Toán tối ưu đa mục tiêu

Chương V : Tối ưu đa mục tiêu TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1 ĐIỂM HỮU HIỆU VÀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1 ĐIỂM HỮU HIỆU VÀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1.1 Điểm hữu hiệu TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1 ĐIỂM HỮU HIỆU VÀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1.1 Điểm hữu hiệu p Định nghĩa 5.1.1 Cho nón lồi R− := {x ∈ R p | x ≤ 0}, x, y ∈ R p p Ta nói x nhỏ y (x ≤ y) x − y ∈ R− , tức xi ≤ yi , ∀i = 1, p TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1 ĐIỂM HỮU HIỆU VÀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1.1 Điểm hữu hiệu p Định nghĩa 5.1.1 Cho nón lồi R− := {x ∈ R p | x ≤ 0}, x, y ∈ R p p Ta nói x nhỏ y (x ≤ y) x − y ∈ R− , tức xi ≤ yi , ∀i = 1, p Định nghĩa 5.1.2 Cho Y ⊆ R p , ta nói y∗ ∈ Y điểm hữu hiệu hay điểm Pareto Y không tồn y ∈ Y để y ≤ y∗ , y = y∗ TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1 ĐIỂM HỮU HIỆU VÀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1.1 Điểm hữu hiệu p Định nghĩa 5.1.1 Cho nón lồi R− := {x ∈ R p | x ≤ 0}, x, y ∈ R p p Ta nói x nhỏ y (x ≤ y) x − y ∈ R− , tức xi ≤ yi , ∀i = 1, p Định nghĩa 5.1.2 Cho Y ⊆ R p , ta nói y∗ ∈ Y điểm hữu hiệu hay điểm Pareto Y không tồn y ∈ Y để y ≤ y∗ , y = y∗ Nhận xét 5.1.1 Về mặt hình học, y∗ điểm Pareto Y nón có đỉnh p y∗ có phương cạnh trùng với phương cạnh nón R− ∗ không chứa điểm y ∈ Y, y = y TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1 ĐIỂM HỮU HIỆU VÀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1 ĐIỂM HỮU HIỆU VÀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1.2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1 ĐIỂM HỮU HIỆU VÀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1.2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu Cho Rn ⊃ D = Ø, f : Rn → R p , Y := f (D) ảnh D qua f Bài toán tối ưu đa mục tiêu viết sau (5.1) Min{ f (x) | x ∈ D} Bài toán hiểu : "Hãy tìm tập (có thể điểm) điểm x∗ ∈ D cho y∗ := f (x∗ ) điểm Pareto Y Khi x∗ gọi nghiệm tối ưu toán (5.1) hay điểm hữu hiệu f D" TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1 ĐIỂM HỮU HIỆU VÀ TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.1.2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu Cho Rn ⊃ D = Ø, f : Rn → R p , Y := f (D) ảnh D qua f Bài toán tối ưu đa mục tiêu viết sau (5.1) Min{ f (x) | x ∈ D} Bài toán hiểu : "Hãy tìm tập (có thể điểm) điểm x∗ ∈ D cho y∗ := f (x∗ ) điểm Pareto Y Khi x∗ gọi nghiệm tối ưu toán (5.1) hay điểm hữu hiệu f D" Chú ý 5.1.2 Khi p = x∗ điểm làm cực tiểu tuyệt đối f D Nếu D khúc lồi, f affine D (mỗi fi affine) (5.1) gọi toán tuyến tính đa mục tiêu TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Định lý 5.2.3 Giả sử (5.1) toán quy hoạch lồi Khi với u ∈ argMin(5.1) tồn λ = (λ1 , λ2 , , λ p ) ≥ cho u ∈ arg toán min{λT f (x) | x ∈ D} TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Định lý 5.2.3 Giả sử (5.1) toán quy hoạch lồi Khi với u ∈ argMin(5.1) tồn λ = (λ1 , λ2 , , λ p ) ≥ cho u ∈ arg toán min{λT f (x) | x ∈ D} Chứng minh Đặt C := cov(K := {y ∈ R p | y = f (x) − f (u), x ∈ D}) p 1) Ta chứng minh C ∩ R− = {0} Trước hết C = Ø {0} ∈ K (lấy x ≡ u) Lấy y ∈ C, C bao lồi K nên tồn y1 , y2 ∈ K : y = ty1 + (1 − t)y2 , ≤ t ≤ tồn x1 , x2 ∈ D (5.3) yi = f (xi ) − f (u), i = 1, TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Định lý 5.2.3 Giả sử (5.1) toán quy hoạch lồi Khi với u ∈ argMin(5.1) tồn λ = (λ1 , λ2 , , λ p ) ≥ cho u ∈ arg toán min{λT f (x) | x ∈ D} Chứng minh Đặt C := cov(K := {y ∈ R p | y = f (x) − f (u), x ∈ D}) p 1) Ta chứng minh C ∩ R− = {0} Trước hết C = Ø {0} ∈ K (lấy x ≡ u) Lấy y ∈ C, C bao lồi K nên tồn y1 , y2 ∈ K : y = ty1 + (1 − t)y2 , ≤ t ≤ tồn x1 , x2 ∈ D (5.3) yi = f (xi ) − f (u), i = 1, Lấy x = tx1 + (1 − t)x2 ⇒ x ∈ D (D lồi) Do f lồi kết hợp với (5.3) có f (x) − f (u) ≤ t f (x1 ) + (1 −t) f (x2 ) − f (u) = t( f (x1 ) − f (u)) + (1 −t)( f (x2 ) − f (u)) = y1 + (1 − t)y2 = y, tức f (x) − f (u) ≤ y TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Định lý 5.2.3 Giả sử (5.1) toán quy hoạch lồi Khi với u ∈ argMin(5.1) tồn λ = (λ1 , λ2 , , λ p ) ≥ cho u ∈ arg toán min{λT f (x) | x ∈ D} Chứng minh Đặt C := cov(K := {y ∈ R p | y = f (x) − f (u), x ∈ D}) p 1) Ta chứng minh C ∩ R− = {0} Trước hết C = Ø {0} ∈ K (lấy x ≡ u) Lấy y ∈ C, C bao lồi K nên tồn y1 , y2 ∈ K : y = ty1 + (1 − t)y2 , ≤ t ≤ tồn x1 , x2 ∈ D (5.3) yi = f (xi ) − f (u), i = 1, Lấy x = tx1 + (1 − t)x2 ⇒ x ∈ D (D lồi) Do f lồi kết hợp với (5.3) có f (x) − f (u) ≤ t f (x1 ) + (1 −t) f (x2 ) − f (u) = t( f (x1 ) − f (u)) + (1 −t)( f (x2 ) − f (u)) = y1 + (1 − t)y2 = y, tức f (x) − f (u) ≤ y p p Giả sử y ∈ C ∩ R− y = 0, suy y ∈ R− y ≤ 0, y = 0, f (x) − f (u) ≤ f (x) = f (u), nên u điểm hữu hiệu f D, mâu thuẫn với giả thiết u điểm hữu hiệu f D TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU p p 2) Chứng minh u ∈ arg min{λT f (x) | x ∈ D} Do C lồi, R− lồi C ∩ R− = {0}, nên theo định lý tách ∃λ ∈ (λ = (λ1 , λ2 , , λ p )) : p (5.4) λT y ≤ ∀y ∈ R− (5.5) λT y ≥ ∀y ∈ K TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU p p 2) Chứng minh u ∈ arg min{λT f (x) | x ∈ D} Do C lồi, R− lồi C ∩ R− = {0}, nên theo định lý tách ∃λ ∈ (λ = (λ1 , λ2 , , λ p )) : p (5.4) λT y ≤ ∀y ∈ R− (5.5) λT y ≥ ∀y ∈ K p p Bằng cách chia cho ∑ λi ta coi ∑ λi = i=1 i=1 Từ (5.4) suy λT ≥ (bài tập) Từ (5.5) định nghĩa K ⇒ λT y = λT ( f (x) − f (u)) ≥ 0, ∀x ∈ D, suy u nghiệm tối ưu toán (5.2): min{λT f (x) | x ∈ D} TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Cho quy hoạch lồi (5.6) Min f (x)x∈D={x∈Rn |g(x)≤0} f : Rn → R p , g : Rn → Rm lồi TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Cho quy hoạch lồi (5.6) Min f (x)x∈D={x∈Rn |g(x)≤0} f : Rn → R p , g : Rn → Rm lồi Định lý 5.2.4 Giả sử quy hoạch lồi (5.6) thỏa mãn điều kiện Slater Khi x0 điểm hữu hiệu (5.6) ∃(u0 , v0 ) ≥ cho (u0 , v0 ) điểm yên ngựa hàm F(u0 , x, v) := u0 , f (x) + v, g(x) Rn × Rm + Chứng minh TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Cho quy hoạch lồi (5.6) Min f (x)x∈D={x∈Rn |g(x)≤0} f : Rn → R p , g : Rn → Rm lồi Định lý 5.2.4 Giả sử quy hoạch lồi (5.6) thỏa mãn điều kiện Slater Khi x0 điểm hữu hiệu (5.6) ∃(u0 , v0 ) ≥ cho (u0 , v0 ) điểm yên ngựa hàm F(u0 , x, v) := u0 , f (x) + v, g(x) Rn × Rm + Chứng minh (⇒) Giả sử x0 điểm hữu hiệu quy hoạch lồi (5.6).Theo định lí (5.1), ∃u0 ≥ : x0 ∈ arg min{ u0 , f (x) | g(x) ≤ 0} áp dụng định lý điểm yên ngựa (định lý 2.8) cho hàm Lagrange toán này, suy ∃v0 ≥ cho (x0 , v0 ) điểm yên ngựa hàm F(u0 , x, v) := u0 , f (x) + v, g(x) Rn × Rm + TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Tức F(u0 , x0 , v) ≤ F(u0 , x0 , v0 ) ≤ F(u0 , x, v0 ) ∀(x, v) ∈ Rn × Rm + ⇐ x0 , v0 điểm yên ngựa F(u0 , x, v) Rn × Rm + Từ điều kiện Slater, lặp lại chứng minh điểm yên ngựa (định lý 2.8), ta có u0 > Áp dụng định lý (5.7) với v = 0, ta có u0 , f (x0 ) ≤ u0 , f (x) + v, g(x) = u, f (x) ∀x ∈ D ⇒ x0 ∈ arg min{ u0 , f (x) | ∀x ∈ D} Do đo, theo mệnh đề 5.1, x0 điểm hữu hiệu f D TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Bài tập chương V Điểm x∗ ∈ D gọi điểm hữu hiệu yếu hàm vectơ f (x) D ∃x ∈ D : f (x) < f (x∗ ) Chứng minh λ ≥ (λ = 0) nghiệm toán min{λT f (x) | x ∈ D} điểm hữu hiệu f D Cho toán tối ưu đa mục tiêu f (x), f : Rn → R p x∈D Chứng minh x0 điểm hữu hiệu (diểm Pareto) x0 nghiệm tối ưu toán mục tiêu min{h(x) := eT f (x) | x ∈ D, f (x) ≤ f (x0 )} e = (1, 1, , 1) ∈ R p Tìm điểm hữu hiệu toán đa mục tiêu min{ f (x) = ( f1 (x), f2 (x)) | x ∈ D} f1 (x) = x1 + x2 , f2 (x) = x1 − 2x2 D = {x | ≤ x2 ≤ x1 ≤ 2} TS Hoàng Quang Tuyến [...]