Toán tập lồi

Chương Cơ giả tích lồi 1.1 Tập lồi Các kí hiệu: - Một vectơ α hiểu vectơ cột T - Chuyển vị vectơ α vectơ hàng α T - Tích vô hướng hai vectơ a, b a, b , a b n - Tập số thực R Định nghĩa 1.1.1 Đường thẳng qua hai điểm a, b không gian Euclid Rn n x ∈ R có dạng: có tập hợp tất điểm x = λ a + (1 − λ )b, λ ∈ R Định nghĩa 1.1.2 Đoạn thẳng qua hai điểm a, b không gian Euclid R n x ∈ R có dạng: x = λ a + (1 − λ ) b , ≤ λ ≤ Định nghĩa 1.1.3 có tập hợp tất điểm n Tập M ⊂ R gọi đa tạp affin với điểm gọi đường thẳng qua chúng thuộc M, tức là: n λ x + (1 − λ ) y ∈ M , ∀x, y ∈ M , λ ∈ R x, y ∈ M Mỗi đa tạp affin có không gian L song song với tức là: L = M + a, a ∈ R n Thứ nguyên M thứ nguyên L Định nghĩa 1.1.4 Siêu phẳng Rn tập:  x = ( x1, x2 , , xn ) | x1a + x2 a + + xn a = α ,    i a ∈ R, ∀i = 1, n, α ∈ R   n Ví dụ: siêu phẳng không gian chiều đường thẳng, siêu phẳng không gian chiều mặt phẳng Bài tập: Siêu phẳng có phải đa tạp? Cho siêu phẳng Q, ta có: ∀x, y ∈ Q, λ ∈ R : λ x + (1 − λ ) y = ( λ x1 + y1 − λ y1 , , λ xn + yn − λ yn ) ⇒ a1 ( λ x1 + y1 − λ y1 ) + + a n ( λ xn + yn − λ yn ) = λ ( x1a1 + + xn a n ) − λ ( y1a1 + + yn a n ) + ( y1a1 + + yn a n ) = λα − λα + α = α ⇒ λ x + (1 − λ ) y ∈ Q Vậy Q đa tạp Định nghĩa 1.1.5 Nửa không gian đóng Rn tập:  x = ( x1, x2 , , xn ) | x1a1 + x2 a + + xn a n ≤ α ,    i a ∈ R, ∀i = 1, n, α ∈ R   n Nửa không gian mở R tập:  x = ( x1, x2 , , xn ) | x1a + x2 a + + xn a < α ,    i a ∈ R, ∀i = 1, n, α ∈ R   n Đây không gian xác định siêu phẳng: x1a + x2 a + + xn a = α n Hai không gian đóng, mở nằm bên siêu phẳng: x1a + x2 a + + xn a ≥ α n x1a + x2 a + + xn a < α n Định nghĩa 1.1.6 ( tập lồi) Tập D ⊂ R n gọi tập lồi ∀x, y ∈ D, λ ∈ λ x + (1 − λ ) y ∈ D Định nghĩa 1.1.7 (nón lồi) Tập D ⊂ R n gọi tập lồi ∀x, y ∈ D, x + y ∈ D, tx ∈ D, t ≥ Ví dụ 1.1.2 Rn nón lồi [ 0,1] Bài tập: Nón lồi tập lồi? Cho D nón lồi: ∀x, y ∈ D, λ ∈ [ 0,1] : λ x ∈ D ⇒ ( − λ ) y ∈ D ⇒ λ x + ( 1− λ ) y ∈ D Vậy D tập lồi Định nghĩa 1.1.8 ( Bao lồi ) Bao lồi A tập lồi nhỏ chứa A, kí hiệu coA Ví dụ 1.1.3 A = { x, y} → coA = { λ x + (1 − λ ) y | ≤ λ ≤ 1} Định nghĩa 1.1.9 ( Tổ hợp lồi hai tập ) n R , Cho A, B ⊂ R , tổ hợp lồi chúng tập điểm thuộc n có dạng x = λ a + (1 − λ )b; a ∈ A, b ∈ B, ≤ λ ≤ Bài tập: Tổ hợp lồi tập lồi? Tổ hợp lồi không tập lồi Ví dụ: Trong R : Xét đường tròn đơn vị siêu phẳng xOy, lấy điểm E ( 0,0,1) nằm trục Oz Thì tổ hợp lồi tập mặt nón, mà mặt nón tập lồi Định lý 