Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph T S ng) Hàm s NG GIAO C A HÀM PHÂN TH C ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng S t ng giao c a hàm phân th c thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Các đ c tô màu đ t p m c đ nâng cao 2 x Bài Cho hàm s : y G i d đ ng th ng qua A (1; 1) có h s góc k Tìm k cho d x 1 c t (C) t i m M, N mà MN 10 Gi i – ng th ng d có ph ng trình: y = k(x – 1) + d c t (C) t i m phân bi t M, N ph ng trình: 2 x k( x 1) kx2 (2k 3) x k (*) ph i có nghi m phân bi t x x 1 k k 24k k (1) k k.12 (2k 3).1 k - G i M(x1, y1), N(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) Khi đó: MN 10 MN 90 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 90 x1 x2 k( x1 1) (k( x2 1) 1 90 2 x1 x2 k x1 x2 90 2 2 (1 k ) x1 x2 90 (1 k ) x1 x2 x1 x2 90 2k k3 ; x1 x2 (x1, x2 nghi m c a (*) nên theo Viet ta có: x1 x2 ) k k 2k k (1 k ) 4 90 k k 8k 27k 8k (k 3)(8k 3k 1) k 3 (Th a mãn (1)) k 3 41 16 k 3 áp s : k 3 41 16 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph Bài Cho hàm s : y x 1 (C) Tìm m đ đ x 1 ng) Hàm s ng th ng (d): y = 2x + m c t (C) t i m phân bi t A, B cho AB ng n nh t Gi i – (d) c t (C) t i m phân bi t A, B ph ng trình: x 1 x m x2 (m 3) x m (*) ph i có nghi m phân bi t khác x 1 m m 2m 17 m 2.1 ( 3).1 m m - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) Ta có: AB x1 x2 ( y1 y2 ) x1 x2 x1 m (2 x2 m) 2 5( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 m m 4 5 (m 2m 17) m 1 16 20 4 => AB ng n nh t (d u = x y ra) m = -1 áp s : m = -1 x3 (1) Tìm k đ đ ng th ng (d) qua m I(-1; 1) v i h s góc k c t đ th Bài Cho hàm s : y x 1 hàm s (1) t i m A, B cho I trung m AB Gi i – (d) có ph ng trình: y = k(x + 1) + (d) c t đ th (1) t i m phân bi t A, B ph ng trình: x3 k( x 1) ph i có ngi m phân bi t khác -1 x 1 kx2 + 2kx + k + = có nghi m phân bi t khác -1 k ' 4 k k k (1) k (1) 2k ( 1) k - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) x1 x2 1 I trung m AB ta ph i có: y1 y2 x1 x2 2 x x 2 x1 x2 2 k x1 x2 2k 2k 2k k( x1 1) k( x2 1) x1 x2 2 -2 = -2 (Luôn đúng) V y v i k < d c t đ th hàm s (1) t i m A, B I trung m Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s 2x 1 (C) G i I giao m đ ng ti m c n c a (C) CMR: V i m i m, đ ng x3 th ng : y x m c t (C) t i m phân bi t A, B tam giác AIB cân t i I Tìm m đ AB2 = Bài Cho hàm s : y 3.IA2 Gi i – I(-3; 2) 2x 1 x m; x 3 x3 x2 + (5 - m)x - - 3m = (*) - Xét ph ng trình: m2 2m 29 m m Ta có: m m ( 3) 3(5 ) Ch ng t v i m i m (*) có nghi m phân bi t khác -3 T c v i m i m : y x m c t (C) t i m phân bi t A, B M t khác: G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) x x m m ; yE xE m Và g i E trung m c a AB => E(xE, yE) v i xE 2 m m ; Ta có: IE.U d (1;1) IE AB AIB cân t i I +) AB2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x1 x2 )2 x1 m ( x2 m) 2( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 x1 x2 m2 2m 29 1 IA2 IE EA2 (m 1)2 (m2 2m 29) ( Do EA AB) 2 AB2 3.IA2 m2 2m 13 m 1 14 2 x Bài Cho hàm s : y (C) Tìm m đ đ ng