... f (x) nữa liên tục dưới thì bài toán tối ưu đa mục tiêu (5.1) có nghiệm tối ưu TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Định lý 5.2.3 Giả sử (5.1) là bài toán quy hoạch lồi Khi đó với mọi...CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Mệnh đề 5.2.1 Cho λ ∈ R p là vectơ dương λ > 0, khi đó mọi nghiệm tối ưu của bài toán một mục tiêu (5.2) min{λT f (x) | x ∈ D} đều là điểm... ( f (x) − f (u)) ≥ 0, ∀x ∈ D, suy ra u là nghiệm tối ưu của bài toán (5.2): min{λT f (x) | x ∈ D} TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Cho quy hoạch lồi (5.6) Min f (x)x∈D={x∈Rn |g(x)≤0}... Lagrange của bài toán này, suy ra ∃v0 ≥ 0 sao cho (x0 , v0 ) là điểm yên ngựa của hàm F(u0 , x, v) := u0 , f (x) + v, g(x) trên Rn × Rm + TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Tức là F(u0... D, mâu thuẫn với giả thiết u là điểm hữu hiệu của f trên D TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU p p 2) Chứng minh u ∈ arg min{λT f (x) | x ∈ D} Do C lồi, R− lồi và C ∩ R− = {0}, nên... một mục tiêu (5.2) min{λT f (x) | x ∈ D} đều là điểm hữu hiệu của f trên D TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Mệnh đề 5.2.1 Cho λ ∈ R p là vectơ dương λ > 0, khi đó mọi nghiệm tối ưu của bài toán một mục tiêu (5.2) min{λT f (x) | x ∈ D} đều là điểm hữu hiệu của f trên D Chứng minh Gọi x∗ ∈ arg min(5.2), giả... ) < λT f (x∗ ), suy ra mâu thuẫn với x∗ ∈ arg min(5.2) ⇒ x∗ ∈ argMin(5.1) TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Mệnh đề 5.2.1 Cho λ ∈ R p là vectơ dương λ > 0, khi đó mọi nghiệm tối ưu của bài toán một mục tiêu (5.2) min{λT f (x) | x ∈ D} đều là điểm hữu hiệu của f trên D Chứng minh Gọi x∗ ∈ arg min(5.2), giả... , , λ p ) ≥ 0 sao cho u ∈ arg min của bài toán min{λT f (x) | x ∈ D} TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Định lý 5.2.3 Giả sử (5.1) là bài toán quy hoạch lồi Khi đó với mọi u ∈ argMin(5.1) đều tồn tại λ = (λ1 , λ2 , , λ p ) ≥ 0 sao cho u ∈ arg min của bài toán min{λT f (x) | x ∈ D} Chứng minh Đặt C :=... y1 + (1 − t)y2 = y, tức là f (x) − f (u) ≤ y TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Định lý 5.2.3 Giả sử (5.1) là bài toán quy hoạch lồi Khi đó với mọi u ∈ argMin(5.1) đều tồn tại λ = (λ1 , λ2 , , λ p ) ≥ 0 sao cho u ∈ arg min của bài toán min{λT f (x) | x ∈ D} Chứng minh Đặt C := cov(K := {y ∈ R p | y = f (x)... x2 ∈ D (5.3) yi = f (xi ) − f (u), i = 1, 2 TS Hoàng Quang Tuyến CHƯƠNG V : TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 5.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Định lý 5.2.3 Giả sử (5.1) là bài toán quy hoạch lồi Khi đó với mọi u ∈ argMin(5.1) đều tồn tại λ = (λ1 , λ2 , , λ p ) ≥ 0 sao cho u ∈ arg min của bài toán min{λT f (x) | x ∈ D} Chứng minh Đặt C := cov(K := {y ∈ R p | y = f (x)