1.1.1 Tập lồi đóng với phép giao, cộng, phép nhân với số phép lấy tổ hợp tuyến tính Tức là, A, B hai tập lồi R n ta có tập sau lồi: i) A ∩ B := { x | x ∈ A, x ∈ B} ii ) λ A + β B := { x | x = λ a + β b, a ∈ A, b ∈ B, λ , β ∈ R} Định nghĩa 1.1.10 Thứ nguyên tập lồi A thứ nguyên đa tạp affin nhỏ chứa A, gọi bao affin A, kí hiệu aff A Thứ nguyên tập lồi A kí hiệu dim A Nhận xét 1.1.1 n Nếu A ⊂ R Chứng minh: dim A ≤ n ∀a, b ∈ A, λ ∈ R ⇒ λ a + (1 − λ )b ∈ A Suy tồn không gian đa tạp affin A, song song với n M = A + a, a ∈ R Khi đó: dim A = dim M , M ⊂ A ⊂ R n Tương tự ta có: Suy ra: dim A = dim M n , M n ⊂ ⊂ M ⊂ A ⊂ R n ∃n0 ≤ n : dim A = dim M n = n0 ⇒ dim A ≤ n Định nghĩa 1.1.11 Tập hợp điểm tương đối tập tập hợp: riA := { x ∈ affA | ∃U ,U ∩ affA ⊂ A} Trong U lân cận mở x Bài tập Nếu A ≠ ∅ lồi riA ≠ ∅ Định nghĩa 1.1.12 Một tập hợp gọi lồi đa diện ( khúc lồiNhư ) nếuvậy giao hữu cáchợp nữacác không gian đóng khúc lồihạn tập bất đẳng thức dạng: a11 x + a12 x + + a1n x ≤ b1 n am1 x1 + am x + + amn x n ≤ bm Hệ viết dạng:  a11 a12  a a 21 22  A=    am1 am a1n   x1   b1  ÷  ÷  ÷ a2 n ÷ x b 2 ÷  ÷  ,x = ,b =  ÷  ÷ ÷ ÷  ÷  ÷ amn   xm   bm  Nhận xét 1.1.2 Khúc lồi tập đóng, không bị chặn Thật vậy: - Khúc lồi giao hữu hạn không gian đóng nên tập đóng Có thể không bị chặn Ví dụ: Trong R : Xét không gian đóng A := { ( x, y ) ∈ R | x + y ≤ 0} , B := { ( x, y ) ∈ R | x + y ≤ 0} Khi giao chúng góc góc phần tư thứ 3, lồi đa diện không bị chặn Định nghĩa 1.1.13 Một khúc lồi bị chặn gọi đa diện lồi Một tập A’ A gọi diện nếu: ∀a, b ∈ A, x = λ a + (1 − λ )b, ≤ λ ≤ 1, x ∈ A ' ⇒ a, b ∈ A ' Nhận xét 1.1.3 Mỗi diện tập lồi đa diện tập lồi đa diện Một diện có thứ nguyên gọi đỉnh Cạnh diện có thứ nguyên Định nghĩa 1.1.14 Điểm x ∈ C gọi điểm cực biên C ( C không thiết lồi) C đoạn thẳng nhận x làm điểm Định nghĩa 1.1.15 Một vectơ h ≠ gọi phương vô hạn tập C nếu: x + λ h ⊂ C , ∀x ∈ C , ∀λ > Định lý 1.1.2 i) Một khúc lồi không chứa trọn đường thẳng có đỉnh ii) Mọi khúc lồi A có đỉnh tập:   i j A :=  x = ∑ λi v + ∑ β j d | ∑ λi =1, β j ≥  i∈I j∈J i∈I   Trong đó: v ∈ {Tập I đỉnh} i d j ∈ {Tập J phương vô hạn} Chú ý 1.1.4 i)Nếu khúc lồi A bị chặn A tổ hợp lồi đỉnh (tập I đỉnh):   i A :=  x = ∑ λi v | ∑ λi =1 i∈I i∈I   ii) Nếu D tập lồi đa diện ( khúc lồi ) D biển diễn Trong đó: D = E + D0 E không gian D0 khúc lồi có đỉnh Định nghĩa 1.1.16 { Ta nói siêu phẳng H = x | v, x = α } tách tập A, B nếu: v, a ≤ α , v, b ≥ α , ∀a ∈ A, ∀b ∈ B (1.1) Ta nói H tách hẳn A B ( 1.1) có bất đẳng thức thật Định lý 1.1.3 Cho A tập lồi đóng A , x siêu phẳng tách x ∈ A, lúc tồn Hệ 1.1.4 ( Bổ đề Ferkas ) n Cho a ∈ R A ma trận cấp m x n Khi đó: a, x ≥ 0, ∀x thỏa mãn Ax ≥ ⇔ ∃y ≥ : a = AT y Nhận xét 1.1.5 Ý nghĩa hình học bổ đề siêu phẳng qua gốc tọa độ a, x = tách nón { x | Ax ≥ 0} phía vectơ pháp a siêu phẳng thuộc nón sinh hàng ma trận A [...]... A = dim M n = n0 ⇒ dim A ≤ n Định nghĩa 1.1.11 Tập hợp các điểm trong tương đối của một tập là tập hợp: riA := { x ∈ affA | ∃U ,U ∩ affA ⊂ A} Trong đó U là lân cận mở của x Bài tập Nếu A ≠ ∅ và lồi thì riA ≠ ∅ Định nghĩa 1.1.12 Một tập hợp được gọi là lồi đa diện ( khúc lồiNhư ) nếuvậy nó một là giao hữu cáchợp nữacác không gian đóng khúc lồihạn là tập bất đẳng thức dạng: a11 x + a12 x + + a1n x... phương vô hạn của tập C nếu: x + λ h ⊂ C , ∀x ∈ C , ∀λ > 0 Định lý 1.1.2 i) Một khúc lồi không chứa trọn một đường thẳng đều có ít nhất một đỉnh ii) Mọi khúc lồi A có đỉnh đều là tập:   i j A :=  x = ∑ λi v + ∑ β j d | ∑ λi =1, β j ≥ 0  i∈I j∈J i∈I   Trong đó: v ∈ {Tập I đỉnh} i d j ∈ {Tập J phương vô hạn} Chú ý 1.1.4 i)Nếu khúc lồi A bị chặn thì A chỉ là tổ hợp lồi của các đỉnh (tập I đỉnh): ... khúc lồi bị chặn gọi là đa diện lồi Một tập con A’ của A được gọi là một diện nếu: ∀a, b ∈ A, x = λ a + (1 − λ )b, 0 ≤ λ ≤ 1, x ∈ A ' ⇒ a, b ∈ A ' Nhận xét 1.1.3 Mỗi diện của một tập lồi đa diện cũng là tập lồi đa diện Một diện có thứ nguyên 0 gọi là một đỉnh Cạnh là diện có thứ nguyên bằng 1 Định nghĩa 1.1.14 Điểm x ∈ C được gọi là điểm cực biên của C ( C không nhất thiết lồi) nếu C không có đoạn thẳng... =1 i∈I i∈I   ii) Nếu D là tập lồi đa diện ( khúc lồi ) thì D có thể biển diễn Trong đó: D = E + D0 E là không gian con D0 là khúc lồi có đỉnh Định nghĩa 1.1.16 { Ta nói siêu phẳng H = x | v, x = α } tách 2 tập A, B nếu: v, a ≤ α , v, b ≥ α , ∀a ∈ A, ∀b ∈ B (1.1) Ta nói H tách hẳn A và B nếu ( 1.1) có ít nhất một bất đẳng thức thật sự Định lý 1.1.3 Cho A là một tập lồi đóng và 0 A , x siêu phẳng... xét 1.1.2 Khúc lồi là một tập đóng, có thể không bị chặn Thật vậy: - Khúc lồi là giao hữu hạn của các nữa không gian đóng nên nó là tập đóng Có thể không bị chặn Ví dụ: 2 Trong R : Xét nữa không gian đóng A := { ( x, y ) ∈ R 2 | 0 x + y ≤ 0} , B := { ( x, y ) ∈ R 2 | x + 0 y ≤ 0} Khi đó giao của chúng là góc góc phần tư thứ 3, là lồi đa diện nhưng không bị chặn Định nghĩa 1.1.13 Một khúc lồi bị chặn gọi