Bình phương của một số hữu tỷ

BèNH PHNG CA MT S HU T Bi 1: Cho cỏc s hu t p, q, r tho món pq + qr + rp = 1. Chng minh (1 + p 2 )(1 + q 2 )(1 +r 2 ) l bỡnh phng mt s hu t. HD: 1+p 2 = (p+q)(p+r) . Bi 2 (HSG Liờn xụ 1988,TS chuyờn Thỏi Nguyờn 1997):: Cho cỏc s hu t x, y tho món: x 5 + y 5 = 2x 2 y 2 . Chng minh 1 xy l bỡnh phng ca mt s hu t. Hớng dẫn giải: *Với x = 0 hoặc y = 0 ta có 1 xy = 1 2 (đpcm) * Với x 0, y 0, x,y Q ta có các cách sau: Cách 1: Bình phơng hai vế đẳng thức (1) ta đc: 44551010 42 yxyxyx =++ )1(4)( 442 44255 5544551010 xyyxyx yxyxyxyx = =+ 2 22 55 2 1 = yx yx xy (đpcm) Cách 2: Bình phơng hai lần (1) 44551010 42 yxyxyx =++ )1()4()( )1(162 416162 )44(42 )2(2 24421010 8810102020 1010998810102020 228810102020 441010 xyyxyx xyyxyxyx yxyxyxyxyx yxxyyxyxyx xyyxyx = =+ +=++ +=++ =+ 2 44 1010 2 1 = yx yx xy (đpcm) Cách 3: Chia cả hai vế của (1) cho x 4 ta đợc 2 2 4 5 4 5 2 x y x y x x =+ 2 2 4 5 2 x y x y x =+ 2 3 4 6 2 x y x y xy =+ (Nhân cả hai vế với y) xy x y x y =+ 112 2 3 4 6 xy x y = 11 2 2 3 (đpcm) Cách 4: (1) 2 22 5 22 5 =+ yx y yx x 2 2 3 2 3 =+ x y y x (2) mặt khác ta lại có xy x y y x = 2 3 2 3 (3) Từ (2) và (3) ta có 2 3 2 3 & x y y x là nghiệm của phơng trình: X 2 2X + xy = 0 = 1 - xy là bình phơng của một số hữu tỷ Cách 5: (1) 2 2 3 2 3 =+ x y y x 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 4 6 4 6 4 6 4 6 2 1 )1(4 442 42 = = =+ =++ x y y x xy xy x y y x xyxy x y y x xy x y y x Cách 6: Đặt x = ky thay vào (1) và biến đổi đồng nhất đpcm. Bi 3 (TS chuyờn Thỏi Nguyờn 2007): Cho các số hữu tỷ dơng x và y thỏa mãn: x 3 + y 3 = 2x 2 y 2 , chứng minh: xy 1 1 − còng lµ sè h÷u tû. Chứng minh :(gt) ⇔ 3 3 6 3 3 6 3 3 3 2 4 2 ( ) x y x x y y xy xy x y xy + + + = ⇒ = ⇒ 3 3 6 3 3 6 1 4 2 x y xy x x y y = + + ⇒ 6 3 3 6 3 3 2 6 3 3 6 3 3 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) x x y y x y xy x x y y x y − + − − = = + + + ⇒ 3 3 3 3 1 | | 1 x y Q xy x y − − = ∈ + vì x, y ∈ Q + . . ta có 2 3 2 3 & x y y x là nghiệm của phơng trình: X 2 2X + xy = 0 = 1 - xy là bình phơng của một số hữu tỷ Cách 5: (1) 2 2 3 2 3 =+ x y y x 2 2. và biến đổi đồng nhất đpcm. Bi 3 (TS chuyờn Thỏi Nguyờn 2007): Cho các số hữu tỷ dơng x và y thỏa mãn: x 3 + y 3 = 2x 2 y 2 , chứng minh: xy 1 1 − còng