = nghiệm phương trình e x = ⇔ x = ln Diện tích cần tính S = ∫ e x − dx ln Ta có e − = ⇔ e = ⇔ x = ln ⇒ khoảng ( ln 2;1) phương trình e x − = vô nghiệm x x ⇒S = ∫ (e x − ) dx = ( e − x ) x ln = ( e − ) − ( − ln ) = e − + ln (đvdt) ln Đ/s: S = e − + ln (đvdt) Ví dụ [ĐVH]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: x2 −x a) y = −2 x , y = e , x = b) y = ,y= e + x2 Lời giải a) Hoành độ giao điểm y = −2 x y = e − x nghiệm phương trình e = e − x ⇔ e − x e −2 x = ⇔ e −3 x = ⇔ −3 x = ⇔ x = −2 x e 1 Diện tích cần tính S = ∫ −2 x − e − x dx e 1 Theo −2 x − e − x = ⇔ x = ⇒ khoảng ( 0;1) phương trình −2 x − e− x = vô nghiệm e e 1 1 1   1  ⇒ S = ∫  −2 x − e − x  dx = ∫ ( e x − e − x ) dx =  e2 x + e − x  = e2 + − = e2 + − (đvdt) e e 2 e  2 0 0 1 Đ/s: S = e2 + − (đvdt) e x2 b) Hoành độ giao điểm y = y = nghiệm phương trình + x2 x2 = ⇔ x + x = ⇔ ( x − 1)( x + ) = ⇔ x = ⇔ x = ±1 + x2 1 x2 Diện tích cần tính S = ∫ − dx + x2 −1 Theo x2 x2 − = ⇔ x = ± ⇒ kho ả ng − 1;1 ph ươ ng trình − = vô nghiệm ( ) + x2 + x2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG   x2  x3  dx x ⇒S = ∫ − = arctan −    + x2  6  −1  π Đ/s: S = − (đvdt) 1 −1 Facebook: LyHung95 π 1  π 1 π π =  −  −  − +  = − = − (đvdt)  6  6 3 Ví dụ [ĐVH]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x − x , y = − x + x b) y = x + + , y = x Lời giải a) Hoành độ giao điểm y = x − x y = − x + x nghiệm phương trình x = x2 − x = − x2 + x ⇔ x2 = x ⇔  x = 3 Diện tích cần tính S = ∫ ( x − x ) − ( − x + x ) dx = ∫ x ( x − 3) dx 2 0 Rõ ràng khoảng ( 0;3) phương trình x ( x − 3) = vô nghiệm 3 2  ⇒ S = ∫ x ( x − 3) dx =  x3 − x  = (18 − 27 ) − = (đvdt) 3 0 Đ/s: S = (đvdt) b) Hoành độ giao điểm y = x + + y = nghiệm phương trình x x ≠  x = −1 ⇔ x + 3+ = ⇔  x  x = −2  x + 3x + = −1 −1 2 Diện tích cần tính S = ∫ x + + − dx = ∫ x + + dx x x −2 −2  x = −1 2 Theo x + + = ⇔  ⇒ khoảng ( −2; −1) phương trình x + + = vô nghiệm x x  x = −2 −1  x2  −1  2   ⇒ S = ∫  x + +  dx =  + x + ln x  =  −  − ( − + ln ) = − ln (đvdt) x   −2   −2  Đ/s: S = − ln (đvdt) Ví dụ [ĐVH]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x + 2, y = − x b) y = x + x , y = x + Lời giải a) Hoành độ giao điểm y = x + 2, y = − x nghiệm phương trình x = x2 + = − x ⇔ x2 + x − = ⇔   x = −2 Diện tích cần tính S = ∫ (x −2 + ) − ( − x ) dx = ∫x + x − dx −2 x = ⇒ khoảng ( −2;1) phương trình x + x − = vô nghiệm Ta có x + x − = ⇔   x = −2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG  x3 x  ⇒ S = ∫ ( x + x − ) dx =  + − x    −2 1 =− Đ/s: S = −2 Facebook: LyHung95 9 = (đvdt) 2 (đvdt) b) Hoành độ giao điểm y = x + x , y = x + nghiệm phương trình x = x2 + x = x + ⇔ x2 + x − ⇔   x = −2 Diện tích cần tính S = ∫ −2 ( x + x ) − ( x + ) dx = ∫x + x − dx −2 x = Ta có x + x − = ⇔  ⇒ khoảng ( −2;1) phương trình x + x − = vô nghiệm  x = −2  x3 x 1 9 ⇒ S = ∫ ( x + x − ) dx =  + − x  = − = (đvdt) 2   −2 −2 Đ/s: S = (đvdt) Ví dụ [ĐVH]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: 1 a) y = x , y = − x + b) y = − x , y = x − x Lời giải x , y = − x + nghiệm phương trình 2 x = − x + ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = ±2 4 2   Diện tích cần tính S = ∫ x −  − x +  dx = ∫ ( x − ) dx 4   −2 −2 3 Ta có ( x − ) = ⇔ x = ±2 ⇒ khoảng ( −2; ) phương trình ( x − ) = vô nghiệm 4 2 x  ⇒ S = ∫ ( x − ) dx =  − x  = −8 = (đvdt)   −2 −2 a) Hoành độ giao điểm y = Đ/s: S = (đvdt) b) Hoành độ giao điểm y = − x , y = x − x nghiệm phương trình  x = −1 − x2 = x2 − x ⇔ 2x2 − 2x − = ⇔  x = 2 Diện tích cần tính S = ∫ −1 ( x − x ) − ( − x ) dx = ∫ 2x − x − dx −1  x = −1 Ta có x − x − = ⇔  ⇒ khoảng ( −1; ) phương trình x − x − = vô nghiệm x = 2  x3 2 2 ⇒ S = ∫ ( x − x − ) dx =  − x − x  = −9 = (đvdt)   −1 −1 Đ/s: S = (đvdt) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!