th ng d: y = mx + c t (C) t i m phân bi t A, x 1 B cho G (1; ) tr ng tâm tam giác AOB (O g c t a đ ) Gi i d c t (C) t i m phân bi t A, B ph ng trình: 2 x mx ph i có hai ngi m phân bi t x x 1 mx2 – (m – 4)x – = (*) ph i có nghi m phân bi t x m m m2 12m 16 m 6 5, m 6 1 m.1 (m 4).1 m 6 6 m m (1) - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) Khi G (1; ) tr ng tâm tam giác AOB Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s x1 x2 x1 x2 3 1 x1 x2 3 mx1 mx2 m x1 x2 y y 3 3 3 m 3 4m m m (Th a mãn (1)) 3m 3m áp s : m = x Bài Cho hàm s : y (C) Tìm k đ đ ng th n d qua M(-1; -1) v i h s góc k c t (C) t i 2x 1 m phân bi t A, B cho A B n m v phía khác c a tr c hoành Gi i - Ph ng trình c a d là: y = k(x + 1) – d c t (C) t i m phân bi t A, B ph ng trình: x k( x 1) ph i có nghi m phân bi t x 2x 1 2kx2 + (3k - 3)x + k – = (*) ph i có nghi m phân bi t x 2k k0 k (m 3) k 3 (1) k 3 2k (3k 3) k - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) A, B n m v phía c a Ox ta ph i có: y1.y2 < (kx1 + k – 1)(kx2 + k – 1) < k2.x1x2 + k2(x1 + x2) – k(x1 + x2) + k2 – 2k + < k 3k 3k k2 k k k 2k 2k 2k 2k -k – < k > -1 áp s : 1 k k 2x 1 (C) Bài Cho hàm s : y x 1 G i I giao m hai đ ng ti m c n c a (C) Tìm m đ đ phân bi t A, B cho SAIB ng th ng d: y = -x + m c t (C) t i m Gi i +) I(1; 2) +) d c t (C) t i m phân bi t A, B ph ng trình: 2x 1 x m ph i có nghi m phân bi t x x 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s x2 (1 m) x m (*) ph i có nghi m phân bi t x m2 6m m 1; m m m (1) m m (1 ).1 - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) Ta có: AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( x1 x2 ) x1 m ( x2 m) 2 2( x1 x2 )2 x1 x2 x1 x2 m2 6m 5 3 m d(I,AB) = d(I,d) = SAIB 5 AB.d ( I , AB) 2 3 m m2 6m 5 2 m2 6m 5 (3 m)2 10 (m 3)2 4 (m 3)2 t: (m – 3)2 = t; t t 4t t (m 3) m m (Th a mãn (1)) áp s : m 2x 1 (C) x 1 G i I giao m đ ng ti m c n c a (C) Tìm m đ đ ng th ng d: y = -x + m c t (C) t i m phân bi t A, B cho tam giác AIB đ u Gi i - I(1, 2) d c t (C) t i m phân bi t A, B ph ng trình: 2x 1 x m ph i có ngi m phân bi t x x 1 x2 + (1 – m)x + m – = (*) ph i có nghi m phân bi t x Bài Cho hàm s : y m 1; m m 6m m m (1) 1 (1 m).1 m 1 - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) g i H trung m AB IA IB IA2 IB2 => Tam giác AIB đ u 2 IH AB IH AB ( x1 x2 ) x1 x2 (m 1) x1 x2 m m 32 2 ( x1 x2 ) m 3 ( x1 x2 ) x1 x2 m m m (Th a mãn (1)) m 6m áp s : m Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s IH AB * Có th gi i: Tam giác AIB đ u IH AB BÀI T P THAM KH O THÊM 3x Ch ng minh r ng v i m i m đ ng th ng d m : y x m c t đ th 2x 1 (C) t i hai m phân bi t A B thu c hai nhánh khác Tìm m đ đo n th ng AB có đ dài nh nh t Gi i: 3x Xét ph ng tình hoành đ giao m c a d m (C ) : x m 2x 1 1 f ( x) x2 2(m 2) x m (1) x 2 y Bài Cho hàm s 1 Ta có: ' m2 2m 0, m f 0, m nên ph ng trình (1) có hai nghi m phân 2 bi t khác v i m i m V y h đ ng th ng dm c t đ th (C) t i m phân bi t A B Gi s A x1; y1 , B x2 ; y2 ta có x1 , x2 nghi m c a ph ng trình (1), theo đ nh lí Viet, ta có: m (2 x1 1)(2 x2 1) x1 x2 2( x1 x2 ) 2(m 2) 5 x2 nên hai m A B thu c hai nhánh c a đ th và: y1 x1 m; y2 x2 m x1 AB2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( x2 x1 ) ( x2 x1 ) m 2( x2 x1 )2 ( x1 x2 )2 x1 x2 (m 2)2 2(m 1) 10 10 Suy AB 10 V y AB 10 m 2x 1 , tìm m đ đ ng th ng d: y x m c t đ th (C) t i hai m phân bi t A x B cho OA vuông góc v i OB (v i O g c t a đ ) Gi i: Xét ph ng trình hoành đ giao m c a d (C): Bài Cho hàm s y x 2 2x 1 x m x x (4 m) x 2m (1) t g ( x) x2 (4 m) x 2m m2 12 m Ta có: nên ph ng trình (1) có nghi m phân bi t th a mãn x 2 Suy d g (2) 0, m (C) c t t i m phân bi t A B G i A( xA; xA m), B( xB; xB m) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s Do OA OB nên OAOB 2xA.xB m( xA xB ) m2 (*) xA; xB nghi m c a ph ng trình (1) nên có: xA xB m 4; xAxB 2m Thay vào (*) ta đ c: 2(1-2m)-m(m-4)+m2 =0 ph ng trình vô nghi m V y không t n t i m th a mãn đ u 2x 1 (C) Bài Cho hàm s : y x 1 G i I giao m hai đ ng ti m c n c a (C) Tìm m đ đ ng th ng d: y = -x + m c t (C) t i m phân bi t A, B cho SAIB Gi i: +) I(1; 2) +) d c t (C) t i m phân bi t A, B ph ng trình: 2x 1 x m ph i có nghi m phân bi t x x 1 x2 (1 m) x m (*) ph i có nghi m phân bi t x m2 6m m 1; m m m (1) 1 (1 m).1 m 1 - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) Ta có: AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( x1 x2 ) x1 m ( x2 m) 2( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 m2 6m 5 d(I,AB) = d(I,d) = SAIB 3 m 5 AB.d ( I , AB) 2 3 m m2 6m 5 2 m2 6m 5 (3 m)2 10 (m 3)2 4 (m 3)2 t: (m – 3)2 = t; t t 4t t (m 3) m m (Th a mãn (1)) áp s : m Bài Cho hàm s y x3 1 x3 x3 C Tìm (C) hai m A,B thu c hai nhánh khác cho AB ng n nh t Gi i: G i A thu c nhánh trái xA v i s , đ t xA yA -T 6 1 1 xA 1 ng t B thu c nhánh ph i xB v i s >0 , đ t : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph xB ; yB 6 1 1 xB 3 3 ng) Hàm s 2 V y: AB xB xA yB yA 2 g ( ; ) 1 1 2 2 6 6 2 2 2 1 2 2 1 36 2 148 4.148 37 g ( ; ) 2 2 1 36 AB 37 - D u đ ng th c x y : ; 37 148 37 c hai m : A ;1 ; B ;1 37 37 37 37 x Bài Cho hàm s y 1 C Tìm (C) nh ng m M cho kho ng cách t M đ n x 1 x 1 tr c Ox b ng ba l n kho ng cách t M đ n tr c Oy Gi i: Theo gi thi t ta có : - Do ta tìm đ x vô n 3x 3 2 y x x x x 1 2 10 2 10 x y 3x x 3 x 3 x x x 3 x V y (C) có hai m M có hoành đ : x Bài 6: Cho hàm s : y 2 10 2 10 x , th a mãn yêu c u toán 3 x 1 (C) Tìm m đ (C) c t đ 2x 1 ng th ng (dm): y = mx + 2m – t i m phân bi t A, B th a mãn u ki n OA.OB Gi i: Xét ph ng trình hoành đ giao m: x 1 mx 2m f ( x) mx2 (5m 1) x 2m v i x 2x 1 (C) c t (dm) t i m phân bi t A, B f(x) = có nghi m phân bi t khác Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s m m (*) Gi s A(x1; mx1 + 2m – 1); B(x2 ; mx2 + 2m -1) 17m2 2m m 1 f m 5m x1 x2 m ; OA OB OA OB Theo Viet ta có: x x 2m 2 m x1 x2 (mx1 2m 1)(mx2 2m 1) 0 (m2 1) x1 x2 m(2m 1)( x1 x2 ) (2m 1) 0 (m2 1)(2m 2) m(2m 1)(5m 1) m(2m 1) 4m3 m2 2m 0 3 3 (2m 1) (m ) m m 4 3 áp s : m ; 2 Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | -