Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 09 Lượng giác BÀI CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Công thức lượng giác, phương trình lượng giác thuộc khóa học Luyện thi Quốc Gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Công thức lượng giác, phương trình lượng giác Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Giải phương trình: 4sin x cos x cos3 x sin x 3cos4 x Giải: sin x 3cos4 x cos x π x x π k cos π π π k 24 sin x π 4x π ;k cos4 x 2 π k 2π , k Z Z Bài 2: Giải phương trình: 4sin x 3sin x Giải: 3cos3 x 3cos3 x (3sin x 4sin x) 3cos3 x sin x cos x π cos π 3 1 cos3 x sin x 2 π π 3x k 2π ; k Z π 2π k 18 ; k Z π 2π x k Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm, giải phương trình trường hợp 2m(cos x sin x) 2m cos x sin x Giải: PT (2m 1) sin x (2m 1) cos x 2m 2 x Để phương trình cho có nghiệm, ta phải có: (2m 1) (4m 1) (4m 1)2 m Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt (2m 1) 2m 2 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán Thầy Lê Bá Trần Phương + TH1: m sin x 1 + TH2: m π x cosx k 2π ; k x π 2sin x cos x PT 2sin x sin x Z k 2π ; k Bài 4: Giải phương trình: 2sin x cot x Giải: Điều kiện: sin x Chuyên đề 09 Lượng giác Z 2sin x 4sin x cos x sin x 4sin x cos x cos x sin x(2sin x 1) cos x(4sin x 1) cos x(2sin x 1)(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x cos x 2sin x cos x) (1) sin x cos x 2sin x cos x sin x (2) π k 2π π Giải (1) sin x sin ;k 5π x k 2π Giải (2) sin x cos x 2sin x cos x x Đặt sin x cos x t , t t2 t Ta có phương trình: t sin x cos x α Vậy x 2cos x π k 2π , k 2sin x cos x 2; 2 t t Z 2; 2 π cos x π cosα (cosα ) 2 Z Bài 5: Giải phương trình: (sin x cos x)3 2(sin x 1) sin x cos x Giải: (sin x cos x)3 PT 2(sin x cos x) sin x cos x Đặt: sin x cos x t , Phương trình sin x cos x x π π t3 t 2t t k 2π x π 2)(t 1) t 2 π sin x (t sin x k 2π ; k π Z Bài 6: Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 09 Lượng giác Giải: cos x cos x 2 Phương trình (1) tương đương với: cos x cos8 x 2 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 2cos5x(cos3x+cosx) = 4cos5x.cos2x.cosx = π kπ π kπ 2x π x kπ 5x cos x cos x cos x x x x π kπ 10 π lπ , (k , l , n π nπ ) Bài 7: Giải phương trình: cos6x+sin6x = ( cos8x+sin8x) (1) Giải: Ta có (1) cos6x(2cos2x 1) = sin6x(1 2sin2x) cos2x(sin6x–cos6x) = cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = cos2x = 2x π kπ x π kπ , (k ) Bài 8: Giải phương trình: cos6 x 2 sin x sin x cos x (1) Giải (1) Ta có: 2 cos3 x(4 cos3 x 3cos x) 2 sin x sin x cos x.2 cos x cos x 2sin x.2sin x sin x3 x (1 cos x)(cos x cos x) (1 cos x)(cos x cos x) 2(cos x cos x cos x) cos x(1 cos x) 2 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán Thầy Lê Bá Trần Phương cos x.cos 2 x cos x 2 Chuyên đề 09 Lượng giác x π kπ , (k ) Bài Giải phương trình lượng giác: sin x cos8 x 17 32 (1) Giải Ta có (1) cos x cos x 17 32 (cos x Đặt cos22x = t, với t [0; 1], ta có t Vì t [0;1], nên t 2 cos 2 x 6t 17 cos x cos4x = 4x π 17 32 cos 2 x 1) t2 6t 13 t 13 t π x kπ k π , (k ) Bài 10 Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = (1) Giải Ta có (1) 2(1 cos2x)sinx + – cos2x + cosx – = (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = cos x x k 2π , (k ) 2sin x cos x 2sin x cos x (*) Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2t + t2 – + = t t t2 + 2t = 0 (lo ¹i) Vậy nghiệm phương trình cho là: x Bài 11 Giải phương trình: π |sin x| , phương trình (*) trở thành: sin x π nπ ; x - cos x k 2π , ( n, k π x nπ , (n ) ) cos x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 09 Lượng giác Giải Điều kiện: x ≥ Do | sin x | 0, nên π |sin Do (6) x| | sin x | | cos x | π0 , mà |cosx| ≤ x x kπ , (k ) nπ , (n ) x x k 2π nπ k 2π n x nπ k x n 0 Z) Vậy phương trình có nghiệm x = (Vì k, n x2 Bài 12: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: cos x Giải Đặt f ( x)= cos x x2 Dễ thấy f(x) = f( x), x , f(x) hàm số chẵn trước hết ta xét với x ≥ Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, đồng biến với x≥0 x≥0 f’(x) hàm đồng biến, f’(x)≥f’(0), với x≥0 f(x) Mặt khác ta thấy f(0)=0, x=0 nghiệm phương trình Bài 13: (ĐH Bách Khoa) Với n số tự nhiên lớn 2, tìm x thuộc khoảng 0; phương trình: sin n x cos n x 2 n π thoả mãn Giải Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x) Lập bảng biến thiên f(x) khoảng 0; Vậy x = π π , ta có minf(x) = f =2 n π nghiệm phương trình cho Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | -